2024-2025 学年高中数学人教A版必修二专题8.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积（3类必考点）

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专题8.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积 TOC \o "1-3" \h \z \t "正文,1"  HYPERLINK \l "_Toc9733" 【考点1：棱柱的表面积与体积】  PAGEREF _Toc9733 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc17982" 【考点2：棱锥的表面积与体积】  PAGEREF _Toc17982 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc1313" 【考点3：棱台的表面积与体积】  PAGEREF _Toc1313 \h 12【基础知识】空间几何体的表面积与体积公式[方法技巧]　求空间几何体表面积的常见类型及思路[方法技巧]　求空间几何体体积的常见类型及思路【考点1：棱柱的表面积与体积】【知识点：棱柱的表面积与体积】1．（2024高三上·上海浦东新·阶段练习）已知正四棱柱的侧棱长为2，体积为6，则该正四棱柱的表面积为 ．【答案】【分析】先求出正四棱柱的底面边长，再根据多面体的表面积公式即可得解.【详解】设正四棱柱的的底面边长为，则，解得，所以该正四棱柱的表面积为.故答案为：.2．（2024高一下·江苏·专题练习）如图所示，有一滚筒是正六棱柱形（底面是正六边形，每个侧面都是矩形），两端是封闭的，筒高，底面外接圆的半径是，制造这个滚筒需要 铁板（精确到）.【答案】【分析】根据已知得到正六边形的边长，直接求出表面积即可.【详解】由题知此正六棱柱底面外接圆的半径为，所以底面正六边形的边长是．所以侧面积.所以表面积.故制造这个滚筒约需要铁板．故答案为：3．（2024高二上·上海·专题练习）一个长方体的过同一顶点的三个面的面积分别是， ，，则这个长方体的体积为 ，表面积为 .【答案】 【分析】设出棱长，根据题意直接求解长方体体积和表面积即可.【详解】设长方体的棱长分别为，则三式相乘可得，所以长方体的体积为，表面积为.故答案为：；4．（2024高二上·浙江金华·阶段练习）一个封闭的正三棱柱容器，高为8，内装水若干如图1，底面处于水平状态将容器放倒如图2，一个侧面处于水平状态，这时水面所的平面与各棱交点E，F，，分别为所在的棱的中点，则图1中水面的高度为 ．【答案】6【分析】设正三棱柱的底面边长为，在图1中，设水面的高度为，根据图1和图2中水的体积相等可得出关于的等式，即可解得的值.【详解】设正三棱柱的底面边长为，则，在图1中，设水面的高度为，则水的体积为，在图2中，几何体为直四棱柱，因为为等边三角形，分别为棱的中点，所以，则水的体积为，解得.故答案为：6.5．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）2023年3月11日，“探索一号”科考船搭载着“奋斗者”号载人潜水器圆满完成国际首次环大洋洲载人深潜科考任务，顺利返回三亚．本次航行有两个突出的成就，一是到达了东南印度洋的蒂阿曼蒂那深渊，二是到达了瓦莱比—热恩斯深渊，并且在这两个海底深渊都进行了勘探和采集．如图1是“奋斗者”号模型图，其球舱可以抽象为圆锥和圆柱的组合体，其轴截面如图2所示，则该模型球舱体积为（    ）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据圆锥以及圆柱的体积公式即可求得答案.【详解】由模型的轴截面可知圆锥的底面半径为，高为；圆柱的底面半径为，高为，故该模型球舱体积为（），故选：D.6．（2024·全国·模拟预测）已知在长方体中，，则该长方体体积的最大值为（    ）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】C【分析】设，可知，根据体积关系结合基本不等式运算求解.【详解】设，由题意可得：，整理得，则该长方体体积，当且仅当时，等号成立，所以该长方体体积的最大值为4.故选：C.7．（2024·四川成都·二模）在正方体中，点在四边形内（含边界）运动.当时，点的轨迹长度为，则该正方体的表面积为（    ）A．6 B．8 C．24 D．54【答案】C【分析】由线段是定值结合正方体的特征得出点的轨迹，结合弧长公式计算即可.【详解】设正方体棱长为，由正方体性质知平面，平面，得，所以，所以点轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，设圆弧分别交与点，则，所以，同理，所以圆心角是，则轨迹长度为，可得，所以正方体的表面积为.故选：.8．（2024高二上·上海·专题练习）现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求：该直四棱柱的侧面积、表面积；【注：体对角线是连接棱柱上下底面、不在同一侧面的两顶点的连线】【答案】侧面积为，表面积为【分析】根据菱形的性质、直棱柱的性质，结合棱柱的侧面积和表面积公式进行求解即可.