沪教版六年级数学下册期中期末满分冲刺特训04一元一次不等式(组)压轴题(原卷版+解析)

这是一份沪教版六年级数学下册期中期末满分冲刺特训04一元一次不等式(组)压轴题(原卷版+解析)，共51页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

1．若三个代数式满足：只要其中有两个代数式之和大于另外一个代数式的解集为大于1的实数，则称这三个代数式构成“雅礼不等式”．例如：三个代数式有：当时的解集为，则称构成“雅礼不等式”．
(1)可以构成“雅礼不等式”吗？请说明理由；
(2)若构成“雅礼不等式”，求a的值或取值范围；
(3)若构成“雅礼不等式”，求关于x的不等式组的解集．
2．若不等式（组）只有个正整数解（为自然数），则称这个不等式（组）为阶不等式（组）．
我们规定：当时，这个不等式（组）为0阶不等式（组）．
例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式．
不等式组只有3个正整数解，因此称其为3阶不等式组．
请根据定义完成下列问题：
(1)是 阶不等式；是 阶不等式组；
(2)若关于的不等式组 是4阶不等式组，求的取值范围；
(3)关于的不等式组 的正整数解有，，，，…，其中…．如果 是阶不等式组，且关于的方程的解是 的正整数解，直接写出的值以及的取值范围．
3．对于任意一个四位数N，如果N满足各个数位上的数字互不相同，且个位数字不为0，N的百位数字与十位数字之差是千位数字与个位数字之差的2倍，则称这个四位数N为“双减数”，对于一个“双减数”，将它的千位和百位构成的两位数为，个位和十位构成的两位数为，规定：．
例如：N=7028，因为，所以7028是一个“双减数”，则
(1)判断3401，5713是否是“双减数”，并说明理由；如果是，求出的值；
(2)若“双减数”M的各个数位上的数字之和能被11整除，且是3的倍数，求M的值．
4．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”．
(1)在方程①；②；③中，不等式组的“相依方程”是________；（填序号）
(2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围；
(3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围．
5．【提出问题】已知，且，，试确定的取值范围．
【分析问题】先根据已知条件用去表示，然后根据题中已知的取值范围，构建的不等式，从而确定的取值范围，同理再确定的取值范围，最后利用不等式的性质即可解决问题．
【解决问题】解：，．
，，．
，，
同理，得．
由，得，
的取值范围是．
【尝试应用】（1）已知，且，，求的取值范围；
（2）已知，，若成立，求的取值范围结果用含的式子表示．
6．新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则；反之，当为非负整数时，如果，则．
例如：
试解决下列问题：
(1)填空：①_________（为圆周率）；②如果，则实数x的取值范围为_________；
(2)若关于的不等式组的整数解恰有3个，求a的取值范围；
(3)求满足的所有非负实数x的值．
7．如图，点A和点B在数轴上分别对应数a和b，其中a和b满足（a+4）2＝﹣|8﹣b|，原点记作O．
（1）求a和b；
（2）数轴有一对动点A1和B1分别从点A和B出发沿数轴正方向运动，速度分别为1个单位长度/秒和2个单位长度/秒．
①经过多少秒后满足AB1＝3A1B？
②另有一动点O1从原点O以某一速度出发沿数轴正方向运动，始终保持在与之间，且满足，运动过程中对于确定的m值有且只有一个时刻t满足等式：AO1+BO1＝m，请直接写出符合条件m的取值范围．
8．阅读理解：
定义：，，为数轴上三点，若点到点的距离是它到点的时距离的（为大于1的常数）倍，则称点是的倍点，且当是的倍点或的倍点时，我们也称是和两点的倍点．例如，在图1中，点是的2倍点，但点不是的2倍点．
（1）特值尝试．
①若，图1中，点______是的2倍点．（填或）
②若，如图2，，为数轴上两个点，点表示的数是，点表示的数是4，数______表示的点是的3倍点．
（2）周密思考：
图2中，一动点从出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向左运动秒，若恰好是和两点的倍点，求所有符合条件的的值．（用含的式子表示）
（3）拓展应用
数轴上两点间的距离不超过30个单位长度时，称这两点处于“可视距离”．若（2）中满足条件的和两点的所有倍点均处于点的“可视距离”内，请直接写出的取值范围．（不必写出解答过程）
9．阅读材料：如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作．
例如，，，，那么，，其中．
例如，，，．
请你解决下列问题：
（1）__________，__________；
（2）如果，那么x的取值范围是__________；
（3）如果，那么x的值是__________；
（4）如果，其中，且，求x的值．
10．若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解满足﹣1≤x﹣y≤1，则称方程ax+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“友好方程”．例如：方程2x﹣1＝0的解是x＝0.5，方程y﹣1＝0的解是y＝1，因为﹣1≤x﹣y≤1，方程2x﹣1＝0与方程y﹣1＝0是“友好方程”．
（1）请通过计算判断方程2x﹣9＝5x﹣2与方程5（y﹣1）﹣2（1﹣y）＝﹣34﹣2y是不是“友好方程”．
（2）若关于x的方程3x﹣3+4（x﹣1）＝0与关于y的方程+y＝2k+1是“友好方程”，请你求出k的最大值和最小值．
11．如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程．
（1）在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是___________．（填序号）
（2）若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是___________．（写出一个即可）
（3）若方程都是关于的不等式组的关联方程，求的取值范围．
12．阅读理解：
例1．解方程|x|＝2，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2，所以方程|x|＝2的解为x＝±2．
例2．解不等式|x﹣1|＞2，在数轴上找出|x﹣1|＝2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为﹣1或3，所以方程|x﹣1|＝2的解为x＝﹣1或x＝3，因此不等式|x﹣1|＞2的解集为x＜﹣1或x＞3．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程|x﹣2|＝3的解为 ；
（2）解不等式：|x﹣2|≤1．
（3）解不等式：|x﹣4|+|x+2|＞8．
（4）对于任意数x，若不等式|x+2|+|x﹣4|＞a恒成立，求a的取值范围．
13．对于三个数，，，表示，，这三个数的平均数，表示，，这三个数中最小的数，如：
，；
，．
解决下列问题：
（1）填空：______；
（2）若，求的取值范围；
（3）①若，那么______；
②根据①，你发现结论“若，那么______”（填，，大小关系）；
③运用②解决问题：若，求的值．
14．我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”．
（1）请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由；
①；
②．
（2）若关于x的组合是“有缘组合”，求a的取值范围；
（3）若关于x的组合是“无缘组合”；求a的取值范围．
15．若一个不等式（组）A有解且解集为，则称为A的解集中点，若A的解集中点是不等式（组）B的解，则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含．
（1）已知关于x的不等式组A：，以及不等式B：，那么不等式B对于不等式组A________（填“是”或“否”）中点包含；
（2）已知关于x的不等式组Q：，以及不等式P：，若P对于不等式组Q中点包含，则a的取值范围是______．
（3）关于x的不等式组S：，以及不等式组T：，若不等式组T对于不等式组S中点包含，求m需要满足何种条件？
16．对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）=ax+2by﹣1（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）=a•0+2b•1﹣1=2b﹣1．
（1）已知T（1，﹣1）=﹣2，T（4，2）=3．
①求a，b的值；
②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围；
（2）若T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？
