苏科版七年级数学下册满分冲刺卷特训04第8-9章压轴题(题型归纳)(原卷版+解析)

这是一份苏科版七年级数学下册满分冲刺卷特训04第8-9章压轴题(题型归纳)(原卷版+解析)，共78页。试卷主要包含了解答题，三步综合起来，．等内容，欢迎下载使用。
1．找规律：观察算式
13＝1
13+23＝9
13+23+33＝36
13+23+33+43＝100
…
（1）按规律填空）
13+23+33+43+…+103＝ ；
13+23+33+43+…+n3＝ ．
（2）由上面的规律计算：113+123+133+143+…+503（要求：写出计算过程）
（3）思维拓展：计算：23+43+63+…+983+1003（要求：写出计算过程）
2．阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法：
设①
则②
②①得，．
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）______；
（2）求______；
（3）求的和；（请写出计算过程）
（4）求的和（其中且）．（请写出计算过程）
3．观察下面三行单项式：
x，，，，，，；①
，，，，，，；②
，，，，，，；③
根据你发现的规律，解答下列问题：
（1）第①行的第8个单项式为_______；
（2）第②行的第9个单项式为_______；第③行的第10个单项式为_______；
（3）取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为当时，求的值．
4．阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘，记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）．
(1)计算以下各对数的值：＝_____，＝_____，＝_____．
(2)写出（1）、、之间满足的关系式______．
(3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：_____（且，，）．
(4)设，，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性．
5．阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，，观察规律，，∵的末尾数字是1，∴的末尾数字是1，∴的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题：
(1)的末尾数字是 ，的末尾数字是 ；
(2)求的末尾数字；
(3)求证：能被5整除．
6．（1）填空：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝ ；
（2）猜想：（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）＝ （n为大于3的正整数），并证明你的结论；
（3）运用（2）的结论计算（32019+32018+32017+……+32+3+1）﹣（31050×2）2÷（8×380）；
（4）32019﹣32018+32017﹣32016+……+35﹣34+33﹣32+3＝ ．
7．已知：

（1）当时，______．
（2）试求：的值．
（3）判断的值的个位数是______．
8．好学的小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为：，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是：，即一次项为．
请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．
（1）计算所得多项式的一次项系数为______．
（2）若计算所得多项式不含一次项，求的值；
（3）若，则______．
9．你能求（x一1）（x99+x98+x97+…+x+1）的值吗?
遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形人手，分别计算下列各式的值．
（1）（x－1）（x+1） =_____________；
（2）（x—1）（ x2+x+1） =_____________；
（3）（x－1）（x3+ x2+x+1） =____________；
…
由此我们可以得到：
（4）（x一1）（ x99+x98+x97+…+x+1） =___________，
请你利用上面的结论，完成下列的计算：
（5）299+298+297+…+2+1；
10．观察下列各式：
……
(1)按以上等式的规律填空：（_____________）；
(2)根据规律可得____________（其中为正整数）；
(3)利用上面的结论，完成下面两题的计算：
①
②
11．李狗蛋同学在学习整式乘法公式这一节时，发现运用乘法公式在进行一些计算时特别简便，这激发了李狗蛋同学的学习兴趣，他想再探究一些有关整式乘法的公式，便主动查找资料进行学习，以下是他找来的资料题，请你一同跟李狗蛋同学探究一下：
（1）探究：____；
___；
_____；
（2）猜想：______（为正整数，且）；
（3）利用上述猜想的结论计算：的值．
12．观察并验证下列等式：
(1)续写等式__________．
(2)根据上述等式中所体现的规律，猜想结论
__________．
(3)利用（2）中的结论计算：
①
②
13．已知．
(1)根据以上式子计算：
①；
②（n为正整数）；
③．
(2)通过以上计算，请你进行下面的探索：
①_______；
②_______；
③________．
14．阅读并思考：
计算时，山桂娜同学发现了一个简单的口算方法，具体步骤如下：
第一步：47接近整十数50，；
第二步：取50的一半25，；
第三步：
第四步：把第二、三步综合起来，．
(1)依此方法计算49：
第一步：49接近整十数50，；
第二步：取50的一半25，；
第三步：
第四步：把第二、三步综合起来，．
(2)请你根据山桂娜同学的方法，填写出一个正确的计算公式．
．
(3)利用乘法运算说明第（2）小题中这个公式的正确性．
(4)写出利用这个公式计算的过程．
(5)计算也有一个简单的口算方法，具体步骤如下：
第一步：；
第二步：；
第三步：前面两步的结果综合起来，的结果是4221．
写出上述过程所依据的计算公式_______________________．
(6)利用乘法运算说明第（5）小题中这个公式的正确性．
15．阅读材料：把形如的二次三项式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆写，即．
例如：、、是的三种不同形式的配方即“余项”分别是常数项、一次项、二次项．
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方；
(2)已知，，求的值；
(3)当，何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？
16．先阅读后解题：
若，求m和n的值．
解：等式可变形为：
即，
因为，，
所以，
即，．
像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．
请利用配方法，解决下列问题：
(1)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，则的周长是______；
(2)求代数式的最小值是多少？并求出此时a，b满足的数量关系；
(3)请比较多项式与的大小，并说明理由．
17．方法探究：
已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”．
问题解决：
(1)对于二次多项式，我们把x＝ 代入该式，会发现成立；
(2)对于三次多项式，我们把x＝1代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（），设另一个因式为（），多项式可以表示成，试求出题目中a，b的值；
(3)对于多项式，用“试根法”分解因式．
18．教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．
例如：分解因式
求代数式的最小值，．
当时，有最小值，最小值是，
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：__________．
（2）当x为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
（3）若，求出a，b的值．
19．已知a+b=1，ab=-1，设S1=a+b，S2=a2+b2，S3=a3+b3，…，Sn=an+bn
（1）计算S2和S4
（2）已知a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2),求S3并猜想Sn-2，Sn-1，Sn三者之间的数量关系（不需要证明）；
（3）若M=(S1+S2+S3+----S99)（S2+S3+----S100），N=（S1+S2+S3+----S100）（S2+S3+----S99）判断M，N的大小，并说明理由．
20．阅读材料：若，求，的值．
解：∵，∴，
∴，∴，，∴，．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知，则________，________；
（2）已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长．
21．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．例如：．
②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如：
③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法．
观察得出：两个因式分别为与
例如：
分析：
解：原式
（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）
②（拆项法）
③________．
（2）已知：、、为的三条边，，求的周长．
22．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中的一例．如图2，某同学发现杨辉三角给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数等等．
（1）填出展开式中共有________项，第三项是________．
（2）直接写出的展开式．
（3）推断多项式（为正整数）的展开式的各项系数之和．
（4）利用上面的规律计算：
．
23．乘法公式的探究及应用．
数学活动课上，刘老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片长为、宽为的长方形并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形．
（1）观察图，请写出下列三个代数式：，，之间的等量关系____；
（2）若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片张，号卡片张，号卡片_____张．
（3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：，，求的值：
②已知．求的值．
24．做一做计算： 探究归纳，如图甲、图乙是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为．
(1)根据图甲、图乙的特征用不同的方法计算长方形的面积，得到关于字母 x 的系数是 1 的 两个一次式相乘的计算规律，用数学式表达式为 ．
尝试运用，利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用上述表达式得到一些二次三项 式的因式分解．
(2)若，则 ．
(3)若可以分解成关于 x 的两个一次式乘积的形式，则整数 p 的值一定是 ．
(4)若 可以分解成关于 x 的两个一次式乘积的形式，则整数 q 的值一定是 ．
A．4 B．0 C．有限个 D．有无数个
25．探索、研究：仪器箱按如图方式堆放（自下而上依次为第1层、第2层、…），受堆放条件限制，堆放时应符合下列条件：每层堆放仪器箱的个数an与层数n之间满足关系式an＝n2−32n＋247，1⩽n＜16，n为整数．
(1)例如，当n＝2时，a2＝22−32×2＋247＝187，则a5＝ ，a6＝ ；
(2)第n层比第（n＋1）层多堆放多少个仪器箱；（用含n的代数式表示）
(3)假设堆放时上层仪器箱的总重量会对下一层仪器箱产生同样大小的压力，压力单位是牛顿，设每个仪器箱重54 牛顿，每个仪器箱能承受的最大压力为160牛顿，并且堆放时每个仪器箱承受的压力是均匀的．
①若仪器箱仅堆放第1、2两层，求第1层中每个仪器箱承受的平均压力；
②再确保仪器箱不被损坏的情况下，仪器箱最多可以堆放几层，为什么？
26．
(1)【阅读与思考】
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为．
请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式： __________．
(2)【理解与应用】
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
① __________；
② __________．
(3)【探究与拓展】
对于形如的关于，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
① 分解因式__________；
② 若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．
27．数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：探索整式乘法的一些法则和公式．
(1)探究一：
将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式____________________．
(2)探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：
在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为____________；
(3)将图3中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图4、图5所示，∵，，，∴长方体①的体积为．类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简）
(4)用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______________．
(5)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a-b=6，ab=2，求的值．
(6)类比以上探究，尝试因式分解：= ．
28．把图1的长方形看成一个基本图形，用若干相同的基本图形进行拼图（重合处无缝隙）．
(1)如图2，将四个基本图形进行拼图，得到正方形和正方形，用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示），并写出一个等式；
(2)如图3，将四个基本图形进行拼图，得到四边形，求阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示）；
(3)如图4，将图3的上面两个基本图形作为整体图形向左运动x个单位，再向上运动2b个单位后得到一个长方形图形，若，把图中阴影部分分割成两部分，这两部分的面积分别记为，，若，求证：m与x无关．
29．若x满足(9x)(x4)=4，求(9x)²(x4)²的值．
解：设9x=a，x4=b，则(9x)(x4)=ab=4，ab=(9x)(x4)=5
∴(9x)²(x4)²=a²+b²=(a+b)²2ab=5²－24=17
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若x满足，求的值；
(2)若x满足，求的值；
(3)已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE=1，CF=3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边长作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分的面积．
30．数形结合是一种非常重要的数学思想，它包含两个方面，第一种是“以数解形”，第二种是“以形助数”，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微”．请你使用数形结合这种思想解决下面问题：
图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分为四块完成相同的小长方形，然后按照图2的形状拼成一个正方形．
(1)观察图2，用两种方法计算阴影部分的面积，可以得到一个等式，请使用代数式，，ab写出这个等式_____________．
(2)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且，，试求的值．
(3)如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积．
31．我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数.
