沪教版七年级数学下册满分冲刺卷专题03相交线平行线(重点)(原卷版+解析)

这是一份沪教版七年级数学下册满分冲刺卷专题03相交线平行线(重点)(原卷版+解析)，共33页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2022春·上海·七年级上外附中校考期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．连接直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线最短
C．经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行
D．在平面内经过直线上或直线外的一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只可以作一条
2．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，下列说法不正确的是（ ）
A．∠1和∠2互为邻补角B．∠1和∠4是内错角
C．∠2和∠3是同旁内角D．∠1和∠3是同位角
3．（浙江省宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学2022-2023学年七年级下学期3月评估检测（一）数学试题）如图，点E在的延长线上，下列条件不能判定的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·七年级单元测试）如图，在△ABC中，∠C＝90，D是边BC上一点，且∠ADC＝60，那么下列说法中错误的是（ ）
A．直线AD与直线BC的夹角为60B．直线AC与直线BC的夹角为90
C．线段CD的长是点D到直线AC的距离D．线段AB的长是点B到直线AD的距离
5．（河南省新乡市辉县市市城北初级中学2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）如图，下列推理中，正确的是（ ）
A．如果，那么B．如果，那么
C．如果，那么D．如果，那么
6．（2022春·上海·七年级专题练习）设a、b、c为同一平面内的三条直线，下列判断不正确的是（ ）
A．若a//b，b//c，则a//cB．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．若a⊥b，b⊥c，则a//cD．若a//b，b⊥c，则a⊥c
7．（第五章相交线与平行线单元检测卷（A卷）-2022-2023学年七年级数学下册《同步考点解读�专题训练》（人教版））如图，，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
8．（四川省达州市通川区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题）已知直线，将一块含30°角的直角三角板，按如图所示方式放置，其中A、B两点分别落在直线m、n上，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
9．（2022春·上海·七年级专题练习）小明、小亮、小刚、小颖一起研究一道数学题．如图，已知EF⊥AB，CD⊥AB，
小明说：“如果还知道∠CDG＝∠BFE，则能得到∠AGD＝∠ACB．”
小亮说：“把小明的已知和结论倒过来，即由∠AGD＝∠ACB，可得到∠CDG＝∠BFE．”
小刚说：“∠AGD一定大于∠BFE．”
小颖说：“如果连接GF，则GF一定平行于AB．”
他们四人中，有（ ）个人的说法是正确的．
A．1B．2C．3D．4
10．（广东省江门市第二中学2021-2022学年七年级下学期第一次月考数学试题）如图，，平分，平分，，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
11．（（培优特训）专项1.1平行线和三线八角-2022-2023学年七年级数学下册《同步考点解读�专题训练》（浙教版））如图所示，同位角一共有____对，分别是____；内错角一共有____对，分别是____；同旁内角一共有____对，分别是____．
12．（辽宁省沈阳市第一二六中学2020-2021学年七年级下学期4月月考数学试题）下列说法中错误的是___________（填序号）
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行
②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段
③两条直线没有交点，则这两条直线平行
④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交
⑤过点A作直线l的垂线，垂足为B，则线段AB是点A到直线l的距离
13．（山东省枣庄市薛城区2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）平行线在生活中应用很广泛，人们为了准确地画出平行线，往往利用三角尺和直尺按照下面的方法去做：
第一步：作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB；
第二步：用直尺紧靠三角尺的另一条边；
第三步：沿直尺下移三角尺；
第四步：沿三角尺的边作出直线CD．这样，就得到．
请写出其中的道理：______．
14．（2022春·七年级单元测试）如图，已知点O在直线上，是直角，，那么的度数为______
15．（2023春·七年级单元测试）如图，，，若使，则可将直线b绕点A逆时针旋转___________度．
16．（2023春·七年级单元测试）如图，已知直线经过点且，，则__________度．
17．（黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学校2021-2022学年七年级上学期期中学情检测数学（五四制）试题）如图，，把三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数为_________
18．（山东省滨州市沾化区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，下列条件能判断的是__________（多选）．
① ② ③ ④
19．（河南省南阳市第三中学2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个分别是___________．
