2024年江苏省连云港市中考数学试卷【含解析】

这是一份2024年江苏省连云港市中考数学试卷【含解析】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．的相反数是（ ）
A．B．C．﹣2D．2
2．2024年5月，全国最大的海上光伏项目获批落地连云港，批准用海面积约28000亩，总投资约90亿元．其中数据“28000”用科学记数法可以表示为（ ）
A．28×103B．2.8×104C．2.8×103D．0.28×105
3．下列运算结果等于a6的是（ ）
A．a3+a3B．a•a6C．a8÷a2D．（﹣a2）3
4．下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ）
A．甲和乙B．乙和丁C．甲和丙D．甲和丁
5．如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（ ）
A．倾斜直线B．抛物线C．圆弧D．水平直线
6．下列说法正确的是（ ）
A．10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大
B．从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大
C．小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件
D．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上
7．如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是80cm，则图中阴影图形的周长是（ ）
A．440cmB．320cmC．280cmD．160cm
8．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a＜0）的顶点为（1，2）．小烨同学得出以下结论：①abc＜0；②当x＞1时，y随x的增大而减小；③若ax2+bx+c＝0的一个根为3，则；④抛物线y＝ax2+2是由抛物线y＝ax2+bx+c向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．如果公元前121年记作﹣121年，那么公元2024年应记作 年．
10．在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
11．如图，直线a∥b，直线l⊥a，∠1＝120°，则∠2＝ °．
12．关于x的一元二次方程x2﹣x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值为 ．
13．杠杆平衡时，“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为1600N和0.5m，动力为F（N），动力臂为l（m）．则动力F关于动力臂l的函数表达式为 ．
14．如图，AB是圆的直径，∠1、∠2、∠3、∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1、∠4的一边分别经过点A、B，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ °．
15．如图，将一张矩形纸片ABCD上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕EF，连接BF．再将矩形纸片折叠，使点B落在BF上的点H处，折痕为AG．若点G恰好为线段BC最靠近点B的一个五等分点，AB＝4，则BC的长为 ．
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2．点P在边AC上，过点P作PD⊥AB，垂足为D，过点D作DF⊥BC，垂足为F．连接PF，取PF的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，作图过程需保留作图痕迹）
17．（6分）计算：．
18．（6分）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．
19．（6分）下面是某同学计算的解题过程：
解：……①
＝（m+1）﹣2……②
＝m﹣1……③
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程．
20．（8分）如图，AB与CD相交于点E，EC＝ED，AC∥BD．
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形DMCN，使得点M在AC上，点N在BD上．
（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
21．（10分）为了解七年级男生体能情况，某校随机抽取了七年级20名男生进行体能测试，并对测试成绩（单位：分）进行了统计分析：
【收集数据】
100 94 88 88 52 79 83 64 83 87
76 89 91 68 77 97 72 83 96 73
【整理数据】
该校规定：x≤59为不合格，59＜x≤75为合格，75＜x≤89为良好，89＜x≤100为优秀．（成绩用x表示）
【分析数据】
此组数据的平均数是82，众数是83，中位数是c；
【解决问题】
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）若该校七年级共有300名男生，估计体能测试能达到优秀的男生约有多少人？
（3）根据上述统计分析情况，写一条你的看法．
22．（10分）数学文化节猜谜游戏中，有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，分别记作字谜A、字谜B、字谜C、字谜D，其中字谜A、字谜B是猜“数学名词”，字谜C、字谜D是猜“数学家人名”．
（1）若小军从中随机抽取一张字谜卡片，则小军抽取的字谜是猜“数学名词”的概率是 ；
（2）若小军一次从中随机抽取两张字谜卡片，请用画树状图或列表的方法求小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率．
23．（10分）我市将5月21日设立为连云港市“人才日”，以最大诚意礼遇人才，让人才与城市“双向奔赴”．活动主办方分两次共邮购了200把绘有西游文化的折扇作为当天一项活动的纪念品．折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如表所示：
若两次邮购折扇共花费1504元，求两次邮购的折扇各多少把？
24．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+1（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A、B，与y轴交于点C，点A的横坐标为2．
（1）求k的值；
（2）利用图象直接写出时x的取值范围；
（3）如图2，将直线AB沿y轴向下平移4个单位，与函数的图象交于点D，与y轴交于点E，再将函数的图象沿AB平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积.
