2024辽宁中考数学二轮专题复习 微专题 二次函数与直角三角形问题（课件）

这是一份2024辽宁中考数学二轮专题复习 微专题 二次函数与直角三角形问题（课件），共41页。PPT课件主要包含了例1题图①，例1题图②，例1题图③，直角边，以AC为直径画圆，圆与对称轴，垂线与对称轴，例2题图①，例2题图②，例2题解图等内容，欢迎下载使用。
(1)若AC为斜边时，∠APC＝90°；在图①中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹)；
【作图依据】__________________________
直径所对圆周角等于90°.
(2)若AC为直角边时，∠CAP＝_____或∠ACP＝_____；在图②中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹)；
探究2：在抛物线上找一点E使得△ACE为直角三角形．在图③中画出所有满足条件的点E的示意图(保留作图痕迹).
【方法总结】二次函数中直角三角形的存在性一般要分情况讨论：常以已知边为_____或________讨论；以自主探究1为例，已知边AC为斜边时，可以作以斜边AC为直径的圆，作图方法为：_______________，所找点即为___________的交点；若已知边AC为直角边时，作图方法为：_____________________________，所找点即为_____________的交点．
分别过点A，C作线段AC的垂线
【思考】若动点在y轴上、x轴上时，确定动点位置有什么不同呢？
例2 如图，已知抛物线y＝ x2－ x－2与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接BC，对称轴为直线l，顶点为M.
(1)求点A，B的坐标及抛物线的对称轴；
(2)若点G是x轴上一点，当△OCG为等腰直角三角形时，请直接写出点G的坐标；
【思维教练】由于点G在x轴上，可知∠COG＝90°，要让它为等腰直角三角形，则需要分为当点G在x正半轴和负半轴两种情况讨论．
【解法提示】由题意知，点C的坐标为(0，－2)．∴OC＝2.∵点G在x轴上，∴当△OCG为等腰直角三角形时，分点G在x轴正半轴和负半轴两种情况讨论：
①当点G在x轴正半轴时，∵OC＝OG，∴OG＝2.∴点G的坐标为(2，0)；②当点G在x轴负半轴时，∵OC＝OG，∴OG＝2.∴点G的坐标为(－2，0)．综上所述，满足条件的点G的坐标为(2，0)或(－2，0)；
(2)点G的坐标为(2，0)或(－2，0)；
(3)抛物线对称轴上是否存在点Q，使得△OCQ是以OC为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
【思维教练】△OCQ是以OC为直角边的直角三角形，所以需分点O为直角顶点和点C为直角顶点两种情况讨论，进而求解．
(4)若点N是对称轴上一点，是否存在点N使得△NBC是直角三角形，若存在，请直接写出点N的纵坐标；若不存在，请说明理由；
【思维教练】点N是对称轴l上一点，当△NBC是直角三角形时，需分∠NCB，∠NBC，∠BNC为直角时三种情况进行讨论，进而求解．
【拓展设问】点N是对称轴上一点，若△NBC是锐角三角形时，请直接写出点N的纵坐标n的取值范围．
【思考】若△NBC是钝角三角形时，点N的纵坐标n的取值范围是什么．
(5)点D是y轴上一点，其坐标为(0，4)．动点E是直线BD上一点，过点E作EF⊥BD，交y轴于点F，连接AF，BF，若△ABF是直角三角形，试求点E的坐标．
【思维教练】点F在y轴上，所以当△ABF是直角三角形时，∠FAB和∠FBA不可能是直角，所以只能是∠AFB为直角，当∠AFB为直角时，注意要分点F在y轴的正、负半轴两种情况讨论．
(5)∵点D在y轴上，且点D的坐标为(0，4)，点B的坐标为(4，0)，∴直线BD的函数表达式为y＝－x＋4，∵点E是直线y＝－x＋4上一点，∴设点E的坐标为(m，－m＋4)，∵EF⊥BD，∴易得直线EF的函数表达式为y＝x－2m＋4.∴点F的坐标为(0，－2m＋4)．∴AF2＝12＋(－2m＋4)2，BF2＝42＋(－2m＋4)2，AB2＝52＝25.
∵点F在y轴上，∴只能有∠AFB＝90°.即AF2＋BF2＝AB2.即12＋(－2m＋4)2＋42＋(－2m＋4)2＝25.解得m＝1或3.当m＝1时，点E的坐标为(1，3)；当m＝3时，点E的坐标为(3，1)．综上所述，当△ABF是直角三角形时，点E的坐标为(1，3)或(3，1)．
1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为(3，0)，B点坐标为(－1，0)，连接AC、BC.动点P从点A出发，在线段AC上以每 秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．
(2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？
如解图，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，
又Q(－1＋t，0)，∴S四边形BCPQ＝S△ABC－S△APQ
(3)在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形.理由如下：∵点M是线段AC上方的抛物线上的点，
如解图②，过点P作x轴的垂线，交x轴于点E，过M作EP的垂线交EP的延长线于点F，
2.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(－2，0)、B(6，0)两点，与y轴交于点C(0，－3)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当 最大时，求点P的坐标及 的最大值；
(2)如解图，过点P作PE⊥x轴于点E，过点M作MF⊥x轴于点F，则MF∥PE，
(3)在(2)的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标;若不存在，请说明理由．
【解法提示】设点D的坐标为(3，m)，∵B(6，0)，C(0，－3)，∴BD2＝m2＋9，CD2＝(m＋3)2＋9，BC2＝45，①当∠BCD＝90°时，有BD2＝CD2＋BC2，∴m2＋9＝(m＋3)2＋9＋45，整理得：6m＝－54，解得m＝－9，∴点D的坐标为(3，－9)；
3.如图，抛物线y＝－ x2＋bx＋c与x轴交于点A和点C(－1，0)，与y轴交于点B(0，3)，连接AB，BC，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，作PF⊥PD于点P，使PF＝ OA，以PE，PF为邻边作矩形PEGF.当矩形PEGF的面积是△BOC面积的3倍时，求点P的坐标；
(3)如图②，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线PD上，若以点Q，A，B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．
如解图，过点B作BQ1⊥AB交对称轴于Q1，过点A作AQ2⊥AB交对称轴于Q2，