17．若任意一个代数式，在给定的范围内求得的最大值和最小值恰好也在该范围内，则称这个代数式是这个范围的“湘一代数式”．例如：关于x的代数式，当1x 1时，代数式在x1时有最大值，最大值为1；在x0时有最小值，最小值为0，此时最值1，0均在1x1这个范围内，则称代数式是1x1的“湘一代数式”．
（1）若关于的代数式，当时，取得的最大值为 ，最小值为 ，所以代数式 （填“是”或“不是”）的“湘一代数式”．
（2）若关于的代数式是的“湘一代数式”，求a的最大值与最小值．
（3）若关于的代数式是的“湘一代数式”，求m的取值范围．
18．我们定义，关于同一个未知数的不等式和，若的解都是的解，则称与存在“雅含”关系，且不等式称为不等式的“子式”．
如，，满足的解都是的解，所以与存在“雅含”关系，是的“子式”．
（1）若关于的不等式，，请问与是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁是谁的“子式”；
（2）已知关于的不等式，，若与存在“雅含”关系，且是的“子式”，求的取值范围；
（3）已知，，，，且为整数，关于的不等式，，请分析是否存在，使得与存在“雅含”关系，且是的“子式”，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
19．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记作，即：当n为非负整数时，若n－≤x＜n＋，则=n．如：<0>=<0.48>=0，<0.64>=<1.493>=1，<2>=2，<3.5>=<4.12>=4，….
（1）填空：
①<π>=_____；
②如果<2x－1>=3，则实数x的取值范围为_______；
（2）举例说明＝＋不恒成立；
（3）求满足=x的所有非负实数x的值．
20．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 同学们，我们把学习新的数学知识的时候，经常利用“化归“的数学思想方法解决问题，比如，我们在学习二元一次方程组的解法时，是通过“消元”的方法将二元方程化归成我们所 熟悉的一元方程，从而正确求解．下面我们就利用“化归”的数学方法解决新的问题． 首先，我们把像这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式，称为一元二次不等式．通过以前的学习，我们已经认识了一无一次不等式、一元一次不等式组并掌握 了它们的解法．同学们，你们能类比一元一次不等式（组）的解法求出一元二次不等式的解 集吗？ 例题：解一元二次不等式分析：为了解决这个问题，我们需要将一元二次不等式“化归”到一元一次不等式（组），通过平方差公式的逆用，我们可以把写成的形式，从面将转化为，然后再利用两数相乘的符号性质将一元二次不等式转化成一元一次不等式（组），从而解决问题．
解：
可化为
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得①②
解不等式组①，
解不等式组②，
即一元二次不等式的解集为
拓展应用：
求一元二次不等式的解集．
求分式不等式的解集．
求一元二次不等式的解集．
21．已知，为有理数，且，不为0，则定义有理数对的“求真值”为，如有理数数对的“求真值”为，有理数对的“求真值”为．
（1）求有理数对的“求真值”；
（2）求证：有理数对与的“求真值”相等；
（3）若的“求真值”的绝对值为，若，求的值．
22．四个数分别是，满足，(且为正整数，)．
若.
①当时，求的值；
②对于给定的有理数，满足，请用含的代数式表示；
若 ，，且，试求的最大值．
23．自学下面材料后，解答问题
分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式，如：；等那么如何求出它们的解集呢？
根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负其字母表达式为：
若，，则；若，，则
若，，则；若，，则
反之：若，则或
若，则______或______．
根据上述规律
求不等式的解集．
直接写出一个解集为或的最简分式不等式．
24．全民健身和医疗保健是社会普遍关注的问题，2019年，某社区共投入60万元用于购买健身器材和药品．
（1）若2019年社区购买健身器材的费用不超过总投入的，问2019年最低投入多少万元购买药品？
（2）2020年，该社区购买健身器材的费用比上一年增加50%，购买药品的费用比上一年减少，但社区在这两方面的总投入仍与2019年相同．
①求2019年社区购买药品的总费用；
②据统计，2019年该社区积极健身的家庭达到200户，社区用于这些家庭的药品费用明显减少，只占当年购买药品总费用的，与2019年相比，如果2020年社区内健身家庭户数增加的百分比与平均每户健身家庭的药品费用降低的百分比相同，那么，2020年该社区用于健身家庭的药品费用就是当年购买健身器材费用的，求2020年该社区健身家庭的户数．
25．我国东南沿海某地的风力资源丰富，一年风力日平均风速不小于的时间共约160天，其中日平均风速不小于时间约占60，为了充分利用风能这种绿色资源，该地拟建一个小型风力发电厂，决定选用A、B两种型号的风力发电机。根据产品说明，这两种风力发电机在各种风速下的日发电量（即一天的发电量）如下表：
根据上面的数据回答：
（1）若这个发电厂购买x台A型风力发电机，则预计这些A型风力发电机一年的发电总量至少为_______；
（2）已知A型风力发电机每台0.3万元，B型风力发电机每台0.2万元，该发电厂拟购买风力发电机共10台，希望购机的费用不超过2.6万元，而建成的风力发电机厂每年的发电量不少于，请你提供符合条件的购机方案。
26．上周“双十二”瑞安某书店开展优惠购书活动：各类课外书活动时每本销售价格为y元，活动前每本销售价格为x（）元，且y是x的一次函数，其中A类课外书与B类课外书活动前与活动时的价格如下表：
（1）求y关于x的一次函数表达式.
（2）当天小明购买了一本课外书，花费了24元，该课外书活动前的每本销售价格是多少元？
（3）在“双十二”优惠活动中，某学校花费不超过1900元，购买A、B两类课外书共100本，且B类课外书不超过70本，则可能有哪几种购书方案？
日平均风速v（m/s）
日发电量
A型
0
B型
0
图书类别
活动前的每本销售价格x（单位：元）
活动时的每本销售价格y（单位：元）
A类
28
21
B类
21
18
特训04 一元一次不等式（组） 压轴题
一、解答题
1．若三个代数式满足：只要其中有两个代数式之和大于另外一个代数式的解集为大于1的实数，则称这三个代数式构成“雅礼不等式”．例如：三个代数式有：当时的解集为，则称构成“雅礼不等式”．
(1)可以构成“雅礼不等式”吗？请说明理由；
(2)若构成“雅礼不等式”，求a的值或取值范围；
(3)若构成“雅礼不等式”，求关于x的不等式组的解集．
【答案】(1)可以，理由见解析
(2)
(3)或
【分析】（1）由x-2+x+1＞1，即2x-1＞1的解集为x＞1即可得出答案；
（2）分ax+a+1＞x、ax+x＞a+1、a+1+x＞ax三种情况分别求解即可；
（3）分-2nx+x＞mx+m、mx+m+n＞-2nx、mx+n-2nx＞n三种情况，依据新定义得出m、n之间的数量关系及m、n的正负情况，再代入方程组消掉m或n，进一步求解即可．
(1)
x-2，1，x+1可以构成“雅礼不等式”，
∵x-2+x+1＞1，即2x-1＞1的解集为x＞1，
∴x-2，1，x+1可以构成“雅礼不等式”．
(2)
①当时
此时要求且
无解
②当时
此时要求
则
③当时
此时要求且
无解
综上所述：
(3)
①当时
则
因为构成“雅礼不等式”
∴
解得
代入求得
②当时
则
因为构成“雅礼不等式”
∴
解得
代入求得
③当时
则
因为构成“雅礼不等式”
∴
解得
代入求得
综上所述：或
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是根据“雅礼不等式”的定义列出对应的不等式，从中得出m、n之间的数量关系及其符号．
2．若不等式（组）只有个正整数解（为自然数），则称这个不等式（组）为阶不等式（组）．
我们规定：当时，这个不等式（组）为0阶不等式（组）．
例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式．
不等式组只有3个正整数解，因此称其为3阶不等式组．
请根据定义完成下列问题：
(1)是 阶不等式；是 阶不等式组；
(2)若关于的不等式组 是4阶不等式组，求的取值范围；
(3)关于的不等式组 的正整数解有，，，，…，其中…．如果 是阶不等式组，且关于的方程的解是 的正整数解，直接写出的值以及的取值范围．
【答案】(1)0、1
(2)
(3)；
【分析】（1）求出题中的不等式（组）的解集，再根据已知所给定义即可得到解答；
（2）首先根据已知求出原不等式组的正整数解并用数轴表示出来，然后可得a的取值范围；
（3）根据已知可得关于m的方程，求出m后可以用数轴表示出不等式组的正整数解，根据数轴即可得到的取值范围．
（1）
∵没有正整数解，
∴是0阶不等式，
解可得1∴有一个正整数解2，
∴是1阶不等式组，
故答案为0，1；
（2）
如图，
由题意可得有4个正整数解：1、2、3、4；
∴的取值范围是；
（3）
∵，
∴x=，a3=，
∴m为偶数，且am-3=m-1，
∴+m-6=m-1，
∴m=10，
∴可得图如下所示：