25．（12分）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为km，南门O设立在A6A7边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路BM，A6A7在BM上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路BC，C处有一座雕塑．在A1处测得雕塑在北偏东45°方向上，在A2处测得雕塑在北偏东59°方向上．
（1）∠CA1A2＝ °，∠CA2A1＝ °；
（2）求点A1到道路BC的距离；
（3）若该小组成员小李出南门O后沿道路MB向东行走，求她离B处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？
（结果精确到0.1km，参考数据，sin76°≈0.97，tan76°≈4.00，sin59°≈0.86，tan59°≈1.66）
26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1（a、b为常数，a＞0）．（1）若抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，求抛物线对应的函数表达式；
（2）如图，当b＝1时，过点C（﹣1，a）、分别作y轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接MN、MD．求证：MD平分∠CMN；
（3）当a＝1，b≤﹣2时，过直线y＝x﹣1（1≤x≤3）上一点G作y轴的平行线，交抛物线于点H．若GH的最大值为4，求b的值．
27．（12分）【问题情境】
（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小听将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
【操作实践】
（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系；
【探究应用】
（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将△PDC绕点P逆时针旋转，他发现旋转过程中∠DAP存在最大值．若PE＝8，PF＝5，当∠DAP最大时，求AD的长；
（4）如图6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若AC+CD＝5，BC+CE＝8，求AE+BD的最小值．
2024年江苏省连云港市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．的相反数是（ ）
A．B．C．﹣2D．2
【分析】根据相反数的定义判断即可．
【解答】解：的相反数是，
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的定义，绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数．
2．2024年5月，全国最大的海上光伏项目获批落地连云港，批准用海面积约28000亩，总投资约90亿元．其中数据“28000”用科学记数法可以表示为（ ）
A．28×103B．2.8×104C．2.8×103D．0.28×105
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：28000＝2.8×104，
故选：B．
【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
3．下列运算结果等于a6的是（ ）
A．a3+a3B．a•a6C．a8÷a2D．（﹣a2）3
【分析】利用合并同类项法则，同底数幂乘法及除法法则，幂的乘方法则逐项判断即可．
【解答】解：a3+a3＝2a3，则A不符合题意；
a•a6＝a7，则B不符合题意；
a8÷a2＝a6，则C符合题意；
（﹣a2）3＝﹣a6，则D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查合并同类项，同底数幂乘法及除法，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
4．下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ）
A．甲和乙B．乙和丁C．甲和丙D．甲和丁
【分析】如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
【解答】解：观察可得：甲和丁对应角相等，对应边成比例，且形状相同，大小不同，
故选：D．
【点评】本题主要考查了相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．
5．如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（ ）
A．倾斜直线B．抛物线C．圆弧D．水平直线
【分析】根据圆弧的定义进行判断．
【解答】解：∵重物由A点摆动到B点，是以点O为圆心，OA为半径的圆弧，
∴此重物移动路径的形状为圆弧，
故选：C．
【点评】本题考查了圆的基本性质，圆可以定义为在一个平面内，线段绕着它固定的一个端点（即圆心）旋转一周，另一个端点所形成的图形．圆上任意两点间的部分叫做圆弧．
6．下列说法正确的是（ ）
A．10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大
B．从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大
C．小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件
D．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上
【分析】分别利用概率的意义，随机事件的定义分析得出即可．
【解答】解：A、10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸或者后摸的人摸到奖票的概率都一样大，故此选项不符合题意；
