沪教版六年级数学下册期中期末满分冲刺专题02有理数(难点)(原卷版+解析)

这是一份沪教版六年级数学下册期中期末满分冲刺专题02有理数(难点)(原卷版+解析)，共34页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列计算正确的个数是（ ）
① ② ③ ④
⑤ ⑥ ⑦ ⑧
A．1个B．2个C．3个D．以上答案均错
2．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）
A．84B．336C．510D．1326
3．观察图中的数轴，用字母，， 依次表示点，，对应的数，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
4．若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2，则值为（ ）
A．B．3C．D．3或
5．将，，0，1，2，3，4，5这八个数不重复地填入如图所示的圆圈内，若每一个三角形上的三个数之和相等，中央正方形角落的四个数之和为8，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．甲，乙两个油桶中装有体积相等的油，先把甲桶的油倒一半到乙桶，再把乙桶的油倒出一半给甲桶，结果（ ）
A．甲桶中的油多B．乙桶中的油多C．甲、乙两个桶油一样多D．不能确定
7．在数轴上有间隔相等的四个点，，，，所表示的数分别为，，，，其中有两个数互为相反数，若的绝对值最大，则数轴的原点是（ ）
A．点B．点
C．点或，的中点D．点或，的中点
8．已知为有理数，下列说法：
①若互为相反数，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则是正数．
其中正确的有（ ）个．
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（ ）
A．253B．255C．257D．259
10．某商场为促销对顾客实行优惠，规定：
（1）如一次性购物不超过200元，则不予优惠；
（2）如一次性购物超过200元，但不超过500元的，按标价给予9折优惠；
（3）如一次性购物超过500元的，其中500元按（2）给予优惠，超过500元的部分则给予8折优惠．某人两次购物，分别付款160元与360元，如果他一次性购买这些商品，则应付（ ）
A．468元B．498元C．504元D．520元
11．观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38 =6561，…，根据上述算式中的规律，221+311的末位数字是（ ）
A．3B．5C．7D．9
12．若不等式，对一切实数x都成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．幻方是一个古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方-九宫图．如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等，则图中“☆”代表的数字是________．
14．已知数轴上有A和B两点，它们之间的距离为1，点A和原点的距离为2，那么所有满足条件的点B对应的数有______________．
15．“转化”是一种解决问题的常用策略，有时画图可以帮助我们找到转化的方法．例如借助图①，可以把算式1＋3＋5＋7＋9＋11转化为62＝36，请你观察图②，可以把算式转化为_______．
16．计算：
（﹣1）+2+（﹣3）+4+…+（﹣2017）+2018+（﹣2019）+2020＝_____．
17．数轴上有两点M、N，点M到点E的距离为2，点N到点E距离为6，则M、N之间的距离为________．
18．若，则是____数．化简：________．
19．计算： ______．
20．已知数和数互为相反数，且在数轴上表示数的点之间的距离为2018个单位长度，若，则________，________，点相距2009个单位长度，则点表示的数为_________．
21．已知a、b、c为整数，且，．若，则的最大值为________．
22．一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是_______．
三、解答题
23．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
24．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
25．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点A表示的数是．
（1）在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是__________．
（2）在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为_________．
（3）在数轴上表示下列各数，并用“<”把这些数按从小到大的顺序连接起来．