例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算.因此.
(1)的商是______，余式是______.
(2)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求值.
(3)已知一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图）.另有长方形C的一边长为，若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长.
32． 数学中的许多规律不仅可以通过数的运算发现，也可以通过图形的面积发现．
(1)填表：【数的角度】
(2)【形的角度】如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，怎样计算图中阴影部分的面积？小明和小红分别用不同的方法计算图中阴影部分的面积．小明的方法：若阴影部分看成大正方形与小正方形的面积差，则阴影部分的面积用代数式表示为 ；小红的方法：若沿图①中的虚线将阴影部分剪开拼成新的长方形（图②），则阴影部分的面积用代数式表示为 ．
(3)【发现规律】猜想：a＋b、 a－b 、a2－b2这三个代数式之间的等量关系是 ．
(4)【运用规律】运用上述规律计算：502－492＋482－472＋462－452…＋22－1．
33．完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题
例如：若，，求的值
解：∵
∴
即
∵
∴
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题
(1)若，，则_______________
(2)填空
①若，则_________________
②若，则________________
(3)如图，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积
34．如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．
(1)在图2中的阴影部分的面积S1可表示为 ；（写成多项式乘法的形式）；在图3中的阴影部分的面积S2可表示为 ；（写成两数平方差的形式）；
(2)比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是 ；
A.（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
B.（a＋b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C.（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2
(3)请利用所得等式解决下面的问题：
①已知4m2﹣n2＝12，2m＋n＝4，则2m﹣n＝ ；
②计算（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）×…×（232＋1）＋1的值，并直接写出该值的个位数字是多少．
35．学习了平方差、完全平方公式后，小聪同学对学习和运用数学公式非常感兴趣，他通过上网查阅，发现还有很多数学公式，如立方和公式：（a＋b）（a2－ab＋b2）＝a3＋b3，他发现，运用立方和公式可以解决很多数学问题，请你也来试试利用立方和公式解决以下问题：
(1)【公式理解】公式中的字母可以代表任何数、字母或式子
①化简：（a－b）（a2＋ab＋b2）＝ ；
②计算：（993＋1）÷（992－99＋1）＝ ；
(2)【公式运用】已知：＋x＝5，求的值：
(3)【公式应用】如图，将两块棱长分别为a、b的实心正方体橡皮泥揉合在一起，重新捏成一个高为的实心长方体，问这个长方体有无可能是正方体，若可能，a与b应满足什么关系？若不可能，说明理由．
36．【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
(1)由图2可得等式：__________；由图3可得等式：__________；
(2)利用图3得到的结论，解决问题：若，，则__________；
(3)如图4，若用其中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接），则______；
(4)如图4，若有3张边长为的正方形纸片，4张边长分别为的长方形纸片，5张边长为的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为______．
【方法拓展】
(5)已知正数，，和，，，满足．试通过构造边长为的正方形，利用图形面积来说明．
37．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
(1)图2中的阴影部分的面积为：____________（用a、b的代数式表示）；
(2)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是____________；
(3)利用（2）中的结论，若，，求的值____________；
(4)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，请你写出这个等式____________．
(5)如图4，点是线段上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG、BG、BE，当时，的面积记为，当时，的面积记为，…，以此类推，当时，的面积记为，计算的值．
38．一个四位正整数J，将千位上的数字和十位上的数字交换，百位上的数字和个位上的数字交换，得到，我们称这个数P为原数的“披荆数”，并规定；将千位上的数字和个位上的数字交换，百位上的数字和十位上的数字交换，得到，我们称这个数Z为原数的“斩棘数”，规定，且（分母为0时舍去）．
如：2147的“披荆数”为，，2147的“斩棘数”为，．
(1)2937的“披荆数”是______，3587的“斩棘数”是______；
(2)证明任意一个四位数的“披荆数”与“斩棘数”的差能被9整除；
(3)设四位正整数（，且x，y均为正整数），交换其十位和个位的数字得到N，若为完全平方数且M能被3整除，则称M为“乘风破浪数”，请求出所有“乘风破浪数”M中的最大值．
39．材料一：一个三位数M，若它的各数位上的数字均不为0，且满足十位上的数字的平方等于百位数字与个位数字之积的k倍（k为整数），则称M为“k阶比例中项数”；
材料二：一个三位数，它的百位数字和十位数字组成的两位数为，十位数字和个位数字组成的两位数为，规定；
例如：244，因为，其中，2是整数，所以244是“2阶比例中项数”，；
又如：321，因为，但不是整数，所以321不是一个“阶比例中项数”，．
(1)363是“___________阶比例中项数”；最大的“3阶比例中项数”为___________；
(2)若（其中，，，均为正整数，且为偶数）是一个“阶比例中项数”，且被7除余1，求出所有满足条件的N．
40．定义：对于依次排列的多项式x+a，x+b，x+c，x+d(a，b，c，d是常数)，当它们满足在，且M为常数时，则称a，b，c，d是一组平衡数，M是该组平衡数的平衡因子，例如：对于多项式x+2，x+1，x+6，x+5，因为，所以2，1，6，5是一组平衡数，4是该组平衡数的平衡因子.
(1)已知2，4，7，9是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子M；
(2)若a，b，c，d是一组平衡数，a=-4，d=3，请直接写出组b，c的值；
(3)当a，b，c，d之间满是什么数量关系时，它们是一组平衡数，并说明理由.