B、从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得奇数的可能性较大，故此选项不符合题意；
C、小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件，故此选项符合题意；
D、抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次不一定有1次正面朝上，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了概率的意义和随机事件的定义，正确把握相关定义是解题关键．
7．如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是80cm，则图中阴影图形的周长是（ ）
A．440cmB．320cmC．280cmD．160cm
【分析】利用平移的性质将阴影部分的周长转化为边长是80cm的正方形的周长，加上边长是80cm的正方形的两条边长，再减去2×20cm，即可得出结果．
【解答】解：阴影图形的周长＝4×80+2×80﹣2×20＝440（cm），
故选：A．
【点评】本题考查平移的性质，利用平移的性质将阴影部分的周长进行转化是解题的关键．
8．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a＜0）的顶点为（1，2）．小烨同学得出以下结论：①abc＜0；②当x＞1时，y随x的增大而减小；③若ax2+bx+c＝0的一个根为3，则；④抛物线y＝ax2+2是由抛物线y＝ax2+bx+c向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②④
【分析】根据顶点坐标判断b、c的正负性，由此判断①；根据开口方向和对称轴判断②；用a表示b、c，再解方程判断③；根据平移法则判断④．
【解答】解：∵顶点为（1，2），
∴，
∴b＝﹣2a，
∵a＜0，
∴b＞0，
∵a+b+c＝2，
∴c＝2﹣a﹣b＝2﹣a﹣（﹣2a）＝2+a，
∴c无法判断，故①错误；
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故②正确；
∵b＝﹣2a，c＝2+a，
∴y＝ax2﹣2ax+2+a，
∵当x＝3时，y＝0，
∴0＝9a﹣6a+2+a，
∴a＝，故③正确；
∵y＝ax2+bx+c＝a（x﹣1）2+2，
∴将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到y＝a（x﹣1+1）2+2﹣2＝ax2，故④错误；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程，一元二次方程的解的定义，用a表示b、c的值是本题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．如果公元前121年记作﹣121年，那么公元2024年应记作 +2024 年．
【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
【解答】解：如果公元前121年记作﹣121年，那么公元2024年应记作+2024年，
故答案为：+2024．
【点评】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．
10．在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【解答】解：∵x﹣2≥0，
∴x≥2．
故答案为：x≥2．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
11．如图，直线a∥b，直线l⊥a，∠1＝120°，则∠2＝ 30 °．
【分析】由平行线的性质推出l⊥b，由三角形外角的性质得到∠2＝∠1﹣∠3＝30°．
【解答】解：∵直线a∥b，直线l⊥a，
∴l⊥b，
∴∠3＝90°，
∵∠1＝120°，
∴∠2＝∠1﹣∠3＝30°．
故答案为：30．
【点评】本题考查平行线的性质，垂线，三角形外角的性质，关键是由平行线的性质推出l⊥b，由三角形外角的性质即可求出∠2的度数．
12．关于x的一元二次方程x2﹣x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值为 ．
【分析】根据一元二次方程x2﹣x+c＝0有两个相等的实数根可知Δ＝0，即1﹣4c＝0，即可解得答案．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣x+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即1﹣4c＝0，
解得c＝；
故答案为：．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，则Δ＝0．
13．杠杆平衡时，“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为1600N和0.5m，动力为F（N），动力臂为l（m）．则动力F关于动力臂l的函数表达式为 ．
【分析】根据l•F＝1600×0.5进行求解即可．
【解答】解：∵l•F＝1600×0.5，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，掌握杠杆原理是解题的关键．
14．如图，AB是圆的直径，∠1、∠2、∠3、∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1、∠4的一边分别经过点A、B，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ 90 °．
【分析】根据半圆的度数为 180°，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可得出结果．
【解答】∵AB是圆的直径，
∴AB所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为180°，