26．（1）已知，且，求的值；
（2）已知，求．
27．奋斗文具店购进了一批钢笔，进价为每支6元，进了160支，为了合理定价，在销售前四天试行机动价格，卖出时每支以10元为标准，超过10元记为正，不足10元记为负．文具店记录了这五天钢笔的售价和售出情况，如下表：
(1)这五天中，售价最高的是第_______天，这天售价______元钱．
(2)这五天中赚钱最多的是第几天？赚多少钱？
(3)奋斗文具店店庆，这种钢笔的售价在10元的基础上打九折，当天把剩下的钢笔全部卖出，这天这种钢笔赚了多少钱？
28．如图，用粗线在数轴上表示了一个“范围”，这个“范围”包含所有大于1小于2的有理数．请你在数轴上表示出一范围，使得这个范围同时满足以下三个条件：
（1）至少有100对互为相反数和100对互为倒数；
（2）有最小的正整数；
（3）这个范围内最大的数与最小的数表示的点的距离大于3但小于4．
29．
(1)已知a、b是有理数，且＝3，a与b互为倒数，试求2a+ab的值．
(2)||+||﹣||．
30．计算题．
(1)．
(2)．
(3)．
31．探索研究：
（1）比较下列各式的大小（用“＜”、“＞”、“＝”连接）
①|2|+|3| |2+3|；
②|﹣2|+|﹣3| |﹣2﹣3|；
③|2|+|﹣3| |2﹣3|；
④|2|+|0| |2+0|．
（2）a、b为有理数，通过比较、分析，归纳|a|+|b|与|a+b|的大小关系．（用“＜”、“＞”、“＝”、“≥”、“≤”连接）
当a、b同号时，|a|+|b| |a+b|；
当a、b异号时，|a|+|b| |a+b|；
当a＝0或b＝0时，|a|+|b| |a+b|；
综上，|a|+|b| |a+b|．
（3）根据（2）中得出的结论，当|x|+2015＝|x﹣2015|时，则x的取值范围是 ．
32．在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的特征值，记作．即．例如：当点P是线段的中点时，因为，所以．
（1）如图，点，，为数轴上三个点，点表示的数是，点与关于原点对称．
①______；
②比较，，的大小______（用“<”连接）；
（2）数轴上的点M满足，求；
（3）数轴上的点P表示有理数p，已知且为整数，则所有满足条件的p的倒数之和为______．
33．如图，数轴上有点a，b，c三点．
(1) 0； 0(填“<”，“>”，“=”)；
(2)化简
(3)求的值
34．【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把 （a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
（1）【初步探究】
直接写出计算结果：2③=_______，（-）⑤=_______；
（2）【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
Ⅰ.试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
（﹣3）④=_______；5⑥=_______； (-) ⑩=_______．
Ⅱ. 想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于_______；
Ⅲ. 算一算：
12²÷(-)④×(-2)⑤－(-)⑥÷3³.
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
每支价格相对标准价格（元）
0
售出支数（支）
9
12
20
26
42
专题02 有理数（难点）
一、单选题
1．下列计算正确的个数是（ ）
① ② ③ ④
⑤ ⑥ ⑦ ⑧
A．1个B．2个C．3个D．以上答案均错
【答案】B
【分析】根据有理数的混合运算法则分别判断即可．
【解析】解：①，故错误；
②，故错误；
③，故错误；
④，故正确；
⑤，故错误；
⑥，故正确；
⑦，故错误；
⑧，故错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则．
2．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）
A．84B．336C．510D．1326
【答案】C
【解析】由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为：1×73+3×72+2×7+6=510，
故选：C．
点睛：本题考查记数的方法，注意运用七进制转化为十进制，考查运算能力，属于基础题.
3．观察图中的数轴，用字母，， 依次表示点，，对应的数，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由图可知-1＜a＜＜＜b＜0＜1＜c，据此进行解答即可.
【解析】解：由图可知-1＜a＜＜＜b＜0＜1＜c，
由-1＜a＜可知，＜-a＜1，则由＜b＜0可得，＜b-a＜1，则1＜3；
由1＜c可得，；
由-1＜a＜、＜b＜0可得，＜-a＜1，0＜-b＜，则0＜ab＜，则＞3；
综上可得，，
故选择C.
【点睛】本题由图得到各数的大小关系及正负性是解题关键，此外各项表达式在整理变形时的数值范围变化需要当心.
