苏科版七年级数学下册满分冲刺卷特训02平面图形的基本认识(二)压轴题(题型归纳)(原卷版+解析)

这是一份苏科版七年级数学下册满分冲刺卷特训02平面图形的基本认识(二)压轴题(题型归纳)(原卷版+解析)，共91页。试卷主要包含了M型，情景探究类，动态问题，三角板问题等内容，欢迎下载使用。
解答题
一、M型、笔尖型、鸡翅型、骨折型
1．如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；
(1)若∠E＝60°，则∠F＝ ；
(2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；
(3)如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．
2．如图1，AB//CD，E是AB，CD之间的一点．
(1)判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图2，若∠BAE，∠CDE的角平分线交于点F，直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；
(3)将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．
3．已知AB//CD．
（1）如图1，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D；
（2）如图，连接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于点F．
①如图2，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度数．
②如图3，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BFD的度数．（用含有α，β的式子表示）
4．已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．
（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为： ；（不需要证明）
如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为： ；（不需要证明）
（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数；
（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．
5．如图1，点、分别在直线、上，，.
（1）求证：；（提示：可延长交于点进行证明）
（2）如图2，平分，平分，若，求与之间的数量关系；
（3）在（2）的条件下，如图3，平分，点在射线上，，若，直接写出的度数．
6．已知，直角的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E，F点，且．
（1）将直角如图1位置摆放，如果，则________；
（2）将直角如图2位置摆放，N为上一点，，请写出与之间的等量关系，并说明理由；
（3）将直角如图3位置摆放，若，延长交直线b于点Q，点P是射线上一动点，探究与的数量关系，请直接写出结论．
7．如图，已知AB∥CD．
（1）如图1所示，∠1+∠2＝ ；
（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝ ；并写出求解过程．
（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ；
（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝ ．
8．AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点．
（1）如图1，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度数．
9．如图1，已知AB//CD，P是直线AB，CD外的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，满足∠FPE＝60°．
（1）求∠AEP的度数；
（2）如图2，射线PN从PE出发，以每秒10°的速度绕P点按逆时针方向匀速旋转，当PN到达PF时立刻返回至PE，然后继续按上述方式旋转；射线EM从EA出发，以相同的速度绕E点按顺时针方向旋转至EP后停止运动，此时射线PN也停止运动．若射线PN、射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒．
①当射线PN平分∠EPF时，求∠MEP的度数（0°＜∠MEP＜180°）；
②当直线EM与直线PN相交所成的锐角是60°时，则t＝ ．
10．已知，，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，作的平分线交于点，点为上一点，连接，若的平分线交线段于点，连接，若，过点作交的延长线于点，且，求的度数．
11．已知，点为平面内一点，于．
（1）如图1，点在两条平行线外，则与之间的数量关系为______；
（2）点在两条平行线之间，过点作于点．
①如图2，说明成立的理由；
②如图3，平分交于点平分交于点．若，求的度数．
12．（1）如图（1）AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由．
（2）观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．
（3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由．
13．（1）如图，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度数；
（2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数．
（3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数．
14．已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；
（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 ．
（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．
15．如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间．
（1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；
（2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求证：∠MCA＝∠DCE；
（3）如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度数．
16．综合与探究
【问题情境】
王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动
（1）如图1，，点、分别为直线、上的一点，点为平行线间一点，请直接写出、和之间的数量关系；

【问题迁移】
（2）如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交、于点、，直线分别交、于点、，点在射线上运动，
①当点在、（不与、重合）两点之间运动时，设，．则，，之间有何数量关系？请说明理由．
②若点不在线段上运动时（点与点、、三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出，，之间的数量关系．
二、情景探究类
17．【探究】
(1)如图1，，，和的平分线交于点，则 ；
(2)如图2，，，且，和的平分线交于点，则 ；（用表示）
(3)如图3，，，当和的平分线、平行时，应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论．
【挑战】
(4)如果将（2）中的条件改为，再分别作和的平分线，你又可以找到怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论．
18．几何模型在解题中有着重要作用，例如美味的“猪蹄模型”．
(1)导入：如图①，已知，如果，，那么 ；
(2)发现：如图②，已知，请判断与，之间的数量关系，并说明理由；
(3)运用：(i)如图③，已知，，点、分别在、上，，如果 ，那么 ；
如图④，已知，点、分别在、上， 、分别平分和． 如果，那么 ；
如图⑤，已知，点、分别在、上， 、分别平分和，且． 如果，那么 ．(用含的代数式表示)
19．综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．
(1)如图1，，点A，B分别为直线，上的一点，点P为平行线间一点且，，求度数；
问题迁移
(2)如图2，射线与射线交于点O，直线 ，直线m分别交于点A，D，直线n分别交于点B，C，点P在射线上运动．
①当点P在A，B（不与A，B重合）两点之间运动时，设，．则之间有何数量关系？请说明理由；
②若点P不在线段上运动时（点P与点A，B，O三点都不重合），请你直接写出间的数量关系．
20．（1）【阅读理解】如图①，和的边互相平行，边与交于点E．若，，求的度数．
老师在黑板上写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程．
解：如图②，过点E作，
∴（___________）．
∵，
∴．
∵，
∴（___________）
∴___________．
∵，
∴．
∴___________．
（2）【问题迁移】如图③，D、E分别是的边、上的点，在直线的右侧作的平行线分别交边、于点F、G．点P是线段上一点，连接、，若，，求的度数．
（3）【拓展应用】如图④，D、E分别是的边、上的点，在直线的右侧作的平行线分别交边、于点F、G．点P是射线上一点，连接、，若，，直接写出与、之间的数量关系．
21．【问题呈现】
小明在学习中遇到这样一个问题：
如图1，在中，，平分，于D，猜想、、的数量关系．
(1)小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路．于是尝试代入、的值求值，得到下面几组对应值：
上表中＿＿＿＿，于是得到与、的数量关系为＿＿＿＿．
【变式应用】
(2)小明继续研究，在图2中，，，其他条件不变，若把“于D”改为“F是线段上一点，于D”，求的度数，并写出与、的数量关系：
【思维发散】
(3)小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，在图3中，若把（2）中的“点F在线段 上”改为“点F是延长线上一点”，其余条件不变，当，时，∠F度数为＿＿＿＿°．
【能力提升】
在图4中，若点F在 的延长线上，于D，，，其余条件不变，从别作出 和的角平分线，交于点P，试用 x、y表示＿＿＿＿．
三、动态问题
22．如图1，直线上有一点，过点在直线上方作射线，将一直角三角板的直角顶点放在处，，，一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角板绕着点按每秒10°的速度逆时针旋转一周停止，设旋转时间为t秒，且．
(1)若射线的位置保持不变，则当旋转时间______秒时，边所在直线与平行；
(2)如图2，在旋转的过程中，若射线的位置保持不变，是否存在某个时刻，使得射线，与中的某一条射线是另两条射线所成夹角的平分线？若存在，求出所有满足题意的的取值，若不存在，请说明理由；
23．如图1，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，当点E落在射线的反向延长线上时，即停止旋转．
(1)如图2，当边落在内，
①与之间存在怎样的数量关系？试说明理由；
②过点A作射线，，若，，求的度数；
(2)设的旋转速度为3°/秒，旋转时间为t，若它的一边与的某一边平行（不含重合情况），试写出所有符合条件的t的值．
24．如图1，已知两条直线、被直线所截，分别交于点、点，平分交于点，且．
(1)判断直线与直线是否平行，并说明理由；
(2)如图2，点是射线上一动点（不与点、重合），平分交于点，过点作于点，设，．
①当点在点的右侧时，若，求的度数；
②当点在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
25．已知，，直线交于点E，交于点F，点M在线段上，过M作射线分别交射线、于点N、Q．
(1)如图1，当时，求的度数．
(2)如图2，若和的角平分线交于点G，求和的数量关系．
(3)如图3，当，且时，作的角平分线．把一三角板的直角顶点O置于点M处，两直角边分别与和重合，将其绕点O点顺时针旋转，速度为每秒，当落在上时，三角板改为以相同速度逆时针旋转．三角板开始运动的同时绕点N以每秒的速度顺时针旋转，记旋转中的为，当和重合时，整个运动停止．设运动时间为t秒，当的一边和三角板的一直角边互相平行时，请直接写出t的值．
