2024辽宁中考数学二轮专题复习 微专题 二次函数与矩形、菱形、正方形问题（课件）

这是一份2024辽宁中考数学二轮专题复习 微专题 二次函数与矩形、菱形、正方形问题（课件），共43页。PPT课件主要包含了例1题图①，例1题图②，例1题解图①，例1题解图②，例1题解图③，例1题解图④，例1题图③，例1题解图⑤，例1题解图⑥，例1题解图⑦等内容，欢迎下载使用。
例1 如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C.点P是抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为点H，交直线BC于点E.
(1)求抛物线的解析式；
(1)将A(1，0)，B(5，0)代入y＝－x2＋bx＋c中，得 解得 ∴抛物线解析式为y＝－x2＋6x－5 ；
(2)如图②，设点M是抛物线对称轴上一点，点N是平面内一点，是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
【思维教练】要求使得以B，C，M，N为顶点的四边形是矩形的点M的坐标，已知点M是抛物线对称轴上一点，设点M的坐标，分别求出BC，BM，CM的长，然后根据矩形的性质分别讨论∠CBM，∠BCM，∠CMB为直角的情况，利用勾股定理列方程求解．
(2)存在．易得抛物线对称轴为直线x＝3，∵点M是对称轴上一点，设点M的坐标为(3，m), 易得BC2＝52＋52＝50，BM2＝(5－3)2＋m2＝4＋m2，①如解图①，连接CM，CM2＝32＋(m＋5)2＝m2＋10m＋34,
若∠CBM＝90°， 则BC2＋BM2＝CM2, 即50＋4＋m2＝m2＋10m＋34, 解得m＝2, 此时点M的坐标为(3，2);
②如解图②， 若∠BCM＝90°. 则BC2＋CM2＝BM2, 即50＋m2＋10m＋34＝4＋m2, 解得m＝－8, 此时点M的坐标为(3，－8);
③如解图③④，若∠BMC＝90°. 则BM2＋CM2＝BC2, 即4＋m2＋m2＋10m＋34＝50, 解得m＝1或m＝－6，此时点M的坐标为(3，1)或(3，－6). 综上所述，满足条件的点M坐标为(3，2)或(3，－8)或(3，1)或(3，－6)；
(3)如图③，点Q是平面直角坐标系内一点，当以点P，E，B，Q为顶点的四边形为菱形时，请求出此时点Q的坐标．
【思维教练】设点P的坐标为(x，－x2＋6x－5)，则点E的坐标为(x，x－5)，共分为四种情况讨论：①当PH＝HE，QH＝HB时，四边形PQEB是菱形；②当点P在x轴上方，且PE＝EB＝BQ＝QP时，四边形PEBQ为菱形；③当点P与点A重合，且PB＝PE＝EQ＝QB时，四边形PEQB是菱形；④当点P在x轴下方，且PE＝EB＝BQ＝QP时，四边形PEBQ为菱形．
如解图⑤ ∵PE⊥QB，∴当PH＝HE，QH＝HB时，四边形PQEB是菱形．此时yP＝－yE，即－x2＋6x－5＝－(x－5)，解得x1＝2，x2＝5(不合题意，舍去)，∴QH＝HB＝3，∴点Q的坐标为(－1，0)；
如解图⑥，当点P在x轴上方，且PE＝EB＝BQ＝QP时，四边形PEBQ为菱形． ∵PE＝－x2＋6x－5－(x－5)＝－x2＋5x，BE＝ BH＝ (5－x)，∴－x2＋5x＝ (5－x)，解得x1＝5(不合题意，舍去)，x2＝ .当x＝ 时，BQ＝PE＝ ，∴点Q的坐标为(5， )；
如解图⑦，当点P与点A重合时，PB＝PE. ∴当PB＝PE＝EQ＝QB时，四边形PEQB是菱形．易得Q的坐标为(5，－4)；
如解图⑧，当点P在x轴下方，且PE＝EB＝BQ＝QP时，四边形PEBQ为菱形． ∵PE＝x－5－(－x2＋6x－5)＝x2－5x，BE＝ BH＝ (5－x)，∴x2－5x＝ (5－x)，解得x1＝5(不合题意，舍去)，x2＝－ .当x＝－ 时，QB＝PE＝ ，∴点Q的坐标为(5， )．
综上所述，存在点Q，使得以点P，E，B，Q为顶点的四边形为菱形．此时点Q的坐标为(－1，0)，(5， )，(5，－4)或(5， )．
(4)如图④，点M是抛物线的顶点，坐标平面内是否存在点P、Q(点P在点Q左侧)，使得以B，M，P，Q为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【思维教练】由BM为定边，可分以BM为正方形的边或以BM为正方形的对角线来确定点P.