4．若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2，则值为（ ）
A．B．3C．D．3或
【答案】B
【分析】根据题意可得，a+b=0，cd=1，m=±2，代入求解即可．
【解析】解：根据题意可得，a+b=0，cd=1，m=±2，
原式=4-1+0=3
故选：B
【点睛】本题考查了代数式求值，解答本题的关键是根据题意得出a+b=0，cd=1，m=±2．
5．将，，0，1，2，3，4，5这八个数不重复地填入如图所示的圆圈内，若每一个三角形上的三个数之和相等，中央正方形角落的四个数之和为8，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】首先计算出每个三角形上数字之和，再利用x，y所在三角形上数字之和减去中间正方形上的数字之和即为结果．
【解析】解：由题意可得：
每个三角形上数字之和为=5，
∴x+y=5×2-8=2，
故选B．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，解题的关键是读懂题意，理解每个三角形上数字之和的计算方法．
6．甲，乙两个油桶中装有体积相等的油，先把甲桶的油倒一半到乙桶，再把乙桶的油倒出一半给甲桶，结果（ ）
A．甲桶中的油多B．乙桶中的油多C．甲、乙两个桶油一样多D．不能确定
【答案】A
【分析】采用设数法，将甲、乙两个油桶中体积相等时的油的体积设为“1”，分别算出倒两次之后甲乙两桶中油的体积，即可得解．
【解析】解：甲、乙两个油桶中装有体积相等的油，
将此时甲、乙两个油桶中油的体积设为“1”，
则把甲桶的油倒一半到乙桶后，
甲桶中油的体积设为“”，乙桶中油的体积为：，
再把乙桶的油倒出一半给甲桶，
则乙桶油的体积为：，甲桶中油的体积为：，
，∴甲桶中的油多，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，采用设数法，表示出两桶中油的体积，从而可以比较大小，是解题的关键．
7．在数轴上有间隔相等的四个点，，，，所表示的数分别为，，，，其中有两个数互为相反数，若的绝对值最大，则数轴的原点是（ ）
A．点B．点
C．点或，的中点D．点或，的中点
【答案】D
【分析】根据在数轴上有间隔相等的四个点，，，，其中有两个数互为相反数，原点的位置必然要在N点或P点上或MN的中点，NP的中点，PQ的中点位置，再由的绝对值最大，推出M离原点的位置要最远，则原点的位置只能在P或PQ的中点上．
【解析】解：∵在数轴上有间隔相等的四个点，，，，其中有两个数互为相反数，
∴原点的位置必然要在N点或P点上或MN的中点，NP的中点，PQ的中点位置，
又∵的绝对值最大，
∴M离原点的位置要最远，
∴原点的位置只能在P或PQ的中点上，
故选D．
【点睛】本题主要考查了数轴和相反数的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
8．已知为有理数，下列说法：
①若互为相反数，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则是正数．
其中正确的有（ ）个．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】①根据相反数的性质判断；②由两数之和小于0，两数之积大于0，得到a与b都为负数，即3a+4b小于0，利用负数的绝对值等于它的相反数化简得到结果，即可作出判断；③由a-b的绝对值等于它的相反数，得到a-b为非正数，得到a与b的大小，即可作出判断；④由a绝对值大于b绝对值，分情况讨论，即可作出判断．
【解析】解：①a与b互为相反数，则b=-a，本选项正确；
②由a+b＜0，ab＞0，得到a与b同时为负数，即3a+4b＜0，
∴|3a+4b|=-3a-4b，本选项错误；
③∵|a-b|+a-b=0，即|a-b|=-（a-b），
∴a-b≤0，即a≤b，本选项错误；
④若|a|＞|b|，
当a＞0，b＞0时，可得a＞b，即a-b＞0，a+b＞0，∴（a+b）•（a-b）为正数；
当a＞0，b＜0时，a-b＞0，a+b＞0，∴（a+b）•（a-b）为正数；
当a＜0，b＞0时，a-b＜0，a+b＜0，∴（a+b）•（a-b）为正数；
当a＜0，b＜0时，a-b＜0，a+b＜0，∴（a+b）•（a-b）为正数，
本选项正确，
则其中正确的有2个．
故选：B．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握各种运算法则是解本题的关键．
9．某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（ ）
A．253B．255C．257D．259
【答案】C
【分析】从特殊出发，归纳得到一般规律即可完成．
【解析】解：根据题意，1小时后分裂成4个并死去1个，剩3个，3＝2+1；