∴的取值范围是．
【点睛】本题考查新定义有理数运算的综合应用，熟练掌握不等式（组）的求解及用数轴表示解集是解题关键．
3．对于任意一个四位数N，如果N满足各个数位上的数字互不相同，且个位数字不为0，N的百位数字与十位数字之差是千位数字与个位数字之差的2倍，则称这个四位数N为“双减数”，对于一个“双减数”，将它的千位和百位构成的两位数为，个位和十位构成的两位数为，规定：．
例如：N=7028，因为，所以7028是一个“双减数”，则
(1)判断3401，5713是否是“双减数”，并说明理由；如果是，求出的值；
(2)若“双减数”M的各个数位上的数字之和能被11整除，且是3的倍数，求M的值．
【答案】(1)3401是“双减数；F（3401）=2；5713不是“双减数”．
(2)M=4601或1064．
【分析】（1）根据“双减数”的定义判断并求值即可；
（2）设M=1000a+100b+10c+d，根据“双减数”的性质可推导得：a=d+3，b=c+6，再分两种情况讨论即可：①当a+b+c+d=11时，②当a+b+c+d=22时．
【解析】（1）解：∵4-0=4=2×（3-1），7-1=6≠2×（5-3），且满足各个位上的数字互不相等，且个位数字不为0，
∴3401是“双减数，5713不是“双减数”．
∴F（3401）==2．
∵7-1=6，5-3=2，不满足“双减数”的定义，
∴5713不是“双减数”．
（2）设M=1000a+100b+10c+d，由题意可知：F（M）是3的倍数，且M各个数位上的数字之和能被11整除，且百位数与十位数之差是千位数与个位数之差的两倍．
∴=3k（k均为整数）①，a+b+c+d=11n（n为正整数）②，b-c=2（a-d）③．
∵-10＜b-c＜10，
∴-5＜a-d＜5，
由①知，10a+d-（10d+c）=36k，
∴10（a-d）+（b-c）=36k，
∴12（a-d）=36k，
∴a-d=3k，
∴k=-1或k=1，即a-d=-3或a-d=3．
当a-d=-3时，b-c=-6，
∴a=d-3，b=c-6，
代入②得，d-3+c-6+c+d=11n，
当a-d=3时，b-c=6，
∴a=d+3，b=c+6，
代入②得，d+3+c+6+c+d=11n，
根据“双减数”的性质可得：a+b+c+d的最大值为30，最小值为6，
∴6≤a+b+c+d≤30，
∴a+b+c+d只能取11或22．
当a+b+c+d=11时，可得d+c=1或d+c=10；
当d+c=1时，d与c的值可能为
，（舍去），
∴，
∴a=1+3=4，b=0+6=6，
∴M=4601；
当d+c=10时，a+b=1，则或（舍去），
∴，此时，c=6，d=4．
∴M=1064；
当a+b+c+d=26时，可得d+c=（舍）或d+c=（舍）．
∴M=4601或1064．
【点睛】此题考查了新定义下的实数运算问题，解题的关键是根据新定义的运算规则求解．
4．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”．
(1)在方程①；②；③中，不等式组的“相依方程”是________；（填序号）
(2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围；
(3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围．
【答案】(1)①
(2)
(3)
【分析】（1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可；
（2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组解不等式组可得答案；
（3）先解不等式组可得 再根据此时不等式组有5个整数解，令整数的值为：再求解 而为整数，则 可得 再解方程可得 可得 解得 从而可得答案．
【解析】（1）解：①，
整理得： 解得：
②，
解得：
③，
解得：
解不等式可得：
解不等式可得：
所以不等式组的解集为：
根据新定义可得：方程①是不等式组的“相依方程”．
故答案为：①
（2）解：
由①得：
由②得：
所以不等式组的解集为：
，

