[数学]黑龙江省佳木斯市三校2023-2024学年高二下学期期中联考试题(解析版)

这是一份[数学]黑龙江省佳木斯市三校2023-2024学年高二下学期期中联考试题(解析版)，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若可导函数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为可导函数满足，
所以.
故选：D
2. 已知数列的通项公式为，则257是这个数列的（ ）
A. 第6项B. 第7项C. 第8项D. 第9项
【答案】C
【解析】令，解得.
故选：C
3. 设是公比为正数的等比数列，若，则数列的前7项的和为（ ）
A. 63B. 64C. 127D. 128
【答案】C
【解析】由及是公比为正数的等比数列，得公比q=2，
所以．
4. 在中国文化中，竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈的品质.竹子在中国的历史可以追溯到远古时代，早在新石器时代晚期，人类就已经开始使用竹子了.竹子可以用来加工成日用品，比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹筒等.现有某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料，这九种竹筒的容积（单位：L）依次成等差数列，若，，则（ ）
A. 5.4B. 6.3C. 7.2D. 13.5
【答案】C
【解析】为等差数列，
，故
．
故选：C．
5. 已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题给函数的图象，可得
当时，，则，则单调递增；
当时，，则，则单调递减；
当时，，则，则单调递减；
当时，，则，则单调递增；
则单调递增区间为，；单调递减区间为
故仅选项C符合要求.故选：C
6. 现有6本相同的数学课本分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则不同的分配方案有多少种（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意得，分配方案有三种：第一种方案：两个人各1本，一个人4本，分配的方法数为；
第二种方案：三个人各2本，分配的方法数为；
第三种方案：一个人1本，一个人2本，一个人3本，分配的方法数为；
因此共有种方法.
故选：D
7. 函数在区间上的最小值、最大值分别为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
所以在区间上，即单调递增；
在区间上，即单调递减，
又，，
所以在区间上的最小值为，最大值为.
故选：A
8. 五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学､中医学和占卜方面，五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金､木､水､火､土，彼此之间存在相生相克的关系.下图是五行图，现有5种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（ ）

A. 3125B. 1000C. 1040D. 1020
【答案】D
【解析】五行相克可以用同一种颜色，也可以不用同一种颜色，即无限制条件.
五行相生不能用同一种颜色，即相邻位置不能用同一种颜色.
故问题转化为如图五个区域，
有种不同的颜色可用，要求相邻区域不能涂同一种颜色，即色区域的环状涂色问题.

