2024辽宁中考数学二轮专题训练 题型六 与圆有关的证明及计算(含答案)

这是一份2024辽宁中考数学二轮专题训练 题型六 与圆有关的证明及计算(含答案)，共30页。试卷主要包含了与圆有关的证明及计算等内容，欢迎下载使用。
突破设问一 切线的判定
类型一 交点不确定，作垂直，证半径
典例精讲
例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，以点D为圆心，DC长为半径作⊙D.
求证：AB是⊙D的切线．
例1题图
满分技法
当题目中未给出切点时，通常过圆心作垂线，利用角平分线的性质或者全等三角形的性质，来证明所作垂线等于半径．
针对训练
1. 如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径画圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO 的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD.
求证：AB为⊙O的切线．
第1题图
类型二 交点确定，连半径，证垂直
典例精讲
例2 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是BA延长线上的点，连接CD，已知∠ACD＝∠ABC.
求证：CD是⊙O的切线．
例2题图
满分技法
若图中有要证切线的垂线，可证明过交点的半径与这条垂线平行：
1. “角平分线”＋两半径组成的等腰三角形，利用角平分线性质及等边对等角得到的等角证得平行；
2. ①连接已知中点与圆心构造中位线，利用中位线的性质证得平行．
②题干中给出切线与弦的夹角等于某个圆周角时，常通过等角代换来证．
③常在“共点双切线型”图形中运用，通过连接圆心与两条切线的交点构造全等三角形来证得垂直．
针对训练
2. 如图，在△ABC中，点O为BC边上一点，⊙O经过A、B两点，与BC边交于点E，点F为BE下方半圆弧上一点，FE⊥AC，垂足为点D，∠BEF＝2∠F.
求证：AC为⊙O的切线．
第2题图
3. 如图，点A为⊙O上的一点，点P为⊙O外一点，OP与⊙O交于点B，且B是OP的中点，连接AB、AP，以AB、BO为邻边作菱形OBAC，点C恰好落在⊙O上．
求证：AP是⊙O的切线．
第3题图
4. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，过点O作OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点E，连接EC交AB的延长线于点P.
求证：EC是⊙O的切线．
第4题图
突破设问二 求线段长
典例精讲
例3 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E是AB上一点，以CE为直径的⊙O交BC于点F，连接DO，且∠DOC＝90°，若DF＝2，DC＝6，求BE的长．
例3题图
满分技法
运用切线的性质进行计算或证明时，常作的辅助线有连接圆心、切点和构造直径所对的圆周角，然后利用垂直关系构造直角三角形解决问题；观察题干，若题干中含30°、45°、60°或“等腰直角三角形”、“等边三角形”等字眼，则优先考虑锐角三角函数或者勾股定理解决问题；若不含，则优先考虑相似三角形性质或勾股定理等解决问题．
针对训练
5. 如图，OA，OC是⊙O的半径，点B在OC的延长线上，BA与⊙O相切于点A，连接AC，若AC＝4，tan∠BAC＝eq \f(1,3)，求⊙O的直径．
第5题图
6.如图，在△ABC中，∠C＝45°，以AB为直径的⊙O恰好经过边 BC的中点D，E是劣弧eq \(AD,\s\up8(︵))的中点，连接OE并延长，交AC于点F.⊙O的半径为2，求EF的长.
第6题图
7. 如图，已知⊙O是以AB为斜边的Rt△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E.若AE＝ED＝2，求⊙O的半径．
第7题图
突破设问三 求角度
典例精讲
例4 如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，⊙O的切线DE交BC于点E，若∠A＝35°，求∠CDE的度数．
例4题图
针对训练
8. 如图，四边形ABCD是平行四边形，CD为⊙O的切线，点C是切点．AB为⊙O直径，求∠BCD的度数．
第8题图
突破设问四 证明角相等
典例精讲
例5 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，AE是⊙O的直径，连接EC.
求证：∠ACF＝∠B.