2小时后分裂成6个并死去1个，剩5个，5＝22+1；
3小时后分裂成10个并死去一个，剩9个，9＝23+1；
……
n个小时后细胞存活的个数是2n+1，
当n＝8时，存活个数是28+1＝257．
故选：C．
【点睛】本题考查了乘方的应用，根据前几个的情况得出一般规律是解决问题的关键．
10．某商场为促销对顾客实行优惠，规定：
（1）如一次性购物不超过200元，则不予优惠；
（2）如一次性购物超过200元，但不超过500元的，按标价给予9折优惠；
（3）如一次性购物超过500元的，其中500元按（2）给予优惠，超过500元的部分则给予8折优惠．某人两次购物，分别付款160元与360元，如果他一次性购买这些商品，则应付（ ）
A．468元B．498元C．504元D．520元
【答案】B
【分析】某人两次购物，分别付款160元与360元，由于160元不满200元，没有优惠；而360元是优惠价格，实际商品价格是（元），那么他一次购买同样的商品，即价值（元）的商品，按照（3）进行优惠计算即可．
【解析】解：第二次的价格是（元），
两次合并，则总价是：（元），



（元）．
则他一次性购买这些商品，则应付498元．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了最优化问题，有理数混合运算的实际应用，解题关键是按照优惠方案，求出购买商品的实际价格，然后再按照优惠方案进行计算即可．
11．观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38 =6561，…，根据上述算式中的规律，221+311的末位数字是（ ）
A．3B．5C．7D．9
【答案】D
【分析】通过观察发现：的个位数字是2，4，8，6四个一循环，所以根据，得出的个位数字与的个位数字相同；以3为底的幂的末位数字是3，9，7，1依次循环的．即可知的个位数字，从而得到221+311的末位数字．
【解析】解：由题意可知，，，，，，，，，，
即末位数字是每4个算式是一个周期，
末位分别为2，4，8，6，
，
的末位数字与的末位数字相同，为2；
由题意可知，，，，，，，
以3为底的幂的末位数字是3，9，7，1依次循环的，
，
所以的个位数字是7，
所以的个位数字是9，
故选：D．
【点睛】本题考查的是尾数特征，规律型：数字的变化类，根据题意找出数字循环的规律是解答此题的关键．
12．若不等式，对一切实数x都成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先得出代数式的意义，从而得出结论．
【解析】解：由数轴知，表示x到4，2，1，0这四个点的距离之和．
当1≤x≤2时，距离之和最小，此时=5，
即不等式≥5对一切数x都成立，
∴a≤5，
故选B．
【点睛】本题考查绝对值的意义，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
二、填空题
13．幻方是一个古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方-九宫图．如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等，则图中“☆”代表的数字是________．
【答案】-3
【分析】先计算和：-7+1+9=3；再计算-5+9+□=3，-5+1+□=3，最后根据☆+□+□=3计算即可．
【解析】解：根据题意，得这个和为：-7+1+9=3；
∴-5+9+□=3，-5+1+□=3，
∴-5+9+□-5+1+□=6，
∴-5+9+□-5+1+□=6，
∴□+□=6，
∵☆+□+□=3，
∴☆=-3，
故答案为：-3．
【点睛】本题考查了有理数加减的混合运算，正确理解题意，列式计算是解题的关键．
14．已知数轴上有A和B两点，它们之间的距离为1，点A和原点的距离为2，那么所有满足条件的点B对应的数有______________．
【答案】1、3、、
【分析】设点B对应的数为，根据点A与原点O的距离为2，得到点A表示的数为，当点A表示的数为-2时，根据数轴上A，B两点之间的距离为1，得到，推出，解得x=-3，或x=-1，当点A表示的数为2时，得到，推出，解得x=3，或x=1．
【解析】解：设点B对应的数为，
∵数轴上A，B两点之间的距离为1，点A与原点O的距离为2，
∴点A表示的数为
当点A表示的数为-2时，，
∴，
∴x=-3，或x=-1，
当点A表示的数为2时，
，
∴，
∴x=3，或x=1，
综上点B对应的数为：1、3、、．
故答案为：1、3、、．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，解决问题的关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式，绝对值的化简．
