初中数学苏科版八年级下册9.1 图形的旋转同步测试题

这是一份初中数学苏科版八年级下册9.1 图形的旋转同步测试题，共52页。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc18914" 【典型例题】 PAGEREF _Tc18914 \h 1
\l "_Tc7493" 【考点一 判断生活中的旋转现象】 PAGEREF _Tc7493 \h 1
\l "_Tc6861" 【考点二 找旋转中心、旋转角、对应点】 PAGEREF _Tc6861 \h 2
\l "_Tc21519" 【考点三 根据旋转的性质求解】 PAGEREF _Tc21519 \h 4
\l "_Tc2024" 【考点四 画旋转图形】 PAGEREF _Tc2024 \h 6
\l "_Tc11763" 【考点五 求旋转对称图形的旋转角度】 PAGEREF _Tc11763 \h 9
\l "_Tc5564" 【考点六 求绕原点旋转90度的点的坐标】 PAGEREF _Tc5564 \h 11
\l "_Tc13465" 【考点七 求绕某点(非原点)旋转90度的点的坐标】 PAGEREF _Tc13465 \h 12
\l "_Tc27019" 【考点八 坐标与旋转规律问题】 PAGEREF _Tc27019 \h 14
\l "_Tc6534" 【考点九 旋转综合题(几何变换)】 PAGEREF _Tc6534 \h 16
\l "_Tc21201" 【过关检测】 PAGEREF _Tc21201 \h 22
【典型例题】
【考点一 判断生活中的旋转现象】
例题：（2022秋·九年级单元测试）有下列现象：①地下水位逐年下降：②传送带的移动；③方向盘的转动：④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动：⑥荡秋千运动．其中属于旋转的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式训练】
1．（2022秋·全国·九年级专题练习）下列现象中属于旋转的是（ ）
A．汽车在急刹车时向前滑动B．拧开水龙头
C．雪橇在雪地里滑动D．电梯的上升与下降
【考点二 找旋转中心、旋转角、对应点】
例题：（2022秋·广东惠州·九年级统考阶段练习）如图，为等边三角形，是等边内部一点，经过逆时针旋转后到达的位置，则，
（1）旋转中心是_______；
（2）旋转角的度数是_______；
（3）是_______三角形．
【变式训练】
1．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，，将向右平移得到，再将绕点D逆时针旋转至点重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（ ）
A．1，30°B．4，30°C．2，60°D．4，60°
2．（2022秋·浙江金华·九年级统考阶段练习）如图，中，，，，逆时针旋转一定角度后能与重合，且点恰好为的中点.
(1)指出旋转中心，并求出旋转的度数；
(2)求出的度数和的长．
【考点三 根据旋转的性质求解】
例题：（2022秋·山西晋中·九年级统考期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022秋·安徽淮南·九年级统考阶段练习）如图，在中，以为中心，将顺时针旋转得到，边，相交于点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，将绕点C顺时针旋转得到，点A、D、E在同一条直线上，若，，则的长为_____．
【考点四 画旋转图形】
例题：（2022秋·广东江门·九年级广东省江门市实验中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，每个小方格的边长为1个单位长度，在第二象限内有横、纵坐标均为整数的O、B两点，点，点A的横坐标为，且．
(1)在平面直角坐标系中标出点A，写出A点的坐标___________，并连接，，；
(2)画出绕着点O顺时针旋转的图形．
【变式训练】
1．（2022秋·九年级单元测试）如图，在边长为的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点为原点，点、的坐标分别是、．
(1)将向下平移个单位，则点的对应点坐标为 ；
(2)将绕点逆时针旋转后得到，请在图中作出；
(3)求的面积．
2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有一个和一点O，的顶点和点O均与小正方形的顶点重合．
(1)在方格纸中，将向右平移6个单位长度得到，请画出；
(2)在方格纸中，与关于x轴对称，请画出；
(3)在方格纸中，将绕点O旋转180°得到，请画出．
【考点五 求旋转对称图形的旋转角度】
例题：（2023春·八年级单元测试）图中的五角星图案，绕着它的中心旋转后，能与自身重合，则的值至少是（ ）
A．144B．120C．72D．60
【变式训练】
1．（2022秋·北京海淀·九年级北京交通大学附属中学校考阶段练习）点是正五边形的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图），这个图案绕点旋转后能与自身完全重合，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·江西南昌·九年级统考期中）如图，将其绕着某点旋转，能与自身重合，则______．
【考点六 求绕原点旋转90度的点的坐标】
例题：（2022秋·全国·九年级专题练习）已知点，点O为坐标原点，连接，将线段按顺时针方向旋转，得到线段，则点的坐标______．
【变式训练】
1．（2022秋·天津宝坻·九年级校考期末）在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，将点按逆时针方向旋转，得到点，则点的坐标为______．