41．根据阅读材料，解决问题．
材料1：若一个正整数，从左到右各位数上的数字与从右到左各位数上的数字对应相同，则称为“对称数”（例如：1、232、4554是对称数）．
材料2：对于一个三位自然数，将它各个数位上的数字分别2倍后取个位数字，得到三个新的数字，，，我们对自然数规定一个运算：（A），
例如：是一个三位的“对称数”，其各个数位上的数字分别2倍后取个位数字分别是：2、8、2.则．
请解答：
（1）请你直接写出最大的两位对称数： ，最小的三位对称数： ；
（2）如果将所有对称数按照从小到大的顺序排列，请直接写出第1100个对称数 ；
（3）一个四位的“对称数” ，若（B），请求出的所有值．
a
b
a＋b
a－b
a2－b2
2
1
3
1
3
3
－2
1
5


特训04 第8-9章压轴题（题型归纳）
一、解答题
1．找规律：观察算式
13＝1
13+23＝9
13+23+33＝36
13+23+33+43＝100
…
（1）按规律填空）
13+23+33+43+…+103＝ ；
13+23+33+43+…+n3＝ ．
（2）由上面的规律计算：113+123+133+143+…+503（要求：写出计算过程）
（3）思维拓展：计算：23+43+63+…+983+1003（要求：写出计算过程）
【答案】（1）；；（2）1622600；（3）
【分析】（1）观察等式右边都是平方数，且底数正好是等式左边各底数的和，依此规律类推可分别解决以上两个问题；
（2）由于上面的等式都是从底数是1开始的，所以可以把该式子前面的部分从1开始补上，再把补上的部分减掉即可；
（3）该式中的底数并不是题干中所给出的从1开始的连续整数，因此不能直接用上述规律解题，但该式中的底数却都是从1开始的连续整数的2倍，因此提出2后，各项都含有，逆用乘法分配律即可解决问题．
【解析】解：（1）13+23+33+43+…+103＝（1+2+3+4+…+10）2＝；
13+23+33+43+…+n3＝（1+2+3+4+…+n）2＝；
（2）113+123+133+143+…+503＝（13+23+33+43+…+503）-（13+23+33+43+…+103）
＝
＝1622600；
（3）23+43+63+…+983+1003＝（2×1）3+（2×2）3+（2×3）2+（2×4）3+…+（2×50）3＝23×（13+23+33+43+…+503）
＝23×＝．
【点睛】本题属于数式规律题，考查了学生对数的观察和分析的能力，首先学生应对平方数有一定的认识和感知力，这样才能迈出解决问题的第一步，其次学生要学会对不同的数进行关联，通过它们的和差积商中的一种或多种组合找到它们的联系，才能得出这道题的规律，建议在学习过程中多积累相关经验，发散思维，提高解决该类问题的效率．
2．阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法：
设①
则②
②①得，．
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）______；
（2）求______；
（3）求的和；（请写出计算过程）
（4）求的和（其中且）．（请写出计算过程）
【答案】（1）221−2；（2）2-；（3）；（4）+
【分析】（1）根据阅读材料可得：设s＝①，则2s＝22＋23＋…＋220＋221②，②−①即可得结果；
（2）设s＝①，s＝②，②−①即可得结果；
（3）设s＝①，-2s＝②，②−①即可得结果；
（4）设s＝①，as＝②，②−①得as-s=-a-，同理：求得-，进而即可求解．
【解析】解：根据阅读材料可知：
（1）设s＝①，
2s＝22＋23＋…＋220＋221②，
②−①得，2s−s＝s＝221−2；
故答案为：221−2；
（2）设s＝①，
s＝②，
②−①得，s−s＝-s＝-1，
∴s＝2-，
故答案为：2-；
（3）设s＝①
-2s＝②
②−①得，-2s−s＝-3s＝+2
∴s＝；
（4）设s＝①，
as＝②，
②-①得：as-s=-a-，
设m=-a-③，
am=-④，
④-③得：am-m=a-，
∴m=，
∴as-s=+，
∴s=+．
【点睛】本题考查了规律型−实数的运算，解决本题的关键是理解阅读材料进行计算．
3．观察下面三行单项式：
x，，，，，，；①
，，，，，，；②
，，，，，，；③
根据你发现的规律，解答下列问题：
（1）第①行的第8个单项式为_______；
（2）第②行的第9个单项式为_______；第③行的第10个单项式为_______；
（3）取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为当时，求的值．
【答案】（1）；（2），；（3）．
【分析】（1）观察第①行的前四个单项式，归纳类推出一般规律即可得；
（2）分别观察第②行和第③行的前四个单项式，归纳类推出一般规律即可得；
（3）先计算整式的加减进行化简，再将x的值代入即可得．
【解析】（1）第①行的第1个单项式为，
第①行的第2个单项式为，
第①行的第3个单项式为，
第①行的第4个单项式为，
归纳类推得：第①行的第n个单项式为，其中n为正整数，
则第①行的第8个单项式为，
故答案为：；
（2）第②行的第1个单项式为，
第②行的第2个单项式为，
第②行的第3个单项式为，
第②行的第4个单项式为，
归纳类推得：第②行的第n个单项式为，其中n为正整数，
则第②行的第9个单项式为，
第③行的第1个单项式为，
第③行的第2个单项式为，
第③行的第3个单项式为，
第③行的第4个单项式为，
归纳类推得：第③行的第n个单项式为，其中n为正整数，
则第③行的第10个单项式为，
故答案为：，；
（3）由题意得：，
当时，，
，
，
则，
，
．
【点睛】本题考查了单项式的规律型问题、整式的化简求值，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
4．阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘，记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）．
(1)计算以下各对数的值：＝_____，＝_____，＝_____．
(2)写出（1）、、之间满足的关系式______．
(3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：_____（且，，）．
(4)设，，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性．
【答案】(1)2，4，6
(2)
(3)
(4)证明见解析
【分析】（1）根据对数的定义求解；
（2）认真观察，即可找到规律：，；
（3）由特殊到一般，得出结论：．
（4）设，，根据同底数幂的运算法则：和给出的材料证明结论．
【解析】（1）∵，，
∴，
故答案为：2，4，6；
（2）∵，，，，
∴，
故答案为：；
（3）由（2）的结果可得，
故答案为：．
（4）设，，
则，
∴
，
∴，
∴．
【点睛】本题是开放性的题目，难度较大．借考查同底数幂的乘法，对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；解题的关键是要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．
5．阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，，观察规律，，∵的末尾数字是1，∴的末尾数字是1，∴的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题：
(1)的末尾数字是 ，的末尾数字是 ；
(2)求的末尾数字；
(3)求证：能被5整除．
【答案】(1)3，6；
(2)4；
(3)证明见解析．
【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知的末尾数字；根据阅读材料中提供的方法，可得的末尾数字是4，的末尾数字是6，于是得解；
（2）先将化成，再利用的末尾数字是6，从而得出结论；
（3）分别证明的末尾数字为6和的末尾数字9，则命题即可得证．
【解析】（1）解：，
的末尾数字为3；
的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是4，…
的末尾数字是4，的末尾数字是6，
的末尾数字是6；
故答案为：3，6；
（2）解：，
∵的末尾数字是6，
∴的末尾数字是4；
（3）证明：∵的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，…
的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，
的末尾数字为6；
同理可得：
的末尾数字7，的末尾数字9，的末尾数字3，的末尾数字1；
的末尾数字9，
∴的末尾数字是5，
∴能被5整除．
【点睛】此题是一道阅读理解题，主要考查了幂的运算、数的整除，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则是解答此题的关键．
6．（1）填空：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝ ；
（2）猜想：（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）＝ （n为大于3的正整数），并证明你的结论；
（3）运用（2）的结论计算（32019+32018+32017+……+32+3+1）﹣（31050×2）2÷（8×380）；
（4）32019﹣32018+32017﹣32016+……+35﹣34+33﹣32+3＝ ．
【答案】（1）x4−1；（2）xn＋1−1，理由见详解；（3）；（4）
【分析】（1）根据多项式乘多项式法则计算即可求解；
（2）利用发现的规律填写，再利用多项式乘多项式法则证明即可；
（3）利用得出的规律计算得到结果；
（4）两个数一组分别提取公因数，再把底数化为9，利用得出的规律计算，即可求解．
【解析】解：（1）解：根据多项式乘多项式法则可得：（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4−1，
故答案是： x4−1；
（2）∵（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4−1，
∴（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）= xn＋1−1，