【详解】如图，设底面对角线，交点为O，体对角线，所以，∵该直四棱柱的底面是菱形，∴，因此直四棱柱的侧面积为，底面积为，因此直四棱柱的表面积为：.【考点2：棱锥的表面积与体积】【知识点：棱锥的表面积与体积】1．（23-24高三上·天津河北·期末）底面边长为，且侧棱长为的正四棱锥的体积和侧面积分别为（    ）A． B． C．32，24 D．32，6【答案】A【分析】由正四棱锥的结构特征求高、斜高，根据体积、侧面积公式求结果.【详解】由正四棱锥底面为正方形，且底面中心为顶点在底面上射影，结合题设，底面对角线长为，则棱锥的高，斜高为，所以正四棱锥的体积为，侧面积为.故选：A.2．（23-24高三上·天津滨海新·开学考试）中和殿是故宫外朝三大殿之一.位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知此正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近30°.若取，则下列结论不正确的是（    ）A．正四棱锥的底面边长为24m B．正四棱锥的高为C．正四棱锥的体积为 D．正四棱锥的侧面积为【答案】D【分析】在正四棱锥中，设底面边长为，根据侧棱长和侧面与底面所成的二面角可求底边的边长，从而可求体高、侧面积以及体积，据此可判断各项的正误．【详解】如图，在正四棱锥中，为正方形的中心，，则为的中点，连接，，，则平面，，则为侧面与底面所成的锐二面角，设底面边长为，正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近，取，，则．在中，，解得，故底面边长为，正四棱锥的高为，侧面积为，体积，故ABC正确，D错误.故选：D．3．（23-24高三上·北京·期中）从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥，则它的体积与正方体体积的比为 ；它的表面积与正方体表面积的比为 .  【答案】 /【分析】根据三棱锥及正方体的体积计算可得几何体体积比，计算正三棱锥表面积及正方体表面积即可得解.【详解】设正方体棱长为1，由图知，切去的4个三棱锥体积相等，故截去的三棱锥的体积之和为，而正方体的体积为，所以正三棱锥的体积为，故正三棱锥与正方体体积之比为；因为正三棱锥的每条棱长为，所以表面积为，又正方体的表面积为，故表面积之比为.故答案为：；4．（2024高一·全国·课后作业）已知正四棱锥底面边长为4，高与斜高夹角为.求它的侧面积和表面积．【答案】侧面积是32，表面积是48【分析】由正四棱锥的高，斜高，边心距组成的直角三角形，依据题意可以求出高与斜高，即可求得正四棱锥的侧面积和表面积．【详解】如图所示，设正四棱锥的高为，斜高为，底面边心距为，它们组成一个直角三角形；，，所以正四棱锥的侧面积，底面正方形面积为，则正四棱锥的表面积为，即该正四棱锥的侧面积是32，表面积是48.5．（2024高二上·上海·专题练习）一座仓库的屋顶呈正四棱锥形，底面的边长为2.7 m，侧棱长为2.3 m，如果要在屋顶上铺一层油毡纸，则需多少油毡纸？（精确到0.1 ）【答案】【分析】由棱锥侧面积的求法求屋顶上铺一层油毡纸的面积即可.【详解】如图所示，设SE是侧面三角形ABS的高，则SE就是正四棱锥的斜高．  在中，m，m，所以m，而底面周长m，所以需油毡纸，故需要油毡纸约.6．（2024高一下·新疆阿克苏·阶段练习）正四棱锥的底面边长为4，高为1，求：(1)求棱锥的体积和侧棱长；(2)求棱锥的表面积．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据棱锥的体积公式及勾股定理计算即可.（2）利用三角形及正方形面积公式计算即可.【详解】（1）由题意可知底面四边形是正方形，设其对角线交于O点，则，所以四棱锥的体积为：，侧棱长；（2）取的中点E，连接，易知，由上可知，所以棱锥的表面积为.7．（23-24高二上·上海·期中）如图，把边长为的正方形沿对角线折起，使（折叠后的）四点、、、为顶点的三棱锥体积最大，求此三棱锥的表面积和体积.【答案】答案见解析【分析】当三棱锥体积最大时，即二面角为时体积最大，从而求出体积及表面积.【详解】在翻折过程中，三棱锥的底面始终是，故当二面角为时，三棱锥的体积最大，如图，取的中点，连结，，由题意可知，，则，且，所以：，所以和是边长为的等边三角形，，和是等腰直角三角形，，所以三棱锥的表面积为：，所以三棱锥的最大体积为：8．（2024高一·江苏·专题练习）现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱 (如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.  (1)若，，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？【答案】(1)(2)，【分析】（1）明确柱体与锥体积公式的区别，分别代入对应公式求解；（2）先根据面积关系建立函数解析式，，然后利用二次函数性质求其最值.【详解】（1）由知.因为，所以正四棱锥的体积正四棱柱的体积所以仓库的容积.（2）设，下部分的侧面积为，则，，，设，当，即时，，.即当为时，下部分正四棱柱侧面积最大，最大面积是.