例5题图
针对训练
9. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AC中点，过点A作⊙O的切线交直线OD于点P，连接PC.
求证：∠PCA＝∠ABC.
第9题图
突破设问五 求弧长
典例精讲
例6 如图，在△ABC中，AB＝AC，O是边AC上的点，以OC为半径的圆分别交边BC、AC于点D、E，过点D作DF⊥AB于点F.若OC＝1，∠A＝45°，求劣弧eq \(DE,\s\up8(︵))的长．
例6题图
针对训练
10. 如图，AB为⊙O的直径，AB＝4，CD为⊙O的弦，CD⊥AB于点E，AE＝OE，延长OA至点F，使AF＝OA，连接FC.求劣弧eq \(CD,\s\up8(︵))的长．
第10题图
综合训练
1. 如图，△ABC的边AB是⊙O的直径，边AC交⊙O于点D，边BC与⊙O相切于点B，点E为⊙O上一点，连接BD、BE、DE.
(1)求证：∠CBD＝∠E；
(2)已知csE＝eq \f(\r(3),2)，CD＝2，求⊙O的半径．
第1题图
2. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，过点D作DO⊥BC于点O，∠BAD的平分线交BC于点O，以点O为圆心，OD长为半径的圆经过点C，交BC于另一点E.
(1)试判断直线AB和⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若∠B＝60°，AD＝2，求线段BE的长．
第2题图
3. 如图，AB是⊙O的弦，连接OA，OB，点C在⊙O外，OC⊥OA且交AB于点P，连接CB，CP＝CB.
(1)求证：CB是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3，OP＝1，求AB的长．
第3题图
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点O是AB边上一点，以OB为半径的圆恰好经过点D.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若AD＝300，tan∠DBC＝eq \f(3,4)，求⊙O的半径．
第4题图
5. 如图，⊙O的内接四边形ABED中，∠BAD＝90°，AB＝AE，AD，BE的延长线相交于点C，DF是⊙O的切线．
(1)求证：FD＝FC；
(2)若EF＝3，DE＝4，求AB的长．
第5题图
6. 如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，AE⊥CD，垂足为点E.
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若BC＝1，CD＝eq \r(3)，求阴影部分的面积．
第6题图
7. 如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是⊙O上一点，B是eq \(AD,\s\up8(︵))的中点，E为CA延长线上一点，连接BD、BE、CD，且∠CBD＝∠E.
(1)求证：BE是⊙O的切线；
(2)若BE＝6，CD＝2eq \r(3)，∠ABE＝30°，求eq \(AB,\s\up8(︵))的长．
第7题图
8. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC、BC，过点O作OE⊥BC于点E，延长OE至点D，连接BD、AE、AD，AD交⊙O于点F，连接CF，且∠AFC＝∠BDE.
(1)求证：BD是⊙O的切线；
(2)若tan∠OEA＝eq \f(3,2)，△AOE的面积为5，求△ACF的面积．
第8题图
参考答案
突破设问一 切线的判定
典例精讲
例1 证明：如解图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC.
又∵AD平分∠BAC，
∴DC＝DE，
∴DE为⊙D的半径，
∴AB是⊙D的切线．
例1题解图
针对训练
1. 证明：如解图，过点O作OE⊥AB于点E，
∵AD⊥BO，
∴∠D＝90°，
∴∠BAD＋∠ABD＝90°，∠AOD＋∠OAD＝90°.
∵∠AOD＝∠BAD，
∴∠ABD＝∠OAD.
又∵BC为⊙O的切线，
∴AC⊥BC，
∴∠BOC＋∠OBC＝90°.
∵∠BOC＝∠AOD，
∴∠OBC＝∠OAD＝∠ABD.
∴OB为∠ABC的平分线，
∵AC⊥BC，OE⊥AB，
∴EO＝CO，
∴EO为⊙O的半径，
∴AB为⊙O的切线．
第1题解图
典例精讲
例2 证明：如解图，连接OC.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＋∠CAB＝90°.