26．在平面直角坐标系中，有点，且m，n满足．
(1)求A、B两点坐标；
(2)如图1，直线l⊥x轴，垂足为点．点P为直线l上任意一点，若的面积为，求点P的坐标；
(3)如图2，点D为y轴负半轴上一点，过点D作，E为线段AB上任意一点，以O为顶点作，使交于F．点G为线段与线段之间一点，连接，且．当点E在线段上运动时，始终垂直于，试写出与之间的数量关系，并证明你的结论．
27．如图，直角三角形与直角三角形的斜边在同一直线上，，平分，将绕点按逆时针方向旋转，记为，在旋转过程中：
(1)如图，，当______时，，当______时，；
(2)如图，，当顶点在内部时（不包含边界），边、分别交、的延长线于点、，
①此时的度数范围是______．
②与度数的和是否变化？若不变，求出与的度数和；若变化，请说明理由：______．
(3)如图，将绕点按逆时针方向旋转过程中，边与射线有交点，边与射线有交点，则与有什么关系______．
(4)如图，将绕点按逆时针方向旋转过程中，边与射线有交点，边与射线有交点、请在备用图中画出其他可能位置，并写出与的关系______．
28．如图，直线PQMN，一副直角三角板△ABC、△DEF中，∠ACB=∠EDF=90°，∠ABC=∠BAC=45°，∠DFE=30°，∠DEF=60°．
(1)若△DEF如图1摆放，当ED平分∠PEF时，则∠DFM= ．
(2)若图2中△ABC固定，将△DEF沿着AC方向平移，边DF与直线PQ相交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H（如图3），求∠GHF的度数．
(3)若图2中△DEF固定，（如图4）将△ABC绕点A顺时针旋转，1分钟转半圈，旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与△DEF的一条边平行时，请直接写出旋转的时间．（单位必须化成秒）
四、三角板问题
29．如图，直线MN的同侧放置着角度分别为45°、45°、90°的三角板OAB和角度分别为30°、60°、90°的三角板OCD．点A、O、C在直线MN上，点O、B、D三点共线，OA=OB=OC=3cm．
(1)如图1，连接BC，则∠BCD=_________．
(2)如图2，把三角板OAB向右沿NM方向平移1cm得△，交OD于点G，求四边形的面积．
(3)如图3，三角板OAB绕着点O旋转，当ABMN时，AB与OD交于点H，在OA上取一点P，∠PHO的角平分线HQ与线段BO的延长线交于点Q，试探索∠AHP与∠HQB的数量关系，并说明理由．
(4)如图4，若将图1中的三角板OAB绕着点O以每秒5°的速度顺时针旋转一周，当边OA或OB与边CD平行时，求旋转时间t的值．
30．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°）：
(1)①若∠DCE＝45°，则∠ACB的度数为 ；
②若∠ACB＝140°，求∠DCE的度数；
(2)由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；
(3)当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
31．如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中∠ACB．，固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角．
(1)当为___度时，；
(2)在旋转过程中，试探究∠CAD与∠BAE之间的关系；
(3)当△ADE旋转速度为/秒时，且它的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，请直接写出时间t的所有值．
32．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，，，）．
(1)若，则________；
(2)如图1，________；若点E在的上方，设，则________（用含β的式子表示）；
(3)当且点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合．
①当（如图2）时，直接写出________﹔
②当时，直接写出________；
(4)在（3）的条件下，当且点E在直线的上方，（3）中的两种情况除外，这两块三角板是否还存在一组边互相平行，若存在，请直接写出此时所有可能的角度数值为________，若不存在，请说明理由．
/度
10
30
30
20
20
/度
70
70
60
60
80
/度
30
a
15
20
30
特训02 平面图形的基本认识（二）压轴题（题型归纳）
目录：一、M型、笔尖型、鸡翅型、骨折型；二、情景探究类；三、动态问题；四、三角板问题
解答题
一、M型、笔尖型、鸡翅型、骨折型
1．如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；
(1)若∠E＝60°，则∠F＝ ；
(2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；
(3)如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）如图1，分别过点，作，，根据平行线的性质得到，，，代入数据即可得到结论；
（2）如图1，根据平行线的性质得到，，由，，得到，根据平行线的性质得到，于是得到结论；
（3）如图2，过点作，设，则，根据角平分线的定义得到，，根据平行线的性质得到，，于是得到结论．
【解析】（1）解：如图1，分别过点，作，，
，
，，
又，，
，
，
又，
，
，，
；
故答案为：；
（2）解：如图1，分别过点，作，，
，
，，
又，，
，
，
又，
，
，，
，
；
（3）解：如图2，过点作，
由（2）知，，
设，则，
平分，平分，
，，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
2．如图1，AB//CD，E是AB，CD之间的一点．
(1)判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图2，若∠BAE，∠CDE的角平分线交于点F，直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；
(3)将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）作EF∥AB，如图1，则EF∥CD，利用平行线的性质得∠1=∠EAE，∠2=∠CDE，从而得到∠BAE+∠CDE=∠AED
（2）如图2，由（1）的结论得∠AFD=∠BAE，∠CDF=∠CDE，则∠AFD=（∠BAE+∠CDE），加上（1）的结论得到∠AFD=∠AED；
（3）由（1）的结论得∠AGD=∠BAF+∠CDG，利用折叠性质得∠CDG=4∠CDF，再利用等量代换得到∠AGD=2∠AED-∠BAE，加上90°-∠AGD=180°-2∠AED，从而计算出∠BAE的度数．
【解析】（1）∠BAE+∠CDE=∠AED
理由如下：
作EF∥AB，如图1
∵AB∥CD
∴EF∥CD
∴∠1=∠BAE，∠2=∠CDE
∴∠BAE+∠CDE=∠AED
（2）如图2，由（1）的结论得
∠AFD=∠BAF+∠CDF
∵∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F
∴∠BAF=∠BAE，∠CDF=∠CDE
∴∠AFE=（∠BAE+∠CDE）
∵∠BAE+∠CDE=∠AED
∴∠AFD=∠AED
（3）由（1）的结论得∠AGD=∠BAF+∠CDG
而射线DC沿DE翻折交AF于点G
∴∠CDG=4∠CDF
∴∠AGD=∠BAF+4∠CDF=∠BAE+2∠CDE=∠BAE+2（∠AED-∠BAE）=2∠AED-∠BAE
∵90°-∠AGD=180°-2∠AED
∴90°-2∠AED+∠BAE=180°-2∠AED
∴∠BAE=60°
【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
3．已知AB//CD．
（1）如图1，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D；
（2）如图，连接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于点F．
①如图2，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度数．
②如图3，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BFD的度数．（用含有α，β的式子表示）
【答案】（1）见解析；（2）55°；（3）
【分析】（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；
（2）①如图2，过点作，当点在点的左侧时，根据，，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求的度数；
②如图3，过点作，当点在点的右侧时，，，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求出的度数．
【解析】解：（1）如图1，过点作，
则有，
，
，
，
；
（2）①如图2，过点作，
有．
，
．
．
．
即，
平分，平分，
，，
．
答：的度数为；
②如图3，过点作，
有．
，
，
．
．
．
即，
平分，平分，
，，
．
答：的度数为．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
4．已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．
（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为： ；（不需要证明）
如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为： ；（不需要证明）
（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数；
（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．
【答案】（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不变，30°
【分析】（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；
（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，进而可求解；
（3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ=∠BME，进而可求解．
【解析】解：（1）过E作EH∥AB，如图1，
∴∠BME＝∠MEH，
∵AB∥CD，
∴HE∥CD，
∴∠END＝∠HEN，
∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，
即∠BME＝∠MEN﹣∠END．
如图2，过F作FH∥AB，
∴∠BMF＝∠MFK，
∵AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠FND＝∠KFN，
∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，
即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，
∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，
∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，
∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
解得∠BMF＝60°，
∴∠FME＝2∠BMF＝120°；
（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．
由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，
∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，
∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME＋∠END），∠ENP＝∠END，
∵EQ∥NP，
∴∠NEQ＝∠ENP，
∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝（∠BME＋∠END）﹣∠END＝∠BME，
∵∠BME＝60°，
∴∠FEQ＝×60°＝30°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键．
5．如图1，点、分别在直线、上，，.
