2024内蒙古中考数学一轮知识点复习 第26课时 菱　形（课件）

这是一份2024内蒙古中考数学一轮知识点复习 第26课时 菱　形（课件），共34页。PPT课件主要包含了考点精讲，菱形的性质与判定，互相垂直且平分，互相垂直，教材改编，①③④，①②⑥，是菱形等内容，欢迎下载使用。

【对接教材】北师：九上第一章P2～P10；　 人教：八下第十八章P55～P58.
证明：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD.求证：▱ABCD是菱形．【自主作答】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC.又∵AC⊥BD，∴直线BD是线段AC的垂直平分线，∴BA＝BC，∴四边形ABCD是菱形．
例1 　　　　　 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，满足：①AB＝AD，②AC⊥BD，③BD平分∠ABC，④∠BAD＝∠BCD，⑤BC＝CD，⑥AB∥CD.
请从上述几个条件中，任意挑选三个条件，证明四边形ABCD是菱形．【解法一】选择条件：________(填序号)；
四条边都相等的四边形是菱形
【判定依据】用到的菱形的判定定理为 __________________________．
【判定依据】用到的菱形的判定定理为_____________________________________．
对角线互相垂直的平行四边形
【解法二】选择条件：________(填序号)；证明：
∵AB＝AD，AC⊥BC，∴BO＝DO，∠AOB＝∠COD＝90°.∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，∴△ABO≌△CDO(ASA)，∴AB＝CD，∴四边形ABCD为平行四边形．又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．
例2 　　　　　　 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E是BC上一点，连接OE.
(1)若∠BAD＝150°，则∠ABD＝______；(2)若∠ABC＝60°，AB＝4，则BD的长为____ ；菱形ABCD的面积为_____，周长为____；
(3)点E是BC的中点. ①若∠ABC＝50°，则∠AOE的度数为________；②若BD＝6，AC＝8，则线段OE的长为________．
例3　　　　 在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边BC上一点．(1)如图①，连接OE，AC＝6，BD＝8.①若OE＝CE，则OE的长为_____；②若OE⊥BC，则OE的长为______；
(2)如图②，AE⊥BC，连接OE.①若∠ADB＝25°，则∠EAO的度数是_____；②若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则AE的长为________，OE的长为____；
(3)如图③，已知CE＝4BE，点P是BD上一动点，连接PC、PE.若AC＝6，BD＝8，求△PEC周长的最小值；
如解图，作点E关于BD的对称点E′，则点E′在AB边上，连接CE′与BD交于点P′，过点C作CF⊥AB于点F，则PC＋PE≥CE′，
∴在Rt△CFE′中，CE′＝ ，∴△PEC周长的最小值为 ；
(4)如图④，点M、N分别是OB、OD上一点，且BM＝DN，连接AM、AN、CM、CN.①求证：四边形AMCN是菱形；
(4)①∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD.∵BM＝DN，∴OB－BM＝OD－DN，即OM＝ON，∴四边形AMCN是平行四边形．∵AC⊥BD，∴四边形AMCN是菱形；
②若∠ABC＝60°，AB＝6，AM＝BM，求AM的长；
【判定依据】判定菱形的依据是 _______________________________．(5)如图⑤，点F是边CD上一点，AE、AF分别与BD交于点P、Q，且∠EAF＝60°.若AB＝6，∠BAD＝120°.①求证：AE＝AF；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
①证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AD∥BC.∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝180°－∠BAD＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝∠ACD＝60°，
∵∠EAF＝60°.∴∠BAC＝∠EAF，∴∠BAC－∠CAE＝∠EAF－∠CAE，∴∠BAE＝∠CAF.在△ABE和△ACF中，∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴AE＝AF;
②若BP＝2QD，求BE长．
②解：如解图②，将△AQD顺时针旋转120°至△AQ′B，使AD与AB重合，连接BQ′，PQ′，设AC与BD交于点O，过点Q′作Q′I⊥BP于点I，
在△PAQ和△PAQ′中，∴△PAQ≌△PAQ′(SAS)，∴PQ＝PQ′，∵BP＝2QD，∴BP＝2BQ′.在Rt△BIQ′中，∠Q′BI＝60°，∴BI＝BQ′·cs60°＝ BQ′，Q′I＝BQ′·sin60°＝ BQ′，∴IP＝BP－BI＝ BQ′，∴在Rt△PIQ′中，PQ′＝ ＝ BQ′.
与菱形有关的证明与计算
1. 如图，菱形ABCD的周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是(　　)　　　 　　　　　 　　　　A. 2.5 B. 3 C. 4 D. 5
2. 已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为(　　)A. 2 B. 2 C. 4 D. 2
3. 如图，四边形ABCD是平行四边形，BE∥DF，且分别交对角线AC于点E，F.(1)求证：△ABE≌△CDF；
(1)证明：∵BE∥DF，∴∠BEC＝∠DFA，∴∠AEB＝∠CFD.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中
∴△ABE≌△CDF(AAS)；
(2)当四边形ABCD分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形BEDF的形状．(无需说明理由)
【解法提示】如解图①，当四边形ABCD为矩形时，连接DE、BF，同(1)可知△ABE≌△CDF，∴BE＝DF，∵BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形；
如解图②，当四边形ABCD是菱形时，连接DE、BF，同理可知四边形BEDF是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，在△ABE和△ADE中，
∴△ABE≌△ADE(SAS)，∴BE＝DE，∴四边形BEDF是菱形．综上所述，当四边形ABCD分别是矩形和菱形时，四边形BEDF分别是平行四边形与菱形．
(2)四边形BEDF分别是平行四边形与菱形．
4. 如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为(－1，0)，∠BCD＝120°，则点D的坐标为(　　)
A．(2，2) 　　　　　 B．( ，2) C．(3， ) 　　　　　 D．(2， )
5. 如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、AE.(1)求证：四边形ADEF为平行四边形；
(1)证明：∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，∵EF，DE分别是△ABC的中位线，∴EF∥AB，DE∥AC，∴四边形ADEF为平行四边形；
(2)加上条件________后，能使得四边形ADEF为菱形．请从①∠BAC＝90°；②AE平分∠BAC；③AB＝AC这3个条件中选择1个条件填空(写序号)，并加以证明．
【解法二】选择②，证明如下：∵DE∥AC，∴∠AED＝∠EAF.∵AE平分∠BAC，∴∠DAE＝∠EAF，∴∠AED＝∠DAE，∴AD＝DE.∵四边形ADEF为平行四边形，∴四边形ADEF为菱形．
6. 如图，在菱形ABCD中，点M，N分别是边BC，DC上的点，BM＝ BC，DN＝ DC.连接AM，AN，延长AN交线段BC延长线于点E.
(1)求证：△ABM≌△ADN；
(2)若AD＝4，则ME的长是 ____．