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO.
又∵∠ACD＝∠ABC，
∴∠ACD＋∠ACO＝∠OCD＝∠CAO＋∠CBA＝90°，即OC⊥CD.
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
例2题解图
针对训练
2. 证明：如解图，连接OA，
∴∠AOE＝2∠F，
∵∠BEF＝2∠F，
∴∠AOE＝∠BEF，
∴AO∥DF，
∵DF⊥AC，
∴OA⊥AC，
∵OA为⊙O的半径，
∴AC为⊙O的切线．
第2题解图
3. 证明：如解图，连接OA、BC，相交于点D.
∵四边形OBAC是菱形，
∴OD＝AD，OA⊥BC.
∵B是OP的中点，
∴BD是△OPA的中位线，
∴BD∥PA，
∴OA⊥PA.
∵OA为⊙O的半径，
∴AP是⊙O的切线．
第3题解图
4. 证明：如解图，连接OC，
∵OA＝OC，OD⊥AC，
∴OD是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC.
在△EAO和△ECO中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(EA＝EC,AO＝CO,EO＝EO))，
∴△EAO≌△ECO(SSS)，
∴∠EAO＝∠ECO.
又∵EA是⊙O的切线，
∴∠ECO＝∠EAO＝90°.
即OC⊥EP，
∵OC为⊙O的半径，
∴EC是⊙O的切线．
第4题解图
突破设问二 求线段长
典例精讲
例3 解：如解图，连接EF、ED，
∵AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD＝6，
∴BF＝BD－DF＝4，
∵CO＝OE，∠DOC＝90°，
∴DE＝DC＝6，
∵CE为⊙O的直径，
∴∠EFC＝90°，
∴EF＝eq \r(DE2－DF2)＝4eq \r(2)，
∴BE＝eq \r(BF2＋EF2)＝4eq \r(3).
例3题解图
针对训练
5. 解：如解图，延长AO交⊙O于点D，连接CD，
∵BA与⊙O相切，
∴DA⊥AB，
∴∠DAC＋∠BAC＝90°.
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠DAC＋∠D＝90°，
∴∠D＝∠BAC.
∵tan∠BAC＝eq \f(1,3)，
∴tanD＝eq \f(1,3)，即eq \f(AC,DC)＝eq \f(1,3).
∵AC＝4，
∴CD＝12.
在Rt△ACD中，由勾股定理得，AD＝eq \r(AC2＋CD2)＝eq \r(42＋122)＝4eq \r(10).
第5题解图
6. 解：如解图，连接AD,
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵E是劣弧eq \(AD,\s\up8(︵))的中点，
∴OE⊥AD，
∴OF∥BC，
∴∠EFA＝∠C＝45°.
∵D为BC中点，AD⊥BC，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，∠BAC＝90°，
∴△OAF是等腰直角三角形.
∵⊙O的半径为2，
∴AF＝OA＝OE＝2，
∴OF＝2eq \r(2)，
∴EF＝OF－OE＝2eq \r(2)－2.
第6题解图
7. 解：∵AD是⊙O的切线，
∴∠DAB＝90°，即∠DAC＋∠CAB＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＋∠B＝90°，
∴∠DAC＝∠B，
∵OC＝OB，
∴∠B＝∠OCB＝∠DAC，
又∵∠DCE＝∠OCB，
∴∠DAC＝∠DCE，
又∵∠D＝∠D，
∴△DCE∽△DAC，
∴eq \f(DE,DC)＝eq \f(DC,DA)，即eq \f(2,DC)＝eq \f(DC,4)，
∴DC＝2eq \r(2)(负值已舍)．
设⊙O的半径为x，则OA＝OC＝x，
在Rt△OAD中，由勾股定理得OD2＝OA2＋AD2，即(2eq \r(2)＋x)2＝x2＋42，
解得x＝eq \r(2)，
∴⊙O的半径为 eq \r(2).