（1）求证：；（提示：可延长交于点进行证明）
（2）如图2，平分，平分，若，求与之间的数量关系；
（3）在（2）的条件下，如图3，平分，点在射线上，，若，直接写出的度数．
【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）或．
【分析】（1）根据平行线的判定与性质求证即可；
（2）根据三角形的内角和为180°和平角定义得到，结合平行线的性质得到，再根据角平分线的定义证得，结合已知即可得出结论；
（3）分当在直线下方和当在直线上方两种情况，根据平行线性质、三角形外角性质、角平分线定义求解即可．
【解析】解：（1）如图1，延长交于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）延长交于点，交于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，，
∴；
（3）当在直线下方时，如图，设射线交于，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
即，
解得：．
当在直线上方时，如图，同理可证得，
则有，
解得：．
综上，故答案为或．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形的外角性质、三角形的内角和定理、平角定义、角度的运算，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
6．已知，直角的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E，F点，且．
（1）将直角如图1位置摆放，如果，则________；
（2）将直角如图2位置摆放，N为上一点，，请写出与之间的等量关系，并说明理由；
（3）将直角如图3位置摆放，若，延长交直线b于点Q，点P是射线上一动点，探究与的数量关系，请直接写出结论．
【答案】（1）146°；（2）∠AOG+∠NEF=90°；（3）见解析
【分析】（1）作CP//a，则CP//a//b，根据平行线的性质求解．
（2）作CP//a，由平行线的性质及等量代换得∠AOG+∠NEF=∠ACP+∠PCB=90°．
（3）分类讨论点P在线段GF上或线段GF延长线上两种情况，过点P作a，b的平行线求解．
【解析】解：（1）如图，作CP//a，
∵a//b，CP//a，
∴CP//a//b，
∴∠AOG=∠ACP=56°，∠BCP+∠CEF=180°，
∴∠BCP=180°-∠CEF，
∵∠ACP+∠BCP=90°，
∴∠AOG+180°-∠CEF=90°，
∴∠CEF=180°-90°+∠AOG=146°．
（2）∠AOG+∠NEF=90°.理由如下：
如图，作CP//a，则CP//a//b，
∴∠AOG=∠ACP，∠BCP+∠CEF=180°，
∵∠NEF+∠CEF=180°，
∴∠BCP=∠NEF，
∵∠ACP+∠BCP=90°，
∴∠AOG+∠NEF=90°．
（3）如图，当点P在GF上时，作PN//a，连接PQ，OP,则PN//a//b，
∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ，
∴∠OPQ=∠OPN+∠NPQ=∠GOP+∠PQF,
∵∠GOC=∠GOP+∠POQ=135°，
∴∠GOP=135°-∠POQ，
∴∠OPQ=135°-∠POQ+∠PQF．
如图，当点P在GF延长线上时，作PN//a，连接PQ，OP,则PN//a//b，
∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ，
∵∠OPN=∠OPQ+∠QPN，
∴∠GOP=∠OPQ+∠PQF，
∴135°-∠POQ=∠OPQ+∠PQF．
【点睛】本题考查平行线的性质的应用，解题关键是熟练掌握平行线的性质，通过添加辅助线及分类讨论的方法求解．
7．如图，已知AB∥CD．
（1）如图1所示，∠1+∠2＝ ；
（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝ ；并写出求解过程．
（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ；
（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝ ．
【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180°
【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案；
（2）过点E作AB的平行线，转化成两个图1，同理可得答案；
（3）过点E，点F分别作AB的平行线，转化成3个图1，可得答案；
（4）由（2）（3）类比可得答案．
【解析】解：（1）如图1，∵AB∥CD，
∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：180°；
（2）如图2，过点E作AB的平行线EF，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF，CD∥EF，
∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，
∴∠1+∠2+∠3=360°；
（3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线，
类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°，
故答案为：540°；
（4）如图4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°，
故答案为：（n-1）×180°．
【点睛】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．
8．AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点．
（1）如图1，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度数．
【答案】（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，证明详见解析；（2）∠APC＝∠A−∠C，证明详见解析；（3）55°．
【分析】（1）首先过点P作PQ∥AB，结合题意得出AB∥PQ∥CD，然后由“两直线平行，同旁内角互补”进一步分析即可证得∠A+∠C+∠APC＝360°；
（2）作PQ∥AB，结合题意得出AB∥PQ∥CD，根据“两直线平行，内错角相等”进一步分析即可证得∠APC＝∠A−∠C；
（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB−∠PCD，先利用平行线性质得出∠BEF＝∠PQB＝110°，然后进一步得出∠PEG＝∠FEG，∠GEH＝∠BEG，最后根据∠PEH＝∠PEG−∠GEH即可得出答案．
【解析】（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，证明如下：
如图1所示，过点P作PQ∥AB，
∴∠A+∠APQ＝180°，
又∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C+∠CPQ＝180°，
∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ＝360°，
即∠A+∠C+∠APC＝360°；
（2）∠APC＝∠A−∠C，证明如下：
如图2所示，过点P作PQ∥AB，
∴∠A＝∠APQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C＝∠CPQ，
∵∠APC＝∠APQ−∠CPQ，
∴∠APC＝∠A−∠C；
（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB−∠PCD，
∵∠APC＝30°，∠PAB＝140°，
∴∠PCD＝110°，
∵AB∥CD，
∴∠PQB＝∠PCD＝110°，
∵EF∥PC，
∴∠BEF＝∠PQB＝110°，
∵∠PEG＝∠PEF，
∴∠PEG＝∠FEG，
∵EH平分∠BEG，
∴∠GEH＝∠BEG，
∴∠PEH＝∠PEG−∠GEH
＝∠FEG−∠BEG
＝∠BEF
＝55°．
【点睛】本题主要考查了利用平行线性质与角平分线性质求角度的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
9．如图1，已知AB//CD，P是直线AB，CD外的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，满足∠FPE＝60°．
（1）求∠AEP的度数；
（2）如图2，射线PN从PE出发，以每秒10°的速度绕P点按逆时针方向匀速旋转，当PN到达PF时立刻返回至PE，然后继续按上述方式旋转；射线EM从EA出发，以相同的速度绕E点按顺时针方向旋转至EP后停止运动，此时射线PN也停止运动．若射线PN、射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒．
①当射线PN平分∠EPF时，求∠MEP的度数（0°＜∠MEP＜180°）；
②当直线EM与直线PN相交所成的锐角是60°时，则t＝ ．
【答案】（1）150°；（2）①∠MEP＝60°或120°；②或
【分析】（1）根据平行线的性质及三角形外角性质可得答案；
（2）①由角平分线的定义得∠EPN＝30°，再根据三角形外角性质可得答案；