2．（2021秋·广东江门·九年级广东省江门市实验中学校考期中）如图，在直角坐标系中，点，点，将绕点顺时针方向旋转，使边落在轴上，则______．
【考点七 求绕某点(非原点)旋转90度的点的坐标】
例题：（2022秋·辽宁大连·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕点A顺时针旋转，得到，则点的坐标为______．
【变式训练】
1．（2022秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，点B，把绕点A顺时针旋转后得到，则点的坐标是_______
2．（2022秋·辽宁大连·九年级校考期末）如图，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都是网格线的交点，已知B点的坐标为，将绕着点C顺时针旋转90°，则点A的对应点的坐标为______．
【考点八 坐标与旋转规律问题】
例题：（2023秋·河南南阳·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点A在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2021次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022春·广西钦州·七年级统考期末）如图所示，已知点A（－1，2），将长方形ABOC沿x轴正方向连续翻转2022次，点A依次落在点，，，……，的位置，则的坐标是（ ）
A．（3033，0）B．（3032，1）C．（3035，0）D．（3036，1）
【考点九 旋转综合题(几何变换)】
例题：（2022秋·北京·九年级校考期中）如图，在等边三角形中，点为内一点，连接，，，将线段绕点顺时针旋转60°得到，连接，．
(1)请找出图中与相等的线段，并证明其相等；
(2)当时，
①直接写出的度数为______；
②若为的中点，连接，请用等式表示与的数量关系，并证明．
【变式训练】
1．（2022秋·北京朝阳·九年级北京八十中校考期中）如图，在中，，，D是线段延长线上一点，连接，过点A作于E．
(1)求证：；
(2)将射线绕点A顺时针旋转后，所得的射线与线段的延长线交于点F，连接．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
2．（2022秋·湖北黄石·九年级校考阶段练习）如图，在中，，点分别在边上，且，此时成立．
(1)将绕点逆时针旋转时，在图中补充图形，并求出的长度；
(2)当绕点逆时针旋转一周的过程中，与的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请你利用图证明，若不成立请说明理由；
(3)将绕点逆时针旋转一周的过程中，当三点在同一条直线上时，请画出图形并直接写出的长度．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·内蒙古通辽·九年级校考期中）下列现象中属于旋转的是（ ）
A．鼠标在鼠标垫上滑动B．拧开冰红茶瓶盖C．一轮红日缓缓升起D．空中下落的硬币
2．（2022秋·海南省直辖县级单位·九年级统考期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（2022春·甘肃兰州·八年级校考期中）如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（ ）
A．点B．点C．点D．点
4．（2022秋·贵州黔东南·九年级校考阶段练习）如图，将一块角的直角三角板绕直角顶点逆时针旋转到的位置，此时点刚好在上，若，则点与点距离为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023秋·广东广州·九年级铁一中学校考期末）如图，将绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，当点E恰好落在边上时，连接，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（2022秋·吉林松原·九年级统考期中）如图所示的图形绕其中心至少旋转______度就可以与原图形完全重合．
7．（2023·上海静安·统考一模）如图，绕点C逆时针旋转后得，如果点B、D、E在一直线上，且，那么A、D两点间的距离是_________．
8．（2023秋·北京石景山·八年级校考期末）如图，是绕点O顺时针旋转后得到的图形，若点C恰好落在上，且的度数为，则的度数是________，的度数是________．
9．（2022秋·上海闵行·七年级校考阶段练习）在直角三角形ABC中，，，将绕若点B旋转，使点C落在直线上的点D处，则线段___________．
10．（2022秋·湖北黄冈·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别落在点，处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去，…，若点，，，则点的坐标为______．
三、解答题
11．（2023秋·北京石景山·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，将格点绕某点逆时针旋转角（）得到格点，点A与点E，点O与点C，点B与点D是对应点．
(1)请通过画图找到旋转中心，将其标记为点M，并写出点M的坐标；
(2)直接写出旋转角的度数．
12．（2021春·江苏无锡·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，有一，且，，，，已知是由顺时针旋转得到的．
(1)请写出旋转中心的坐标是___________，旋转角是___________度．
(2)以（1）中的旋转中心为中心，画出顺时针旋转后得到的三角形．