根据“相依方程”的含义可得：


解得：
（3）解：
由①得：
由②得：
∴不等式组的解集为：
此时不等式组有5个整数解，
令整数的值为：

∴
则
解得： 而为整数，则


因为，
解得：
根据“相依方程”的含义可得：
解可得：
而恒成立，
所以不等式组的解集为：
综上：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键．
5．【提出问题】已知，且，，试确定的取值范围．
【分析问题】先根据已知条件用去表示，然后根据题中已知的取值范围，构建的不等式，从而确定的取值范围，同理再确定的取值范围，最后利用不等式的性质即可解决问题．
【解决问题】解：，．
，，．
，，
同理，得．
由，得，
的取值范围是．
【尝试应用】（1）已知，且，，求的取值范围；
（2）已知，，若成立，求的取值范围结果用含的式子表示．
【答案】（1）；（2）当时，
【分析】（1）仿照例子，运算求解即可；
（2）仿照例子，注意确定不等式有解集时a的取值范围即当时，关于x、y的不等式存在解集，然后运算求解即可．
【解析】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，①
同理，得，②
由①+②，得，
∴的取值范围是．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，，①
同理，得，②
由①+②，得，
∴的取值范围是．
【点睛】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式．能够仿照例子结合不等式的基本性质作答是解题的关键．
6．新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则；反之，当为非负整数时，如果，则．
例如：
试解决下列问题：
(1)填空：①_________（为圆周率）；②如果，则实数x的取值范围为_________；
(2)若关于的不等式组的整数解恰有3个，求a的取值范围；
(3)求满足的所有非负实数x的值．
【答案】(1)①3；②3.5≤x＜4.5；
(2)1.5≤a＜2.5；
(3)0，，．
【分析】（1）①利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出＜π＞的值；
②利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出x的取值范围；
（2）首先将＜a＞看作一个字母，解不等式组进而根据整数解的个数得出a的取值范围；
（3）利用＜x＞设，k为整数，得出关于k的不等关系求出即可．
【解析】（1）①由题意可得：＜π＞=3；
故答案为：3，
②∵＜x-1＞=3，
∴2.5≤x-1＜3.5
∴3.5≤x＜4.5；
故答案为：3.5≤x＜4.5；
（2）解不等式组得：-1≤x＜＜a＞，
由不等式组整数解恰有3个得，1＜＜a＞≤2，
故1.5≤a＜2.5；
（3）∵x≥0，为整数，
设=k，k为整数，则x=k，
∴＜k＞=k，
∴k-≤k＜k+，k≥0，
∴0≤k≤2，
∴k=0，1，2，
则x=0，，．
【点睛】此题主要考查了新定义以及一元一次不等式的应用，根据题意正确理解＜x＞的意义是解题关键．
7．如图，点A和点B在数轴上分别对应数a和b，其中a和b满足（a+4）2＝﹣|8﹣b|，原点记作O．
（1）求a和b；
（2）数轴有一对动点A1和B1分别从点A和B出发沿数轴正方向运动，速度分别为1个单位长度/秒和2个单位长度/秒．
①经过多少秒后满足AB1＝3A1B？
②另有一动点O1从原点O以某一速度出发沿数轴正方向运动，始终保持在与之间，且满足，运动过程中对于确定的m值有且只有一个时刻t满足等式：AO1+BO1＝m，请直接写出符合条件m的取值范围．
【答案】（1）；（2）①或；②
【分析】（1）先把条件化为：再利用非负数的性质可得：；
（2）①先表示对应的数分别为： 再求解再结合已知AB1＝3A1B，列方程，再解方程即可；②设的速度为每秒个单位，则对应的数为 再表示 代入 可得： 再表示 再结合已知可得答案.
【解析】解：（1）


解得：
（2）①由（1）得：对应的数分别为
动点A1和B1分别从点A和B出发沿数轴正方向运动，速度分别为1个单位长度/秒和2个单位长度/秒，
对应的数分别为： 如图，

