上海市宜川中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

这是一份上海市宜川中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题，共13页。试卷主要包含了06等内容，欢迎下载使用。
1．双曲线的渐近线方程是 .
2．已知是第四象限角，且，则 ．
3．已知直线与直线互相平行，则实数 .
4．在复平面内，对应的复数是，对应的复数是（其中是虚数单位），则点之间的距离是 ．
5．已知向量满足，向量与的夹角为，则 ．
6．若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为 ．
7．已知中，，则的面积 ．
8．已知抛物线，F为抛物线的焦点，且P是该抛物线上一点，点，则的最小值为 .
9．已知圆与圆相交于两点，则公共弦的长度是 ．
10．已知函数，若存在，，使得，则正数的最小值为 .
11．设，P为双曲线右支上一动点，若点P到直线的距离大于c恒成立，则c的最大值为 .
12．如图，在函数的部分图像中，若，则点的纵坐标为 .
选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13.在平面直角坐标系中，若角与的终边关于轴对称，则角与之间的关系满足（ ）. A． B.
C. D.
14．若复数满足，则复数在复平面上对应的点的轨迹图形是（ ）.
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线的一支
15．如图，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形的边长为1，则（ ）.
A．0B．
C．D．
16．已知椭圆与x轴正半轴交于点A，若该椭圆上总存在点P（异于A），使（O为坐标原点），则椭圆离心率的取值范围为（ ）.
A．B．C．D．
三、解答题（共有5大题，满分78分）
17.（本题满分14分）共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
已知关于的实系数一元二次方程的两根为.
（1）若为虚数，，且，求和的值；
（2）若，求的值.
18. （本题满分14分）共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
在平行四边形中，是的中点，交于点．
(1)若，求有序数对；
(2)若，，且，则当点在边上运动时，求的取值范围．
19.（本题满分14分）共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
某地进行老旧小区改造，有半径为米，圆心角为的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地，其中在上，，垂足为，，垂足为，设；
(1)求线段与的长度（用表示）；
(2)当在上运动时，这块三角形绿地的最大面积，以及取到最大面积时的值.
20.（本题满分18分）共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知双曲线中，离心率为，且经过点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线与双曲线左支有两个交点，求的取值范围；
(3)过点是否能作直线与双曲线交于、两点，且使得是的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．
21.（本题满分18分）共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知椭圆：的左右焦点为，，是椭圆上半部分的动点，连接和长轴的左右两个端点所得两直线交正半轴于，两点（点在的上方或重合）.
(1)当面积最大时，求椭圆的方程；
(2)当时，若是线段的中点，求直线的方程；
(3)当时，在轴上是否存在点使得为定值，若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由.
宜川2023学年第二学期高一年级数学期末
2024.06
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．双曲线的渐近线方程是 .
【答案】
2．已知是第四象限角，且，则 ．
【答案】
3．已知直线与直线互相平行，则实数 .
【答案】
4．在复平面内，对应的复数是，对应的复数是（其中是虚数单位），则点之间的距离是 ．
【答案】2
5．已知向量满足，向量与的夹角为，则 ．
【答案】
6．若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为 ．
【答案】
7．已知中，，则的面积 ．
【答案】
8．已知抛物线，F为抛物线的焦点，且P是该抛物线上一点，点，则的最小值为 .
【答案】8
9．已知圆与圆相交于两点，则公共弦的长度是 ．
【答案】2
10．已知函数，若存在，，使得，则正数的最小值为 .
【答案】
11．设，P为双曲线右支上一动点，若点P到直线的距离大于c恒成立，则c的最大值为 .
【答案】
12．如图，在函数的部分图像中，若，则点的纵坐标为 .
【答案】
选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13.在平面直角坐标系中，若角与的终边关于轴对称，则角与之间的关系满足（ ）.
A． B.
C. D.
【答案】D
14．若复数满足，则复数在复平面上对应的点的轨迹图形是（ ）.
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线的一支
【答案】B
15．如图，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形的边长为1，则（ ）.
A．0B．
C．D．
【答案】D
16．已知椭圆与x轴正半轴交于点A，若该椭圆上总存在点P（异于A），使（O为坐标原点），则椭圆离心率的取值范围为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】A
三、解答题（共有5大题，满分78分）
17.（本题满分14分）共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
已知关于的实系数一元二次方程的两根为.
（1）若为虚数，，且，求和的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1） （2）或.
【解析】（1）由题意，关于的实系数一元二次方程的两个虚根为，
可得，即，，解得，
（2）由关于的实系数一元二次方程的两根为，
①若方程有两个实根，则，可得，且，
则，解得；
②若方程有两个虚根，则，可得，
设为，不妨设，可得，解得，
所以，综上可得，实数的值为或.
另解：【，求得或】
18. （本题满分14分）共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
在平行四边形中，是的中点，交于点．
(1)若，求有序数对；
(2)若，，且，则当点在边上运动时，求的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】（1），，；
，，，
，
.
（2）设，则，
，
，，即的取值范围为.
19.（本题满分14分）共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
某地进行老旧小区改造，有半径为米，圆心角为的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地，其中在上，，垂足为，，垂足为，设；
(1)求线段与的长度（用表示）；
(2)当在上运动时，这块三角形绿地的最大面积，以及取到最大面积时的值.
【答案】（1） （2）最大面积是平方米，此时.
【解析】（1）在中，，，
∴（米），又，所以，
在中，可得（米）.
（2）由题可知，∴的面积
，又，，
∴当，即时，的面积有最大值平方米，
即三角形绿地的最大面积是平方米，此时.
20.（本题满分18分）共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知双曲线中，离心率为，且经过点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线与双曲线左支有两个交点，求的取值范围；
(3)过点是否能作直线与双曲线交于、两点，且使得是的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2） （3）不存在
【解析】（1）因为双曲线中，离心率为，且经过点，
则，解得，所以，双曲线的标准方程为.
（2）设直线交双曲线于点、，
联立可得，
因为直线与双曲线左支有两个交点，则，
解得，故实数的取值范围是.
（3）若直线轴，则直线与双曲线相切，不合乎题意，
所以，直线的斜率存在，
设点、，因为为线段的中点，则，
将点、的坐标代入双曲线的方程可得，
作差可得，即，
即，所以，直线的斜率为，
所以，直线的方程为，即，
联立可得，则，
因此，不存在满足题设条件的直线.
21.（本题满分18分）共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知椭圆：的左右焦点为，，是椭圆上半部分的动点，连接和长轴的左右两个端点所得两直线交正半轴于，两点（点在的上方或重合）.
(1)当面积最大时，求椭圆的方程；
(2)当时，若是线段的中点，求直线的方程；
(3)当时，在轴上是否存在点使得为定值，若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由.
【答案】（1） （2） （3）存在，点
【解析】（1）由题意得，所以
，
当且仅当，即时，等号成立，此时面积最大，
故椭圆方程为.
（2）由题意椭圆方程为，设，椭圆的左顶点为，
因而,直线的方程为,所以,
同理,由,解得
所以直线的方程为,即.
（3）设，由（2）得
将代入上式，得
若定值，则必有.
把代入得，
所以存在点使得为定值.