【解法提示】当MB为正方形的边时，①当点P在点M的左侧时，如解图⑨，∵点M为抛物线的顶点，∴M点坐标为(3，4)，∵B(5，0)，∴BM＝ ，∴BM＝PM＝ ，设P1(m，n)，过点P1作P1N1⊥x轴于点N1，
②当点P在点M右侧时，如解图⑨，∵点P2与点P1关于直线BM对称，∴P2(3×2＋1，4×2－2)，即P2(7，6)；当MB为正方形的对角线时，∵点P在点Q左侧，∴点P只能在点M的左侧，如解图⑨，∵BM＝ ，∴P3B＝PM＝ ，
设P3(m，n)，∴P3B＝ ，P3M＝ ，解得m＝2n，∵点P3与点Q3关于直线MB对称，∴Q3(5＋n，5－m)， ，∴3n＝3，n＝1，∴m＝2n＝2，∴P3(2，1)，综上所述，存在点P，使得以B，M，P，Q为顶点的四边形为正方形，此时点P的坐标为(－1，2)，(7，6)，(2，1)．
1. (2023抚本铁辽葫定心卷)如图，抛物线y＝ax2＋x＋c(a≠0)交 x轴于点A(4，0)、B，交 y轴于点C(0，4)．(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，点E是OA的中点，点D是线段BE上一点(不与点B、E重合)，过点D作x轴的垂线，交直线CE于点M，交抛物线于点N，若直线MN到y轴的距离为 ，求点M与点N之间的距离；
将x＝ 代入y＝－ x2＋x＋4中，得y＝ .∴M( ，1)，N( )，∴MN＝ ；当D(－ ，0)时，点M、N的横坐标为－ ，将x＝－ 代入y＝－2x＋4中，得y＝7，将x＝－ 代入y＝－ x2＋x＋4中，得y＝ .
∴M(－ ，7)，N(－ ， )，∴MN＝7－ ＝ .∴点M与点N之间的距离为 或 ；
(3)如图②，点F在抛物线的对称轴上且在x轴上方，点G在坐标平面内，当以点B、C、F、G为顶点的四边形为菱形时，请直接写出点F的坐标．
要使以点B、C、F、G为顶点的四边形为菱形，分两种情况讨论，当BC为菱形的边时，①当BC＝BF时，即20＝9＋m2 ，解得m1＝ ，m2＝－ (不符合题意，舍去)，∴点F的坐标为(1， )；②当BC＝CF时，即20＝1＋(m－4)2，解得m3＝4＋ ，m4＝4－ (不符合题意，舍去)，∴点F的坐标为(1，4＋ )；
当BC为菱形的对角线时，则点F在线段BC的垂直平分线上．∴BF＝CF，即9＋m2＝1＋(m－4)2，解得m＝1.∴点F的坐标为(1，1)，综上所述，点F的坐标为(1， )或(1，4＋ )或(1，1)．
2. 如图，已知抛物线y＝ax2－2ax＋b与x轴交于点A(－2，0)和点B，与y轴交于点C(0，4)．(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是第四象限抛物线上一点，连接AC、AP，当∠PAB＝2∠ACO时，求点P的坐标；
(2)如解图，在OB上取一点R，使OR＝OA＝2，连接CR，
则∠ACR＝2∠ACO＝∠PAB，过点A作AK⊥CR于点K，设直线AP交y轴于点H，
∵A(－2，0)，C(0，4)，∴AR＝4，OC＝4，AC＝CR＝ ∴S△ACR＝ AR·OC＝ CR·AK，即 ×4×4＝ 解得AK＝ ，∴CK＝ ，∴tan∠ACK＝
∵∠PAB＝2∠ACO＝∠ACK，∴tan∠ACK＝tan∠PAB.在Rt△AOH中，OH＝OA·tan∠PAB＝ .∴H(0， )．由点A、H的坐标得直线AP的解析式为y＝ .联立 解得 或 (舍去)， ∴点P的坐标为( )；
(3)点M是抛物线的对称轴上一动点，在平面内是否存在点N，使得以M、N、B、C为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