15．“转化”是一种解决问题的常用策略，有时画图可以帮助我们找到转化的方法．例如借助图①，可以把算式1＋3＋5＋7＋9＋11转化为62＝36，请你观察图②，可以把算式转化为_______．
【答案】
【分析】根据图形观察发现，把正方形看作单位“1”，即算式可以转化成，再求出答案即可．
【解析】解：把正方形看作单位“1”，由图可得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算和数据分析能力，同时还考查了数据的推理能力．
16．计算：
（﹣1）+2+（﹣3）+4+…+（﹣2017）+2018+（﹣2019）+2020＝_____．
【答案】1010
【分析】根据数的特点，每两个一组进行运算即可．
【解析】解：（﹣1）+2+（﹣3）+4+…+（﹣2017）+2018+（﹣2019）+2020
＝[（﹣1）+2]+[（﹣3）+4]+…+[（﹣2017）+2018]+[（﹣2019）+2020]
＝1+1+…+1
＝1010，
故答案为：1010．
【点睛】本题考查数字的变化规律，根据所给数的特点，分组进行求解是解题的关键．
17．数轴上有两点M、N，点M到点E的距离为2，点N到点E距离为6，则M、N之间的距离为________．
【答案】8或4
【分析】分类讨论：E在线段MN上，E在线段MN的反向延长线上，根据线段的差，可得答案．
【解析】解：当E在线段MN上时，MN=ME+NE=2+6=8．
当E在线段MN的反向延长线上时，MN=NE-ME=6-2=4，
综上所述：MN=8或MN=4，
故答案为：8或4．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，分类讨论是解题关键．
18．若，则是____数．化简：________．
【答案】 非正 3.1416-π
【分析】首先根据|m|=-m，可得：m是非正数，然后根据：π-3.1416＜0，负数的绝对值等于它的相反数，求出|π-3.1416|的值是多少即可．
【解析】解：∵|m|=-m，
∴m是非正数；
∵π-3.1416＜0，
∴|π-3.1416|=3.1416-π．
故答案为：非正；3.1416-π．
【点睛】此题主要考查了实数的大小比较，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握．
19．计算： ______．
【答案】##-0.5
【分析】利用乘法分配律把分母化为，即可求解。
【解析】解：原式=，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，利用乘法分配律把分母化为是解题的关键。
20．已知数和数互为相反数，且在数轴上表示数的点之间的距离为2018个单位长度，若，则________，________，点相距2009个单位长度，则点表示的数为_________．
【答案】 -1009 1009 1000或-3018
【分析】首先根据互为相反数的定义，得出a+b=0，再根据数a、b的点A、B之间的距离为2018个单位长度和根据数轴上两点间的距离等于较大的数减去较小的数，列方程进行计算，再根据数轴上两点之间的距离即可求出答案．
【解析】解：∵数a与数b互为相反数，
∴a+b=0，
∵a＜b，
∴b-a=2018，
∴b=1009，a=-1009；
∵点A，C相距2009个单位长度，
则-1009+2009=1000，或-1009-2009=-3018，
∴点C表示的数为1000或-3018，
故答案为：-1009，1009，1000或-3018．
【点睛】本题考查了数轴和互为相反数的意义，掌握数轴上两点间的距离的计算方法和一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号是本题的关键．
21．已知a、b、c为整数，且，．若，则的最大值为________．
【答案】5013
【分析】由c-a=2005得c=a+2005，与a+b=2006相加得a+b+c=a+4011，由a+b=2006及a＜b，a为整数，可得a的最大值为1002，从而得出a+b+c的最大值．
【解析】解：由a+b=2006，c-a=2005，得a+b+c=a+4011．
∵a+b=2006，a＜b，a为整数，
∴a的最大值为1002．
∴a+b+c的最大值为a+b+c=a+4011=5013．
故答案为：5013．
【点睛】本题考查了整数问题的综合运用．关键是由已知等式得出a+b+c的表达式，再求最大值．
22．一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
【分析】“前进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，先根据题意列出几组数据，从数据找寻规律：第一个循环节结束的数即x5=1，第二个循环节结束的数即x10=2，第三个循环节结束的数即x15=3，…，第m个循环节结束的数就是第5m个数，即x5m=m．然后再根据“前进3步后退2步”的运动规律来求取对应的数值．