13．（2022秋·贵州黔东南·九年级校考阶段练习）如图，是正三角形内的一点，且，，．若将绕点A逆时针旋转后，得到．
(1)求点与点之间的距离；
(2)求的度数．
14．（2021春·四川成都·八年级校考期中）在等腰和等腰中，，．将绕点逆时针旋转，连接．点为线段的中点，连接，
(1)如图1，当点旋转到边上时，线段与的数量和位置关系是 ．
(2)如图2，当点旋转到边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程，若不成立，请说明理由
(3)若，，在绕点逆时针旋转的过程中，当时，求线段的长
15．（2022秋·河南南阳·八年级统考阶段练习）感知：如图①，和都是等腰直角三角形，，点在线段上，点在线段上，我们很容易得到，不需证明．
探究：如图②，将绕点逆时针旋转，连结和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由．
应用：如图③，当绕点逆时针旋转，使得点落在的延长线上，连结．
①的度数为______度；
②若，则线段的长为______．
专题01 图形的旋转问题
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc18914" 【典型例题】 PAGEREF _Tc18914 \h 1
\l "_Tc7493" 【考点一 判断生活中的旋转现象】 PAGEREF _Tc7493 \h 1
\l "_Tc6861" 【考点二 找旋转中心、旋转角、对应点】 PAGEREF _Tc6861 \h 2
\l "_Tc21519" 【考点三 根据旋转的性质求解】 PAGEREF _Tc21519 \h 4
\l "_Tc2024" 【考点四 画旋转图形】 PAGEREF _Tc2024 \h 6
\l "_Tc11763" 【考点五 求旋转对称图形的旋转角度】 PAGEREF _Tc11763 \h 9
\l "_Tc5564" 【考点六 求绕原点旋转90度的点的坐标】 PAGEREF _Tc5564 \h 11
\l "_Tc13465" 【考点七 求绕某点(非原点)旋转90度的点的坐标】 PAGEREF _Tc13465 \h 12
\l "_Tc27019" 【考点八 坐标与旋转规律问题】 PAGEREF _Tc27019 \h 14
\l "_Tc6534" 【考点九 旋转综合题(几何变换)】 PAGEREF _Tc6534 \h 16
\l "_Tc21201" 【过关检测】 PAGEREF _Tc21201 \h 22
【典型例题】
【考点一 判断生活中的旋转现象】
例题：（2022秋·九年级单元测试）有下列现象：①地下水位逐年下降：②传送带的移动；③方向盘的转动：④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动：⑥荡秋千运动．其中属于旋转的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】根据平移和旋转的定义对各运动进行分析，即可找出其中的旋转运动．
【详解】解：③④⑤⑥属于旋转，共有4个．
故选：C．
【点睛】本题考查旋转的定义，掌握旋转的定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·全国·九年级专题练习）下列现象中属于旋转的是（ ）
A．汽车在急刹车时向前滑动B．拧开水龙头
C．雪橇在雪地里滑动D．电梯的上升与下降
【答案】B
【分析】根据旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转可得答案．
【详解】A．汽车在急刹车时向前滑动不是旋转，故此选项错误；
B．拧开水龙头属于旋转，故此选项正确；
C．雪橇在雪地里滑动不是旋转，故此选项错误；
D．电梯的上升与下降不是旋转，故此选项错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了生活的旋转现象，关键是掌握旋转的定义．
【考点二 找旋转中心、旋转角、对应点】
例题：（2022秋·广东惠州·九年级统考阶段练习）如图，为等边三角形，是等边内部一点，经过逆时针旋转后到达的位置，则，
（1）旋转中心是_______；
（2）旋转角的度数是_______；
（3）是_______三角形．
【答案】 A ##60度 等边
【分析】（1）根据旋转的定义，即可得到答案；
（2）根据旋转的定义，即可得到答案；
（3）根据旋转的性质，得到，，再利用等边三角形的判定条件即可得到答案．
【详解】解：（1）根据题意，与重合，
旋转中心是点A，
故答案为：A；
（2）根据图形，旋转角是，
为等边三角形，
，
旋转角的度数是，
故答案为：；
（3）由旋转的性质可知，，
旋转角为，
，
是等边三角形，
故答案为：等边．
【点睛】本题考查了旋转的定义和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的相关知识点是解题关键．
【变式训练】
1．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，，将向右平移得到，再将绕点D逆时针旋转至点重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（ ）
A．1，30°B．4，30°C．2，60°D．4，60°
【答案】C
【分析】由平移的性质和旋转的性质可证是等边三角形，可得，，即可求解．
【详解】∵将向右平移得到，
，
∵将绕点D逆时针旋转至点重合，
，
是等边三角形，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平移的性质，等边三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题关键。
2．（2022秋·浙江金华·九年级统考阶段练习）如图，中，，，，逆时针旋转一定角度后能与重合，且点恰好为的中点.
