苏科版七年级数学下册满分冲刺卷专题01平面图形的认识(二)(原卷版+解析)

这是一份苏科版七年级数学下册满分冲刺卷专题01平面图形的认识(二)(原卷版+解析)，共38页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，下列说法错误的是（ ）
A．∠1与∠2是同旁内角B．∠3与∠5是同位角
C．∠1与∠4是内错角D．∠5与∠6是内错角
2．（2023春·江苏·七年级专题练习）下列说法中：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②同旁内角互补，两直线平行；
③直线外一点到这条直线的垂线段就是这个点到这条直线的距离；
④同一平面内两条不相交的直线一定平行．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2022春·江苏常州·七年级常州市清潭中学校考期中）如图中，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，下列条件中，不能判定的是（）
A．B．
C．D．
5．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知三条线段长分别为、、，若这三条线段首尾顺次联结能围成一个三角形，那么的取值范围是（ )
A．B．C．D．
6．（2022春·江苏淮安·七年级校考阶段练习）如图，直线，直线n上有一点A，分别作射线，交直线m于点B，C，且，已知，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023春·江苏·七年级校考阶段练习）如图，已知，若要，那么的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直角三角板的直角顶点放在直线b上，且，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直线，于点C，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
10．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，在一个长方形花园中，，，花园中建有一条长方形道路及一条平行四边形道路，若，则花园中可绿化部分的面积为（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023春·江苏·七年级校考阶段练习）一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次向左拐，第二次向左拐
B．第一次向右拐，第二次向左拐
C．第一次向左拐，第二次向左拐
D．第一次向左拐，第二次向右拐
12．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知， ， ，若，则为（ ）
A．23°B．33°C．44°D．46°
二、填空题
13．（2023春·江苏·七年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）如图，三角形平移得到三角形，已知，，则_______．
14．（2023春·江苏泰州·七年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）已知为的三边，化简： ______
15．（2023春·江苏·七年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）三角形的个内角度数之比为，则与之对应的个外角的度数之比为___________．
16．（2023春·江苏·七年级校考阶段练习）与是直线______ 、______ 被直线______ 所截得的______ ；（填序号）
（①，②，③，④，⑤，⑥同位角，⑦内错角，⑧同旁内角）
17．（2023秋·江苏盐城·七年级校考期末）如图，在中，点、分别是、的中点，，则＝_____．
18．（2022春·江苏常州·七年级常州市清潭中学校考期中）如图，中，，点、在、上，沿向内折叠，得，则图中等于 _____．
19．（2023春·江苏泰州·七年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变△ACD的位置（其中A点位置始终不变），使CDOB，则∠BAD＝_______
20．（2023春·江苏·七年级专题练习）下列各图中的与平行．
（1）图①中的_____度，图②中的_____度，图③中的_____度，图④中的_____度，…，第⑩个图中的_____度
（2）第n个图中的_____．
三、解答题
21．（2023春·七年级单元测试）如图，已知，，求证．
22．（2023春·七年级单元测试）如图，点在上，已知，平分，平分．请说明的理由．
解：因为(已知)，
(______)，
所以(______)．
因为平分，
所以(______)．
因为平分，
所以______，
得(等量代换)，
所以______(______)．
23．（2023春·七年级单元测试）如图，直线、交于点O，，分别平分和，已知，且．
(1)求的度数；
(2)试说明的理由．
24．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过点O作OD⊥OE，G是射线OB上一点，连接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．
(1)求证：∠AOE=∠ODG；
(2)若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．
25．（2023秋·江苏无锡·七年级统考期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点都叫做格点．已知点A、B、C均在格点上．
(1)在图中标出格点D，连接，使；
(2)在图中标出格点E，连接，使；
(3)在所画的图中，标出点F，使线段的长是点A到直线的距离；
(4)连接，若每个小正方形的边长为1，则的面积为___________．
26．（2022春·江苏常州·七年级常州市清潭中学校考期中）如图，，．
(1)试说明：；
(2)如果平分，求．