AB1＝3A1B，

或
解得：或
②设的速度为每秒个单位，则对应的数为


解得： 经检验：符合题意；

当时，即时，
当时，即时，
运动过程中对于确定的m值有且只有一个时刻t满足等式：AO1+BO1＝m，
此时



即符合条件的m的取值范围为：
【点睛】本题考查的是非负数的性质，数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，绝对值方程的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，熟练的应用以上知识解题是关键.
8．阅读理解：
定义：，，为数轴上三点，若点到点的距离是它到点的时距离的（为大于1的常数）倍，则称点是的倍点，且当是的倍点或的倍点时，我们也称是和两点的倍点．例如，在图1中，点是的2倍点，但点不是的2倍点．
（1）特值尝试．
①若，图1中，点______是的2倍点．（填或）
②若，如图2，，为数轴上两个点，点表示的数是，点表示的数是4，数______表示的点是的3倍点．
（2）周密思考：
图2中，一动点从出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向左运动秒，若恰好是和两点的倍点，求所有符合条件的的值．（用含的式子表示）
（3）拓展应用
数轴上两点间的距离不超过30个单位长度时，称这两点处于“可视距离”．若（2）中满足条件的和两点的所有倍点均处于点的“可视距离”内，请直接写出的取值范围．（不必写出解答过程）
【答案】（1）①B；②7或；（2）或或；（3）n≥．
【分析】（1）①直接根据新定义的概念即可求出答案；
②根据新定义的概念列出绝对值方程即可求解；
（2）设P点所表示的数为4-2t，再根据新定义的概念列出方程即可求解；
（3）分，，三种情况分别表示出PN的值，再根据PN的范围列出不等式组即可求解．
【解析】（1）①由数轴可知，点A表示的数为-1，点B表示的数为2，点C表示的数为1，点D表示的数为0，
∴AD=1，AC=2
∴AD=AC
∴点A不是的2倍点
∴BD=2，BC=1
∴BD=2BC
∴点B是的2倍点
故答案为：B；
②若点C是点的3倍点
∴CM=3CN
设点C表示的数为x
∴CM=，CN=
∴ =3
即或
解得x=7或x=
∴数7或表示的点是的3倍点．
故答案为：7或；
（2）设点P表示的数为4-2t，
∴PM=，PN=2t
∵若恰好是和两点的倍点，
∴当点P是的n倍点
∴PM=nPN
∴=n×2t
即6-2t=2nt或6-2t=-2nt
解得或
∵n＞1
∴
∴当点P是的n倍点
∴PN=nPM
∴2t=n×
即2t= n×或-2t= n×
解得或
∴符合条件的t值有或或；
（3）∵PN=2t
∴当时，PN=
当时，PN=，
当时，PN=
∵点P均在点N的可视距离之内
∴PN≤30
∴
解得n≥
∴n的取值范围为n≥．
【点睛】此题主要考查主要方程与不等式组的应用，解题的关键是根据新定义概念列出方程或不等式求解．
9．阅读材料：如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作．
例如，，，，那么，，其中．
例如，，，．
请你解决下列问题：
（1）__________，__________；
（2）如果，那么x的取值范围是__________；
（3）如果，那么x的值是__________；
（4）如果，其中，且，求x的值．
【答案】（1）4，-7；（2）；（3）；（4）或或或
【分析】（1）根据表示不超过x的最大整数的定义及例子直接求解即可；
（2）根据表示不超过x的最大整数的定义及例子直接求解即可；
（3）由材料中“，其中”得出，解不等式，再根据3x+1为整数，即可计算出具体的值；
（4）由材料中的条件可得，由，可求得的范围，根据为整数，分情况讨论即可求得x的值．
【解析】（1），．
故答案为：4，-7．
（2）如果． 那么x的取值范围是．
故答案为：．
（3）如果，那么．
解得：
∵是整数．
∴．
故答案为：．
（4）∵，其中，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，0，1，2．
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
∴或或或．
【点睛】本题考查了新定义下的不等式的应用，关键是理解题中的意义，列出不等式求解；最后一问要注意不要漏了情况．
10．若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解满足﹣1≤x﹣y≤1，则称方程ax+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“友好方程”．例如：方程2x﹣1＝0的解是x＝0.5，方程y﹣1＝0的解是y＝1，因为﹣1≤x﹣y≤1，方程2x﹣1＝0与方程y﹣1＝0是“友好方程”．
（1）请通过计算判断方程2x﹣9＝5x﹣2与方程5（y﹣1）﹣2（1﹣y）＝﹣34﹣2y是不是“友好方程”．
（2）若关于x的方程3x﹣3+4（x﹣1）＝0与关于y的方程+y＝2k+1是“友好方程”，请你求出k的最大值和最小值．
【答案】（1）是；（2）k的最小值为﹣，最大值为
【分析】（1）分别解出两个方程，得到x﹣y的值，即可确定两个方程是“友好方程”；
（2）分别解两个方程为x＝1，，再由已知可得﹣1≤≤1，求出k的取值范围为即可求解．
【解析】解：（1）由2x﹣9＝5x﹣2，解得x＝，
由5（y﹣1）﹣2（1﹣y）＝﹣34﹣2y，解得y＝﹣3，
∴x﹣y＝，
∴﹣1≤x﹣y≤1，
∴方程2x﹣9＝5x﹣2与方程5（y﹣1）﹣2（1﹣y）＝﹣34﹣2y是“友好方程”；
（2）由3x﹣3+4（x﹣1）＝0，解得x＝1，
由，解得，
∵两个方程是“友好方程”，
∴﹣1≤x﹣y≤1，
∴﹣1≤≤1，
∴
∴k的最小值为﹣，最大值为．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程和解一元一次不等式组，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
11．如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程．
（1）在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是___________．（填序号）
（2）若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是___________．（写出一个即可）
（3）若方程都是关于的不等式组的关联方程，求的取值范围．
【答案】（1）①；（2）；（3）
【分析】（1）分别解不等式组和各一元一次方程，再根据“关联方程”的定义即可判断；
（2）解不等式组得出其整数解，再写出以此整数解为解得一元一次方程即可得；
（3）解一元一次方程得出方程的解，解不等式组得出：，根据不等式组整数解的确定可得答案．
【解析】解：（1）解不等式组得，
解①得：，，故①是不等式组的关联方程；
解②得：，不在内，故②不是不等式组的关联方程；
解③得：，不在内，故③不是不等式组的关联方程；
故答案为：①；
（2）解不等式组得：
因此不等式组的整数解可以为，
则该不等式的关联方程为．
故答案为：．
（3）解方程得，，解方程得，，
不等式组，得：，
由题意，和是不等式组的解，
，
解得，
的取值范围为．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式和一元一次方程，解题的关键是理解并掌握“关联方程”的定义和解一元一次不等式、一元一次方程的能力．
12．阅读理解：
例1．解方程|x|＝2，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2，所以方程|x|＝2的解为x＝±2．
例2．解不等式|x﹣1|＞2，在数轴上找出|x﹣1|＝2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为﹣1或3，所以方程|x﹣1|＝2的解为x＝﹣1或x＝3，因此不等式|x﹣1|＞2的解集为x＜﹣1或x＞3．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程|x﹣2|＝3的解为 ；
（2）解不等式：|x﹣2|≤1．
（3）解不等式：|x﹣4|+|x+2|＞8．
（4）对于任意数x，若不等式|x+2|+|x﹣4|＞a恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）x=-1或x=5；（2）1≤x≤3；（3）x＞5或x＜-3；（4）a<6
【分析】（1）利用在数轴上到2对应的点的距离等于3的点对应的数求解即可；
（2）先求出|x-2|=3的解，再求|x-2|≤3的解集即可；