20．（2022春·上海·七年级期中）如图，已知AD∥CE，∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，若∠AFC的余角等于2∠B的补角，则∠BAH的度数是_____．
三、解答题
21．（2022春·上海宝山·七年级校考阶段练习）按下列要求画图并填空：如图，直线AB与CD相交于点O，P是CD上的一点．
(1)过点P画出CD的垂线，交直线AB于点E；
(2)过点P画PF⊥AB，垂足为点F；
(3)点O到直线PE的距离是线段 的长；
(4)点P到直线CD的距离为 ．
22．（2021春·上海徐汇·七年级统考期中）如图：直线AB和CD相交于点O，，且，求：的度数
解：∵（已知）
∴ （垂直定义）
∵（_____________）
又∵
∴ （___________________）
∵（已知）
∴__________（等量代换）
∴___________(等式性质)
∴_______（等式性质）
23．（广东省江门市蓬江区2021-2022学年七年级下学期期末调研考试数学试题）如图，已知点、在直线上，，平分，．
(1)求证： ；
(2)若，求的度数．
24．（专题5.3平行线的性质（知识解读）-2022-2023学年七年级数学下册《同步考点解读�专题训练》（人教版））如图，已知平分，且．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
25．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，点在上，已知，平分，平分．请说明的理由．
解：因为(已知)，
(______)，
所以(______)．
因为平分，
所以(______)．
因为平分，
所以______，
得(等量代换)，
所以______(______)．
26．（辽宁省沈阳市和平区第一二六中学2022年八年级上学期12月月考数学试题）如图，，．
(1)求证：．
(2)若，，则的大小为___________．
27．（浙江省金华市兰溪市实验中学共同体2021-2022学年七年级下学期第一次学业反馈数学试题）如图，已知CFAG，E是直线AB上的一点，CE平分∠ACD，射线CF⊥CE，∠2＝58°．
(1)求∠ACE的度数；
(2)若∠1＝32°，说明：ABCD．
28．（河南省信阳市浉河区信阳文华寄宿学校2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过点O作OD⊥OE，G是射线OB上一点，连接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．
(1)求证：∠AOE=∠ODG；
(2)若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．
29．（2022春·上海·七年级期中）（1）请你根据图1回答下列问题：
①若，可以得到哪两条线段平行？
②在①的结论下，如果，又能得到哪两条线段平行？
（2）请你在图2中按下面的要求画图(画图工具和方法不限)：过点A画于D，过点D画交于E，在线段上任取一点F，以F为顶点，为一边画，使，的另一边与线段交于点G．
（3）请你根据（2）中画图时给出的条件，猜想与的位置关系，并给予证明．
30．（2022春·上海·七年级期中）请回答下列各题．
(1)探究：如图1，AB∥CD∥EF，试说明∠BCF＝∠B＋∠F．
(2)应用：如图2，AB∥CD，点F在AB、CD之间，FE与AB交于点M，FG与CD交于点N．若∠EFG＝115°，∠EMB＝55°，则∠DNG的大小是多少？
(3)拓展：如图3，直线CD在直线AB、EF之间，且AB∥CD∥EF，点G、H分别在直线AB、EF上，点Q是直线CD上的一个动点，且不在直线GH上，连结QG、QH．若∠GQH＝70°，则∠AGQ＋∠EHQ＝______度（请直接写出答案）．
专题03 相交线 平行线（重点）
一、单选题
1．（2022春·上海·七年级上外附中校考期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．连接直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线最短
C．经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行
D．在平面内经过直线上或直线外的一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只可以作一条
【答案】D
【分析】根据平行线的性质、垂线段最短、平行公理、垂直性质逐项判断即可．
【解析】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故选项A错误，不符合题意；
B、连接直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故选项B错误，不符合题意；
C、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故选项C错误，不符合题意；
D、在平面内经过直线上或直线外的一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只可以作一条，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查平行线的性质、垂线段最短、平行公理、垂直性质，熟练掌握相关知识是解答的关键．
2．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，下列说法不正确的是（ ）
A．∠1和∠2互为邻补角B．∠1和∠4是内错角
C．∠2和∠3是同旁内角D．∠1和∠3是同位角
【答案】B
【分析】根据同位角、同旁内角、内错角和邻补角的概念解答即可．
【解析】解：A、∠1和∠2互为邻补角，正确，不符合题意；
B、∠1和∠4不是内错角，错误，符合题意；
C、∠2和∠3是同旁内角，正确，不符合题意；
D、∠1和∠3是同位角，正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查同位角、同旁内角、内错角和邻补角，熟练掌握同位角、内错角相等，同旁内角的定义是解题的关键．
3．（浙江省宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学2022-2023学年七年级下学期3月评估检测（一）数学试题）如图，点E在的延长线上，下列条件不能判定的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平行线判定定理逐个判断即可得到答案.