理由如下：（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）= xn＋1+ xn+xn﹣1+……+x-（xn+xn﹣1+……+x+1）
= xn＋1−1，
故答案是：xn＋1−1；
（3）（32019+32018+32017+……+32+3+1）﹣（31050×2）2÷（8×380）
=﹣32100×4÷8÷380
=-
=；
（4）32019﹣32018+32017﹣32016+……+35﹣34+33﹣32+3
=2×32018+2×32016+2×32014+……+2×32+3
=2×（32018+32016+32014+……+32）+3
=2×（91009+91008+91007+……+9+1-1）+3
=2×+3
=2×
=，
故答案是：．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握多项式乘多项式法则，归纳出公式（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）= xn＋1−1，是解题的关键．
7．已知：

（1）当时，______．
（2）试求：的值．
（3）判断的值的个位数是______．
【答案】（1）80；（2）63；（3）7．
【分析】（1）根据有理数的乘方运算法则即可得；
（2）先根据已知等式归纳类推出一般规律，再将代入求值即可得；
（3）先根据一般规律可求出结果，再根据有理数的乘方即可得．
【解析】（1），
故答案为：80；
（2）归纳类推得：，其中，且为整数，
则，
，
；
（3），
，
∵，，，，，，且，
∴的个位数与的个位数相同，即为8，
∴的个位数为7，
即的值的个位数为7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了有理数的乘方、整式乘法的规律性问题等知识点，根据已知等式，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
8．好学的小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为：，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是：，即一次项为．
请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．
（1）计算所得多项式的一次项系数为______．
（2）若计算所得多项式不含一次项，求的值；
（3）若，则______．
【答案】（1）-11；（2）；（3）2021．
【分析】根据题意可得出结论多项式和多项式相乘所得结果的一次项系数是每个多项式的一次项系数分别乘以其他多项式的常数项后相加所得．
（1）中每个多项式的一次项系数分别是1、3、5，常数项分别是2、1、-3，再根据结论即可求出所得多项式的一次项系数．
（2）中每个多项式的一次项系数分别是1、-3、2，常数项分别是1、a、-1，再根据所得多项式的一次项系数为0，结合结论即可列关于a的一元一次方程，从而求出a．
（3）中每个多项式一次项系数为1，常数项系数也为1，为所得多项式的一次项系数．所以根据结论为2121个相加，即可得出结果．
【解析】（1）根据题意可知的一次项系数为：
．
故答案为-11．
（2）根据题意可知的一次项系数为：
∵该多项式不含一次项，即一次项系数为0，
∴
解得．
（3）根据题意可知即为所得多项式的一次项系数．
∴
故答案为2021
【点睛】本题考查多项式乘多项式以及对多项式中一次项系数的理解，根据题意找出多项式乘多项式所得结果的一次项系数与多项式乘多项式中每个多项式的一次项系数和常数项关系规律是解题关键．
9．你能求（x一1）（x99+x98+x97+…+x+1）的值吗?
遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形人手，分别计算下列各式的值．
（1）（x－1）（x+1） =_____________；
（2）（x—1）（ x2+x+1） =_____________；
（3）（x－1）（x3+ x2+x+1） =____________；
…
由此我们可以得到：
（4）（x一1）（ x99+x98+x97+…+x+1） =___________，
请你利用上面的结论，完成下列的计算：
（5）299+298+297+…+2+1；
【答案】（1） ； （2）； （3）；（4）；（5）．
【分析】（1）直接运用平方差公式计算即可
（2）（3）利用多项式乘多项式的运算法则进行计算即可
（4）根据（1）（2）（3）总结规律，运算规律即可解答
（5）将299+298+297+…+2+1写成（2-1）(299+298+297+…+2+1)，再利用规律解答即可
【解析】解：（1）（x－1）（x+1） =
（2）（x—1）（ x2+x+1） =
（3）（x－1）（x3+ x2+x+1） =
(4) （x一1）（ x99+x98+x97+…+x+1）=
(5) 299+298+297+…+2+1
=（2-1）(299+298+297+…+2+1)
=
【点睛】本题考查整式的混合运算能力以及分析、总结和归纳能力，掌握多项式乘多项式运算法则并总结出代数式的规律是解答本题的关键．
10．观察下列各式：
……
(1)按以上等式的规律填空：（_____________）；
(2)根据规律可得____________（其中为正整数）；
(3)利用上面的结论，完成下面两题的计算：
①
②
【答案】(1)
(2)
(3)①；②
【分析】（1）根据所给出的具有规律的式子，即可求解；
（2）观察所给式子的特点，等号右边x的指数比等号左边x的最高指数大1，然后写出即可；
（3）①根据所给式子的规律，把x换为3即可求解；根据上述规律计算其和，即可得解．②用添项法，实在补充为题干给定形式，即乘以即可解答．
【解析】（1）；
故答案为：
（2）；
故答案为：
（3）①
②
【点睛】本题考查了平方差公式的推广，要读懂题目信息并总结出规律，具有规律性是特殊式子的因式分解，解题的关键是找出所给范例展示的规律．
11．李狗蛋同学在学习整式乘法公式这一节时，发现运用乘法公式在进行一些计算时特别简便，这激发了李狗蛋同学的学习兴趣，他想再探究一些有关整式乘法的公式，便主动查找资料进行学习，以下是他找来的资料题，请你一同跟李狗蛋同学探究一下：
（1）探究：____；
___；
_____；
（2）猜想：______（为正整数，且）；
（3）利用上述猜想的结论计算：的值．
【答案】（1），，；（2）；（3）341
【分析】（1）根据平方差公式及多项式乘多项式法则计算即可；
（2）根据（1）的答案归纳总结即可；
（3）利用（2）的规律变形为（2）的形式计算即可．
【解析】解：（1），
，
，
故答案为：，，；
（2）根据（1）的结果可知：，
故答案为：；
（3）原式
．
【点睛】本题考查了平方差公式及多项式乘以多项式的变化规律，弄清题中的规律是解本题的关键．
12．观察并验证下列等式：
(1)续写等式__________．
(2)根据上述等式中所体现的规律，猜想结论
__________．
(3)利用（2）中的结论计算：
①
②
【答案】(1)
(2)
(3)①；②
【分析】（1）根据已知算式，可得从1开始，几个连续自然数的立方和等于这些自然数的和的平方，据此解答即可；
（2）根据已知算式，可得从1开始，几个连续自然数的立方和等于这些自然数的和的平方，据此解答即可；
（3）①根据（2）中结论进行求解即可；②根据（2）中结论求解即可．
(1)
解：由题意得：，
故答案为：；
(2)
解：∵
∴可以推出
故答案为：
(3)
解：①
；
②∵
，
又∵，
∴
．
【点睛】本题主要考查了数字类的规律题，整式的混合计算，正确理解题意找到规律是解题的关键．
13．已知．
(1)根据以上式子计算：
①；
②（n为正整数）；
③．
(2)通过以上计算，请你进行下面的探索：
①_______；
②_______；
③________．
【答案】(1)①；②；③；
(2)①；②；③．
【分析】（1）①直接利用题中的结论代入数值计算；②缺少(项，从而可以凑配易得，同理即可解答；③中，按降亘进行排列，然后套用规律进行解答；
（2）仿照所给等式的规律即可直接写出答案．
【解析】（1）①；
②；
③；
（2）①；
②；
③．
故答案为∶①；②；③．
【点睛】本题考查平方差公式，正确理解平方差公式及展开形式是解决本题关键．
14．阅读并思考：
计算时，山桂娜同学发现了一个简单的口算方法，具体步骤如下：
第一步：47接近整十数50，；
第二步：取50的一半25，；
第三步：
第四步：把第二、三步综合起来，．
(1)依此方法计算49：
第一步：49接近整十数50，；
第二步：取50的一半25，；
第三步：
第四步：把第二、三步综合起来，．
(2)请你根据山桂娜同学的方法，填写出一个正确的计算公式．
．
(3)利用乘法运算说明第（2）小题中这个公式的正确性．
(4)写出利用这个公式计算的过程．
(5)计算也有一个简单的口算方法，具体步骤如下：
第一步：；
第二步：；
第三步：前面两步的结果综合起来，的结果是4221．
写出上述过程所依据的计算公式_______________________．
(6)利用乘法运算说明第（5）小题中这个公式的正确性．
【答案】(1)25，1，1
(2)25，，
(3)见详解
(4)见详解
(5)
(6)见详解
【分析】（1）根据山桂娜同学的简便运算步骤解答即可；
（2）根据（1）的规律书写公式即可；
（3）利用整式乘法运算法则进行计算，即可说明（2）中公式的正确性；
（4）利用（2）中得到的公式求解即可；
（5）分析的简单运算，书写计算公式即可；
（6）利用整式乘法运算法则进行计算，即可说明（5）中公式的正确性．
【解析】（1）解：根据题意，计算49：
第一步：49接近整十数50，；
第二步：取50的一半25，；
第三步：
第四步：把第二、三步综合起来，．
故答案为：25，1，1；
（2）根据山桂娜同学的方法，填写出正确的计算公式如下：
．
故答案为：25，，；
（3）∵，
，
∴公式正确；
（4）
；
（5）计算的口算方法，具体步骤如下：
第一步：；
第二步：；
第三步：前面两步的结果综合起来，的结果是4221．
结合上述计算过程，可书写计算公式为．
故答案为：；
（6）∵
，
又∵
，
∴公式是正确的．
【点睛】本题主要考查了数字类规律探索、含乘方的有理数混合运算、整式混合运算等知识，理解题意，正确书写简便运算公式是解题关键．