(1)指出旋转中心，并求出旋转的度数；
(2)求出的度数和的长．
【答案】(1)旋转中心为点A，旋转的度数为；
(2)，．
【分析】（1）先利用三角形内角和计算出，然后根据旋转的定义求解；
（2）根据旋转的性质得，，，则可利用周角定义可计算出，然后计算出，从而得到的长．
【详解】（1）解：，
即，
所以旋转中心为点A，旋转的度数为；
（2）解：∵逆时针旋转一定角度后与重合，
∴，，，
∴，
∵点C恰好成为的中点，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
【考点三 根据旋转的性质求解】
例题：（2022秋·山西晋中·九年级统考期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由旋转的性质可得，，由直角三角形的性质可得，即可求解．
【详解】解：将绕点逆时针旋转得，
，，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·安徽淮南·九年级统考阶段练习）如图，在中，以为中心，将顺时针旋转得到，边，相交于点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将绕点C顺时针旋转得到，得，，于是得到结论．
【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
故选：B
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
2．（2023秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，将绕点C顺时针旋转得到，点A、D、E在同一条直线上，若，，则的长为_____．
【答案】
【分析】连接，根据旋转的性质可得，，，，从而求出，，进而可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【详解】解：连接，
由旋转得：
，，
，
由旋转得：
，，
，
由旋转得：
，
，
在中，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
【考点四 画旋转图形】
例题：（2022秋·广东江门·九年级广东省江门市实验中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，每个小方格的边长为1个单位长度，在第二象限内有横、纵坐标均为整数的O、B两点，点，点A的横坐标为，且．
(1)在平面直角坐标系中标出点A，写出A点的坐标___________，并连接，，；
(2)画出绕着点O顺时针旋转的图形．
【答案】(1)见解析，
(2)见解析
【分析】（1）直接利用B点坐标结合勾股定理得出A点位置进而得出答案；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点，即可．
【详解】（1）解：∵，
∴点A坐标为，如图所示；
故答案为：；
（2）解：如图所示：即为所求．
【点睛】此题主要考查了旋转变换以及勾股定理，正确得出对应点位置是解题关键．
【变式训练】
1．（2022秋·九年级单元测试）如图，在边长为的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点为原点，点、的坐标分别是、．
(1)将向下平移个单位，则点的对应点坐标为 ；
(2)将绕点逆时针旋转后得到，请在图中作出；
(3)求的面积．
【答案】(1)图见解析；
(2)图见解析
(3)
【分析】（1）利用平移变换的性质作出图形，可得结论；
（2）利用旋转变换的性质作出图形即可；
（3）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求，．
故答案为：．
（2）解：如图，即为所求．
（3）解：．
【点睛】本题考查了图形的平移和旋转的画法，及在网格图中求三角形的面积，确定旋转中心、旋转角度、旋转方向是解答本题的关键．
2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有一个和一点O，的顶点和点O均与小正方形的顶点重合．
(1)在方格纸中，将向右平移6个单位长度得到，请画出；
(2)在方格纸中，与关于x轴对称，请画出；
(3)在方格纸中，将绕点O旋转180°得到，请画出．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析
【分析】（1）根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
（2）根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解；
（3）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如（1）图所示，即为所求；
（3）解：如（1）图所示，即为所求．
【点睛】本题考查了轴对称变换的性质、旋转变换的性质与平移变换的性质，熟练掌握轴对称变换的性质与旋转变换的性质以及平移变换的性质是解题的关键．
【考点五 求旋转对称图形的旋转角度】
例题：（2023春·八年级单元测试）图中的五角星图案，绕着它的中心旋转后，能与自身重合，则的值至少是（ ）
A．144B．120C．72D．60
【答案】C
【分析】五角星图案，可以被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．
【详解】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，
旋转的度数至少为，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转对称图形，熟练掌握旋转对称图形的概念是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·北京海淀·九年级北京交通大学附属中学校考阶段练习）点是正五边形的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图），这个图案绕点旋转后能与自身完全重合，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】旋转对称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心．根据定义可知，最小旋转角等于周角除以正多边形的边数．