【解析】解：∵，∴，故A不符合题意；
∵，∴，故B符合题意；
∵，∴，故C不符合题意；
∵，∴，故D不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查平行线的判定：内错角相等两直线平行，同位角相等两直线平行，同旁内角互补两线平行．
4．（2023春·七年级单元测试）如图，在△ABC中，∠C＝90，D是边BC上一点，且∠ADC＝60，那么下列说法中错误的是（ ）
A．直线AD与直线BC的夹角为60B．直线AC与直线BC的夹角为90
C．线段CD的长是点D到直线AC的距离D．线段AB的长是点B到直线AD的距离
【答案】D
【分析】根据已知角即可判断A、B；根据点到直线的距离的定义即可判断C、D．
【解析】解：A、∵∠CDA＝60，
∴直线AD与直线BC的夹角是60，正确，故不符合题意；
B、∵∠ACD＝90，
∴直线AC与直线BC的夹角是90，正确，故不符合题意；
C、∵∠ACD＝90，
∴DC⊥AC，
∴线段CD的长是点D到直线AC的距离，正确，故不符合题意；
D、∵BD和AD不垂直，
∴线段AB的长不是点B到直线AD的距离，错误，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，以及直线与直线的夹角，注意：点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长．
5．（河南省新乡市辉县市市城北初级中学2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）如图，下列推理中，正确的是（ ）
A．如果，那么B．如果，那么
C．如果，那么D．如果，那么
【答案】B
【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可．
【解析】解：A、由内错角相等，两直线平行可知如果，那么，不能得到，故此选项不符合题意；
B、由内错角相等，两直线平行可知如果，那么，故此选项符合题意；
C、由同旁内角互补，两直线平行可知，如果，那么，故此选项不符合题意；
D、由同旁内角互补，两直线平行可知，如果，那么，故此选项不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．
6．（2022春·上海·七年级专题练习）设a、b、c为同一平面内的三条直线，下列判断不正确的是（ ）
A．若a//b，b//c，则a//cB．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．若a⊥b，b⊥c，则a//cD．若a//b，b⊥c，则a⊥c
【答案】B
【解析】根据平行线的判定定理及垂直的性质逐项进行分析即可解答．
【解答】解：A．根据平行于同一直线的两直线平行，即可推出a//c，则本选项正确，不合题意，
B．根据垂直于同一直线的两直线平行，即可推出a∥c，故本选项错误，符合题意，
C．根据垂直于同一直线的两直线平行，即可推出a∥c，本选项正确，不合题意，
D．根据平行线的性质，即可推出a⊥c，本选项正确，不合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的判定定理及性质、垂直的性质等知识点，灵活运用相关的性质定理并是解答本题的关键．
7．（第五章相交线与平行线单元检测卷（A卷）-2022-2023学年七年级数学下册《同步考点解读�专题训练》（人教版））如图，，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质和平角的定义即可得到结论．
【解析】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平角的定义，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．
8．（四川省达州市通川区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题）已知直线，将一块含30°角的直角三角板，按如图所示方式放置，其中A、B两点分别落在直线m、n上，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用平行线的性质求出即可解决问题．
【解析】解：如图，
∵，
∴，
由题意知：，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9．（2022春·上海·七年级专题练习）小明、小亮、小刚、小颖一起研究一道数学题．如图，已知EF⊥AB，CD⊥AB，
小明说：“如果还知道∠CDG＝∠BFE，则能得到∠AGD＝∠ACB．”
小亮说：“把小明的已知和结论倒过来，即由∠AGD＝∠ACB，可得到∠CDG＝∠BFE．”
小刚说：“∠AGD一定大于∠BFE．”
小颖说：“如果连接GF，则GF一定平行于AB．”
他们四人中，有（ ）个人的说法是正确的．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】由EF⊥AB，知CD∥EF，然后根据平行线的性质和判定即可得出答案．
【解析】解：已知EF⊥AB，CD⊥AB，∴CD//EF，
（1）若∠CDG＝∠BFE，
∵∠BCD＝∠BFE，
∴∠BCD＝∠CDG，
∴DG//BC，
∴∠AGD＝∠ACB．
（2）若∠AGD＝∠ACB，