②利用三角形外角性质列出方程，通过解方程即可得到问题的答案．
【解析】解：（1）如图1，∵AB//CD，PF⊥CD，
∴PF⊥AB，
∴∠AMP＝90°，
∵∠FPE＝60°，
∴∠AEP＝∠FPE +∠AMP ＝150°；
（2）如图2，①当PN平分∠EPF时，∠EPN＝30°时，
运动时间t＝ ＝3（秒），此时ME也运动了3秒，
∴∠AEM＝3×10°＝30°，
∴∠MEP＝150°﹣30°＝120°；
PN继续运动至PF时，返回时，当PN平分∠EPF时，运动时间至 ＝9（秒）时，此时ME也运动了9秒，
∴∠AEM＝9×10°＝90°，
∴∠MEP＝150°﹣90°＝60°；
当第二次PE运动至PF时，当PN平分∠EPF时，运动了（秒）
∴∠AEM＝15×10°＝150°，
∴∠MEP＝150°﹣150°＝0°，不符合题意；
综上所述，∠MEP的度数为60°或120°；
②如图3，
当0≤t≤6时，此时∠EPN＝∠AEM＝10t，∠NEH＝10t，∠PEN＝30°，
∠PHE＝180°﹣∠HPE﹣∠PEH＝180°﹣10t﹣30°﹣10t＝150°﹣20t，
当150°﹣20t＝120°时，t＝ ，
当150°﹣20t＝60°时，t＝ ；
当6＜t≤12时，此时∠EPN＝120°﹣10t，∠NEH＝∠AEM＝10t，∠PEN＝30°，
∠PHE＝30°，不成立，
当12＜t≤15时，此时∠EPN＝10t﹣120°，∠NEH＝∠AEM＝10t，∠PEN＝30°，
∠PHE＝270°﹣20t，
∠PHE＝270°﹣20t＝60°时，t＝ （不合题意），∠PHE＝270°﹣20t＝120°，t＝ （不合题意）
故答案为：或．
【点睛】此题考查了平行线的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质及三角形外角性质是解决此题关键．
10．已知，，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，作的平分线交于点，点为上一点，连接，若的平分线交线段于点，连接，若，过点作交的延长线于点，且，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据平行线的性质得出，再根据等量代换可得，最后根据平行线的判定即可得证；
（2）过点E作，延长DC至Q，过点M作，根据平行线的性质及等量代换可得出，再根据平角的含义得出，然后根据平行线的性质及角平分线的定义可推出；设，根据角的和差可得出，结合已知条件可求得，最后根据垂线的含义及平行线的性质，即可得出答案．
【解析】（1）证明：
；
（2）过点E作，延长DC至Q，过点M作
，，，
AF平分
FH平分
设
，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的定义，能灵活根据平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．
11．已知，点为平面内一点，于．
（1）如图1，点在两条平行线外，则与之间的数量关系为______；
（2）点在两条平行线之间，过点作于点．
①如图2，说明成立的理由；
②如图3，平分交于点平分交于点．若，求的度数．
【答案】（1）∠A+∠C=90°；（2）①见解析；②105°
【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；
（2）①过点B作BG∥DM，根据平行线找角的联系即可求解；②先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得2α+β+3α+3α+β=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．
【解析】解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O，
∵AM∥CN，
∴∠C=∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠A+∠AOB=90°，
∴∠A+∠C=90°；
（2）①如图2，过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，
∴∠DBG=90°，
∴∠ABD+∠ABG=90°，
∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG=90°，
∴∠ABD=∠CBG，
∵AM∥CN，BG∥DM，

∴∠C=∠CBG，
∠ABD=∠C；
②如图3，过点B作BG∥DM，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，
由（2）知∠ABD=∠CBG，
∴∠ABF=∠GBF，
设∠DBE=α，∠ABF=β，
则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，
∠GBF=∠AFB=β，
∠BFC=3∠DBE=3α，
∴∠AFC=3α+β，
∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，
∴∠FCB=∠AFC=3α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得：
2α+β+3α+3α+β=180°，
∵AB⊥BC，
∴β+β+2α=90°，
∴α=15°，
∴∠ABE=15°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．
12．（1）如图（1）AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由．
（2）观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．
（3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由．
【答案】（1）∠B+∠BPD+∠D=360°，理由见解析；（2）∠BPD=∠B+∠D，理由见解析；（3）∠BPD=∠D-∠B或∠BPD=∠B-∠D，理由见解析
【分析】（1）过点P作EF∥AB，根据两直线平行，同旁内角互补即可求解；
（2）首先过点P作PE∥AB，由AB∥CD，可得PE∥AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可得∠1=∠B，∠2=∠D，则可求得∠BPD=∠B+∠D．
（3）由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得∠BPD与∠B、∠D的关系．
【解析】解：（1）如图（1）过点P作EF∥AB，
∴∠B+∠BPE=180°，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠EPD+∠D=180°，
∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°，
∴∠B+∠BPD+∠D=360°．
（2）∠BPD=∠B+∠D．
理由：如图2，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠1=∠B，∠2=∠D，
∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D．
（3）如图（3），∠BPD=∠D-∠B．
理由：∵AB∥CD，
∴∠1=∠D，
∵∠1=∠B+∠BPD，
∴∠D=∠B+∠BPD，
即∠BPD=∠D-∠B；
如图（4），∠BPD=∠B-∠D．
理由：∵AB∥CD，
∴∠1=∠B，
∵∠1=∠D+∠BPD，
∴∠B=∠D+∠BPD，
即∠BPD=∠B-∠D．
【点睛】此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质．此题难度不大，解题的关键是注意掌握平行线的性质，注意辅助线的作法．
13．（1）如图，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度数；
（2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数．
（3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数．
【答案】（1）∠ABE=40°；（2）∠ABE=30°；（3）∠MGN=15°．
【分析】（1）过E作EMAB，根据平行线的判定与性质和角平分线的定义解答即可；
（2）过E作EMAB，过F作FNAB，根据平行线的判定与性质，角平分线的定义以及解一元一次方程解答即可；
（3）过P作PLAB，根据平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义解答即可．
【解析】解：（1）过E作EMAB，
∵ABCD，
∴CDEMAB，
∴∠ABE＝∠BEM，∠DCE＝∠CEM，
∵CF平分∠DCE，
∴∠DCE＝2∠DCF，
∵∠DCF＝30°，
∴∠DCE＝60°，
∴∠CEM＝60°，
又∵∠CEB＝20°，
∴∠BEM＝∠CEM﹣∠CEB＝40°，
∴∠ABE＝40°；
（2）过E作EMAB，过F作FNAB，
∵∠EBF＝2∠ABF，
∴设∠ABF＝x，∠EBF＝2x，则∠ABE＝3x，
∵CF平分∠DCE，
∴设∠DCF＝∠ECF＝y，则∠DCE＝2y，
∵ABCD，
∴EMABCD，
∴∠DCE＝∠CEM＝2y，∠BEM＝∠ABE＝3x，
∴∠CEB＝∠CEM﹣∠BEM＝2y﹣3x，
同理∠CFB＝y﹣x，
∵2∠CFB+（180°﹣∠CEB）＝190°，
