猜题06 直角三角形的边角关系（易错必刷30题8种题型专项训练）-九年级上学期数学期末考点大串讲（北师大版）

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锐角三角函数的定义
锐角三角函数的增减性
特殊角的三角函数值
解直角三角形
解直角三角形的应用
解直角三角形的应用-坡度坡角问题
解直角三角形的应用-仰角俯角问题
解直角三角形的应用-方向角问题
一．锐角三角函数的定义（共8小题）
1．正方形网格中，∠AOB如图放置，则cs∠AOB的值为（ ）
A．B．C．D．
2．在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，则csA的值等于（ ）
A．B．C．或D．或
3．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A的坐标为（0，3），tan∠ABO＝，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．6B．6C．12D．8
4．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，AB＝4，则csB的值是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，若cs∠A＝，则BC的长为（ ）
A．8B．12C．13D．18
6．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的正弦值是 ．
7．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的正弦值是 ．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，若csA＝，则BC的长为 ．
二．锐角三角函数的增减性（共1小题）
9．若∠A是锐角，且sinA＝，则（ ）
A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°
C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°
三．特殊角的三角函数值（共2小题）
10．在△ABC中，如果∠A、∠B满足|tanA﹣1|+（csB﹣）2＝0，那么∠C＝ ．
11．计算：
（1）tan45°﹣sin30°cs60°﹣cs245°； （2）3tan30°﹣tan245°+2sin60°．
四．解直角三角形（共5小题）
12．如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（ ）
A．B．2C．D．
13．将一副三角板如图摆放在一起，组成四边形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝45°，连接BD，则tan∠CBD的值等于（ ）
A．B．C．D．
14．阅读理解：为计算tan15°三角函数值，我们可以构建Rt△ACB（如图），使得∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，可得到∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，请你计算tan22.5°的值为（ ）
+1B．﹣1C．D．
15．四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变边长为2的正方形ABCD的内角，变为菱形ABC'D'，若∠D'AB＝45°，则阴影部分的面积是（ ）
A．B．5﹣C．D．5﹣2
16．我们给出定义：如果两个锐角的和为45°，那么称这两个角互为半余角．如图，在△ABC中，∠A，∠B互为半余角，且，则tanA＝ ．
五．解直角三角形的应用（共3小题）
17．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44cm，则高AD约为（ ）
（参考数据：sin27°≈0.45，cs27°≈0.89，tan27°≈0.51）
A．9.90cmB．11.22cmC．19.58cmD．22.44cm
如图2，有一块四边形的铁板余料ABCD，经测量AB＝50cm，BC＝108cm，CD＝60cm，且tanB＝tanC＝，若要从这块余料中裁出顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，则该矩形的面
为 cm2．
19．胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”．已知主塔AB垂直于桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD、AC与桥面BC的夹角分别为60°和45°，两固定点D、C之间的距离约为33m，求主塔AB的高度（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73）．
六．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共2小题）
20．如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）
A．5csαB．C．5sinαD．
21．为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝3：4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD长度为20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin18°≈0.31，cs18°≈0.95，tan18°≈0.32）
七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共6小题）
22．荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽．现在塔底低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面A处测得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进a米后到达B处，在B处测得塔顶的仰角为45°（如图所示），那么a的值约为 米（≈1.73，结果精确到0.1）．
23．在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB．
（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）
24．在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼MN的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是58°，沿着山坡向上走75米到达B处，在B处测得大楼顶部M的仰角是22°，已知斜坡AB的坡度i＝3：4（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求大楼MN的高度．（图中的点A，B，M，N，C均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：tan22°≈0.4，tan58°≈1.6）
25．如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，AB是灯杆，CD是灯管支架，灯管支架CD与灯杆间的夹角∠BDC＝60°．综合实践小组的同学想知道灯管支架CD的长度，他们在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°，测得AE＝3m，EF＝8m（A，E，F在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题：
（1）求灯管支架底部距地面高度AD的长（结果保留根号）；
（2）求灯管支架CD的长度（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73）．
26．小明为了测量楼房AB的高度，他从楼底的B处沿着斜坡向上行走20m，到达坡顶D处．已知斜坡的坡角为15°．（以下计算结果精确到0.1m）
（1）求小明此时与地面的垂直距离CD的值；
（2）小明的身高ED是1.6m，他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45°，求楼房AB的高度．（sin15°≈0.2588cs15°≈0.9659tan15°≈0.2677）
27．《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．
如图2，为测量海岛上一座山峰AH的高度，直立两根高2米的标杆BC和DE，两杆间距BD相距6米，D、B、H三点共线．从点B处退行到点F，观察山顶A，发现A、C、F三点共线，且仰角为45°；从点D处退行到点G，观察山顶A，发现A、E、G三点共线，且仰角为30°．（点F、G都在直线HB上）
（1）求FG的长（结果保留根号）；
（2）山峰高度AH的长（结果精确到0.1米）．（参考数据：≈1.41，≈1.73）
八．解直角三角形的应用-方向角问题（共3小题）
28．如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B的正东湖边有一棵大树A，在湖边的C处测得B在北偏西45°方向上，测得A在北偏东30°方向上，又测得A、C之间的距离为100米，则A、B之间的距离是 米（结果保留根号形式）．
29．如图，某渔船在海面上朝正西方向以20海里/时匀速航行，在A处观测到灯塔C在北偏西60°方向上，航行1小时到达B处，此时观察到灯塔C在北偏西30°方向上，若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置，求此时渔船到灯塔的距离（结果精确到1海里，参考数据：≈1.732）
30．如图，B地在A地的北偏东56°方向上，C地在B地的北偏西19°方向上，原来从A地到C地的路线为A→B→C，现在沿A地北偏东26°方向新修了一条直达C地的分路，路程比原来少了20千米．求从A地直达C地的路程（结果保留整数．参考数据：≈1.41，≈1.73）