突破设问三 求角度
典例精讲
例4 解：如解图，连接OD，
∵OA＝OD，∠A＝35°，
∴∠ODA＝∠A＝35°.
∵DE是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，
∴∠ODE＝90°，
∴∠CDE＝180°－∠ODA－∠ODE＝180°－35°－90°＝55°.
例4题解图
针对训练
8. 解：如解图，连接OC.
∵CD切⊙O于点C，
∴CD⊥OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴AB⊥OC，
∵OC＝OB，
∴∠B＝∠OCB＝45°，
∴∠BCD＝∠OCD＋∠OCB＝90°＋45°＝135°.
第8题解图
突破设问四 证明角相等
典例精讲
例5 证明：如解图，连接OC，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°，
∵FC是⊙O的切线，
∴∠OCF＝90°，
∵∠OCA＋∠ACF＝∠OCA＋∠OCE＝90°，
∴∠OCE＝∠ACF，
∵OE、OC是⊙O的半径，
∴∠OCE＝∠E，
又∵∠B＝∠E，
∴∠ACF＝∠B.
例5题解图
针对训练
9. 证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＋∠ABC＝90°.
∵AP是⊙O的切线，
∴∠PAB＝90°，
∴∠PAC＋CAB＝90°，
∴∠PAC＝∠ABC.
∵D是AC中点，
∴OD⊥AC，
∴OP是AC的垂直平分线，
∴PA＝PC，
∴∠PAC＝∠PCA，
∴∠PCA＝∠ABC.
突破设问五 求弧长
典例精讲
例6 解：如解图，连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠ACB，
∴∠B＝∠ODC，
∴OD∥AB，
∵∠A＝45°，
∴∠AOD＝180°－45°＝135°，
∴劣弧eq \(DE,\s\up8(︵))的长为eq \f(135×π×1,180)＝eq \f(3,4)π.
例6题解图
针对训练
10. 解：如解图，连接OC，OD，
∵CD⊥OA，AE＝OE，AB＝4，
∴OC＝2，AE＝OE＝1.
∵在Rt△OCE中，OC＝2，OE＝1，
∴∠OCE＝30°，∠COE＝60°，
∴∠COD＝2∠COE＝120°，
∴劣弧eq \(CD,\s\up8(︵))的长为eq \f(120×π×2,180)＝eq \f(4,3)π.
第10题解图
综合训练
1. (1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＋∠ABD＝90°，
∵BC与⊙O相切于点B，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠CBD＋∠ABD＝90°，
∴∠CBD＝∠BAD，
又∵∠BAD＝∠E，
∴∠CBD＝∠E；
(2)解：∵csE＝eq \f(\r(3),2)，
∴∠E＝30°，
∴∠E＝∠BAD＝∠CBD＝30°，
∵CD＝2，BO⊥AC，
∴BD＝eq \r(3)CD＝2eq \r(3)，
∴AB＝2BD＝4eq \r(3)，
∴⊙O的半径为2eq \r(3).
2. 解：(1)直线AB与⊙O相切，理由如下：
如解图，过点O作OF⊥AB，垂足为点F，
∵AD∥BC，DO⊥BC，
∴DO⊥AD，
又∵∠BAD的平分线交BC于点O，OF⊥AB，
∴OF＝OD，
∴OF为⊙O的半径，
∴直线AB与⊙O相切；
第2题解图
(2)∵∠B＝60°，AD∥BC，
∴∠BAD＝120°，
∵OA平分∠DAB，
∴∠FAO＝∠DAO＝∠B＝60°，
∴AO＝BO，
在Rt△ADO中，AO＝2AD＝4，
OD＝AO·sin60°＝4×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3)，
∴BE＝OB－OE＝AO－OD＝4－2eq \r(3).
3. (1)证明：∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵CP＝CB，
∴∠CPB＝∠CBP.