【解析】根据题意可知：
x1=1，x2=2，x3=3，x4=2，x5=1，
x6=2，x7=3，x8=4，x9=3，x10=2，
x11=3，x12=4，x13=5，x14=4，x15=3，
…
由上列举知①②正确，符合题意；
由上可知：第一个循环节结束的数即x5=1，第二个循环节结束的数即x10=2，第三个循环节结束的数即x15=3，…，即第m个循环节结束的数即x5m=m．
∵x100=20，
∴x101=21，x102=22，x103=23，x104=22，
∵x105=21，
∴x106=22，x107=23，x108=24
故x108＞x104，故③错误，不合题意；
∵x2015=403，
∴x2016=404，x2017=405，x2018=406，x2019=405，x2020=404，
故x2019＞x2020，故④正确．符合题意．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了规律型——数字的变化类，主要考查了数轴，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”．把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来．前进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，让n÷5看余数，余数是几，那么第n秒时就是循环节中对应的第几个数．
三、解答题
23．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先算同分母分数，再计算加减法；
（2）先算乘法，再去括号，再算同分母分数，再计算加减法；
（3）先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算；
（4）根据乘法分配律简便计算．
【解析】（1）解：
原式＝
＝
＝
＝
（2）解：
原式＝
＝
＝
＝
＝
（3）解：
原式＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
（4）解：
原式＝
＝
＝
＝
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，简化运算过程．
24．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)-1
(2)
(3)32
(4)5
【分析】（1）先将同号的数相加，再将异号数相加即可；
（2）先利用乘法分配律计算，再进行有理数的加减运算即可；
（3）先计算乘方、乘法、绝对值，再计算有理数的加减即可；
（4）先计算括号里的减法运算，再计算乘方，乘除法，最后计算加减法即可．
（1）
解：
（2）
解：
（3）
解：
（4）
解：
【点睛】本题主要考查了有理数的乘方以及加减乘除运算混合运算，熟练掌握运算律及运算数学顺序是解题的关键．
25．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点A表示的数是．
（1）在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是__________．
（2）在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为_________．
（3）在数轴上表示下列各数，并用“<”把这些数按从小到大的顺序连接起来．
【答案】（1）4；原点见详解；（2）2或6；（3）数轴见详解，−22＜＜−（＋1.6）＜|−1.5|＜2.5＜
【分析】（1）根据点A表示−3即可得原点位置，进一步得到点B所表示的数；
（2）分两种情况讨论即可求解；
（3）首先在数轴上确定表示各数的点的位置，再根据在数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的数大用“＜”号把这些数连接起来即可．
【解析】解：（1）如图，O为原点，点B所表示的数是4，
故答案为：4；
（2）点C表示的数为4−2＝2或4＋2＝6．
故答案为：2或6；
（3）把下列各数在数轴上表示，如图所示：
由数轴可知：−22＜＜−（＋1.6）＜|−1.5|＜2.5＜．
【点睛】此题主要考查了有理数的比较大小，关键是正确在数轴上确定表示各数的点的位置．
26．（1）已知，且，求的值；
（2）已知，求．
【答案】（1）0或12；（2）0
【分析】（1）根据绝对值的定义，结合条件，求出m，n的值，进而即可求解；
（2）根据绝对值和偶数次幂的非负性，求出a，b的值，进而即可求解．
【解析】（1）∵，且，
∴m=±3，n=-2，
∴=2×3-(-2) ×3=12或=2×(-3)-(-2) ×3=0，
即：=0或12；
（2）∵，
∴，
∴a=-1，b=2，