15．阅读材料：把形如的二次三项式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆写，即．
例如：、、是的三种不同形式的配方即“余项”分别是常数项、一次项、二次项．
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方；
(2)已知，，求的值；
(3)当，何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？
【答案】(1)第一种：；第二种：；第三种：
(2)
(3)16
【分析】（1）根据材料中的三种不同形式的配方，“余项”分别是常数项、一次项、二次项，可解答；
（2）将配方，根据平方的非负性可得和的值，可解答；
（3）首先把已知等式变为，然后利用完全平方公式分解因式，变为两个非负数和一个正数的和的形式，然后利用非负数的性质即可解决问题．
（1）
解：第一种：；
第二种：；
第三种：；
（2）
，，




，
，
，
，，
；
（3）
，
，
，
，
，
解得．
当，时，代数式的最小值是．
【点睛】本题考查的是配方法的应用，首先利用完全平方公式使等式变为两个非负数和一个正数的和的形式，然后利用非负数的性质解决问题．
16．先阅读后解题：
若，求m和n的值．
解：等式可变形为：
即，
因为，，
所以，
即，．
像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．
请利用配方法，解决下列问题：
(1)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，则的周长是______；
(2)求代数式的最小值是多少？并求出此时a，b满足的数量关系；
(3)请比较多项式与的大小，并说明理由．
【答案】(1)9
(2)3，
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据配方法，可得a，b的值，在根据三角形三边的关系，可得c的值，根据三角形的周长，可得答案；
（2）根据配方法，可得非负数的和，根据非负数的性质，可得答案；
（3）根据多项式的减法计算，然后根据配方法化简多项式的差，可得结论．
(1)
已知的三边长a，b，c都是正整数，
的周长是
故答案为：
(2)
当时，的最小值为3
(3)
【点睛】本题考查了非负数的性质，利用配方法得出非负数的和是解题关键．
17．方法探究：
已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”．
问题解决：
(1)对于二次多项式，我们把x＝ 代入该式，会发现成立；
(2)对于三次多项式，我们把x＝1代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（），设另一个因式为（），多项式可以表示成，试求出题目中a，b的值；
(3)对于多项式，用“试根法”分解因式．
【答案】(1)±2
(2)a=0，b=-3；
(3)
【分析】（1）将x=±2代入即可；
（2）由题意得x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b，再由系数关系求a、b即可；
（3）多项式有因式（x-2），设另一个因式为（x2+ax+b），则x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b，再由系数关系求a、b即可．
【解析】（1）解：当x=±2时，x2-4=0，
故答案为：±2；
（2）解：由题意可知x3-x2-3x+3=（x-1）（x2+ax+b），
∴x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b，
∴1-a=1，b=-3，
∴a=0，b=-3；
（3）解：当x=2时，x3+4x2-3x-18=8+16-6-18=0，
∴多项式有因式（x-2），
设另一个因式为（x2+ax+b），
∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+ax+b），
∴x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b，
∴a-2=4，2b=18，
∴a=6，b=9，
∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+6x+9）=（x-2）（x+3）2．
【点睛】本题考查因式分解的意义，理解“试根法”的本质，多项式乘多项式的正确展开是解题的关键．
18．教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．
例如：分解因式
求代数式的最小值，．
当时，有最小值，最小值是，
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：__________．
（2）当x为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
（3）若，求出a，b的值．
【答案】（1）（x+1）（x-5）；（2）x=-1，最大值为5；（3）a=2，b=1
【分析】（1）根据题目中的例子，可以将题目中的式子因式分解；
（2）根据题目中的例子，先将所求式子变形，然后即可得到当x为何值时，所求式子取得最大值，并求出这个最大值；
（3）将题目中的式子化为完全平方式的形式，然后根据非负数的性质，即可得到a、b的值．
【解析】解：（1）x2-4x-5
=（x-2）2-9
=（x-2+3）（x-2-3）
=（x+1）（x-5），
故答案为：（x+1）（x-5）；
（2）∵-2x2-4x+3=-2（x+1）2+5，
∴当x=-1时，多项式-2x-4x+3有最大值，这个最大值是5；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴a-2b=0，b-1=0，
∴a=2，b=1．
【点睛】本题考查非负数的性质、因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法和非负数的性质解答．
19．已知a+b=1，ab=-1，设S1=a+b，S2=a2+b2，S3=a3+b3，…，Sn=an+bn
（1）计算S2和S4
（2）已知a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2),求S3并猜想Sn-2，Sn-1，Sn三者之间的数量关系（不需要证明）；
（3）若M=(S1+S2+S3+----S99)（S2+S3+----S100），N=（S1+S2+S3+----S100）（S2+S3+----S99）判断M，N的大小，并说明理由．
【答案】（1）S2＝3，S4＝7，（2）S3=4， Sn-2+Sn-1=Sn，理由见详解；（3）M＞N，理由见详解
【分析】（1）根据完全平方公式以及变形公式，即可求解；
（2）根据a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)，即可求出S3=4，由an-2+bn-2 +an-1+ bn-1结合a+b=1，ab=-1，可得Sn-2+Sn-1=Sn；
（3）设A= S1+S2+S3+----+S99，B= S2+S3+----+S100，利用作差法，即可判断M，N的大小．
【解析】解：（1）S2＝a2＋b2＝（a＋b）2−2ab＝12−2×（−1）＝3，
S4＝a4＋b4＝（a2＋b2）2−2a2b2＝（a2＋b2）2−2（ab）2=32−2×（−1）2＝7，
（2）S3=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=1×（3+1）=4，
猜想：Sn-2+Sn-1=Sn，
理由如下：∵a+b=1，ab=-1，
∴an-2+bn-2 +an-1+ bn-1= an-2(1+a)+ bn-2(1+b)= an-2(-ab+a)+ bn-2(-ab+b)= an-1(1-b)+ bn-1(1-a)= an+bn，
∴Sn-2+Sn-1=Sn；
（3）∵S1=a+b，S100= a100+b100＞0，
设A= S1+S2+S3+----+S99，B= S2+S3+----+S100
∴M-N=AB-(A+ S100)(B- S100)
=AB-AB+(A-B) S100+ S100×S100
=(S1-S100) S100+ S100×S100
= S1 S100
= S100＞0，
∴M＞N．
【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键，规律是Sn−2＋Sn−1＝Sn．
20．阅读材料：若，求，的值．
解：∵，∴，
∴，∴，，∴，．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知，则________，________；
（2）已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长．
【答案】（1）-4，-4；（2）的周长为9．
【分析】（1）利用完全平方公式配方，再根据非负数的性质即可得出x和y的值；
（2）利用完全平方公式配方，再根据非负数的性质即可得出a和b的值，从而得出c的取值范围，根据c为整数即可得出c的值，从而求得三角形的周长．
【解析】解：（1）由得
，
，
∴，，
∴，
故答案为：-4，-4；
（2）由得：
，
，
∴a-1=0，b-4=0，
∴a=1，b=4，
∴3＜c＜5，
∵△ABC的三边长a、b、c都是正整数，
∴c=4，
∴的周长为9．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用及偶次方的非负性，同时考查了三角形的三边关系，本题难度中等．
21．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．例如：．
②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如：
③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法．
观察得出：两个因式分别为与
例如：
分析：
解：原式
（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）
②（拆项法）
③________．
（2）已知：、、为的三条边，，求的周长．
【答案】（1）①，②，③；（2）7