∴2（y﹣x）+180°﹣（2y﹣3x）＝190°，
∴x＝10°，
∴∠ABE＝3x＝30°；
（3）过P作PLAB，
∵GM平分∠DGP，
∴设∠DGM＝∠PGM＝y，则∠DGP＝2y，
∵PQ平分∠BPG，
∴设∠BPQ＝∠GPQ＝x，则∠BPG＝2x，
∵PQGN，
∴∠PGN＝∠GPQ＝x，
∵ABCD，
∴PLABCD，
∴∠GPL＝∠DGP＝2y，
∠BPL＝∠ABP＝30°，
∵∠BPL＝∠GPL﹣∠BPG，
∴30°＝2y﹣2x，
∴y﹣x＝15°，
∵∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝y﹣x，
∴∠MGN＝15°．
【点睛】此题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解题关键在于作辅助线和掌握判定定理．
14．已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；
（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 ．
（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．
【答案】（1）∠APD=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）∠AND=45°．
【分析】（1）首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等，即可求解；
（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根据平行线的性质，即可证得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；
（3）先证明∠NOD=∠PAB，∠ODN=∠PDC，利用（2）的结论即可求解．
【解析】解：（1）∵∠A=50°，∠D=150°，
过点P作PQ∥AB，
∴∠A=∠APQ=50°，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠D+∠DPQ=180°，则∠DPQ=180°-150°=30°，
∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°；
（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，
如图，作PQ∥AB，
∴∠PAB=∠APQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠CDP+∠DPQ=180°，即∠DPQ=180°-∠CDP，
∵∠APD=∠APQ-∠DPQ，
∴∠APD=∠PAB-(180°-∠CDP)=∠PAB+∠CDP-180°；
∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；
(3)设PD交AN于O，如图，
∵AP⊥PD，
∴∠APO=90°，
由题知∠PAN+∠PAB=∠APD，即∠PAN+∠PAB=90°，
又∵∠POA+∠PAN=180°-∠APO=90°，
∴∠POA=∠PAB，
∵∠POA=∠NOD，
∴∠NOD=∠PAB，
∵DN平分∠PDC，
∴∠ODN=∠PDC，
∴∠AND=180°-∠NOD-∠ODN=180°-(∠PAB+∠PDC)，
由(2)得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，
∴∠PAB+∠PDC=180°+∠APD，
∴∠AND=180°-(∠PAB+∠PDC)
=180°-(180°+∠APD)
=180°-(180°+90°)
=45°，
即∠AND=45°．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
15．如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间．
（1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；
（2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求证：∠MCA＝∠DCE；
（3）如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）120°．
【分析】（1）过点A作AD∥MN，根据两直线平行，内错角相等得到∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，根据角的和差等量代换即可得解；
（2）由两直线平行，同旁内角互补得到∴、∠CAB+∠ACD＝180°，由邻补角定义得到∠ECM+∠ECN＝180°，再等量代换即可得解；
（3）由平行线的性质得到，∠FAB＝120°﹣∠GCA，再由角平分线的定义及平行线的性质得到∠GCA﹣∠ABF＝60°，最后根据三角形的内角和是180°即可求解．
【解析】解：（1）证明：如图1，过点A作AD∥MN，
∵MN∥PQ，AD∥MN，
∴AD∥MN∥PQ，
∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，
∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA，
即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；
（2）如图2，∵CD∥AB，
∴∠CAB+∠ACD＝180°，
∵∠ECM+∠ECN＝180°，
∵∠ECN＝∠CAB
∴∠ECM＝∠ACD，
即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，
∴∠MCA＝∠DCE；
（3）∵AF∥CG，
∴∠GCA+∠FAC＝180°，
∵∠CAB＝60°
即∠GCA+∠CAB+∠FAB＝180°，
∴∠FAB＝180°﹣60°﹣∠GCA＝120°﹣∠GCA，
由（1）可知，∠CAB＝∠MCA+∠ABP，
∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，
∴∠ACN＝2∠GCA，∠ABP＝2∠ABF，
又∵∠MCA＝180°﹣∠ACN，
∴∠CAB＝180°﹣2∠GCA+2∠ABF＝60°，
∴∠GCA﹣∠ABF＝60°，
∵∠AFB+∠ABF+∠FAB＝180°，
∴∠AFB＝180°﹣∠FAB﹣∠FBA
＝180°﹣（120°﹣∠GCA）﹣∠ABF
＝180°﹣120°+∠GCA﹣∠ABF
＝120°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，线段、角、相交线与平行线，准确的推导是解决本题的关键．
16．综合与探究
【问题情境】
王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动
（1）如图1，，点、分别为直线、上的一点，点为平行线间一点，请直接写出、和之间的数量关系；

【问题迁移】
（2）如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交、于点、，直线分别交、于点、，点在射线上运动，
①当点在、（不与、重合）两点之间运动时，设，．则，，之间有何数量关系？请说明理由．
②若点不在线段上运动时（点与点、、三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出，，之间的数量关系．
【答案】（1）；（2）①，理由见解析；②图见解析，或
【分析】（1）作PQ∥EF，由平行线的性质，即可得到答案；
（2）①过作交于，由平行线的性质，得到，，即可得到答案；
②根据题意，可对点P进行分类讨论：当点在延长线时；当在之间时；与①同理，利用平行线的性质，即可求出答案．
【解析】解：（1）作PQ∥EF，如图：
∵，
∴，
∴，，
∵
∴；
（2）①；
理由如下：如图，
过作交于，
∵，
∴，
∴，，
∴；
②当点在延长线时，如备用图1：
∵PE∥AD∥BC，
∴∠EPC=，∠EPD=，
∴；
当在之间时，如备用图2：
∵PE∥AD∥BC，
∴∠EPD=，∠CPE=，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等，从而得到角的关系．
二、情景探究类
17．【探究】
(1)如图1，，，和的平分线交于点，则 ；
(2)如图2，，，且，和的平分线交于点，则 ；（用表示）
(3)如图3，，，当和的平分线、平行时，应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论．
【挑战】
(4)如果将（2）中的条件改为，再分别作和的平分线，你又可以找到怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论．
【答案】(1)35
(2)
(3)，证明见详解
(4)
【分析】（1）利用四边形内角和定理得到，再利用三角形的外角性质得到，通过计算即可求解；
（2）同（1），通过计算即可求解；
（3）由，推出，再推导，利用平行线的性质即可得到答案；
（4）挑战：利用四边形内角和定理得到，再利用三角形的外角性质得到，通过计算即可求解．
【解析】（1）解：如图1，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴
．
故答案为：35；
（2）如图2，由（1）可得，
，，
∴
．
故答案为：；
（3）若，则．