∴
=
=(-1)+1
=0．
【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握绝对值的定义以及绝对值和偶数次幂的非负性是解题的关键．
27．奋斗文具店购进了一批钢笔，进价为每支6元，进了160支，为了合理定价，在销售前四天试行机动价格，卖出时每支以10元为标准，超过10元记为正，不足10元记为负．文具店记录了这五天钢笔的售价和售出情况，如下表：
(1)这五天中，售价最高的是第_______天，这天售价______元钱．
(2)这五天中赚钱最多的是第几天？赚多少钱？
(3)奋斗文具店店庆，这种钢笔的售价在10元的基础上打九折，当天把剩下的钢笔全部卖出，这天这种钢笔赚了多少钱？
【答案】(1)一 12
(2)这五天中赚钱最多的是第四天，赚130元
(3)这天这种钢笔赚153元
【分析】（1）由表格提供的信息可知，售价最高的是第一天及这天的售价；
（2）分别求出这五天每天的赚钱数，比较后即可得到答案；
（3）先求出剩下的钢笔数量，再根据钢笔的售价在10元的基础上打九折计算当天的赚钱数即可．
【解析】（1）解：由表格可知，这五天中，售价最高的是第一天，这天的售价为10＋2＝12元，
故答案为：一，12
（2）解：第一天赚钱为（10+2－6）×9＝54；
第二天赚钱为（10+1－6）×12＝60；
第三天赚钱为（10+0－6）×20＝80；
第四天赚钱为（10+1－6）×26＝130；
第五天赚钱为（10－2－6）×42＝84；
∴这五天中赚钱最多的是第四天，赚130元；
（3）解：（支），
元，
答：这天这种钢笔赚153元．
【点睛】此题考查了有理数混合运算的应用，读懂题意，正确列出算式是解题的关键．
28．如图，用粗线在数轴上表示了一个“范围”，这个“范围”包含所有大于1小于2的有理数．请你在数轴上表示出一范围，使得这个范围同时满足以下三个条件：
（1）至少有100对互为相反数和100对互为倒数；
（2）有最小的正整数；
（3）这个范围内最大的数与最小的数表示的点的距离大于3但小于4．
【答案】见解析(答案不唯一)
【分析】任何两点之间都有无数个数，由（1）可知两点只要分别位于原点的两侧，包含原点即可；（2）最小的正整数是1，因而包含1即可；由（3）得：范围两端点之间的距离大于3但小于4．同时满足以上三个条件即可．
【解析】解：答案不唯一，例如：
．
【点睛】本题考查了数轴的知识，任何实数均可在数轴上表示出来，注意按要求作图．
29．
(1)已知a、b是有理数，且＝3，a与b互为倒数，试求2a+ab的值．
(2)||+||﹣||．
【答案】(1)18
(2)0
【分析】(1)根据＝3，计算a；根据a与b互为倒数，得到ab＝1，代入计算即可．
（2）根据分子相同，分母大的反而小，化简绝对值即可．
【解析】（1）∵＝3，
∴a＝9，
∵a与b互为倒数，
∴ab＝1，
∴2a+ab
＝2×9+×1
＝18+
＝18．
（2）||+||﹣||
=
=
＝0．
【点睛】本题考查了倒数即乘积为1的两个数，绝对值的化简，有理数的加减混合运算，熟练掌握倒数的意义，准确化简绝对值，正确进行有理数的加减运算是解题的关键．
30．计算题．
(1)．
(2)．
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)6
【分析】（1）根据裂项求和进行简便运算即可；
（2）观察算式的分母，找到规律，进而裂项相消求和进行简便运算即可求解；
（3）观察算式的，令，则，两式相加即可求解．
（1）
解：原式＝
；
（2）
解：∵
∴原式＝
；
（3）
令

① ②得：
，故 ．
【点睛】本题考查了有理数的加法，乘法，乘方运算，将所求式子用裂项相消的方法进行正确的分解是解题的关键．
31．探索研究：
（1）比较下列各式的大小（用“＜”、“＞”、“＝”连接）
①|2|+|3| |2+3|；
②|﹣2|+|﹣3| |﹣2﹣3|；
③|2|+|﹣3| |2﹣3|；
④|2|+|0| |2+0|．
（2）a、b为有理数，通过比较、分析，归纳|a|+|b|与|a+b|的大小关系．（用“＜”、“＞”、“＝”、“≥”、“≤”连接）
当a、b同号时，|a|+|b| |a+b|；
当a、b异号时，|a|+|b| |a+b|；
当a＝0或b＝0时，|a|+|b| |a+b|；
综上，|a|+|b| |a+b|．
（3）根据（2）中得出的结论，当|x|+2015＝|x﹣2015|时，则x的取值范围是 ．
【答案】（1）①；②；③；④；（2），，，≥；（3）
【分析】（1）分别计算①②③④题两边，即可比较大小；
（2）根据绝对值的性质结合有理数的加法法则即可判断大小；
（3）将|x|+2015化为|x|+|-2015|结合（2）中结论进行分析即可得出结论．
【解析】解：（1）①|2|+|3|=5，|2+3|=5，所以|2|+|3|=2+3|；
②|﹣2|+|﹣3|=5，|﹣2﹣3|=5，所以|﹣2|+|﹣3|=|﹣2﹣3|；