27．（2022春·江苏常州·七年级校考期中）如图，，．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的度数．
28．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，已知，求证：．
29．（2022春·江苏常州·七年级校考期中）阅读下列材料并解答问题：
在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的倍，那么这样的三角形我们称为特征三角形，其中称为特征角例如：一个三角形三个内角的度数分别是、、，这个三角形就是特征三角形，其中特征角为．反之，若一个三角形是“特征三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的倍．
(1)一个“特征三角形”的一个内角为，若“特征角”为锐角，则这个“特征角”的度数为 ．
(2)如图1，中，点在边上，平分交于点．
①若，，判断是否为“特征三角形”，并说明理由；
②若，是“特征三角形”，请直接写出的度数；
③如图2，若为线段上一点，且＋，．若是“特征三角形”，求的度数．
30．（2022春·江苏盐城·七年级校考阶段练习）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移4格．
(1)请在图中画出平移后的△A′B′C′；
(2)再在图中画出△A′B′C′的高C′D′，并求出四边形A′ACC′的面积．
31．（2022春·江苏盐城·七年级校考阶段练习）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，同时，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点．
(1)①如图1，中，，则的三条高所在直线交于点 ；
②如图2，中，，已知两条高、，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出的第三条高．（不写画法，保留作图痕迹）
【综合应用】
(2)如图3，在中，，平分，过点作于点．
①若，，则 ；
②请写出与，之间的数量关系 ，并说明理由．
【拓展延伸】
(3)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图4，中，是上一点，则有．如图5，中，是上一点，且，是的中点，若的面积是，请直接写出四边形的面积 ．（用含的代数式表示）
32．（2022春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）如图，直线ABCD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHD=α(0°<α<90°)．一个含30°角的直角三角板PMN中∠MPN=90°，∠PMN=60°．
(1)小安将直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，且在点G、H的右侧，证明：∠PNB+∠PMD=∠MPN；
(2)若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，点N、M分别在直线AB、CD上，如图②．
①当NOEF，PMEF时，求α的度数；
②小安将三角板PMN保持PMEF并向左平移，请直接写出在平移的过程中∠MON的度数：∠MON=______（用含α的式子表示）．
专题01 平面图形的认识（二）
一、单选题
1．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，下列说法错误的是（ ）
A．∠1与∠2是同旁内角B．∠3与∠5是同位角
C．∠1与∠4是内错角D．∠5与∠6是内错角
【答案】C
【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角分别进行分析可得答案．
【解析】解：A、∠1与∠2是同旁内角，原题说法正确，不符合题意；
B、∠3与∠5是同位角，原题说法正确，不符合题意；
C、∠1与∠4不是内错角，原题说法错误，符合题意；
D、∠5与∠6是内错角，原题说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
2．（2023春·江苏·七年级专题练习）下列说法中：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②同旁内角互补，两直线平行；
③直线外一点到这条直线的垂线段就是这个点到这条直线的距离；
④同一平面内两条不相交的直线一定平行．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】依据平行公理，平行线的判定，点到直线的距离的定义判定即可．
【解析】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；
②同旁内角互补，两直线平行，故本选项正确；
③直线外一点到这条直线的垂线段的长度就是点到直线的距离，故本选项错误；
④同一平面内两条不相交的直线一定平行，故本选项正确，
综上所述，说法正确的有②④共2个．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行等，熟记平行线的性质和公理是解题的关键．
3．（2022春·江苏常州·七年级常州市清潭中学校考期中）如图中，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理即可求出答案．
【解析】解：∵，
∴，
∵，
∴
故选：B．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是熟练运用三角形的内角和定理，本题属于基础题型．
4．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，下列条件中，不能判定的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；进行判断即可．
【解析】解：A．由，根据同旁内角互补，两直线平行，可得，；
B．由，根据内错角相等，两直线平行，可得；
C．由，根据内错角相等，两直线平行，可得，得不到；