∴DG//BC，
∴∠BCD＝∠CDG，∠BCD＝∠BFE，
∴∠CDG＝∠BFE．
（3）由题意知，EF//DC，
∴∠BFE＝∠DCB＜∠ACB，
如下图，
①当DG∥BC时，则∠AGD＝∠ACB＞∠BFE，
即∠AGD一定大于∠BFE；
②当GD（GD′、GD″）与BC不平行时，
如图，设DG∥BC，
当点G′在点G的上方时，
∵∠AG′D＞AGD，
由①知，∠AG′D一定大于∠BFE；
当点G″在点G的下方时，
见上图，则∠AG″D不一定大于∠BFE，
综上，∠AGD不一定大于∠BFE；
（4）如果连接GF，则GF不一定平行于AB；
综上知：正确的说法有两个．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，属于基础题，关键是掌握平行线的性质与判定．
10．（广东省江门市第二中学2021-2022学年七年级下学期第一次月考数学试题）如图，，平分，平分，，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到；所以①错误；由角平分线的定义得到，，根据垂直的定义得到，所以②正确；根据垂直的定义得到，求得，根据角的和差得到，等量代换得到；所以③正确；根据平行线的性质得到，，求得，根据角平分线的定义得到，求得，所以④错误．
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴；
所以①错误；
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
所以②正确；
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴；
所以③正确；
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，
所以④错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
二、填空题
11．（（培优特训）专项1.1平行线和三线八角-2022-2023学年七年级数学下册《同步考点解读�专题训练》（浙教版））如图所示，同位角一共有____对，分别是____；内错角一共有____对，分别是____；同旁内角一共有____对，分别是____．
【答案】 6 和，和，和，和，和，和 4 和，和，和，和 4 和，和，和，和
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义结合图形进行判断即可．
【解析】解：同位角一共有6对，分别是和，和，和，和，和，∠4和∠9；内错角一共有4对，分别是和，和，和，和；同旁内角一共有4对，分别是和，和，和，和．
故答案为：6，和，和，和，和，和，和；4，和，和，和，和；4，和，和，和，和．
【点睛】本题考查同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是正确判断的前提．
12．（辽宁省沈阳市第一二六中学2020-2021学年七年级下学期4月月考数学试题）下列说法中错误的是___________（填序号）
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行
②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段
③两条直线没有交点，则这两条直线平行
④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交
⑤过点A作直线l的垂线，垂足为B，则线段AB是点A到直线l的距离
【答案】①②③⑤
【分析】根据平行线、线段、垂线的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【解析】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①错误；
在同一平面内，两条不相交的线段可能是平行线段，也可能不是平行线段，故②错误；
在同一平面内，两条直线没有交点，则这两条直线平行，故③错误；
在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交，故④正确；
过点A作直线l的垂线，垂足为B，则线段AB的长是点A到直线l的距离，故⑤错误；
故答案为：①②③⑤．
【点睛】本题考查了平行线、直线、线段、垂线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、直线、线段的性质，从而完成求解．
13．（山东省枣庄市薛城区2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）平行线在生活中应用很广泛，人们为了准确地画出平行线，往往利用三角尺和直尺按照下面的方法去做：
第一步：作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB；
第二步：用直尺紧靠三角尺的另一条边；
第三步：沿直尺下移三角尺；
第四步：沿三角尺的边作出直线CD．这样，就得到．
请写出其中的道理：______．
【答案】同位角相等，两直线平行
【分析】根据作图过程可得∠1=∠2，根据平行线的判定可得答案．
【解析】解：如下图所示，
∵∠1=∠2，
∴(同位角相等，两直线平行)，
故答案为：同位角相等，两直线平行