【考点3：棱台的表面积与体积】【知识点：棱台的表面积与体积】1．（2024·陕西西安·模拟预测）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，8，该梭台的表面积为148，则侧棱长为（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】先求得侧面的高，进而求得侧棱长.【详解】设正四棱台侧面的高为，则，所以侧棱长为.故选：C2．（2024·辽宁辽阳·一模）四羊方尊（又称四羊尊）为中国商代晚期青铜器，其盛酒部分可近似视为一个正四棱台（上、下底面的边长分别为，高为），则四羊方尊的容积约为（　　）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据台体的体积公式运算求解.【详解】由题意可得：四羊方尊的容积约为.故选：A.3．（2024·陕西·模拟预测）将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中，对其表面进行电泳涂装．如图所示，已知该物件的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该物件的高为（    ）A． B．1 C． D．3【答案】C【分析】作出正四棱台的图形，设，利用该四棱台侧面的面积求得，进而利用勾股定理即可得解.【详解】设，则.因为该四棱台为正四棱台，所以各个侧面都为等腰梯形，上、下底面为正方形，在四边形中，过点作于点，则，所以，所以，解得，在平面中，过点作于点，易知为正四棱台的高，则，所以.故选：C.4．（2024·陕西西安·二模）在正四棱台中，，且三棱锥的体积为，则该正四棱台的体积为（    ）  A．14 B．21 C．24 D．36【答案】B【分析】设正四棱台的高为，结合棱锥体积公式可求得，根据面积比可表示出上下底面面积，代入棱台体积公式可求得结果.【详解】设正四棱台的高为，则，，，又，，正四棱台的体积.故选：B.5．（2024高三下·河南·阶段练习）中国传统文化博大精深，源远流长，其中我国古代建筑文化更是传统文化中一颗璀璨之星，在古代建筑中台基是指建筑物底部高出室外地面的部分，通常由台阶，月台，栏杆，台明四部分组成，某地的国家二级文化保护遗址一玉皇阁，其台基可近似看作上、下底面边长分别为，侧棱长为的正四棱台，则该四棱台的体积约为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】借助正四棱台的性质可得其高，结合体积公式即可得解.【详解】该正四棱台上、下底面的对角线分别为、，则该正四棱台的高为，则.故选：A.6．（2024·云南·模拟预测）我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗的容积为28升（一升为一立方分米），上底边长为4分米，下底边长为2分米，则该方斗的表面积为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】先根据体积求出棱台的高，再根据高求出侧棱长，进而可求侧面面积及表面积.【详解】如图所示，高线为，由方斗的容积为28升，可得，解得.由上底边长为4分米，下底边长为2分米可得，侧面梯形面积为，所以方斗的表面积为.故选：D.7．（2024高三上·广东汕头·期末）若正四棱台的上、下底边长分别为2、4，侧面积为，则该棱台体积为 .【答案】/【分析】作出正棱台的图象，结合其侧面积求得正四棱台的斜高，再利用棱台体积公式即可得解.【详解】由题意，正四棱台上、下底面的边长分别为，可得上、下底面面积为，如图所示，取上、下底面正方形的中心分别为，再取分别为的中点，分别连接，过点作，因为该正四棱台的侧面积为，易得为等腰梯形的高，所以，解得，在中，可得，则该正四棱台的高为，所以该棱台的体积为.故答案为：.8．（2024高三下·广东·阶段练习）如图是一个正四棱台，已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2和6，体积为，则侧面积为 ．【答案】【分析】设该正四棱台的高、斜高分别为h，，先根据体积列方程求出，进而可得，在利用面积公式求侧面积.【详解】设该正四棱台的高、斜高分别为h，，由已知得，所以，，所以正四棱台侧面积为．故答案为：．　名称　几何体　　　表面积体积棱柱S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh棱锥S表面积＝S侧＋S底V＝eq \f(1,3)Sh棱台S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求不规则几何体的表面积通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积规则几何体若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法不规则几何体若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解三视图形式若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解