证明：如图3，若，则，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（4）挑战：如图4，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵与是对顶角，
∴，
又∵，
∴，
．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质、四边形内角和的性质、平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题关键借助转化的数学思想，将未知条件转化为已知条件．
18．几何模型在解题中有着重要作用，例如美味的“猪蹄模型”．
(1)导入：如图①，已知，如果，，那么 ；
(2)发现：如图②，已知，请判断与，之间的数量关系，并说明理由；
(3)运用：(i)如图③，已知，，点、分别在、上，，如果 ，那么 ；
如图④，已知，点、分别在、上， 、分别平分和． 如果，那么 ；
如图⑤，已知，点、分别在、上， 、分别平分和，且． 如果，那么 ．(用含的代数式表示)
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)(i)； (ii)； (iii)
【分析】（1）根据平行线的性质得出，进而根据，即可求解；
（2）过点作，根据（1）的方法即可求解；
（3）（）由（2）可得， ，得出，根据，即可求解；
（）由“猪蹄模型”，可得，，根据角平分线的性质得出，继而根据，即可求解；
（）如图所示，延长交于点，设，，根据平行线的性质得出，，根据，即可得出结论．
【解析】（1）解：如图1，
∵
∴
∵，，
∴
∴
故答案为：．
（2）,
如图所示，过点作，
，
，
，
，
，
；
（3）解：（）由（2）可得， ，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
（）解：如图所示，∵
由“猪蹄模型”，可得，；
∵、分别平分和
∴
∴
∴，
∴,
故答案为：．
（）解：如图所示，延长交于点，
设，
∵、分别平分和，
∴，
∵
∴，
∵
∴，
∴
∴
．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定求角度，掌握平行线的性质是解题的关键．
19．综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．
(1)如图1，，点A，B分别为直线，上的一点，点P为平行线间一点且，，求度数；
问题迁移
(2)如图2，射线与射线交于点O，直线 ，直线m分别交于点A，D，直线n分别交于点B，C，点P在射线上运动．
①当点P在A，B（不与A，B重合）两点之间运动时，设，．则之间有何数量关系？请说明理由；
②若点P不在线段上运动时（点P与点A，B，O三点都不重合），请你直接写出间的数量关系．
【答案】(1)110°
(2)①，理由见解析；②或
【分析】（1）过P作，由，得，，即得，把，，代入即可求出；
（2）①过P作交于E，由，得，，故；
②分两种情况：当P在延长线时，此时；当P在之间时，此时．
【解析】（1）解： 过P作，如图：
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，，
∴；
（2）解：①，理由如下：
过P作交于E，如图：
∵，
∴，
∴，，
∴ ；
②当P在延长线时，过P作交的延长线于E，如图：
∵，
∴，
∴，，
∴，
此时；
当P在之间时，过P作交的延长线于E，如图：
∵，
∴，
∴，，
∴，
此时．
【点睛】本题考查平行线的性质及其运用，解题的关键是作平行线，构造内错角、同旁内角转化角．
20．（1）【阅读理解】如图①，和的边互相平行，边与交于点E．若，，求的度数．
老师在黑板上写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程．
解：如图②，过点E作，
∴（___________）．
∵，
∴．
∵，
∴（___________）
∴___________．
∵，
∴．
∴___________．
（2）【问题迁移】如图③，D、E分别是的边、上的点，在直线的右侧作的平行线分别交边、于点F、G．点P是线段上一点，连接、，若，，求的度数．
（3）【拓展应用】如图④，D、E分别是的边、上的点，在直线的右侧作的平行线分别交边、于点F、G．点P是射线上一点，连接、，若，，直接写出与、之间的数量关系．
【答案】（1）两直线平行，同旁内角互补；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；；；（2）；（3）或
【分析】（1）如图②，过点E作，根据推理步骤逐步写出答案即可；
（2）如图，过点P作，先求出，再求，求得即可；
（3）当点P在线段上，过点P作，先证明，再证明，得；当点P在线段的延长线上时，与点在线段上的情况类似．
【解析】（1）如图②，过点E作．
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
∵，
∴．
∵，，
∴（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
∴．
∵，
∴．
∴．
故答案是：两直线平行，同旁内角互补；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；∠DCE；．
（2）如图，过点P作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）当点P在线段上，过点P作，
∴，
∵，
∴，
∴
∴；
当点P在线段的延长线上时，
过点P作，
∴，
∵，
∴，
∴
∴；
综上所述：或．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定、角的和差运算等知识点；熟练掌握平行线的判定与性质、正确作出辅助线是解答本题的关键．
21．【问题呈现】
小明在学习中遇到这样一个问题：
如图1，在中，，平分，于D，猜想、、的数量关系．
(1)小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路．于是尝试代入、的值求值，得到下面几组对应值：
上表中＿＿＿＿，于是得到与、的数量关系为＿＿＿＿．
【变式应用】
(2)小明继续研究，在图2中，，，其他条件不变，若把“于D”改为“F是线段上一点，于D”，求的度数，并写出与、的数量关系：
【思维发散】
(3)小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，在图3中，若把（2）中的“点F在线段 上”改为“点F是延长线上一点”，其余条件不变，当，时，∠F度数为＿＿＿＿°．
【能力提升】
(4)在图4中，若点F在 的延长线上，于D，，，其余条件不变，从别作出 和的角平分线，交于点P，试用 x、y表示＿＿＿＿．
【答案】(1)20，；
(2)，；
(3)32；
(4)．
【分析】（1）求出和的大小即可得到的值，再分别用和表示出和，再由即可得出答案，，
（2）如图，过点A作于G，证明，再分别求解，，再结合（1）可得出三者的关系，
（3）如图，过作于，而，证明，由（1）同理可得：，从而可得答案；
（4）如图，记，的交点为，证明，再分别利用含，的代数式表示，，从而可得答案．
【解析】（1）解：∵，，
∴，
∴中，，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
∵，，，
∴，


，
∴
（2）如图，过点A作于G，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
由（1）同理可得：，，
∴，
由（1）同理可得：
∴．
（3）如图，过作于，而，
∴，
∴，
由（1）同理可得：，
∴，
∵，，
∴．
（4）如图，记，的交点为，
∵，
∴，
∵，平分，
∴，
∵，，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
由可得：
，
整理得：．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，三角形的角平分线的定义，熟练的利用三角形的内角和定理进行计算与推理是解本题的关键．
三、动态问题
22．如图1，直线上有一点，过点在直线上方作射线，将一直角三角板的直角顶点放在处，，，一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角板绕着点按每秒10°的速度逆时针旋转一周停止，设旋转时间为t秒，且．
(1)若射线的位置保持不变，则当旋转时间______秒时，边所在直线与平行；
(2)如图2，在旋转的过程中，若射线的位置保持不变，是否存在某个时刻，使得射线，与中的某一条射线是另两条射线所成夹角的平分线？若存在，求出所有满足题意的的取值，若不存在，请说明理由；
【答案】(1)7或，
(2)见详解．
【分析】（1）利用平行线性质即可求得答案；
（2）分三种情况：当平分时，当平分时，当平分时，分别求出t的值即可；
【解析】（1）解：如图3， ，，，
∵，
∴，
∴，
∴，；
如图4，，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：；
所以当旋转时间为7或秒，边所在直线与平行；
（2）当平分时，如图5，，
∵平分，
∴，
∴，则；
当平分时，如图6，
∵平分，
∴，即，则；
当平分时，如图7，
∵平分，
∴，即，则；
综上所述，满足题意的t的取值为2或8或32．
【点睛】本题考查了旋转变换，角的运算，角平分线定义，平行线的性质，一元一次方程的应用等，解题关键是运用数形结合思想、分类讨论思想及方程思想解决问题．