（3）先在数轴上找出|x-4|+|x+2|=8的解，即可得出不等式|x-4|+|x+2|＞8的解集；
（4）原问题转化为：a大于或等于|x+2|+|x-4|最大值，进行分类讨论，即可解答．
【解析】解：（1）∵在数轴上到2对应的点的距离等于3的点对应的数为-1或5，
∴方程|x-2|=3的解为x=-1或x=5；
（2）在数轴上找出|x-2|=1的解．
∵在数轴上到2对应的点的距离等于1的点对应的数为1或3，
∴方程|x-2|=1的解为x=1或x=3，
∴不等式|x-2|≤1的解集为1≤x≤3．
（3）在数轴上找出|x-4|+|x+2|=8的解．
由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到4和-2对应的点的距离之和等于8的点对应的x的值．
∵在数轴上4和-2对应的点的距离为6，
∴满足方程的x对应的点在4的右边或-2的左边．
若x对应的点在4的右边，可得x=5；若x对应的点在-2的左边，可得x=-3，
∴方程|x-4|+|x+2|=8的解是x=5或x=-3，
∴不等式|x-4|+|x+2|＞8的解集为x＞5或x＜-3．
（4）原问题转化为：a小于|x+2|+|x-4|最大值．
当x≥4时，|x+2|+|x-4|=x+2+x-4=2x-2，
当-2＜x＜4，|x+2|+|x-4|=x+2-x+4=6，
当x≤-2时，|x+2|+|x-4|=-x-2-x+4=-2x+2，
即|x+2|+|x-4|的最小值为6．
故a<6．
【点睛】本题主要考查了绝对值，方程及不等式的知识，是一道材料分析题，通过阅读材料，同学们应当深刻理解绝对值得几何意义，结合数轴，通过数形结合对材料进行分析来解答题目．
13．对于三个数，，，表示，，这三个数的平均数，表示，，这三个数中最小的数，如：
，；
，．
解决下列问题：
（1）填空：______；
（2）若，求的取值范围；
（3）①若，那么______；
②根据①，你发现结论“若，那么______”（填，，大小关系）；
③运用②解决问题：若，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）①1，②，③
【分析】（1）先求出这些数的值，再根据运算规则即可得出答案；
（2）先根据运算规则列出不等式组，再进行求解即可得出答案；
（3）根据题中规定的表示，，这三个数的平均数，表示，，这三个数中最小的数，列出方程组即可求解．
【解析】（1），
，
故答案为：-4；
（2）由题意得： ，
解得：，
则x的取值范围是：；
（3），
，
，
；
若，则；
根据得：
，
解得：，
则，
故答案为：1，．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题关键是读懂题意，根据题意结合方程和不等式去求解，考查综合应用能力．
14．我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”．
（1）请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由；
①；
②．
（2）若关于x的组合是“有缘组合”，求a的取值范围；
（3）若关于x的组合是“无缘组合”；求a的取值范围．
【答案】（1）①组合是“无缘组合”，②组合是“有缘组合”；（2）a＜-3；（3）a<
【分析】（1）先求方程的解，再解不等式，根据“有缘组合”和“无缘组合“的定义，判断即可；
（2）先解方程和不等式，然后根据“有缘组合”的定义求a的取值范围；
（3）先解方程和不等式，然后根据“无缘组合”的定义求a的取值范围．
【解析】解：（1）①∵2x-4＝0，
∴x=2，
∵5x-2＜3，
∴x＜1，
∵2不在x＜1范围内，
∴①组合是“无缘组合”；
②，
去分母，得：2（x-5）＝12-3（3-x），
去括号，得：2x-10＝12-9+3x，
移项，合并同类项，得：x＝-13．
解不等式，
去分母，得：2（x+3）-4＜3-x，
去括号，得：2x+6-4＜3-x，
移项，合并同类项，得：3x＜1，
化系数为1，得：x＜．
∵-13在x＜范围内，
∴②组合是“有缘组合”；
（2）解方程5x+15＝0得，
x＝-3，
解不等式，得：
x＞a，
∵关于x的组合是“有缘组合”，
∴-3在x＞a范围内，
∴a＜-3；
（3）解方程，
去分母，得5a-x-6＝4x-6a，
移项，合并同类项，得：5x＝11a-6，
化系数为1得：x＝，
解不等式+1≤x+a，
去分母，得：x-a+2≤2x+2a，
移项，合并同类项，得：x≥-3a+2，
∵关于x的组合是“无缘组合，
∴<-3a+2，
解得：a<．
【点睛】本题考查一元一次不等式组和新定义，关键是对“有缘组合”与“无缘组合”的理解．
15．若一个不等式（组）A有解且解集为，则称为A的解集中点，若A的解集中点是不等式（组）B的解，则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含．
（1）已知关于x的不等式组A：，以及不等式B：，那么不等式B对于不等式组A________（填“是”或“否”）中点包含；
（2）已知关于x的不等式组Q：，以及不等式P：，若P对于不等式组Q中点包含，则a的取值范围是______．
（3）关于x的不等式组S：，以及不等式组T：，若不等式组T对于不等式组S中点包含，求m需要满足何种条件？
【答案】（1）是；（2）a≥-2.5；（3）-6＜m＜
【分析】（1）求得不等式组的解集中点，根据新定义判断即可；
（2）求得不等式组的解集中点，代入不等式计算即可求出值；
（3）求得不等式组的解集中点，代入不等式组，计算求出的取值即可．
【解析】解：（1）由解得，，
解集中点为，
不等式，
不等式对于不等式组是中点包含，
故答案为：是；
（2）不等式组的解集为，
解集中点为，
对于不等式组中点包含，
代入得，
解得，
故答案为；
（3）不等式组的解集为：且，
且，
解集中点为，
不等式组对于不等式组中点包含，
，
解得．
【点睛】本题考查了新定义，解一元一次不等式组，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
16．对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）=ax+2by﹣1（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）=a•0+2b•1﹣1=2b﹣1．
（1）已知T（1，﹣1）=﹣2，T（4，2）=3．
①求a，b的值；
②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围；
（2）若T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？
【答案】（1）①a=1，b=3；②-2≤p＜-；（2）a=2b．
【分析】（1）①按题意的运算可得方程组，即可求得a、b的值；
②按题意的运算可得不等式组，即可求得p的取值范围；
（2）由题意可得ax+2by-1= ay+2bx-1，从而可得a="2b" ；
【解析】（1）①由题意可得 ，解得；
②由题意得，解得 ，因为原不等式组有2个整数解，所以， 所以 ；
（2）T（x，y）="ax+2by-1," T（y，x）="ay+2bx-1" ，
所以ax+2by-1= ay+2bx-1,
所以（a-2ba）x-（a-2b）y=0,（a-2b）（x-y）=0,
所以a=2b
17．若任意一个代数式，在给定的范围内求得的最大值和最小值恰好也在该范围内，则称这个代数式是这个范围的“湘一代数式”．例如：关于x的代数式，当1x 1时，代数式在x1时有最大值，最大值为1；在x0时有最小值，最小值为0，此时最值1，0均在1x1这个范围内，则称代数式是1x1的“湘一代数式”．
（1）若关于的代数式，当时，取得的最大值为 ，最小值为 ，所以代数式 （填“是”或“不是”）的“湘一代数式”．
（2）若关于的代数式是的“湘一代数式”，求a的最大值与最小值．
（3）若关于的代数式是的“湘一代数式”，求m的取值范围．
【答案】（1）是．（2）a的最大值为，最小值为；（3）
【分析】（1）先求解当时，的最大值与最小值，再根据定义判断即可；
（2）当时，得分 ＜，分别求解在内时的最大值与最小值，再列不等式组即可得到答案；
（3）当时，分，两种情况分别求解的最大值与最小值，再列不等式（组）求解即可．
【解析】解：（1）
当时，取最大值，
当时，取最小值
所以代数式是的“湘一代数式”．
故答案为：是．
（2）∵，
∴0≤|x|≤2，
∴
①当a≥0时，x=0时， 有最大值为，
x=2或-2时，有最小值为
所以可得不等式组，
由①得：
由②得：
所以：
②a＜0时，x=0时， 有最小值为，
x=2或-2时， 的有大值为
所以可得不等式组，
由①得：
由②得：
所以：＜，
综上①②可得，
所以a的最大值为，最小值为．
（3） 是的“湘一代数式”，
当时，的最大值是 最小值是