∵OC⊥OA，
∴∠AOP＝90°，
∴∠OAP＋∠APO＝90°，
∵∠APO＝∠CPB＝∠CBP，
∴∠OBA＋∠CBP＝90°， 即∠OBC＝90°，
∴OB⊥CB，
又∵OB是⊙O的半径，
∴CB是⊙O的切线；
(2)解：设BC＝CP＝x，则OC＝x＋1，
在Rt△OBC中，OC2＝BC2＋OB2，
即(x＋1)2＝x2＋32，
解得x＝4，即BC＝CP＝4，
在Rt△OPA中，AP＝eq \r(OA2＋OP2)＝eq \r(32＋12)＝eq \r(10).
如解图，过点C作CH⊥AB于点H，
∵∠AOP＝∠CHP＝90°，∠APO＝∠CPH，
∴△OAP∽△HCP，
∴eq \f(OP,HP)＝eq \f(AP,CP)，即eq \f(1,HP)＝eq \f(\r(10),4)，
∴HP＝eq \f(2\r(10),5)，
∵CB＝CP，CH⊥PB，
∴PB＝2PH＝eq \f(4\r(10),5)，
∴AB＝AP＋PB＝eq \f(9\r(10),5).
第3题解图
4. (1)证明：如解图，连接OD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠CBD＝∠ODB，
∴OD∥BC，
∴∠ADO＝∠C＝90°.
即AC⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线；
(2)解：如解图，设OA与⊙O交于点E，连接DE，
在Rt△BCD中，tan∠DBC＝eq \f(DC,BC)＝eq \f(3,4)，
设DC＝3x，则BC＝4x，
∴BD＝eq \r(（3x）2＋（4x）2)＝5x.
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BDE＝90°.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴tan∠EBD＝tan∠DBC＝eq \f(3,4)，
∴DE＝BD·tan∠EBD＝eq \f(15,4)x，
∴BE＝eq \r(BD2＋DE2)＝eq \f(25,4)x，
∴OD＝eq \f(1,2)BE＝eq \f(25,8)x，
由(1)知∠ODA＝∠C＝90°.
又∵∠A＝∠A，
∴△AOD∽△ABC，
∴eq \f(OD,BC)＝eq \f(AD,AC)，即eq \f(\f(25,8)x,4x)＝eq \f(300,300＋3x)，
解得x＝28，
∴⊙O的半径为eq \f(25,8)×28＝eq \f(175,2).
第4题解图
5. (1)证明：如解图，连接BD，
∵∠BAD＝90°，
∴BD是⊙O的直径，
∵DF是⊙O的切线，
∴∠BDF＝90°，
∴∠1＋∠2＝90°，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠3，
∵∠2＝∠3，
∴∠2＝∠ABE，
∵∠ABC＋∠C＝90°，
∴∠2＋∠C＝90°，
∴∠1＝∠C，
∴DF＝CF；
(2)解：由(1)知BD为⊙O的直径，
∴∠DEB＝∠DEF＝90°，
在Rt△DEF中，EF＝3，ED＝4，
∴DF＝CF＝eq \r(DE2＋EF2)＝5，
在Rt△DEC中，DC＝eq \r(DE2＋CE2)＝eq \r(42＋82)＝4eq \r(5)，
∵∠BED＝∠DEF＝∠BDF＝90°，
∴∠BDE＋∠DBE＝∠BDE＋∠EDF＝90°，
∴∠DBE＝∠EDF，
∴△DEF∽△BED，
∴eq \f(DE,BE)＝eq \f(EF,ED)，即eq \f(4,BE)＝eq \f(3,4)，
∴BE＝eq \f(16,3)，
∵∠BAC＝∠CED＝90°，∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CBA，
∴eq \f(DE,BA)＝eq \f(DC,BC)，
∴eq \f(4,AB)＝eq \f(4\r(5),8＋\f(16,3))，
解得AB＝eq \f(8\r(5),3).
第5题解图
6. (1)证明：如解图，连接OD，
第6题解图
∵AD平分∠CAE，
∴∠CAD＝∠EAD.
∵OA＝OD，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴∠EAD＝∠ODA，
∴OD∥AE.