【点睛】本题主要考查了复杂作图，关键是掌握同位角相等，两直线平行．
14．（2022春·七年级单元测试）如图，已知点O在直线上，是直角，，那么的度数为______
【答案】##54度
【分析】首先根据条件求出的度数，再结合即可求出．
【解析】解：是直角
故答案为
【点睛】本题考查了角的计算，找到角度之间的关系是解题关键．
15．（2023春·七年级单元测试）如图，，，若使，则可将直线b绕点A逆时针旋转___________度．
【答案】42
【分析】先根据邻补角进行计算得到，根据平行线的判定当b与a的夹角为时，，由此得到直线b绕点A逆时针旋转．
【解析】解：如图：
∵，
∴，
∵，
∴当时，，
∴直线b绕点A逆时针旋转．
故答案为：42．
【点睛】本题考查的是平行线的判定定理，熟知同位角相等，两直线平行是解答此题的关键．
16．（2023春·七年级单元测试）如图，已知直线经过点且，，则__________度．
【答案】60
【分析】由，根据内错角相等，两直线平行，得，再根据两直线平行，同位角相等，得，从而可得到答案．
【解析】解：，
，
，
故答案为：60．
【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，熟练掌握平行线的判定定理及性质定理是解题的关键．
17．（黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学校2021-2022学年七年级上学期期中学情检测数学（五四制）试题）如图，，把三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数为_________
【答案】35
【分析】先由直角三角板得，再由直线根据平行线的性质得出即可．
【解析】解：如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为35．
【点睛】题考查了学生对平行线性质的应用，关键是求出．
18．（山东省滨州市沾化区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，下列条件能判断的是__________（多选）．
① ② ③ ④
【答案】①③④
【分析】根据对顶角相等、平行线的判定逐个判断即可得．
【解析】解：①，根据内错角相等，两直线平行可判断；
②，根据同位角相等，两直线平行可判断；
③，根据同旁内角互补，两直线平行可判断；
④，
，根据同旁内角互补，两直线平行可判断；
综上，能判断的是①③④，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了对顶角相等、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．
19．（河南省南阳市第三中学2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个分别是___________．
【答案】或
【分析】设一个角度数为x，则另一个角度数为，根据等量关系，列出方程，即可求解．
【解析】∵两个角的两边分别平行，
∴两个角相等或互补，
设一个角度数为x，则另一个角度数为，
由题意得：或，解得：或．
∴或
答：这两个角的度数分别是：或．
故答案是：或．
【点睛】本题主要考查一元一次方程和角的运算综合，根据“两个角的两边分别平行”得：两个角相等或互补，是解题的关键．
20．（2022春·上海·七年级期中）如图，已知AD∥CE，∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，若∠AFC的余角等于2∠B的补角，则∠BAH的度数是_____．
【答案】60°##60度
【分析】首先设∠BAF＝x°，∠BCF＝y°，过点B作BMAD，过点F作FNAD，根据平行线的性质，可得∠AFC＝（x+2y）°，∠ABC＝（2x+y）°，又由∠F的余角等于2∠B的补角，可得方程：90﹣（x+2y）＝180﹣2（2x+y），继而求得答案．
【解析】解：设∠BAF＝x°，∠BCF＝y°，
∵∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，
∴∠HAF＝∠BAF＝x°，∠BCG＝∠BCF＝x°，∠BAH＝2x°，∠GCF＝2y°，
过点B作BMAD，过点F作FNAD，如图所示：
∵ADCE，
∴ADFNBMCE，
∴∠AFN＝∠HAF＝x°，∠CFN＝∠GCF＝2y°，∠ABM＝∠BAH＝2x°，∠CBM＝∠GCB＝y°，
∴∠AFC＝（x+2y）°，∠ABC＝（2x+y）°，
∵∠F的余角等于2∠B的补角，
∴90﹣（x+2y）＝180﹣2（2x+y），
解得：x＝30，
∴∠BAH＝60°．
故答案为：60°
【点睛】此题考查了平行线的性质与判定以及余角、补角的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，掌握数形结合思想与方程思想的应用．
三、解答题
21．（2022春·上海宝山·七年级校考阶段练习）按下列要求画图并填空：如图，直线AB与CD相交于点O，P是CD上的一点．
(1)过点P画出CD的垂线，交直线AB于点E；
(2)过点P画PF⊥AB，垂足为点F；
(3)点O到直线PE的距离是线段 的长；
(4)点P到直线CD的距离为 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)OP