【分析】（1）①将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；②将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；③直接利用十字相乘法分解即可；
（2）先利用完全平方公式对等式的左边变形，再根据偶次方的非负性可得出，，的值，然后求和即可得出答案．
【解析】解：（1）①
；
②
；
③；
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴．
∴的周长为7．
【点睛】本题考查因式分解的方法及其在几何图形问题中的应用，读懂题中的分解方法并熟练掌握整式乘法公式是解题的关键．
22．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中的一例．如图2，某同学发现杨辉三角给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数等等．
（1）填出展开式中共有________项，第三项是________．
（2）直接写出的展开式．
（3）推断多项式（为正整数）的展开式的各项系数之和．
（4）利用上面的规律计算：
．
【答案】（1）5；；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）展开的项数等于字母a的不同指数的个数即4，3，2，1，0，根据杨辉三角形的规律确定各项的系数即可；
（2）先计算的展开式，后将a,b的值特殊化计算即可；
（3）猜想指数为0，为1，为2，为3的系数之和，透过枚举法猜想其中的规律；
（4）逆向使用公式求解即可．
【解析】（1）由杨辉三角的系数规律可得，
，
展开式共有5项，第三项是．
（2），
当，时，
原式
，
．
（3）第一行各项系数和为，即的各项系数和为，
第二行各项系数和为，即的各项系数和为，
第三行各项系数和为，即的各项系数和为，
第三行各项系数和为，即的各项系数和为，
…
由此可得的各项系数和为，
．
（4）由杨辉三角可知，
原式
．
【点睛】本题考查了杨辉三角形，二项式的展开，熟练掌握杨辉三角形的特点，灵活运用公式，活用一般与特殊的思想是解题的关键．
23．乘法公式的探究及应用．
数学活动课上，刘老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片长为、宽为的长方形并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形．
（1）观察图，请写出下列三个代数式：，，之间的等量关系____；
（2）若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片张，号卡片张，号卡片_____张．
（3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：，，求的值：
②已知．求的值．
【答案】（1）；（2）3；（3）①11；②1
【分析】（1）方法1：图2是边长为（a+b）的正方形，利用正方形的面积公式可得出S正方形＝（a+b）2；方法2：图2也可看成1个边长为a的正方形、1个边长为b的正方形以及2个长为b宽为a的长方形的组合体，根据正方形及长方形的面积公式可得出S正方形＝a2+2ab+b2；由图2中的图形面积不变，可得出（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）把括号打开，根据各项的系数就可判断卡片的张数；
（3）①由a+b＝6可得出（a+b）2＝36，将其和a2+b2＝14代入（a+b）2＝a2+2ab+b2中即可求出ab的值；
②设x﹣2019＝a，则x﹣2018＝a+1，x﹣2020＝a﹣1，再根据完全平方公式求解即可．
【解析】解：（1）方法：图是边长为的正方形，
；
方法：图可看成个边长为的正方形、个边长为的正方形以及个长为宽为的长方形的组合体，
．
．
故答案为：；
（2）∵，A卡片的面积为a2，B卡片的面积为b2，C卡片的面积为ab，根据各项系数可得，要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片张，号卡片张，号卡片张．
故答案为：．
（3）①，
，即，
又，
．
②设，则，，
，
，
，
，
，
，即．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景、正方形的面积以及长方形的面积，解题的关键是：利用长方形、正方形的面积公式，找出结论；根据面积不变，找出（a+b）2＝a2+2ab+b2．
24．做一做计算： 探究归纳，如图甲、图乙是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为．
(1)根据图甲、图乙的特征用不同的方法计算长方形的面积，得到关于字母 x 的系数是 1 的 两个一次式相乘的计算规律，用数学式表达式为 ．
尝试运用，利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用上述表达式得到一些二次三项 式的因式分解．
(2)若，则 ．
(3)若可以分解成关于 x 的两个一次式乘积的形式，则整数 p 的值一定是 ．
(4)若 可以分解成关于 x 的两个一次式乘积的形式，则整数 q 的值一定是 ．
A．4 B．0 C．有限个 D．有无数个
【答案】(1)
(2)
(3)0或
(4)D
【分析】（1）根据多项式乘多项式的法则，即可求解；
（2）把展开，即可求解；
（3）由，进而即可求解；
（4）根据“和为的两个整数有无数组”，进而即可求解．
【解析】（1）∵，，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
故答案为：；
（3）∵可以分解成关于的两个一次式乘积的形式，
∴，
∴或，
故答案为：或
（4）∵和为的两个整数有无数组，
∴整数的值有无数个，
故选D．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式的运算法则，因式分解，通过题目得到结论：是解题的关键．
25．探索、研究：仪器箱按如图方式堆放（自下而上依次为第1层、第2层、…），受堆放条件限制，堆放时应符合下列条件：每层堆放仪器箱的个数an与层数n之间满足关系式an＝n2−32n＋247，1⩽n＜16，n为整数．
(1)例如，当n＝2时，a2＝22−32×2＋247＝187，则a5＝ ，a6＝ ；
(2)第n层比第（n＋1）层多堆放多少个仪器箱；（用含n的代数式表示）
(3)假设堆放时上层仪器箱的总重量会对下一层仪器箱产生同样大小的压力，压力单位是牛顿，设每个仪器箱重54 牛顿，每个仪器箱能承受的最大压力为160牛顿，并且堆放时每个仪器箱承受的压力是均匀的．
①若仪器箱仅堆放第1、2两层，求第1层中每个仪器箱承受的平均压力；
②再确保仪器箱不被损坏的情况下，仪器箱最多可以堆放几层，为什么？
【答案】(1)112，91；
(2)（31－2n）个
(3)①46.75N；②5层，理由见解析
【分析】（1）把n＝5，n＝6分别代入n2−32n＋247中进行计算；
（2）分别表示出n＋1和n时的代数式，然后进行减法计算；
（3）①根据公式分别求得第二层和第一层的个数，再根据第二层的总重量除以第一层的个数进行计算；②根据①中的方法进行估算，求得最多可以堆放的层数．
（1）
解：当n＝5时，a5＝52−32×5＋247＝112，
当n＝6时，a6＝62−32×6＋247＝91；
（2）
解：由题意可得，
答：第n层比第（n＋1）层多堆放（31－2n）个仪器箱．
（3）
解：①由题意得，
＝＝46.75（牛）
答：第1层中每个仪器箱承受的平均压力是46.75牛．
②该仪器箱最多可以堆放5层，理由如下．
当n＝1时，a1＝216，
当n＝2时，a2＝187，
当n＝3时，a3＝160，
当n＝4时，a4＝135，
当n＝5时，a5＝112，
当n＝6时，a6＝91，
当n＝5时，第1层中每个仪器箱承受的平均压力为：
＝148.5＜160（牛）
当n＝6时，第1层中每个仪器箱承受的平均压力为：
＝171.25＞160（牛）
所以，该仪器箱最多可以堆放5层．
【点睛】本题考查了图形变化规律探究问题，要能够根据所给的公式进行分析计算，同时体现了“估算”思想，体现了“优选”思想，对这类问题能从“中点”处、“黄金分割点”处思考是解答此题的重要思想．
26．
(1)【阅读与思考】
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为．
请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式： __________．
(2)【理解与应用】
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
① __________；
② __________．
(3)【探究与拓展】
对于形如的关于，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
① 分解因式__________；
② 若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
②43或
【分析】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，写出结果即可．
（2）①把二次项系数2写成，常数项写成，满足，写出分解结果即可．
②把项系数6写成，把项系数2写成，满足，写出分解结果即可．
（3）①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件，写出分解结果即可．
②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件，写出分解结果，计算即可．
【解析】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，所以．
故答案为：．
（2）①把二次项系数2写成，，满足，所以．
故答案为：．
②把项系数6写成，把项系数2写成，满足，
所以．
故答案为：．
（3）①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件，
所以．
故答案为：．
②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件，
所以m=或m=，
故m的值为43或-78．