23．如图1，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，当点E落在射线的反向延长线上时，即停止旋转．
(1)如图2，当边落在内，
①与之间存在怎样的数量关系？试说明理由；
②过点A作射线，，若，，求的度数；
(2)设的旋转速度为3°/秒，旋转时间为t，若它的一边与的某一边平行（不含重合情况），试写出所有符合条件的t的值．
【答案】(1)①（或），理由见解析；②
(2)5或15或35或45或50
【分析】（1）①由角的和差关系可得，，再把两式相减即可得到结论；②先求解，-，结合，，从而可得答案；
（2）分5种情况讨论：如图，当时，如图，当时，如图，当时，如图，当时，如图，当时，再结合平行线的性质可得答案．
【解析】（1）解：①（或）；
理由如下：，
，
两式相减得：，
② ∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
；
（2）如图，当时，
∴，，
∴；
如图，当时，
∴，则，
此时，
∴；
如图，当时，
∴，，
∴，
∴，
∴；
如图，当时，
∴，即，，共线，
∴，
∴；
如图，当时，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是角的和差运算，角的倍分关系，角的旋转定义的理解，平行线的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键．
24．如图1，已知两条直线、被直线所截，分别交于点、点，平分交于点，且．
(1)判断直线与直线是否平行，并说明理由；
(2)如图2，点是射线上一动点（不与点、重合），平分交于点，过点作于点，设，．
①当点在点的右侧时，若，求的度数；
②当点在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【答案】(1)，理由见解析
(2)①②或，理由见解析
【分析】（1）只要证明即可得出结论．
（2）①利用平行线的性质与角平分线的定义求出，即可解决问题．
②分两种情况：当点在的右侧时，当点在的左侧在线段上时，分别用表示即可解决问题．
【解析】（1）解：结论：．
理由：如图1中，
平分交于点，
，
．
，
∴．
（2）解：①如图2中，
∵，
，
，
，，
，
，
，
．
②猜想：或
理由：当点在的右侧时，
∵，
，
，
，，
，
，
，
．
当点在的左侧时，
∵，
∴，
又∵平分，平分，
∴，，
∴
，
又∵，
∴中，，
即．
综上所述，或．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
25．已知，，直线交于点E，交于点F，点M在线段上，过M作射线分别交射线、于点N、Q．
(1)如图1，当时，求的度数．
(2)如图2，若和的角平分线交于点G，求和的数量关系．
(3)如图3，当，且时，作的角平分线．把一三角板的直角顶点O置于点M处，两直角边分别与和重合，将其绕点O点顺时针旋转，速度为每秒，当落在上时，三角板改为以相同速度逆时针旋转．三角板开始运动的同时绕点N以每秒的速度顺时针旋转，记旋转中的为，当和重合时，整个运动停止．设运动时间为t秒，当的一边和三角板的一直角边互相平行时，请直接写出t的值．
【答案】(1)
(2)
(3)，15，，，35
【分析】（1）过点M作，利用平行线的性质可得，进而可求；
（2）过点M作，过点G作，设，则，设，则，求出，进而可得；
（3）分5种情况求解即可．
【解析】（1）如图过点M作
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
（2）如图过点M作，过点G作
设，则
∵
∴
设，则
∵
∴
∴
则，
∴
∴
（3）①到达前，时
②返回，时
③当时
④当时
⑤当时
综上可知，t的值为10，15，，，35
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，一元一次方程的应用，以及旋转的性质，分类讨论是解（3）本题的关键．
26．在平面直角坐标系中，有点，且m，n满足．
(1)求A、B两点坐标；
(2)如图1，直线l⊥x轴，垂足为点．点P为直线l上任意一点，若的面积为，求点P的坐标；
(3)如图2，点D为y轴负半轴上一点，过点D作，E为线段AB上任意一点，以O为顶点作，使交于F．点G为线段与线段之间一点，连接，且．当点E在线段上运动时，始终垂直于，试写出与之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)
(2)或
(3)，证明见解析
【分析】（1）利用算术平方根的非负性，可得，从而求出的值，由此即可得；
（2）连接，设点的坐标为，根据建立方程，解方程即可得；
（3）过点作于点，设，则，根据四边形的内角和可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，由此即可得出结论．
【解析】（1）解：∵，
∴，
∴，解得：（舍去）或1，
∴，
∴点；
（2）解：如图，连接，
由题意，设点的坐标为，
，
，
当点P位于点Q下方时，，
的面积为，
，即，
解得，
则点的坐标为；
当点P位于点Q上方时，，
的面积为，
，即，
解得，
则点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或；
（3）解：，证明如下：
如图，过点作于点，
设，则，
，
，
解得，
，
，
，
又，
，
，
即．
【点睛】本题考查了算术平方根的非负性、坐标与图形、平行线的性质、平行公理推论等知识点，较难的是题（3），通过作辅助线，构造平行线是解题关键．
27．如图，直角三角形与直角三角形的斜边在同一直线上，，平分，将绕点按逆时针方向旋转，记为，在旋转过程中：
(1)如图，，当______时，，当______时，；
(2)如图，，当顶点在内部时（不包含边界），边、分别交、的延长线于点、，
①此时的度数范围是______．
②与度数的和是否变化？若不变，求出与的度数和；若变化，请说明理由：______．
(3)如图，将绕点按逆时针方向旋转过程中，边与射线有交点，边与射线有交点，则与有什么关系______．
(4)如图，将绕点按逆时针方向旋转过程中，边与射线有交点，边与射线有交点、请在备用图中画出其他可能位置，并写出与的关系______．
【答案】(1)，
(2)①；②不变，
(3)
(4)图见解析，
【分析】（1）当时， ，得出，即可得出结果；当时，，得出，即可得出结果；
（2）①由已知得出，，推出，当点在边上时，，解得，当点在边上时，，即可得出结果；
②连接，由三角形内角和定理得出，则，由三角形内角和定理得出，即，即可得出结论；
（3）根据三角形的内角和与外角定理用与表示和便可得出结论；
（4）根据题意作图，并仿照（3）的方法便可得出结论．
【解析】（1）解：，
当时，，
，
；
当时，，
，，
，
，
故答案为：，；
（2）解：，平分，
，，
，
当点在边上时，，
解得：，
当点在边上时，，
当顶点在内部时，；
故答案为：；
与度数的和不变，.
理由如下：
连接，如图所示：

在中，
，
，
在中，
，
即，
；
（3），
，
，
故答案为：；
（4）如图，同（3）可得．

故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理、旋转的性质，合理选择三角形旋转后利用三角形内角和定理列等量关系是解决问题的关键．
28．如图，直线PQMN，一副直角三角板△ABC、△DEF中，∠ACB=∠EDF=90°，∠ABC=∠BAC=45°，∠DFE=30°，∠DEF=60°．
(1)若△DEF如图1摆放，当ED平分∠PEF时，则∠DFM= ．
(2)若图2中△ABC固定，将△DEF沿着AC方向平移，边DF与直线PQ相交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H（如图3），求∠GHF的度数．
(3)若图2中△DEF固定，（如图4）将△ABC绕点A顺时针旋转，1分钟转半圈，旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与△DEF的一条边平行时，请直接写出旋转的时间．（单位必须化成秒）
【答案】(1)30°
(2)67.5°
(3)绕点顺时针旋转的时间为10s或30s或40s时，线段与的一条边平行．
【分析】（1）利用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；
（2）分别过点，作FLMN，HRPQ，利用平行线性质和角平分线定义即可得出答案；
（3）设旋转时间为秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转，分三种情况：①当BCDE时，②当BCEF时，③当BCDF时，分别求出旋转角度后，列方程求解即可．
【解析】（1）解：∵平分，，
∴，
∵PQMN，，
∴，
，
∴．
故答案为：30°
（2）解：如图3，分别过点，作FLMN，HRPQ，
∴，，
∵FLMN，HRPQ，PQMN，
∴FLPQHR，，
∴，，
∵，
∴，
∵和的角平分线、相交于点，
∴，
∴，
∴，
∴∠QGF＝180°－∠GFL＝75°，
∴，
∴；
（3）解：设旋转时间为秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转，
分三种情况：
当BCDE时，如图5，
此时ACDF，
，
，
解得：；
②当BCEF时，如图6，
∵BCEF，
，
，
，
解得：；
③当BCDF时，如图7，
延长交于，延长交于，
，
，
，
，
，
，
解得：，
综上所述，绕点顺时针旋转的时间为10s或30s或40s时，线段与的一条边平行．
【点睛】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键．