【详解】解：根据题意，可知这个图案是旋转对称图形，点是旋转对称中心，
这个图案的最小旋转角为；
这个图案绕点旋转后能与自身完全重合，则的最小值；
故选：B．
【点睛】此题考查了旋转对称图形，熟练掌握旋转对称图形的概念以及最小旋转角的求法是解答此题的关键．
2．（2022秋·江西南昌·九年级统考期中）如图，将其绕着某点旋转，能与自身重合，则______．
【答案】120
【分析】根据旋转对称图形的性质判断即可．
【详解】解：如图：
由题意，，
故该图形围绕点旋转能与自身重合，则旋转角最小为，
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转对称图形，解题的关键是理解题意，求出中心角是解题的关键．
【考点六 求绕原点旋转90度的点的坐标】
例题：（2022秋·全国·九年级专题练习）已知点，点O为坐标原点，连接，将线段按顺时针方向旋转，得到线段，则点的坐标______．
【答案】
【分析】根据旋转的性质即可得到点的坐标．
【详解】如图，
∵点，将线段按顺时针方向旋转，得到线段，
∴点的坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化—旋转，掌握旋转的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·天津宝坻·九年级校考期末）在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，将点按逆时针方向旋转，得到点，则点的坐标为______．
【答案】
【分析】在平面直角坐标系，作出图形，然后根据图形写出点的坐标即可．
【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．
2．（2021秋·广东江门·九年级广东省江门市实验中学校考期中）如图，在直角坐标系中，点，点，将绕点顺时针方向旋转，使边落在轴上，则______．
【答案】
【分析】先根据两点间的距离公式计算出，再根据旋转的性质得到，，所以为等腰直角三角形，则即可求得答案．
【详解】解：点的坐标为，
，
绕点顺时针方向旋转，使边落在轴上，
，，
，
，即，
为等腰直角三角形，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化—旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
【考点七 求绕某点(非原点)旋转90度的点的坐标】
例题：（2022秋·辽宁大连·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕点A顺时针旋转，得到，则点的坐标为______．
【答案】
【分析】根据旋转方向，性质中心及旋转角，找到，然后结合直角坐标系可得出的坐标．
【详解】绕点A顺时针旋转，得到，如图所示，
∴结合图象可得点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变化，解答本题的关键是找到旋转的三要素，找到点的位置．
【变式训练】
1．（2022秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，点B，把绕点A顺时针旋转后得到，则点的坐标是_______
【答案】
【分析】首先根据直线来求出点A和点B的坐标，由旋转的性质得到的横坐标等于，而纵坐标等于，即可得到答案．
【详解】解：直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，
当时，，
当时，，解得，
∴点，，
把绕点A顺时针旋转后得到，
∴，，，
∴点的横坐标是：，
点的纵坐标是：，
由于点在第一象限，
∴点的坐标是．
故答案为：
【点睛】本题主要考查图形旋转和点的坐标，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
2．（2022秋·辽宁大连·九年级校考期末）如图，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都是网格线的交点，已知B点的坐标为，将绕着点C顺时针旋转90°，则点A的对应点的坐标为______．
【答案】
【分析】画出绕点C顺时针旋转90°后点A的对应点的，然后写出点的坐标即可．
【详解】如图，A点坐标为，将绕点C顺时针旋转90°，
则点A的对应点的的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
【考点八 坐标与旋转规律问题】
例题：（2023秋·河南南阳·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点A在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2021次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作出旋转后的图像，再根据勾股定理即可求出旋转后点A的坐标．
【详解】解：由题可知，将绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，
∴每旋转4次则回到原位置，
∴第2021次旋转结束后，图形旋转了90°
如图所示，旋转后的图形为作轴于H，
∵，，
设则
在中
（负值舍去）
∵点在第二象限，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，确定旋转后的位置是解此题的关键．
【变式训练】
1．（2022春·广西钦州·七年级统考期末）如图所示，已知点A（－1，2），将长方形ABOC沿x轴正方向连续翻转2022次，点A依次落在点，，，……，的位置，则的坐标是（ ）
A．（3033，0）B．（3032，1）C．（3035，0）D．（3036，1）