【点睛】本题考查了因式分解的十字相乘法，读懂阅读材料，理解其中的内涵是解题的关键．
27．数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：探索整式乘法的一些法则和公式．
(1)探究一：
将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式____________________．
(2)探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：
在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为____________；
(3)将图3中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图4、图5所示，∵，，，∴长方体①的体积为．类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简）
(4)用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______________．
(5)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a-b=6，ab=2，求的值．
(6)类比以上探究，尝试因式分解：= ．
【答案】(1)
(2)
(3)，
(4)
(5)252
(6)
【分析】（1）图1中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，图2中阴影部分的面积等于长为、宽为的长方形的面积，由此即可得；
（2）直接利用大正方体的体积减去小正方体的体积即可得出答案；
（3）根据长方体的体积公式即可得；
（4）根据（2）和（3）的结论可得，再将等号右边利用提取公因式分解因式即可得出答案；
（5）先利用完全平方公式求出，再根据（4）的结论即可得；
（6）将改写成，再根据（4）的结论进行因式分解即可得．
（1）
解：图1中阴影部分的面积为，
图2中阴影部分的面积为，
拼图前后图形的面积不变，
，
可得一个多项式的分解因式为，
故答案为：．
（2）
解：由题意，得到的几何体的体积为，
故答案为：．
（3）
解：，
长方体②的体积为，
，
长方体③的体积为，
故答案为：，．
（4）
解：由（2）和（3）得：，
则可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为，
故答案为：．
（5）
解：，
，
．
（6）
解：由（4）可知，，
则
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方差公式与图形面积、利用完全平方公式变形求值、利用提公因式法分解因式等知识点，熟练掌握利用不同的方法表示同一个几何体的体积得到代数恒等式是解题关键．
28．把图1的长方形看成一个基本图形，用若干相同的基本图形进行拼图（重合处无缝隙）．
(1)如图2，将四个基本图形进行拼图，得到正方形和正方形，用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示），并写出一个等式；
(2)如图3，将四个基本图形进行拼图，得到四边形，求阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示）；
(3)如图4，将图3的上面两个基本图形作为整体图形向左运动x个单位，再向上运动2b个单位后得到一个长方形图形，若，把图中阴影部分分割成两部分，这两部分的面积分别记为，，若，求证：m与x无关．
【答案】(1)①S阴影＝(a＋b)2−4ab；②S阴影=(a−b)2​；（a＋b）2−4ab＝（a−b）2
(2)S阴影＝a2−2ab＋b2
(3)见解析
【分析】（1）阴影部分的面积有两种计算方法，①S阴影＝S大正方形−4S基本图形；②直接根据正方形EFGH的边长求正方形EFGH的面积；
（2）先证明四边形ABCD是正方形，然后用S阴影＝S正方形−4S基本图形；
（3）把S1，S2分别用含a、b、x的式子表示出来，然后计算m＝S1−S2，即可证明m与x无关．
【解析】（1）解：①∵在图2中，四边形ABCD是正方形，
∴正方形ABCD的面积为S正方形＝（a＋b）2．
∵四个基本图形的面积为4ab，
∴S阴影＝(a＋b)2−4ab；
②∵四边形EFGH是正方形，
∴EH＝EF＝a−b，
∴S阴影＝EH2＝(a−b)2；
∴（a＋b）2−4ab＝（a−b）2．
（2）解：∵NP＝a＋b，MN＝a＋b，
∴四边形EFGH是正方形，
∴S阴影＝MN2−4ab＝(a＋b)2−4ab，
即S阴影＝(a＋b)2−4ab＝a2−2ab＋b2．
（3）证明：根据图形可知，AF＝a＋x−2b，
m＝S1−S2
＝2b•2b＋bx−（a−2b＋x）b−3b•b
＝4b2＋bx−（ab−2b2＋bx）−3b2
＝4b2＋bx−ab＋2b2−bx−3b2
＝3b2−ab
∴S与x无关．
【点睛】本题主要考查了利用有关代数式表示图形的面积．合理利用代数式把图形的面积表示出来是解题的关键．
29．若x满足(9x)(x4)=4，求(9x)²(x4)²的值．
解：设9x=a，x4=b，则(9x)(x4)=ab=4，ab=(9x)(x4)=5
∴(9x)²(x4)²=a²+b²=(a+b)²2ab=5²－24=17
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若x满足，求的值；
(2)若x满足，求的值；
(3)已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE=1，CF=3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边长作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分的面积．
【答案】(1)130
(2)16
(3)28
【分析】（1）设x-10=a，x-20=b，由条件得ab=15，a-b=10，根据a2+b2=（a-b）2+2ab求出结果即可；
（2）设x-2021=a，x-2022=b，可得a2+b2=33，a-b=1，根据-2（x-2021）（x-2022）=-2ab，求出ab即可；
（3）设正方形ABCD的边长为x，AE=1，CF=3可得FM=DE=x-1，DF=x-3，进而得出阴影部分的面积=FM2-DF2=（x-1）2-（x-3）2，由（2）的方法求出结果即可．
【解析】（1）解：设x-10=a，x-20=b，
则（x-10）（x-20）=ab=15，a-b=（x-10）-（x-20）=10，
∴（x-10）2+（x-20）2
=a2+b2
=（a-b）2+2ab
=102+2×15
=130
（2）设x-2021=a，x-2022=b，
则（x-2021）2+（x-2022）2=a2+b2=33，a-b=（x-2021）-（x-2022）=1，
∴-2（x-2021）（x-2022）
=-2ab
=（a-b）2-（a2+b2）
=12-33
=-32
∴ab=16，
即：（x-2021）（x-2022）=16．
（3）∵正方形ABCD的边长为x，AE=1，CF=3，
∴FM=DE=x-1，DF=x-3，
∴（x-1）（x-3）=48，
∴（x-1）-（x-3）=2，
∴阴影部分的面积=FM2-DF2=（x-1）2-（x-3）2，
设x-1=a，x-3=b，则（x-1）（x-3）=ab=48，a-b=（x-1）-（x-3）=2，
∴（a+b）2=（a-b）2+4ab
=4+192
=196
∵a＞0，b＞0，
∴a+b＞0，
∴a+b=14，
∴（x-1）2-（x-3）2
=a2-b2
=（a+b）（a-b）
=14×2
=28
即阴影部分的面积是28．
【点睛】本题考查完全平方公式，理解完全平方公式的结构特征是解决问题的关键．
30．数形结合是一种非常重要的数学思想，它包含两个方面，第一种是“以数解形”，第二种是“以形助数”，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微”．请你使用数形结合这种思想解决下面问题：
图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分为四块完成相同的小长方形，然后按照图2的形状拼成一个正方形．
(1)观察图2，用两种方法计算阴影部分的面积，可以得到一个等式，请使用代数式，，ab写出这个等式_____________．
(2)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且，，试求的值．
(3)如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)4
(3)
【分析】（1）根据图2中，各个部分面积与大正方形面积之间的关系可得答案；
（2）由（1）的结论，进行计算即可；
（3）设两个正方形的边长为，，得出，，根据完全平方公式计算出的值即可．
（1）
解：如图2，大正方形的边长为，因此面积为，
小正方形的边长为，因此面积为，
每个长方形的长为，宽为，因此面积为，
由面积之间的关系可得：
，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）
解：由（1）得，
，，
；
即的值是4；
（3）
解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则，，
，两正方形的面积和，
，，
，
，
，
阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征以及图形中面积之间的关系．
31．我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数.
例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算.因此.
(1)的商是______，余式是______.
(2)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求值.
(3)已知一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图）.另有长方形C的一边长为，若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长.