∵AE⊥CD，
∴OD⊥CD.
∵OD是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
(2)解：由(1)知OD⊥CD，设OB＝OD＝x，
在Rt△ODC中，OD2＋CD2＝OC2，
即x2＋(eq \r(3))2＝(x＋1)2，解得x＝1.
∴OB＝OD＝1，OC＝2，
∴cs∠COD＝eq \f(1,2)，
∴∠COD＝60°，
∴S扇型DOB＝eq \f(360π·1,360)＝eq \f(π,6)，∠DAB＝30°，∴AD＝eq \r(3)，
∴S△AOD＝eq \f(1,2)×eq \r(3)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(3),4)，
∴S阴影＝S△AOD＋S扇形DOB＝eq \f(\r(3),4)＋eq \f(π,6).
7. (1)证明：如解图，连接OB，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠CAB＋∠ACB＝90°.
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠CAB.
∵四边形ABDC内接于⊙O，
∴∠D＝∠BAE.
∵∠CBD＝∠E，
∴∠BCD＝∠ABE.
∵B是eq \(AD,\s\up8(︵))的中点，
∴∠ACB＝∠BCD，
∴∠ACB＝∠ABE，
∴∠OBA＋∠ABE＝∠CAB＋∠ACB＝90°，
∴∠OBE＝90°，即OB⊥BE.
∵OB为⊙O的半径，
∴BE是⊙O的切线；
第7题解图
(2)解：由(1)知，∠ABE＝∠ACB＝∠DCB，
∵∠ABE＝30°，
∴∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝60°.
又∵OA＝OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴AB＝OB，
设AB＝x(x＞0)，则BC＝eq \r(3)x，
∵∠ABE＝∠DCB，∠E＝∠CBD，
∴△ABE∽△DCB，
∴eq \f(AB,DC)＝eq \f(BE,CB)，即eq \f(x,2\r(3))＝eq \f(6,\r(3)x)，
解得x＝2eq \r(3)(负值已舍去)，
∴AB＝OB＝2eq \r(3)，
∴eq \(AB,\s\up8(︵))的长为eq \f(60π×2\r(3),180)＝eq \f(2\r(3)π,3).
8. (1)证明：∵∠AFC＝∠BDE，∠AFC＝∠ABC，
∴∠BDE＝∠ABC.
∵OD⊥BC，
∴∠BED＝90°，
∴∠EBD＋∠BDE＝90°，
∴∠EBD＋∠ABC＝90°，即∠OBD＝90°，
∴OB⊥BD.
∵OB是⊙O的半径，
∴BD是⊙O的切线；
(2)解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD⊥BC，
∴∠OEB＝90°，
∴OE∥AC，
∴∠OEA＝∠EAC，
∴在Rt△ACE中，tan∠EAC＝tan∠OEA＝eq \f(EC,AC)＝eq \f(3,2)，
∴设EC＝3x，则AC＝2x，
∴由勾股定理得AE＝eq \r(AC2＋EC2)＝eq \r(13)x，
由(1)可得：∠BEO＝∠DBO＝90°，∠OBE＝∠ODB，
∴△OBE∽△ODB，
∴eq \f(OB,OD)＝eq \f(OE,OB).
∵OB＝OA，
∴eq \f(OA,OD)＝eq \f(OE,OA).
∵∠AOE＝∠DOA，
∴△AOE∽△DOA，
∴∠OAE＝∠ODA，
∵OD∥AC，
∴∠ODA＝∠FAC，
∴∠OAE＝∠FAC，
∵∠ABE＝∠AFC，
∴△ABE∽△AFC，
∴eq \f(S△ABE,S△AFC)＝(eq \f(AE,AC))2＝(eq \f(\r(13)x,2x))2＝eq \f(13,4)，
∵O是AB的中点，△AOE的面积为5，
∴S△ABE＝2S△AOE＝10，
∴S△ACF＝eq \f(4,13)S△ABE＝eq \f(40,13).