【答案】A
【分析】分析A1，A2，A3，A4，A5点坐标，找到规律求解．
【详解】解：根据图形分析，从A开始旋转，当旋转到A4，时，A回到矩形的起始位置，所以为一个循环，故坐标变换规律为4次一循环．
A1（2，1），A2（3，0），A3（3，0），A4（5，2），
A5（8，1），A6（9，0），A7（9，0），A8（11，2），
A9（14，1），A10（15，0），A11（15，0），A12（17，2），
A4n+1（6n+2，1），A4n+2（6n+3，0），A4n+3（6n+3，0），A4n+4（6n+5，2），
当A2022时，即4n+2=2022，解得n=505，
∴横坐标为6n+3=6×505+3=3033，纵坐标为0，
则A2022的坐标（3033，0），
故选：A．
【点睛】本题主要考查图形的旋转变换，解题关键是找到图形在旋转的过程中，点坐标变化规律进而求解．
【考点九 旋转综合题(几何变换)】
例题：（2022秋·北京·九年级校考期中）如图，在等边三角形中，点为内一点，连接，，，将线段绕点顺时针旋转60°得到，连接，．
(1)请找出图中与相等的线段，并证明其相等；
(2)当时，
①直接写出的度数为______；
②若为的中点，连接，请用等式表示与的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)①，②
【分析】（1）根据等边三角形的性质和旋转的性质可得，即可得出结论；
（2）①根据等边三角形的性质可得，从而得到，由，可得．进而得到．再由，可得，即可求解；
②延长至点N，使，连接．通过证明，从而得到，，进而得到，则可得到 即可求解．
【详解】（1）解：∵为等边三角形，
∴，，
∵线段绕点顺时针旋转60°得到，
∴，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）①∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；即．
故答案为：；
②延长至点N，使，连接，
∵点为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
由（1）可得，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，则，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握等边三角形判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，图形的旋转的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·北京朝阳·九年级北京八十中校考期中）如图，在中，，，D是线段延长线上一点，连接，过点A作于E．
(1)求证：；
(2)将射线绕点A顺时针旋转后，所得的射线与线段的延长线交于点F，连接．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）根据等角的余角相等即可得证．
（2）①依题意画出图形即可求解；
②在上截取，使，证明，得出，根据等腰直角三角形的性质，勾股定理得出，即可求解．
【详解】（1）设与相交于点，
∵，，
∴，
∵，
∴．
（2）① 补全图形如图．
②
下面证明：
在上截取，使，
∵，
∴．
∴，，
∵，
∴．
∴
∵射线绕点顺时针旋转后与线段的延长线交于点，且，
∴，
∴．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了同角的余角相等，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，构造出全等三角形是解本题的关键．
2．（2022秋·湖北黄石·九年级校考阶段练习）如图，在中，，点分别在边上，且，此时成立．
(1)将绕点逆时针旋转时，在图中补充图形，并求出的长度；
(2)当绕点逆时针旋转一周的过程中，与的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请你利用图证明，若不成立请说明理由；
(3)将绕点逆时针旋转一周的过程中，当三点在同一条直线上时，请画出图形并直接写出的长度．
【答案】(1)见解析，
(2)仍然成立，见解析
(3)见解析，或
【分析】（1）根据勾股定理可得，进而求得结果；
（2）延长，交于，交于，证明≌，从而可求得结论；
（3）当点在线段上时，作于，可得，进而根据勾股定理求得，从而求得，当点在线段上时，同样得出结果．
【详解】（1）补充图形如图，

在中，，
；
（2）仍然成立，理由如下：
延长，交于，交于，

，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
；
（3）如图，

当点在线段上时，作于，
，
在中，
，
，
当点图中在线段图中上时，
，
综上所述：或
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形性质，全等三角形判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是画出两种情形的图形．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·内蒙古通辽·九年级校考期中）下列现象中属于旋转的是（ ）
A．鼠标在鼠标垫上滑动B．拧开冰红茶瓶盖C．一轮红日缓缓升起D．空中下落的硬币
【答案】B
【分析】根据旋转的意义，在平面内，把一个图形绕点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，因此旋转前、后的图形全等．由此可作出选择．
【详解】解：A、鼠标在鼠标垫上滑动，不属于旋转．
B、拧开冰红茶瓶盖，是旋转．
C、一轮红日缓缓升起，不是旋转．
D、空中下落的硬币，不是旋转．
故选：B．
【点睛】本题考查了生活中的旋转现象，要根据旋转的定义来判断是否是旋转．
2．（2022秋·海南省直辖县级单位·九年级统考期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】由旋转的性质可得，，可证是等边三角形，可得，即可求解．