四、三角板问题
29．如图，直线MN的同侧放置着角度分别为45°、45°、90°的三角板OAB和角度分别为30°、60°、90°的三角板OCD．点A、O、C在直线MN上，点O、B、D三点共线，OA=OB=OC=3cm．
(1)如图1，连接BC，则∠BCD=_________．
(2)如图2，把三角板OAB向右沿NM方向平移1cm得△，交OD于点G，求四边形的面积．
(3)如图3，三角板OAB绕着点O旋转，当ABMN时，AB与OD交于点H，在OA上取一点P，∠PHO的角平分线HQ与线段BO的延长线交于点Q，试探索∠AHP与∠HQB的数量关系，并说明理由．
(4)如图4，若将图1中的三角板OAB绕着点O以每秒5°的速度顺时针旋转一周，当边OA或OB与边CD平行时，求旋转时间t的值．
【答案】(1)15
(2)四边形的面积=(2+3) ×1=2.5；
(3)∠AHP=2∠HQB；
(4)旋转时间t的值为12或30或48或66秒．
【分析】（1）求得∠OBC =∠BCO=45°，利用角的和差即可求解；
（2）求得AO= GO=3-1=2(cm)，利用梯形面积公式即可求解；
（3）由角平分线的定义得到并设∠PHQ=∠QHO=α，推出∠AHP+2α=90°，∠HQB+α=∠BOH=45°，消去α即可求解；
（4）分四种情况讨论，画出图形，利用解方程的方法求解即可．
（1）
解：∵OA=OB=OC=3cm，∠AOB=∠BOC=90°，∠DCO=60°，
∴∠OBC =∠BCO=45°，
∴∠BCD=∠DCO-∠BCO=15°，
故答案为：15；
（2）
解：∵=1cm，∠GAO=45°，
∴AO= GO=3-1=2(cm)，
∴四边形的面积=(2+3) ×1=2.5()；
（3）
解：∠AHP=2∠HQB，理由如下：
∵HQ平分∠PHO，
∴∠PHQ=∠QHO，
设∠PHQ=∠QHO=α，
∵ABMN，
∴∠BOC=∠B=45°，∠AHO=∠HOC=90°，
∴∠BOH=45°，
∴∠AHP+2α=90°，∠HQB+α=∠BOH=45°，
∴∠AHP+2α=2∠HQB+2α=90°，
∴∠AHP=2∠HQB；
（4）
解：由题意得旋转的角度为5t，
当OACD时，如图：
∴∠AOD=∠D=30°，∠AON=90°-30°=60°，
∴5t=60，
解得：t=12(秒)；
当OBCD时，如图：
∴∠BOC=∠DCO=60°，
∴∠AOC=90°-60°=30°，
∴∠AON=180°-30°=150°，
∴5t=150，
解得：t=30(秒)；
当OACD时，如图：
∴∠AOC=∠DCO=60°，
∴5t=180+60，
解得：t=48(秒)；
当OBCD时，如图：
∴∠BON=∠DCO=60°，
∴∠AON=90°-60°=30°，
∴5t=360-30，
解得：t=66(秒)；
综上，当边OA或OB与边CD平行时，旋转时间t的值为12或30或48或66秒．
【点睛】本题目考查了平行线的性质，旋转的速度，角度，时间的关系，应用方程的思想是解决问题的关键．掌握分类思想，注意不能漏解．
30．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°）：
(1)①若∠DCE＝45°，则∠ACB的度数为 ；
②若∠ACB＝140°，求∠DCE的度数；
(2)由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；
(3)当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①135°；②40°
(2)∠ACB+∠DCE=180°，理由见解答过程；
(3)存在，∠ACE的度数为30°或45°或120°或135°或165°．
【分析】（1）①根据∠DCE和∠ACD的度数，求得∠ACE的度数，再根据∠BCE求得∠ACB的度数；②根据∠BCE和∠ACB的度数，求得∠ACE的度数，再根据∠ACD求得∠DCE的度数；
（2）根据∠ACE=90°-∠DCE以及∠ACB=∠ACE+90°，进行计算即可得出结论；
（3）分五种情况进行讨论：当CBAD时，当EBAC时，当CEAD时，当EBCD时，当BEAD时，分别求得∠ACE的度数．
【解析】（1）解：①∵∠DCE=45°，∠ACD=90°，
∴∠ACE=45°，
∵∠BCE=90°，
∴∠ACB=90°+45°=135°，
故答案为：135°；
②∵∠ACB=140°，∠ECB=90°，
∴∠ACE=140°-90°=50°，
∴∠DCE=90°-∠ACE=90°-50°=40°，
故答案为：40°；
（2）解：猜想：∠ACB+∠DCE=180°，
理由如下：∵∠ACE=90°-∠DCE，
又∵∠ACB=∠ACE+90°，
∴∠ACB=90°-∠DCE+90°=180°-∠DCE，
即∠ACB+∠DCE=180°；
（3）解：存在，30°、45°、120°、135°、165°．
理由：当CBAD时，如图1所示：
∴∠DCB=∠D=30°，
∴∠ACE=∠DCB=30°；
当EBAC时，如图2所示：
∴∠ACE=∠E=45°；
当CEAD时，如图3所示：
∴∠DCE=∠D=30°，
∴∠ACE=90°+30°=120°；
当EBCD时，如图4所示：
∴∠DCE=∠E=45°，
∴∠ACE=90°+45°=135°；
当BEAD时，延长AC交BE于F，如图5所示：
∴∠CFB=∠A=60°，
∵∠ECF+∠E +∠CFE=180°，∠CFB +∠CFE =180°，
∴∠ECF =15°，
∴∠ACE=180°-∠ECF=180°-15°=165°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
31．如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中∠ACB．，固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角．
(1)当为___度时，；
(2)在旋转过程中，试探究∠CAD与∠BAE之间的关系；
(3)当△ADE旋转速度为/秒时，且它的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，请直接写出时间t的所有值．
【答案】(1)15
(2)①当0°＜α≤45°时，∠BAE-∠CAD=45°；②当45°＜α≤90°时，∠BAE+∠CAD=45°；③当90°＜α＜180°时，∠CAD-∠BAE=45°
(3)t=3或9或21或27或30．
【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据即可求解；
（2）设∠CAD=γ，∠BAE=β，在旋转过程中，分当0°＜α≤45°时，当45°＜α≤90°时，当90°＜α＜180°时，三种情况根据平行线的性质即可求解；
（3）①当ADBC时，②当DEAB时，③当DEBC时，④当DEAC时，⑤当AEBC时，分别作出图形，根据平行线的性质即可求解．
（1）
当α=15°时，，
如图：
故答案为15；
（2）
设：∠CAD=γ，∠BAE=β，
①如图，当0°＜α≤45°时，
α+β=90°，α+γ=45°，
故β-γ=45°；
即∠BAE-∠CAD=45°
②当45°＜α≤90°时，
γ+β=90°，即∠BAE+∠CAD=45°
③当90°＜α＜180°时，∠CAD=γ，∠BAE=β，
即
γ-β=45°；即∠CAD-∠BAE=45°
（3）
①当ADBC时，α=15°，t=3；
②当DEAB时，α=45°，t=9；
③当DEBC时，α=105°，t=21；
④当DEAC时，α=135°，t=27；
⑤当AEBC时，α=150°，t=30；
综上，t=3或9或21或27或30．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角尺中角度的计算，解答此题的关键是通过画图，确定旋转后△ADE的位置，还注意分类求解，避免遗漏．
32．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，，，）．
(1)若，则________；
(2)如图1，________；若点E在的上方，设，则________（用含β的式子表示）；
(3)当且点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合．
①当（如图2）时，直接写出________﹔
②当时，直接写出________；
(4)在（3）的条件下，当且点E在直线的上方，（3）中的两种情况除外，这两块三角板是否还存在一组边互相平行，若存在，请直接写出此时所有可能的角度数值为________，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)；
(3)①；②
(4)或或
【分析】（1）根据两角互余，可得与的关系，根据角的和差，可得答案；
（2）根据同角的余角相等可得与，可得与的关系，根据互余的两角的关系，可得与的关系；
（3）①根据两直线平行，内错角相等可得答案；
②根据两直线平行，内错角相等得，根据角的和差可得答案；
（4）分情况进行解答．
【解析】（1）∵，
∴
（2）∵，，
∴
∴
∴，
（3）①当时，
∵，
∴，
②当时，如图，
∵，
∴，
∴，
（4）①当时，
∵，
∴，
；
②当时，
∴；
③当时，过点C作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
综上所述：为或或．
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质，注意利用两角互余的性质，角的和差进行计算．
/度
10
30
30
20
20
/度
70
70
60
60
80
/度
30
a
15
20
30