当时，
当时，取最小值
当时，取最大值，

解得：
综上：的取值范围是：
【点睛】本题考查的是新定义情境下的不等式或不等式组的应用，理解定义列不等式（组）是解题的关键．
18．我们定义，关于同一个未知数的不等式和，若的解都是的解，则称与存在“雅含”关系，且不等式称为不等式的“子式”．
如，，满足的解都是的解，所以与存在“雅含”关系，是的“子式”．
（1）若关于的不等式，，请问与是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁是谁的“子式”；
（2）已知关于的不等式，，若与存在“雅含”关系，且是的“子式”，求的取值范围；
（3）已知，，，，且为整数，关于的不等式，，请分析是否存在，使得与存在“雅含”关系，且是的“子式”，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A与B存在“雅含”关系，B是A的“子式”；（2）；（3）存在，．
【分析】（1）根据“雅含”关系的定义即可判断；
（2）先求出解集，根据“雅含”关系的定义得出，解不等式即可；
（3）首先解关于的方程组即可求得的值，然后根据，，且为整数即可得到一个关于的范围，从而求得的整数值．
【解析】解：（1）不等式A：x+2＞1的解集为，
∵
∴A与B存在“雅含”关系，B是A的“子式”；
（2）不等式，解得：，
不等式：，解得：，
∵与存在“雅含”关系，且是的“子式”，
∴，解得：，
（3）存在；
由解得：，
∵，，即：，解得：，
∵为整数，
∴的值为，
解不等式得：，
解不等式得：，
∵与存在“雅含”关系，且是的“子式”，
∴不等式的解集为：，
∴，且，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查了不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，大小小大中间找，大大小小无解．
19．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记作，即：当n为非负整数时，若n－≤x＜n＋，则=n．如：<0>=<0.48>=0，<0.64>=<1.493>=1，<2>=2，<3.5>=<4.12>=4，….
（1）填空：
①<π>=_____；
②如果<2x－1>=3，则实数x的取值范围为_______；
（2）举例说明＝＋不恒成立；
（3）求满足=x的所有非负实数x的值．
【答案】（1）3；；（2）见解析；（3）0、、．
【分析】（1）①π的十分位为1，应该舍去，所以精确到个位是3；
②如果精确数是3，那么这个数应在2.5和3.5之间，包括2.5，不包括3.5，让2.5≤2x-1＜3.5，解不等式即可；
（2）举出反例说明即可，譬如稍微超过0.5的两个数相加；
（3）x为整数，设这个整数为k，易得这个整数应在应在k-和k+之间，包括k-，不包括k+，求得整数k的值即可求得x的非负实数的值；
【解析】解：（1）①∵π≈3.14，
∴<π>=3；
②由题意得：2.5≤2x-1＜3.5，解得：
≤x＜；
（2）举反例：＜0.6＞+＜0.7＞=1+1=2，而＜0.6+0.7＞=＜1.3＞=1，
∴＜0.6＞+＜0.7＞≠＜0.6+0.7＞，
∴＜x+y＞=＜x＞+＜y＞不一定成立；
（3）∵x≥0，x为整数，设x=k，k为整数，
则x＝k，
∴＜k＞＝k，
∴k−≤k＜k+，k≥0，
∵0≤k≤2，
∴k=0，1，2，
∴x=0，，．
【点睛】考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是理解：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n-≤x＜n+，则＜x＞=n．
20．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 同学们，我们把学习新的数学知识的时候，经常利用“化归“的数学思想方法解决问题，比如，我们在学习二元一次方程组的解法时，是通过“消元”的方法将二元方程化归成我们所 熟悉的一元方程，从而正确求解．下面我们就利用“化归”的数学方法解决新的问题． 首先，我们把像这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式，称为一元二次不等式．通过以前的学习，我们已经认识了一无一次不等式、一元一次不等式组并掌握 了它们的解法．同学们，你们能类比一元一次不等式（组）的解法求出一元二次不等式的解 集吗？ 例题：解一元二次不等式分析：为了解决这个问题，我们需要将一元二次不等式“化归”到一元一次不等式（组），通过平方差公式的逆用，我们可以把写成的形式，从面将转化为，然后再利用两数相乘的符号性质将一元二次不等式转化成一元一次不等式（组），从而解决问题．
解：
可化为
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得①②
解不等式组①，
解不等式组②，
即一元二次不等式的解集为
拓展应用：
求一元二次不等式的解集．
求分式不等式的解集．
求一元二次不等式的解集．
【答案】（1）x＞4或x＜-4；（2）；（3）0＜x＜．
【分析】（1）由题意将一元二次不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即可；
（2）根据分式不等式大于零可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个一元一次不等式组求解即可；
（3）根据题意将一元二次不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即可.
【解析】解：（1）∵x2-16=（x+4）（x-4）
∴x2-16＞0可化为
（x+4）（x-4）＞0
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得①②，
解不等式组①，得x＞4，
解不等式组②，得x＜-4，
∴（x+4）（x-4）＞0的解集为x＞4或x＜-4，
即一元二次不等式x2-16＞0的解集为x＞4或x＜-4．
（2）∵
∴或
解得：.
（3）∵2x2-3x=x（2x-3）
∴2x2-3x＜0可化为 x（2x-3）＜0
由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得或，
解不等式组①，得0＜x＜，
解不等式组②，无解，
∴不等式2x2-3x＜0的解集为0＜x＜．
【点睛】本题考查一元一次不等式组及方程的应用的知识，解题的关键是根据已知信息经过加工得到解决此类问题的方法．
21．已知，为有理数，且，不为0，则定义有理数对的“求真值”为，如有理数数对的“求真值”为，有理数对的“求真值”为．
（1）求有理数对的“求真值”；
（2）求证：有理数对与的“求真值”相等；
（3）若的“求真值”的绝对值为，若，求的值．
【答案】（1）；；（2）见解析；（3）或．
【分析】（1）利用题中的新定义判断即可；
（2）利用已知的新定义化简，比较即可；
（3）已知等式利用题中的新定义化简，求出a的值即可．
【解析】解：（1）；
；
（2）设，
则，，
∴；
（3）当时，
若时，则，
解得：（舍去）或；
若时，则，
解得：；
当，
若时，则，
解得：（舍去）或；
若时，则，
解得：（舍去）；
综上所述，的值为：或．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，以及乘方的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
22．四个数分别是，满足，(且为正整数，)．
若.
①当时，求的值；
②对于给定的有理数，满足，请用含的代数式表示；
若 ，，且，试求的最大值．
【答案】（1）①；②；（2）的最大值为.
【分析】方法一:
①根据和绝对值的性质去掉绝对值符号，再利用它们之间的关系即可得出答案；
②同样先去掉绝对值符号，通过等量代换和第（1）问中的结论得出，则答案可得；
同样先将e,f去掉绝对值符号，然后表示出，然后利用建立一个关于n的不等式，解不等式即可找到答案.
方法二:
①将四个数表示在数轴上，然后转化已知条件为，然后利用两点间的距离即可得出答案；
②用点表示数在数轴上表述出来,得出进而得出则答案可得；
直接将e,f代入得出，再利用得出，则答案可得.
【解析】方法一:
①，
，
，
，
.
②
，
，即
，
，
，且为正整数，
的最大值为.
方法二:
①把四个数在数轴上分别用点表示出来，如下图所示，
，
又
.
②用点表示数在数轴上表述出来，点在线段上，