分为以下两类情况：
第一类：三个区域涂三种不同的颜色，
第一步涂区域，
从种不同的颜色中选种按序涂在不同的个区域上，则有种方法，
第二步涂区域，由于颜色不同，有种方法，
第三步涂区域，由于颜色不同，则有种方法，
由分步计数原理，则共有种方法；
第二类：三个区域涂两种不同的颜色，
由于不能涂同一色，则涂一色，或涂同一色，两种情况方法数相同.
若涂一色，
第一步涂区域，可看成同一区域，且区域不同色，
即涂个区域不同色，
从种不同的颜色中选种按序涂在不同的个区域上，则有种方法，
第二步涂区域，由于颜色相同，则有种方法，
第三步涂区域，由于颜色不同，则有种方法，
由分步计数原理，则共有种方法；
若涂一色，与涂一色的方法数相同，则共有种方法.
由分类计数原理可知，不同的涂色方法共有种.
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】对于A：，故A正确；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误.
故选：ABC
10. 过点且与曲线相切的直线方程可能为（ ）
A. B.
C D.
【答案】BC
【解析】设切点为，又，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
所以，整理得，
解得或，
即切线方程为或．
故选：BC．
11. 将数列中的所有项排成如下数阵：
从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列；第1列数成等差数列．若，则（ ）
A. B.
C. 位于第45行第88列D. 2024在数阵中出现两次
【答案】ACD
【解析】由第1列数 成等差数列，设公差为，
又由，可得，解得，
则第一列的通项公式为，
又从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列，
可得，所以A正确,B错误；
又因为每一行最后一个数为，
且，可得是的前一个数，且在第45行，
因为这一行共有个数，则在第45行的第88列，所以C正确；
由题设可知第行第个数的大小为，
令，若，则即；
若，则即；若，则，无整数解.
故D正确.
故答案为：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知等差数列满足，，则____________.
【答案】5
【解析】因为是等差数列，所以，
则有，解得.
故答案为：.
13. 若函数的导函数为，且满足，则__________．
【答案】
【解析】由得，
所以，得，
所以，
所以.
故答案为：.
14. 已知首项均为的等差数列与等比数列满足，，且的各项均不相等，设为数列的前项和，则的最大值与最小值之差的绝对值为_______．
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由得，解得，
，
令，则，
，随着的增大而增大，
当为奇数时，，随着增大而减小，，；
当为偶数时，，随着的增大而增大，，.
所以，，，即的最大值为，最小值为，
因此，的最大值与最小值之差的绝对值等于．
故答案：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知数列是首项为1的等差数列，公差，设数列的前项和为，且，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
解：（1）由题意可得，即，
又，故，即或，又，故，
即；
（2），
故
.
16. 3月11日，2024年广西“二月二”侗族大歌节在三江侗族自治县梅林乡梅林村榕江河畔举行，上万名群众欢聚一堂，以非遗巡游、千人侗族大歌、多耶等活动，尽展非遗多姿风采.某地计划在来年的侗族大歌节安排非遗巡游、千人侗族大歌、多耶、抢花炮、芦笙舞这5种活动的举办顺序.
（1）共有多少种不同的安排方案?
（2）若要求第一个举办的活动不能是千人侗族大歌，共有多少种不同的安排方案?
（3）若要求抢花炮、芦笙舞的举办顺序相邻，共有多少种不同的安排方案?
解：（1）安排非遗巡游、千人侗族大歌、多耶、抢花炮、芦笙舞这5种活动的举办顺序，
共有种不同的安排方案；
（2）若要求第一个举办的活动不能是千人侗族大歌，则从其余四个活动项目中选一个排在第一个举行，
则共有种不同的安排方案；
（3）若要求抢花炮、芦笙舞的举办顺序相邻，则将这两项活动捆绑，看作一项活动，
内部全排列，然后和其余活动全排列，
则共有种不同的安排方案.
17. 设函数.
（1）若，求的极值；
（2）讨论函数的单调性.
解：（1）当时，，
所以，
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以当时，该函数有极小值，无极大值.
（2）由，
，
当时，当时，单调递增，
当时，单调递减；
当时，，或，
当时，，函数在时，单调递增，
当时，，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
当时，，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
综上所述：当时， 在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在单调递增，在单调递减，在上单调递增；
当时，在单调递增，在单调递减，在上单调递增
18. 若数列的前项和为，且，数列满足
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：数列是等比数列；
（3）设数列满足，其前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）因为，当时，，
当时，，
且时，也符合上式，
所以
（2）当时，由，所以，
依题意知：，所以
而，所以数列是首相为3，公比为3的等比数列．
（3）因为是首相为3，公比为3的等比数列，
所以，
所以，
=，
，
得
化简得：，
又因为，所以，
所以，整理得，
当，=；
当时，=，
因为,当时，，
所以，
故
19. 已知函数(为自然对数的底数)
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数的最大值；
（3）证明：
解：（1）函数，
则，
所以曲线在处的切点坐标为，切线斜率为0，切线方程为；
（2），
因为，所以，则，所以，
所以函数在上单调递减，
所以，
所以函数的值域为，
若不等式对任意恒成立，所以，
即，则实数的最小值为，
所以实数的最大值为；
（3），
所以，
设，则，
令，则，
所以在R上单调递增，
所以，
则有，
故存在，使得，
即，
所以当时，，
当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
故当时，函数有极小值，且是唯一的极小值，
故函数
因为，所以，
故，
所以，
即