D．由，根据同位角相等，两直线平行，可得．
故选∶C．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
5．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知三条线段长分别为、、，若这三条线段首尾顺次联结能围成一个三角形，那么的取值范围是（ )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进而得出答案．
【解析】解：∵三条线段长分别为、、，若这三条线段首尾顺次联结能围成一个三角形，
∴， 即a的取值范围是：．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系．掌握“用两条较短的线段相加，如果不大于最长那条线段就不能够组成三角形”是解本题的关键．
6．（2022春·江苏淮安·七年级校考阶段练习）如图，直线，直线n上有一点A，分别作射线，交直线m于点B，C，且，已知，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由得到，从而求得，再根据“两直线平行同位角相等可求解”．
【解析】解：如图，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵直线，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了垂直的定义、平行线的性质；解题的关键是求出，再灵活运用平行线的性质．
7．（2023春·江苏·七年级校考阶段练习）如图，已知，若要，那么的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由“对顶角相等”可得的对顶角等于，再根据“两直线平行，同旁内角互补”即可得解．
【解析】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是要熟练掌握平行线的性质．
8．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直角三角板的直角顶点放在直线b上，且，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据平行线的性质求出的度数，再由两角互余的性质求出的度数即可．
【解析】解：∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．
9．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直线，于点C，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据垂线的性质可得，进而得出与互余，再根据平行线的性质可得答案．
【解析】解：于点C，
，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
10．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，在一个长方形花园中，，，花园中建有一条长方形道路及一条平行四边形道路，若，则花园中可绿化部分的面积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】将道路平移到花园边上，则花园中可绿化部分的面积=S矩形KCPN，即可由矩形面积求解．
【解析】解：将道路平移到花园边上，如图，
则花园中可绿化部分的面积=S矩形KCPN= CK•CP =(a-c)(b-c)
故选：D．
【点睛】本题主要考查平移知识，矩形的面积，利用平移，将不规则图形变成规则图形求解是解题的关键．
11．（2023春·江苏·七年级校考阶段练习）一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次向左拐，第二次向左拐
B．第一次向右拐，第二次向左拐
C．第一次向左拐，第二次向左拐
D．第一次向左拐，第二次向右拐
【答案】D
【分析】首先根据作出图形，利用平行线的判定性质求出答案，注意排除法在选择题中的应用．
【解析】解：A、第一次向左拐，第二次向左拐，如图所示：
行驶方向与原方向不同，故本选项错误，不符合题意；
B、第一次向右拐，第二次向左拐，如图所示，
行驶方向与原方向不同，故本选项错误，不符合题意；
C、第一次向左拐，第二次向左拐，如图所示：
行驶方向与原方向不同，故本选项错误，不符合题意；
D、第一次向左拐，第二次向右拐，如图所示：
故本选项正确，符合题意．
故选D．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，难度不大，熟练掌握平行线的判定是解题关键．
12．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知， ， ，若，则为（ ）
A．23°B．33°C．44°D．46°
【答案】C
【分析】如图（见解析），先根据平行线的性质、角的和差可得 ，同样的方法可得，再根据角的倍分可得 ，由此即可得出答案．
【解析】如图，过点E作，则，
∴ ，
，
同理可得：，
，
∴，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
二、填空题
13．（2023春·江苏·七年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）如图，三角形平移得到三角形，已知，，则_______．
【答案】##70度
【分析】先根据平移的性质，得出，再根据三角形内角和，求出即可．
【解析】解：∵平移得到，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平移的性质和三角形内角和定理的应用，根据平移前后对应角相等，得出是解题的关键．
14．（2023春·江苏泰州·七年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）已知为的三边，化简： ______
【答案】
【分析】根据三角形的三边关系，以及绝对值的意义，进行化简即可．
【解析】解：∵为的三边，
∴，
∴
；