(4)0
【分析】（1）根据垂线的定义，利用三角板的两条直角边画图即可；
（2）根据垂线的定义，利用三角板的两条直角边画图即可；
（3）根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度是这点到直线的距离解答即可；
（3）根据直线上的点到这条直线的距离等于0解答即可．
【解析】（1）解：如图，直线PE即为所求；
（2）解：如图，直线PF即为所求；
（3）解：点O到直线PE的距离是线段OP的长．
故答案为：OP；
（4）解：由图可知，点P到直线CD的距离为0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了垂线的作法，点到直线的距离等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（2021春·上海徐汇·七年级统考期中）如图：直线AB和CD相交于点O，，且，求：的度数
解：∵（已知）
∴ （垂直定义）
∵（_____________）
又∵
∴ （___________________）
∵（已知）
∴__________（等量代换）
∴___________(等式性质)
∴_______（等式性质）
【答案】；对顶角相等；；等量代换； ； ；．
【分析】根据垂直定义，对顶角相等的性质，进行等量代换求解即可．
【解析】解：∵（已知）
∴（垂直定义）
∵（对顶角相等）
又∵
∴（等量代换）
∵（已知）
∴（等量代换）
∴(等式性质)
∴（等式性质）．
【点睛】本题考查几何图形中角度计算，垂直定义，对顶角性质，等量代换概念，关键是要熟记定义和性质．
23．（广东省江门市蓬江区2021-2022学年七年级下学期期末调研考试数学试题）如图，已知点、在直线上，，平分，．
(1)求证： ；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由已知条件得出，根据同旁内角互补两直线平行，即可得证；
（2）根据已知条件得出，根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质即可求解．
【解析】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
24．（专题5.3平行线的性质（知识解读）-2022-2023学年七年级数学下册《同步考点解读�专题训练》（人教版））如图，已知平分，且．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）通过内错角相等推出平行线即可；
（2）通过平行线的性质推出角度的关系，等量代换直接求解即可．
【解析】（1）证明：∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查平行线的性质和判定，解题关键是利用平行线中内错角相等和同旁内角互补的数量关系求解．
25．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，点在上，已知，平分，平分．请说明的理由．
解：因为(已知)，
(______)，
所以(______)．
因为平分，
所以(______)．
因为平分，
所以______，
得(等量代换)，
所以______(______)．
【答案】平角的定义；同角的补角相等；角平分线的定义；∠AGC；；内错角相等，两直线平行
【分析】由题意可求得，再由角平分线的定义得，，从而得，即可判定．
【解析】解：（已知），
（平角的定义），
（同角的补角相等）．
平分，
（角平分线的定义）．
平分，
，
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：平角的定义；同角的补角相等；角平分线的定义；；；内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，补角的性质和平行线的判定，解答的关键是熟练掌握平行线的判定定理并灵活运用．
26．（辽宁省沈阳市和平区第一二六中学2022年八年级上学期12月月考数学试题）如图，，．
(1)求证：．
(2)若，，则的大小为___________．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由平行线的性质可得，等量代换即可得出，根据平行线的判定可得，由平行线的性质可得结合对顶角相等可得出；
（2）由平行线的性质，结合已知可得，可求得，根据平行线的性质即可求解．
【解析】（1）证明：∵，
∴，
∵；
∴，
∴，
∴，
∵
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定定理，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
27．（浙江省金华市兰溪市实验中学共同体2021-2022学年七年级下学期第一次学业反馈数学试题）如图，已知CFAG，E是直线AB上的一点，CE平分∠ACD，射线CF⊥CE，∠2＝58°．
(1)求∠ACE的度数；
(2)若∠1＝32°，说明：ABCD．
【答案】(1)32°
(2)见解析
【分析】（1）根据平行线的性质和垂直的定义即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义和平行线的判定定理即可得到结论．