③|2|+|﹣3|=5，|2﹣3|=1，所以|2|+|﹣3|＞|2﹣3|；
④|2|+|0|=2，|2+0|=2，所以|2|+|0|=|2+0|．
故答案为：①，②，③，④；
（2）当a、b同号时，|a|+|b|=|a+b|；
当a、b异号时，|a|+|b|＞|a+b|；
当a＝0或b＝0时，|a|+|b|=|a+b|；
综上，|a|+|b|≥|a+b|．
故答案为：，，，≥；
（3）因为|x|+2015＝|x|+|﹣2015|=|x﹣2015|，
所以由（2）可知x≤0．
故答案为：x≤0．
【点睛】本题考查了绝对值，有理数的加法法则，有理数的大小比较等知识，熟知相关知识，学会寻找规律解题是解题关键．
32．在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的特征值，记作．即．例如：当点P是线段的中点时，因为，所以．
（1）如图，点，，为数轴上三个点，点表示的数是，点与关于原点对称．
①______；
②比较，，的大小______（用“<”连接）；
（2）数轴上的点M满足，求；
（3）数轴上的点P表示有理数p，已知且为整数，则所有满足条件的p的倒数之和为______．
【答案】（1）①；②＜＜；（2）或；（3）198．
【分析】（1）①先确定的表示的数，然后根据题意求出即可；②先确定的表示的数根据题意求出、，然后比较即可；
（2）先由确定M所表示的数，然后根据题意求出即可；
（3）根据题意可得PO＞PA且PO为PA的整数倍，然后分别求出所有P所表示的数，最后求和即可．
【解析】解：（1）①∵点表示的数是，点与关于原点对称．
∴表示的数是；
∴
故答案是；
②∵表示的数大约是
∴，
∴＜＜
故答案是＜＜；
（2）∵
∴M表示的数是或-
∴或；
（3）∵P表示有理数，＜100且为整数
∴PO＞PA且PO为PA的整数倍
由题意可得，当P为OA中点时，则=1，此时为最小正整数且P表示；
当=2，即PO=2PA,此时P表示或2；
当=3，即PO=3PA,此时P表示或；
…
当=99，即PO=3PA,此时P表示或；
∴所有满足条件的p的倒数之和为：

=
=2+98×2
=198．
故答案是198．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离以及有理数的混合运算等知识点，理解题意、确定各点所表示的数成为解答本题的关键．
33．如图，数轴上有点a，b，c三点．
(1) 0； 0(填“<”，“>”，“=”)；
(2)化简
(3)求的值
【答案】(1)；；
(2)；
(3)0．
【分析】（1）由，，在数轴上的位置可得、、的大小关系，再估算，的值，得出答案；
（2）结合（1），再由，，在数轴上的位置可以判断的符号，再化简绝对值即可；
（3）根据，，在数轴上的位置可得、、的正负情况，再化简绝对值．
（1）
解：根据数轴上的点得：；
，；
故答案为：；；
（2）
解：
；
（3）
解：，
．
【点睛】本题考查数轴表示数的意义和方法，化简绝对值、解题的关键是通过数形结合来求解．
34．【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把 （a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
（1）【初步探究】
直接写出计算结果：2③=_______，（-）⑤=_______；
（2）【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
Ⅰ.试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
（﹣3）④=_______；5⑥=_______； (-) ⑩=_______．
Ⅱ. 想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于_______；
Ⅲ. 算一算：
12²÷(-)④×(-2)⑤－(-)⑥÷3³.
【答案】（1）【初步探究】
，-8；
（2）【深入思考】
Ⅰ. ；；；
Ⅱ.
Ⅲ.
【分析】（1）【初步探究】分别按公式进行计算即可；
（2）【深入思考】Ⅰ.把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果；
Ⅱ.结果第一个数不变为a，第二个数及后面的数变为，则
Ⅲ.将第二问的规律代入计算，注意运算顺序．
【解析】解：（1）【初步探究】，
故答案为，-8；
（2）【深入思考】Ⅰ. ；
；

故答案为；；；
Ⅱ.
Ⅲ.




【点睛】本题是有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序．
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
每支价格相对标准价格（元）
0
售出支数（支）
9
12
20
26
42