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值．熟练掌握三角形的三边关系，是解题的关键．
15．（2023春·江苏·七年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）三角形的个内角度数之比为，则与之对应的个外角的度数之比为___________．
【答案】
【分析】由一个三角形的三个内角度数之比为，根据三角形内角和定理，即可求得此三角形三个内角的度数，继而求得与之对应的三个外角度数，则可求得答案．
【解析】解：∵一个三角形的三个内角度数之比为，
∴三个内角分别为，，，
∴与之对应的三个外角度数分别为，
∴与之对应的三个外角度数之比为，
故答案为
【点睛】本题考查了三角形内角和定理与三角形外角的性质，注意掌握三角形内角和等于180°．
16．（2023春·江苏·七年级校考阶段练习）与是直线______ 、______ 被直线______ 所截得的______ ；（填序号）
（①，②，③，④，⑤，⑥同位角，⑦内错角，⑧同旁内角）
【答案】 ③ ④ ⑤ ⑦
【分析】根据内错角的概念求解即可．
【解析】与是直线、被直线所截得的内错角．
故答案为：③，④，⑤，⑦．
【点睛】本题考查了“三线八角”，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的图形特征是解题的关键．
17．（2023秋·江苏盐城·七年级校考期末）如图，在中，点、分别是、的中点，，则＝_____．
【答案】3
【分析】根据三角形面积公式，利用点为的中点得到，然后利用点为的中点得到．
【解析】∵点为的中点，，
∴，
∵点为的中点，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
18．（2022春·江苏常州·七年级常州市清潭中学校考期中）如图，中，，点、在、上，沿向内折叠，得，则图中等于 _____．
【答案】##120度
【分析】根据三角形的内角和等于求出的度数，再根据折叠的性质求出的度数，然后根据平角等于解答．
【解析】解：，
，
沿向内折叠，得，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，翻转变换的性质，整体思想的利用是解题的关键．
19．（2023春·江苏泰州·七年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变△ACD的位置（其中A点位置始终不变），使CDOB，则∠BAD＝_______
【答案】15°或165°
【分析】由平行内错角相等得：∠AEC=∠B=45°，再由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得α=15°．
【解析】解：设∠BAD=α，
∵CDOB，
∴∠AEC=∠B=45°，
∵∠D=30°，
∴α=∠BAD=45°-30°=15°，
∴当α=15°时，CDOB，
∴∠BAD=15°，
当CD在点A的上方时，
DC边与OB边平行时，
∴∠CEA=∠B=45°，
∴∠DAE=∠CEA-∠D=45°-30°=15°，
∴α=∠BAD=180°-15°=165°，
∠BAD=135°+30°=165°，
故答案为：15°或165°．
【点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．
20．（2023春·江苏·七年级专题练习）下列各图中的与平行．
（1）图①中的_____度，图②中的_____度，图③中的_____度，图④中的_____度，…，第⑩个图中的_____度
（2）第n个图中的_____．
【答案】 180 360 540 720 1620
【分析】（1）分别过、、．．．作的平行线，利用平行线的性质求解即可；
（2）根据（1）的计算总结出规律即可．
【解析】解：（1）∵，
∴，
如图，分别过、、．．．作MA1的平行线，
同理可得：图②中的，
图③中的，
图④中的，
…，
第⑩个图中的；
故答案为：180，360，540，720，1620；
（2）第n个图中的．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，图形规律探究，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．
三、解答题
21．（2023春·七年级单元测试）如图，已知，，求证．
【答案】见解析
【分析】根据对顶角相等及，推出，即可得到，再根据平行于同一直线的两直线平行得到结论．
【解析】证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】此题考查了平行线的判定定理：同位角相等两直线平行，以及平行线的推论：平行于同一直线的两直线平行，熟记定理是解题的关键．
22．（2023春·七年级单元测试）如图，点在上，已知，平分，平分．请说明的理由．
解：因为(已知)，
(______)，
所以(______)．
因为平分，
所以(______)．
因为平分，
所以______，
得(等量代换)，
所以______(______)．
【答案】平角的定义；同角的补角相等；角平分线的定义；∠AGC；；内错角相等，两直线平行
【分析】由题意可求得，再由角平分线的定义得，，从而得，即可判定．
【解析】解：（已知），
（平角的定义），
（同角的补角相等）．
平分，
（角平分线的定义）．
平分，
，
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：平角的定义；同角的补角相等；角平分线的定义；；；内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，补角的性质和平行线的判定，解答的关键是熟练掌握平行线的判定定理并灵活运用．
23．（2023春·七年级单元测试）如图，直线、交于点O，，分别平分和，已知，且．
(1)求的度数；
(2)试说明的理由．
【答案】(1)的度数为
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义推出，再根据对顶角性质求解即可；
（2）结合等量代换得出，根据“内错角相等，两直线平行”即可得解．