又，
即
，，且
，即
，且为正整数，
的最大值为.
【点睛】本题主要考查绝对值的性质，代数式的运算，不等式，掌握绝对值的性质是解题的关键.
23．自学下面材料后，解答问题
分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式，如：；等那么如何求出它们的解集呢？
根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负其字母表达式为：
若，，则；若，，则
若，，则；若，，则
反之：若，则或
若，则______或______．
根据上述规律
求不等式的解集．
直接写出一个解集为或的最简分式不等式．
【答案】（2），；（1）；（2）不唯一．
【分析】根据有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，解决问题．
【解析】（2）∵两数相除，同号得正，异号得负，＜0，
∴或 ，
故答案为．
（1）由题意得：或 ，
第一个不等式组无解，第二个的解集为﹣1＜x＜2，则原分式不等式的解集为﹣1＜x＜2．
（2）∵解集为x＞3或x＜1，∴＞0（不唯一）．
【点睛】本题主要考查了利用理数除法法则解决分母中含有未知数的不等式．
24．全民健身和医疗保健是社会普遍关注的问题，2019年，某社区共投入60万元用于购买健身器材和药品．
（1）若2019年社区购买健身器材的费用不超过总投入的，问2019年最低投入多少万元购买药品？
（2）2020年，该社区购买健身器材的费用比上一年增加50%，购买药品的费用比上一年减少，但社区在这两方面的总投入仍与2019年相同．
①求2019年社区购买药品的总费用；
②据统计，2019年该社区积极健身的家庭达到200户，社区用于这些家庭的药品费用明显减少，只占当年购买药品总费用的，与2019年相比，如果2020年社区内健身家庭户数增加的百分比与平均每户健身家庭的药品费用降低的百分比相同，那么，2020年该社区用于健身家庭的药品费用就是当年购买健身器材费用的，求2020年该社区健身家庭的户数．
【答案】（1）2019年最低投入20万元购买商品；（2）①2019年购买药品的总费用为32万元；②2020年该社区健身家庭的户数为300户
【分析】（1）设2019年购买药品的费用为x万元，根据2019年社区购买健身器材的费用不超过总投入的，列出不等式，求出不等式的解集即可得到结果；
（2）①设2019年社区购买药品的费用为y万元，则购买健身器材的费用为（60﹣y）万元，2020年购买健身器材的费用为（1+50%）（60﹣y）万元，购买药品的费用为（1﹣）y万元，根据题意列出方程，求出方程的解得到的值，即可得到结果；
②设这个相同的百分数为m，则2020年健身家庭数为200（1+m）户，根据2020年该社区用于健身家庭的药品费用就是当年购买健身器材费用的，列式求解即可．
【解析】解：（1）设2019年购买药品的费用为x万元，
根据题意得：60﹣x≤×60，
解得：x≥20，
则2019年最低投入20万元购买商品；
（2）①设2019年社区购买药品的费用为y万元，则购买健身器材的费用为（60﹣y）万元，
2020年购买健身器材的费用为（1+50%）（60﹣y）万元，购买药品的费用为（1﹣）y万元，
根据题意得：（1+50%）（60﹣y）+（1﹣）y=60，
解得：y=32，30﹣y=28，
则2019年购买药品的总费用为32万元；
②设这个相同的百分数为m，则2020年健身家庭数为200（1+m）户，
2020年平均每户健身家庭的药品费用为（1﹣m）万元，
依题意得：200（1+m）•（1﹣m）=（1+50%）×28×，
解得：m=±，
∵m＞0，∴m==50%，
∴200（1+m）=300（户），
则2020年该社区健身家庭的户数为300户．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，根据题意沥青题目所涉及的数量间的关系，并找到蕴含的相等关系列出方程是解题的关键．
25．我国东南沿海某地的风力资源丰富，一年风力日平均风速不小于的时间共约160天，其中日平均风速不小于时间约占60，为了充分利用风能这种绿色资源，该地拟建一个小型风力发电厂，决定选用A、B两种型号的风力发电机。根据产品说明，这两种风力发电机在各种风速下的日发电量（即一天的发电量）如下表：
根据上面的数据回答：
（1）若这个发电厂购买x台A型风力发电机，则预计这些A型风力发电机一年的发电总量至少为_______；
（2）已知A型风力发电机每台0.3万元，B型风力发电机每台0.2万元，该发电厂拟购买风力发电机共10台，希望购机的费用不超过2.6万元，而建成的风力发电机厂每年的发电量不少于，请你提供符合条件的购机方案。
【答案】(1) 12600x;(2) 可购5台A型风力发电机，5台B型风力发电机；或可购6台A型风力发电机，4台B型风力发电机．
【分析】（1）根据日平均风速在3m/s到6m/s之间的天数×36+日平均风速不小于的天数×150=一台A型风力发电机一年的至少发电量，然后再乘以x即为所求.
（2）先求出一台B型发电机年至少发电量，然后设购买x台A型风力发电机，则B型风力发电机为（10-x）台，根据“费用不超过2.6万元”和“每年的发电量不少于102000kw•h”列不等式组，取整数解．
【解析】解：（1）根据题意，日平均风速在3m/s到6m/s之间的时间为100天，日平均风速不小于时间约为60天，故A型风力发电机每年发电量至少为100×36+150×60=12600kw•h，
所以x台A型风力发电机每年发电量至少为12600x kw•h，故填：12600x.
（2）B型风力发电机每年发电量至少为100×24+90×60=7800kw•h，
设购x台A型风力发电机，则B型风力发电机为（10-x）台，
所以
解得5≤x≤6
则x=5或6，10-x=5或4
所以可购5台A型风力发电机，5台B型风力发电机；或可购6台A型风力发电机，4台B型风力发电机．
【点睛】本题考查不等式组的应用，能找准关键描述语，列出不等式（组）是解决此题的关键.另外一年风力日平均风速不小于的时间共约160天的意思是日平均风速在3m/s到6m/s之间的时间为100天和日平均风速不小于时间约为60天.
26．上周“双十二”瑞安某书店开展优惠购书活动：各类课外书活动时每本销售价格为y元，活动前每本销售价格为x（）元，且y是x的一次函数，其中A类课外书与B类课外书活动前与活动时的价格如下表：
（1）求y关于x的一次函数表达式.
（2）当天小明购买了一本课外书，花费了24元，该课外书活动前的每本销售价格是多少元？
（3）在“双十二”优惠活动中，某学校花费不超过1900元，购买A、B两类课外书共100本，且B类课外书不超过70本，则可能有哪几种购书方案？
【答案】（1）；（2）活动前的每本销售价格价格为 35 元；（3）见解析
【解析】试题分析：（1）设 y  kx  b（k  0） ，将 x  28， y  21； x  21， y  18 代入解方程组即可得到结论；
（2）把 y =24 代入（1）中求得的解析式，即可得到结论；
（3）设购买 A 类课外书 z 本，则购买 B 类课外书 （100-z）本，根据“花费不超过1900元，购买A、B两类课外书共100本，且B类课外书不超过70本”列不等式组解答即可得到方案．
试题解析：解：（1）设 y  kx  b（k  0） ，将 x  28， y  21； x  21， y  18 代入得：
，解得k ，b  9，
所以 y 关于 x 的一次函数表达式为：，
（2）当 y =24 元时，，解得： x =35，
即活动前的每本销售价格价格为 35 元．
（3）设购买 A 类课外书 z 本，则购买 B 类课外书 （100-z）本，依题意有：
，
解得 30  z ，
又因为 z 为正整数，所以 z=30，31，32，33即购买方案如下：
方案 1：购买 A 类课外书 30 本，购买 B 类课外书 70 本；
方案 2：购买 A 类课外书 31 本，购买 B 类课外书 69 本；
方案 3：购买 A 类课外书 32 本，购买 B 类课外书 68 本；
方案 4：购买 A 类课外书 33 本，购买 B 类课外书 67 本．
点睛：本题考查了一次函数和不等式组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．理解“花费不超过1900元，购买A、B两类课外书共100本，且B类课外书不超过70本”这句话中包含的不等关系是解决本题的关键．
日平均风速v（m/s）
日发电量
A型
0
B型
0
图书类别
活动前的每本销售价格x（单位：元）
活动时的每本销售价格y（单位：元）
A类
28
21
B类
21
18