当以M、N、B、C为顶点的四边形是矩形时，需分以BC为边和BC为对角线两种情况讨论．①当BC为边时，以M、B、C为顶点的三角形是以BC为直角边的直角三角形，则分以MC为斜边和以MB为斜边，当以MC为斜边时，BC2＋BM2＝CM2，即32＋9＋m2＝m2－8m＋17，解得m＝－3，∴点M的坐标为(1，－3)．由xC＋xM＝xB＋xN，得xN＝－3，同理可得yN＝1，∴点N的坐标为(－3，1)；
当以MB为斜边时，BC2＋CM2＝BM2，即32＋m2－8m＋17＝m2＋9，解得m＝5，∴M(1，5)．由xB＋xM＝xC＋xN，得xN＝5，同理可得yN＝1，∴点N的坐标为(5，1)；②当以BC为对角线时，以M、B、C为顶点的三角形是以BC为斜边的直角三角形，则BM2＋CM2＝BC2，即9＋m2＋m2－8m＋17＝32，解得m1＝2＋ ，m2＝2－ ，∴点M的坐标为(1，2＋ )或(1，2－ )，
由xB＋xC＝xM＋xN，得xN＝3，同理可得yN＝2－ 或2＋ ，∴点N的坐标为(3，2－ )或(3，2＋ )．综上所述，存在点N使得以M、N、B、C为顶点的四边形是矩形，满足条件的点N的坐标为(－3，1)或(5，1)或(3，2－ )或(3，2＋ )．
3. 直线y＝－x＋3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A，B，与x轴的另一个交点为C.(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE∥y轴交AB于点E，DF⊥AB于点F，FG⊥x轴于点G，当DE＝FG时，求点D的坐标；
由(1)可知抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3，直线AB的解析式为y＝－x＋3，设D(m，－m2＋2m＋3)，∵DE∥y轴，∴E(m，－m＋3)，∴DE＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m，ME＝－m＋3，
(2)如解图，延长DE交x轴于点M，则DM⊥x轴
∵B(0，3)，A(3，0)∴OB＝OA＝3，∴∠OBA＝∠OAB＝45°，∵DM⊥x轴，DF⊥AB，∴∠DEF＝∠AEM＝45°，∴DE＝ EF，AF＝ FG，∵DE＝FG，∴AF＝2EF，∴AE＝EF，∵FG⊥x轴，∴FG∥ME，∴ ∴FG＝2ME，∴DE＝2ME，∴－m2＋3m＝2(－m＋3)，∴m＝2或m＝3(舍去)，∴D(2，3)；
(3)如图②，在(2)的条件下，直线CD与AB相交于点M，点H在抛物线上，过点H作HK∥y轴，交直线CD于点K.P是平面内一点，当以点M，H，K，P为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点P的坐标．
联立直线CD与直线AB的解析式得 解得 ∴点M的坐标为(1，2)．①当MK为正方形边时，则MH⊥MK时，H点在AB上，K点在CD上．∵H点在抛物线上，∴H(3，0)或H(0，3)；当H(3，0)时，MH＝ ，∴KH＝4，∴K(3，4)∴HK的中点为(3，2)，则MP的中点为(3，2)；∴P(5，2)；
当H(0，3)时，MH＝ ，∴KH＝2，∴K(0，1)，∴HK的中点为(0，2)，则M的中点为(0，2)∴P(－1，2)；②当MK为正方形的对角线时，如解图②，则MH⊥HK，PM∥KH，∵HK∥y轴， ∴PM∥y轴，MH⊥y轴，∴∠PMK＝∠OBA＝45°，MH∥x轴，∴点H的纵坐标为2，∴－x2＋2x＋3＝2，解得x1＝ ＋1，x2＝－ ＋1，即点H的横坐标为为 ＋1或－ ＋1，∴MH＝ ，