【解析】（1）解：∵，分别平分和，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，余角的性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．
24．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过点O作OD⊥OE，G是射线OB上一点，连接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．
(1)求证：∠AOE=∠ODG；
(2)若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)CDOE，理由见解析
【分析】（1）由OD⊥OE得到∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，再利用等角的余角相等即可证明∠AOE=∠ODG；
（2）证明∠EOC=∠C，利用内错角相等两直线平行，即可证明CDOE．
【解析】（1）证明：∵OD⊥OE，
∴∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，
∵∠ODG+∠DOG=90°，
∴∠AOE=∠ODG；
（2）解：CDOE．理由如下：
由（1）得∠AOE=∠ODG，
∵射线OE平分∠AOC，
∴∠AOE=∠EOC，
∵∠ODG=∠C，
∴∠EOC=∠C，
∴CDOE．
【点睛】本题考查了角平分线定义，垂直的定义，平行线的判定，等角的余角相等，正确识图是解题的关键．
25．（2023秋·江苏无锡·七年级统考期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点都叫做格点．已知点A、B、C均在格点上．
(1)在图中标出格点D，连接，使；
(2)在图中标出格点E，连接，使；
(3)在所画的图中，标出点F，使线段的长是点A到直线的距离；
(4)连接，若每个小正方形的边长为1，则的面积为___________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)
【分析】（1）结合方格作出平行线即可；
（2）结合方格，找出格点，作出垂线即可；
（3）根据点到直线的距离结合（2）即可；
（4）由方格组成的矩形面积减去三个三角形面积即可．
【解析】（1）解：如图所示，点D即为所求；
（2）如图所示，点E即为所求；
（3）由（2）中作图得,
∴，
∴线段的长是点A到直线的距离；
（4）如图所示：的面积为矩形面积减去三个三角形的面积，
即．
【点睛】题目主要考查在方格中作平行线、垂线，点到直线的距离，三角形面积等，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．
26．（2022春·江苏常州·七年级常州市清潭中学校考期中）如图，，．
(1)试说明：；
(2)如果平分，求．
【答案】(1)见解析；
(2)
【分析】(1)根据三角形的内角和即可得到的度数，再根据平行线的判定即可求出结论；
(2)根据角平分线的定义即可求得角相等，再根据三角形内角和即可求出．
【解析】（1）解：∵在中，，，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
【点睛】本题考查了三角形的内角和，平行线的判定，角平分线的定义，熟记三角形的内角和是解题的关键．
27．（2022春·江苏常州·七年级校考期中）如图，，．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】（1）由于，可判断，则，由得出，可判断出；
（2）由得出，得出的度数．
【解析】（1）解：．理由如下：
，
，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是平行线的判定和性质的灵活运用．
28．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，已知，求证：．
【答案】见解析
【分析】过点作，则，根据两直线平行，同旁内角互补，得出，，进而得出，然后整理，即可得出结论．
【解析】证明：如图，过点作，则，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解本题的关键在正确作出辅助线．
29．（2022春·江苏常州·七年级校考期中）阅读下列材料并解答问题：
在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的倍，那么这样的三角形我们称为特征三角形，其中称为特征角例如：一个三角形三个内角的度数分别是、、，这个三角形就是特征三角形，其中特征角为．反之，若一个三角形是“特征三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的倍．
(1)一个“特征三角形”的一个内角为，若“特征角”为锐角，则这个“特征角”的度数为 ．
(2)如图1，中，点在边上，平分交于点．
①若，，判断是否为“特征三角形”，并说明理由；
②若，是“特征三角形”，请直接写出的度数；
③如图2，若为线段上一点，且＋，．若是“特征三角形”，求的度数．
【答案】(1)
(2)①是为“特征三角形”理由见解析；②或或；③或
【分析】（1）根据新定义，结合三角形内角和定义进行计算即可求解；
（2）①根据角平分线的定义，以及垂直的关系得出，即可得证；
②设，分为特征角时，为特征角时，为特征角时，结合三角形内角和定理，根据新定义列出方程，解方程即可求解；
（3）设，根据已知条件证明，，继而得出在中，，，根据新定义列出方程，解方程即可求解．
【解析】（1）解：∵一个“特征三角形的一个内角为，若特征角为锐角，
设这个特征角的度数为，则另一个角为，
∴，
解得：，
∴这个特征角的度数为，
故答案为：．
（2）解：①∵，，
∴，
∵平分，
∴,
∵，
∴是为“特征三角形”；
②设，∵平分，
则，，则，
∵是“特征三角形”，
1）为特征角时，当时，
，则
当时，
，
解得：(舍去)
2）为特征角时，当时，
，则
当时，，
解得：(舍去)
3）为特征角时，当时，
，
解得：(舍去)
当
，
解得：，则，
综上所述，或或；
③设
∵＋，，
∴，
∴,
∴
又∵平分，
∴,
∴,
∵,
∴，
∴，
∴，
∴在中，，，
∵是“特征三角形”，
∴或，