（1）
解：∵CFAG，
∴∠FCH＝∠2＝58°，
∵CF⊥CE，
∴∠FCE＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣58°＝32°；
（2）
当∠1＝32°时，ABCD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，
∴∠DCE＝∠ACE＝32°，
∵∠1＝32°，
∴∠1＝∠DCE，
∴ABCD．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线定义，正确的识别图形是解题的关键．
28．（河南省信阳市浉河区信阳文华寄宿学校2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过点O作OD⊥OE，G是射线OB上一点，连接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．
(1)求证：∠AOE=∠ODG；
(2)若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)CDOE，理由见解析
【分析】（1）由OD⊥OE得到∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，再利用等角的余角相等即可证明∠AOE=∠ODG；
（2）证明∠EOC=∠C，利用内错角相等两直线平行，即可证明CDOE．
【解析】（1）证明：∵OD⊥OE，
∴∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，
∵∠ODG+∠DOG=90°，
∴∠AOE=∠ODG；
（2）解：CDOE．理由如下：
由（1）得∠AOE=∠ODG，
∵射线OE平分∠AOC，
∴∠AOE=∠EOC，
∵∠ODG=∠C，
∴∠EOC=∠C，
∴CDOE．
【点睛】本题考查了角平分线定义，垂直的定义，平行线的判定，等角的余角相等，正确识图是解题的关键．
29．（2022春·上海·七年级期中）（1）请你根据图1回答下列问题：
①若，可以得到哪两条线段平行？
②在①的结论下，如果，又能得到哪两条线段平行？
（2）请你在图2中按下面的要求画图(画图工具和方法不限)：过点A画于D，过点D画交于E，在线段上任取一点F，以F为顶点，为一边画，使，的另一边与线段交于点G．
（3）请你根据（2）中画图时给出的条件，猜想与的位置关系，并给予证明．
【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3），证明见解析
【分析】（1）①利用同旁内角互补，两直线平行判断即可；
②利用同位角相等，两直线平行判断即可；
（2）根据要求画图即可；
（3）根据两直线平行，内错角相等得到∠ADE=∠DAB，从而得到∠DAB=∠BFG，根据同位角相等，两直线平行得到，根据可得到结论．
【解析】解：（1）①∵，
∴．
②∵，
∴∠1=∠3
∵，
∴∠2=∠3，
∴．
(2)如图，
（3）．
证明：∵，
∴∠ADE=∠DAB．
又∵∠DAB=∠BFG，
∴∠DAB=∠BFG，
∴．
∵于D，
∴．
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，平行线的判定与性质．解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
30．（2022春·上海·七年级期中）请回答下列各题．
(1)探究：如图1，AB∥CD∥EF，试说明∠BCF＝∠B＋∠F．
(2)应用：如图2，AB∥CD，点F在AB、CD之间，FE与AB交于点M，FG与CD交于点N．若∠EFG＝115°，∠EMB＝55°，则∠DNG的大小是多少？
(3)拓展：如图3，直线CD在直线AB、EF之间，且AB∥CD∥EF，点G、H分别在直线AB、EF上，点Q是直线CD上的一个动点，且不在直线GH上，连结QG、QH．若∠GQH＝70°，则∠AGQ＋∠EHQ＝______度（请直接写出答案）．
【答案】(1)证明见解析
(2)60°
(3)70或290
【分析】（1）由 可得，∠B=∠BCD，∠F=∠DCF，从而可以证明结论成立；
（2）由∠MFN=∠AMF+∠CNF，则可得∠CNF的度数为60°，由对顶角相等可得；
（3）分两种情况讨论，即∠AGQ是钝角与∠AGQ是锐角时．
（1）
证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BCD．（两直线平行内错角相等），
同理可证，∠F＝∠DCF．
∵∠BCF＝∠BCD＋∠DCF，
∴∠BCF＝∠B＋∠F．（等量代换）
（2）
解：由探究可知：∠MFN＝∠AMF＋∠CNF，∠MFN＝115°，，
∴∠CNF＝∠DNG＝115°－55°＝60°．
故答案为：60°．
（3）
如图3中，当点Q在直线GH的右侧时，
∵AB∥CD∥EF，
∴∠AGQ+∠GQC=180°，∠CQH+∠EHQ=180°，
即∠AGQ+∠GQH+∠EHQ=180°，
∴∠AGQ＋∠EHQ＝360°－70°＝290°，
当点Q在直线GH的左侧时，由（1）的结论可得：
．
故答案为：70或290．
【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练运用平行线的性质是解题关键．