【答案】(1)，．
(2)
(3)
【分析】（1）根据多项式除以多项式的法则计算．
（2）根据多项式除以多项式的法则计算．
（2）通过面积关系求长方形的边长．
【解析】（1）解：用竖式计算如下，
的商是，余式是．
∴答案为：，．
（2）多项式能被整除，则
∴a+4-（-2）=0，-b-（-2）=0．
∴a=-6，b=2．
∴ab=（-6）2=36．
（3）长方形A的周长为：2（x+2+x-2）=4x．
长方形B的周长为：2（x-2+a+x+2+6）=4x+2a+12．
∵长方形B的周长是A周长的2倍．
∴4x+2a+12=8x．
∴a=2x-6．
∴长方形B的面积为：（x+2+6）（x-2+2x-6）=（x+8）（3x-8）
=3x2+16x-64．
∴长方形C的面积为：3x2+16x-140．
∴长方形C的另一边长为：（3x2+16x-140）÷（x+10）=3x-14．
∴长方形C的另一边长为：3x-14．
【点睛】本题考查多项式除以多项式，抓住整除的定义找到系数的关系是求解本题的关键．
32． 数学中的许多规律不仅可以通过数的运算发现，也可以通过图形的面积发现．
(1)填表：【数的角度】
(2)【形的角度】如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，怎样计算图中阴影部分的面积？小明和小红分别用不同的方法计算图中阴影部分的面积．小明的方法：若阴影部分看成大正方形与小正方形的面积差，则阴影部分的面积用代数式表示为 ；小红的方法：若沿图①中的虚线将阴影部分剪开拼成新的长方形（图②），则阴影部分的面积用代数式表示为 ．
(3)【发现规律】猜想：a＋b、 a－b 、a2－b2这三个代数式之间的等量关系是 ．
(4)【运用规律】运用上述规律计算：502－492＋482－472＋462－452…＋22－1．
【答案】(1)5，
(2)
(3)
(4)1275
【分析】(1)a=3，b=-2时，;
时，a-b=．
(2)小空1 大正方形面积为a2，小正方形的面积为b2，作差即可．
小空2 把长方形的长和宽分别用含有a、b的代数式表示出来，再按照长方形面积公式计算即可．
(3)根据第(2)小题发现的规律写出等量关系即可．
(4)每两个数为一组按照根据第（3）小题写出的规律进行变形，问题即可解决．
【解析】（1）
（2）小明的方法:大正方形面积为a2，小正方形的面积为b2，，
∴阴影部分的面积为a2-b2；
小红的方法：长方形的长为a+b，宽为a-b，
∴阴影部分的面积为(a+b)(a-b)．
故答案为：
（3）a＋b、 a－b 、a2－b2这三个代数式之间的等量关系是．
（4）502－492＋482－472＋462－452…＋22－1
=(502－492)＋(482－472)＋(462－452 )…＋(22－1)
=(50+49) ×(50-49)+(48+47) ×（48-47）+(46+45) ×(46-45) …+(2+1) ×(2-1)
=50+49+48+47+46+45+…+2+1
=
=1275
【点睛】本题是一道综合性题目，通过代数计算填表和面积法两种方式发现规律：平方差公式．然后再运用规律进行计算，提高了学生应用数学的能力，解题的关键是发现规律．
33．完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题
例如：若，，求的值
解：∵
∴
即
∵
∴
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题
(1)若，，则_______________
(2)填空
①若，则_________________
②若，则________________
(3)如图，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积
【答案】(1)12
(2)①10；②； 17
(3)
【分析】（1）利用完全平方公式，再将代入，即可求解；
（2）①注意整体法的运用，将转化为：，即可求解；
②注意整体法的运用，将转化为：，即可得到，，即可求解；
（3）表示两个正方形的面积、，得到，结合，推出，再去计算阴影部分面积．
（1）
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴＝64－40＝24，
∴；
故答案为：12；
（2）
①∵，
∴


；
故答案为：10；
②∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：17；
（3）
∵AB＝6，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵BC＝CF，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了完全平方公式的灵活运用，其中既要注意整体法的运用，又要注意数形结合思维的培养．
34．如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．
(1)在图2中的阴影部分的面积S1可表示为 ；（写成多项式乘法的形式）；在图3中的阴影部分的面积S2可表示为 ；（写成两数平方差的形式）；
(2)比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是 ；
A.（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
B.（a＋b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C.（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2
(3)请利用所得等式解决下面的问题：
①已知4m2﹣n2＝12，2m＋n＝4，则2m﹣n＝ ；
②计算（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）×…×（232＋1）＋1的值，并直接写出该值的个位数字是多少．
【答案】(1)（a+b）（a﹣b），a2﹣b2；
(2)B
(3)①3，②264，6
【分析】（1）根据长方形和正方形的面积公式即可求解即可；
（2）根据两个阴影部分的面积相等由（1）的结果即可解答.
（3）①利用（2）得到的等式求解即可；②可以先把原式乘上一个（2﹣1），这样可以和（2+1）凑成平方差公式，以此逐步解答即可．
【解析】（1）解：图2中长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），因此面积为（a+b）（a﹣b），
图3中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2．
故答案为：（a+b）（a﹣b），a2﹣b2．
（2）解：由（1）得（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
故选B．
（3）解：①因为4m2﹣n2＝12，所以（2m+n）（2m﹣n）＝12，
又因为2m+n＝4，
所以2m﹣n＝12÷4＝3．
故答案为：3；
②（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）×…×（232＋1）＋1
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1
＝……
＝264﹣1+1
＝264，
而21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256……，其个位数字2，4，8，6，重复出现，而64÷4＝16，于是“2、4、8、6”经过16次循环，
因此264的个位数字为6．
答：其结果的个位数字为6．
【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用和数字类规律，灵活应用平方差公式成为解答本题的关键．
35．学习了平方差、完全平方公式后，小聪同学对学习和运用数学公式非常感兴趣，他通过上网查阅，发现还有很多数学公式，如立方和公式：（a＋b）（a2－ab＋b2）＝a3＋b3，他发现，运用立方和公式可以解决很多数学问题，请你也来试试利用立方和公式解决以下问题：
(1)【公式理解】公式中的字母可以代表任何数、字母或式子
①化简：（a－b）（a2＋ab＋b2）＝ ；
②计算：（993＋1）÷（992－99＋1）＝ ；
(2)【公式运用】已知：＋x＝5，求的值：
(3)【公式应用】如图，将两块棱长分别为a、b的实心正方体橡皮泥揉合在一起，重新捏成一个高为的实心长方体，问这个长方体有无可能是正方体，若可能，a与b应满足什么关系？若不可能，说明理由．
【答案】(1)a3-b3，100
(2)4
(3)不可能，理由见解析
【分析】（1）根据立方差公式计算；
（2）根据完全平方公式计算；
（3）根据体积找到a，b关系．
【解析】（1）解：①原式=a3+(-b)3=a3-b3．
②原式=（99+1）（992-99×1+12）÷（992-99+1）=100．
故答案为：a3-b3，100．
（2）∵，
∴原式
=5-1
=4．
（3）假设长方体可能为正方体，由题意：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴7a2-10ab+7b2=0不成立，
∴该长方体不可能是边长为的正方体．
【点睛】本题考查立方差和立方和公式的应用，构造使用公式的条件是求解本题的关键．
36．【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
(1)由图2可得等式：__________；由图3可得等式：__________；
(2)利用图3得到的结论，解决问题：若，，则__________；
(3)如图4，若用其中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接），则______；
(4)如图4，若有3张边长为的正方形纸片，4张边长分别为的长方形纸片，5张边长为的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为______．
【方法拓展】
(5)已知正数，，和，，，满足．试通过构造边长为的正方形，利用图形面积来说明．
【答案】(1)（2a+b）（a+b）=2a2+b2+3ab；（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
(2)150
(3)8
(4)a+2b；
(5)见解析
【分析】（1）大长方形的面积=长×宽，也等于3个小正方形和3个小长方形面积的和，两种方法求得的大长方形的面积相等，即“等积法”得到等式．
（2）用（1）的结论变形后代入求值．
（3）观察（2a+b）（a+2b）长方形找到x、y、z对应的值，代入求值．
（4）通过分析，找到可以拼成正方形的可能的情况，然后找到正方形的边长最大，
（5）通过构造边长为k的正方形，用3个长方形的面积表示al+bm+cn，用面积直观地说明al+bm+cn