解得：或，
即或．
【点睛】本题考查了几何新定义，三角形内角和定理，平行线的性质与判定，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
30．（2022春·江苏盐城·七年级校考阶段练习）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移4格．
(1)请在图中画出平移后的△A′B′C′；
(2)再在图中画出△A′B′C′的高C′D′，并求出四边形A′ACC′的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，32
【分析】（1）根据网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点即可；
（2）将四边形切割成两个三角形，再结合三角形的面积公式解答．
【解析】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求，
四边形的面积＝．
【点睛】本题考查基本作图——平移变换，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
31．（2022春·江苏盐城·七年级校考阶段练习）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，同时，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点．
(1)①如图1，中，，则的三条高所在直线交于点 ；
②如图2，中，，已知两条高、，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出的第三条高．（不写画法，保留作图痕迹）
【综合应用】
(2)如图3，在中，，平分，过点作于点．
①若，，则 ；
②请写出与，之间的数量关系 ，并说明理由．
【拓展延伸】
(3)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图4，中，是上一点，则有．如图5，中，是上一点，且，是的中点，若的面积是，请直接写出四边形的面积 ．（用含的代数式表示）
【答案】(1)①A；②见解析
(2)①；②
(3)
【分析】（1）①由直角三角形三条高的定义即可得出结论；②延长、交于点，连接，延长交于点，则为的第三条高；
（2）①由三角形内角和定理和角平分线定义得，再由直角三角形的性质得，即可求解；②由三角形内角和定理和角平分线定义求解即可；
（3）连接，由中线的性质得，同理，设，则，再求出，，然后由面积关系求出，即可解决问题．
【解析】（1）解：①直角三角形三条高的交点为直角顶点，，
的三条高所在直线交于点，
故答案为：；
②如图2，延长、交于点，连接，延长交于点，则为的第三条高；
（2）解：①，，
，
平分，
，
，
，
，
，
故答案为：；
②与，之间的数量关系为：，理由如下：
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）解：连接，如图5所示：
是的中点，
，
，
同理：，
设，
的面积是，
，
，
，
，
，，
，，
，，
，
即：，
解得：，
，
故答案为：．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了四边形面积的计算、三角形的高、三角形的中线、三角形内角和定理、三角形的面积等知识；本题综合性强，解题的关键是熟练掌握三角形的三条高交于一点和三角形面积关系．
32．（2022春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）如图，直线ABCD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHD=α(0°<α<90°)．一个含30°角的直角三角板PMN中∠MPN=90°，∠PMN=60°．
(1)小安将直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，且在点G、H的右侧，证明：∠PNB+∠PMD=∠MPN；
(2)若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，点N、M分别在直线AB、CD上，如图②．
①当NOEF，PMEF时，求α的度数；
②小安将三角板PMN保持PMEF并向左平移，请直接写出在平移的过程中∠MON的度数：∠MON=______（用含α的式子表示）．
【答案】(1)见解析
(2)①60°；②或
【分析】（1）过P点作PQAB，根据平行线的性质可得∠PNB=∠NPQ，∠PMD=∠QPM，进而可求解；
（2）①由平行线的性质可得∠ONM=∠PMN=60°，结合角平分线的定义可得∠ANO=∠ONM=60°，再利用平行线的性质可求解；②可分两种情况：点N在G的右侧时，点N在G的左侧时，利用平行线的性质及角平分线的定义计算可求解．
（1）
证明：过P点作PQAB，
∴∠PNB=∠NPQ，
∵ABCD，
∴PQCD，
∴∠PMD=∠QPM，
∴∠PNB+∠PMD=∠NPQ+∠QPM=∠MPN；
（2）
解：①∵NOEF，PMEF，
∴NOPM，
∴∠ONM=∠NMP，
∵∠PMN=60°，
∴∠ONM=∠PMN=60°，
∵NO平分∠MNO，
∴∠ANO=∠ONM=60°，
∵ABCD，
∴∠NOM=∠ANO=60°，
∴α=∠NOM=60°；
②点N在G的右侧时，如图②，
∵PMEF，∠EHD=α，
∴∠PMD=α，
∴∠NMD=60°+α，
∵ABCD，
∴∠ANM=∠NMD=60°+α，
∵NO平分∠ANM，
∴∠ANO=∠ANM=30°+α，
∵ABCD，
∴∠MON=∠ANO=30°+α；
点N在G的左侧时，如图，
∵PMEF，∠EHD=α，
∴∠PMD=α，
∴∠NMD=60°+α，
∵ABCD，
∴∠BNM+∠NMO=180°，∠BNO=∠MON，
∵NO平分∠MNG，
∴∠BNO= [180°-（60°+α）]=60°-α，
∴∠MON=60°-α，
综上所述，∠MON的度数为30°+α或60°-α．
故答案为：30°+α或60°- α．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，画出图形，分类讨论是解题的关键．