【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，
，，
是等边三角形，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
3．（2022春·甘肃兰州·八年级校考期中）如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（ ）
A．点B．点C．点D．点
【答案】B
【分析】连接、、，作的垂直平分线，作的垂直平分线，作的垂直平分线，交点即为旋转中心．
【详解】解：如图，
由绕某点旋转一定的角度，得到，则连接、、，
作的垂直平分线，作的垂直平分线，作的垂直平分线，
三条线段的垂直平分线正好都过点B，
旋转中心是点B．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的基本性质，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，旋转中心在连接对应点线段的垂直平分线上．
4．（2022秋·贵州黔东南·九年级校考阶段练习）如图，将一块角的直角三角板绕直角顶点逆时针旋转到的位置，此时点刚好在上，若，则点与点距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连，根据等边三角形的判定得出是等边三角形，再利用已知得出是等边三角形，即可求出．
【详解】解：如图，连，

，，，
，，
是等边三角形，，
∴，
根据勾股定理可得：
，
∴根据旋转可知，，
∴是等边三角形，
，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及等边三角形的判定及性质，根据已知得出是等边三角形是解题关键．
5．（2023秋·广东广州·九年级铁一中学校考期末）如图，将绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，当点E恰好落在边上时，连接，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据旋转的性质可得，，进而根据等边对等角的性质求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了旋转的性质和等边对等角的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
二、填空题
6．（2022秋·吉林松原·九年级统考期中）如图所示的图形绕其中心至少旋转______度就可以与原图形完全重合．
【答案】45
【分析】该图形被平分成八部分，因而每部分被分成的圆心角是，因而旋转的整数倍，就可以与自身重合．
【详解】解：∵，
∴该图形绕中心至少旋转45度后能和原来的图案互相重合．
故答案为：45．
【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．理解和掌握旋转对称图形的旋转角求法是解题的关键．
7．（2023·上海静安·统考一模）如图，绕点C逆时针旋转后得，如果点B、D、E在一直线上，且，那么A、D两点间的距离是_________．
【答案】
【分析】过点C作交于点F，由旋转的性质得出是等腰直角三角形，再求出，利用含角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质进行求解即可．
【详解】过点C作交于点F，
∴，
∵绕点C逆时针旋转后得，
∴，即是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
8．（2023秋·北京石景山·八年级校考期末）如图，是绕点O顺时针旋转后得到的图形，若点C恰好落在上，且的度数为，则的度数是________，的度数是________．
【答案】 ##70度 ##60度
【分析】根据是绕点顺时针旋转后得到的图形，可得，，求出，，运用外角性质求出的度数，即可求出的度数．
【详解】解：是绕点顺时针旋转后得到的图形，
，，，
∴，
，
，
∴．
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理的应用，解题关键是抓住变换过程中不变量，灵活运用外角性质解答．
9．（2022秋·上海闵行·七年级校考阶段练习）在直角三角形ABC中，，，将绕若点B旋转，使点C落在直线上的点D处，则线段___________．
【答案】2或10##10或2
【分析】分点C落在线段上的点D处和点C落在线段延长线上的点D处两种情况讨论，根据旋转性质求出，即可求出线段．
【详解】解：如图1，当点C落在线段上的点D处时，
∵绕若点B旋转得到，
∴，
∴；
如图2，当点C落在线段延长线上的点D处时，
∵绕若点B旋转得到，
∴，
∴．
故答案为：2或10
【点睛】本题考查了旋转的性质，旋转前后的对应点到旋转中心的距离相等，熟知旋转的性质是解题关键，注意本题要分类讨论．
10．（2022秋·湖北黄冈·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别落在点，处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去，…，若点，，，则点的坐标为______．
【答案】
【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、、…每偶数之间的B相差12个单位长度，根据这个规律可以求得的坐标．
【详解】∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴的横坐标为：12，且，
∴的横坐标为：，
…，
∴的横坐标为：，
∵，
∴点的横坐标为：，
∵，
∴点的纵坐标为4，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了点的坐标规律变换，三角形旋转，熟练掌握旋转性质，坐标变换的规律，是解决本题的关键．
三、解答题
11．（2023秋·北京石景山·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，将格点绕某点逆时针旋转角（）得到格点，点A与点E，点O与点C，点B与点D是对应点．
(1)请通过画图找到旋转中心，将其标记为点M，并写出点M的坐标；
(2)直接写出旋转角的度数．
【答案】(1)画图见解析，
(2)
【分析】（1）画出对应点连线段和的垂直平分线的交点M，即为旋转中心，从而得到坐标；
（2）根据对应点A和E与旋转中心M的连线所成的角即为旋转角，由图像可直接得出．
【详解】（1）解：如图，旋转中心M即为所求，
；
（2）∵逆时针旋转，
∴旋转角为．
【点睛】本题考查了旋转画图，旋转中心和旋转角，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
12．（2021春·江苏无锡·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，有一，且，，，，已知是由顺时针旋转得到的．
(1)请写出旋转中心的坐标是___________，旋转角是___________度．
(2)以（1）中的旋转中心为中心，画出顺时针旋转后得到的三角形．
【答案】(1)；
(2)见解析
【分析】（1）根据网格结构，找出对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，一对对应点与旋转中心连线的夹角即为旋转角，根据勾股定理得出是直角三角形，即可求解；
（2）根据网格结构分别找出找出顺时针旋转后的对应点的位置，然后顺次连接即可．
【详解】（1）解：如图，作的垂直平分线，交于点，则旋转中心的坐标是，
连接，根据勾股定理可得，
∴，
∴是直角三角形，且，
即旋转角是度；
故答案为：；
（2）如图所示，是以为旋转中心，顺时针旋转的三角形，
【点睛】本题考查了找旋转中心，求旋转角，勾股定理求两点距离，画旋转图形，数形结合是解题的关键．
13．（2022秋·贵州黔东南·九年级校考阶段练习）如图，是正三角形内的一点，且，，．若将绕点A逆时针旋转后，得到．
(1)求点与点之间的距离；
(2)求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知绕点A逆时针旋转后，得到，可得，旋转角，所以为等边三角形，即可求得；
（2）由为等边三角形，得，在中，已知三边，用勾股定理逆定理证出直角三角形，得出，可求的度数．
【详解】（1）解：连接，
由题意可知，，
，而，
∴，
∴为等边三角形，
∴；
（2）由旋转旋转可知：．
又∵，，
∴，
∴为直角三角形，且，
∴．
【点睛】本题考查旋转的性质，旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．
14．（2021春·四川成都·八年级校考期中）在等腰和等腰中，，．将绕点逆时针旋转，连接．点为线段的中点，连接，
(1)如图1，当点旋转到边上时，线段与的数量和位置关系是 ．
(2)如图2，当点旋转到边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程，若不成立，请说明理由
(3)若，，在绕点逆时针旋转的过程中，当时，求线段的长
【答案】(1)，
(2)成立，利用见解析
(3)线段的长为1或
【分析】（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出，进而得出，同理得出，，即可得出结论；
（2）先判断出，得出，，再判断出，进而判断出，即可得出结论；
（3）分点B在左侧和右侧两种情况，类似（2）的方法判断出，即可得出结论．
【详解】（1）解：，；
理由：当点B旋转到边上时，点E必在边上，
∴，
在中，点O是的中点，
∴，
∴，
在中，点O是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵等腰，且，
∴，
∴，
∴；
（2）仍然成立，
理由：如图2，延长到点M，使得，连接，，，
∵O是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵和是等腰三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，；
（3）当点B在左侧时，如图3，
延长到点M，使得，连接，，，
同（2）的方法得，，
∴，，，
∵，
∴，
在五边形中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
在中，，
过点E作交的延长线于H，
在中，，
∴，
根据勾股定理得，，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
∴，
当点B在右侧时，如图4，
同①的方法得，，，
连接，过点E作于H，
在中，，
∴，
根据勾股定理得，，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
∴，
即：线段的长为1或．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，五边形的内角和，判断出是解本题的关键．
15．（2022秋·河南南阳·八年级统考阶段练习）感知：如图①，和都是等腰直角三角形，，点在线段上，点在线段上，我们很容易得到，不需证明．
探究：如图②，将绕点逆时针旋转，连结和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由．
应用：如图③，当绕点逆时针旋转，使得点落在的延长线上，连结．
①的度数为______度；
②若，则线段的长为______．
【答案】探究：成立，见解析；应用：①；②
【分析】感知：根据和都是等腰直角三角形，得出，根据，即可得证；
探究：证明即可得证；
应用：①同理得出，得出，即可求解；
②勾股定理求得，，根据，根据全等三角形的性质得出，根据勾股定理，即可求解．
【详解】感知：∵和都是等腰直角三角形，，
，即；
探究：证明：和都是等腰直角三角形，
，，
将绕点逆时针旋转，
，
在与中，
，
，
；
应用：
①是等腰直角三角形，
，
同探究可得：，
，
故答案为：；
②在中，，
，，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，掌握以上知识是解题的关键．