∵∠1、∠2、∠3、∠4所对的弧的和为半圆，
∴，
故答案为：90．
【点评】本题考查圆周角定理，根据半圆的度数为 180°，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可．
15．如图，将一张矩形纸片ABCD上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕EF，连接BF．再将矩形纸片折叠，使点B落在BF上的点H处，折痕为AG．若点G恰好为线段BC最靠近点B的一个五等分点，AB＝4，则BC的长为 ．
【分析】设AG与BF交于点M，BG＝a，则BC＝5a，勾股定理求出AG，BF，根据等面积法求出BM，根据，列出方程进行求解即可．
【解答】解：设AG与BF交于点M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠C＝90°，AB＝CD＝4，
∵翻折，
∴，AG⊥BH，
设BG＝a，则BC＝5a，
∴，，
∵，
∴，
∵∠BMG＝∠C＝90°，
∴tan，
∴BM•BF＝BG•BC，
∴，
∴，经检验是原方程的解，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查矩形折叠，勾股定理，解直角三角形，掌握性质和综合推理能力是解题的关键．
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2．点P在边AC上，过点P作PD⊥AB，垂足为D，过点D作DF⊥BC，垂足为F．连接PF，取PF的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为 ．
【分析】以C为原点，建立坐标系，设AP＝a，则CP＝2﹣a，利用含30度角的直角三角形的性质，求出点E的坐标，得到点E在直线上运动，求出点P分别与A，C重合时点E的坐标，利用两点间的距离公式进行求解即可．
【解答】解：以C为原点，建立坐标系，过点D作DG⊥AC
设AP＝a，则CP＝2﹣a，
∴P（0，2﹣a），
∵∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵PD⊥AB，
∴∠PDA＝90°，
∴∠APD＝30°，
∴，
∵DG⊥AC，
∴∠AGD＝90°，
∴，，
∵DF⊥BC，DG⊥AC，∠ACB＝90°，
∴四边形DGCF为矩形，
∴DG＝CF，
∴，
∵E为P，F的中点，
∴，
令，
∴，
∴点E在直线上运动，
当点P与C重合时，a＝0，此时E（0，1），
当点P与A重合时，a＝2，此时，
∴点E所经过的路径长为：，
故答案为：．
【点评】本题考查含30度角的直角三角形，一次函数与几何的综合应用，矩形的判定和性质，两点间的距离，综合运用这些性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，作图过程需保留作图痕迹）
17．（6分）计算：．
【分析】利用绝对值的性质，零指数幂及算术平方根的定义计算即可．
【解答】解：原式＝2+1﹣4
＝3﹣4
＝﹣1．
【点评】本题考查实数的运算及零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．（6分）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】根据不等式的运算法则进行计算．
【解答】解：，
x﹣1＜2（x+1），
x﹣1＜2x+2，
x﹣2x＜2+1，
﹣x＜3，
x＞﹣3．
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
【点评】本题考查了解不等式，要注意在不等式两边都除以一个负数时，要改变不等号的方向．
19．（6分）下面是某同学计算的解题过程：
解：……①
＝（m+1）﹣2……②
＝m﹣1……③
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程．
【分析】利用分式的加减法则计算并判断即可．
【解答】解：从第②步开始出现错误，正确的解题过程如下：
原式＝
＝
＝．
【点评】本题考查分式的加减，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20．（8分）如图，AB与CD相交于点E，EC＝ED，AC∥BD．
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形DMCN，使得点M在AC上，点N在BD上．
（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
【分析】（1）根据平行，得出∠A＝∠B，∠ACD＝∠BDC，利用AAS证明全等；
（2）过点E作CD垂线即可．
【解答】（1）证明：∵AC∥BD，
∴∠A＝∠B，∠C＝∠D，
在△AEC 和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（AAS）；
（2）如图，四边形DMCN即为所求作的菱形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，菱形的构造，掌握菱形的对角线互相垂直且平分是解题的关键．
21．（10分）为了解七年级男生体能情况，某校随机抽取了七年级20名男生进行体能测试，并对测试成绩（单位：分）进行了统计分析：
【收集数据】
100 94 88 88 52 79 83 64 83 87
76 89 91 68 77 97 72 83 96 73
【整理数据】
该校规定：x≤59为不合格，59＜x≤75为合格，75＜x≤89为良好，89＜x≤100为优秀．（成绩用x表示）
【分析数据】
此组数据的平均数是82，众数是83，中位数是c；
【解决问题】
（1）填空：a＝ 4 ，b＝ 0.25 ，c＝ 83 ；
（2）若该校七年级共有300名男生，估计体能测试能达到优秀的男生约有多少人？
（3）根据上述统计分析情况，写一条你的看法．
【分析】（1）根据随机抽取了七年级20名男生可得a的值，1减去其他组的频率可得b，根据中位数的定义求解可得c的值；
（2）总人数乘以样本中体能测试能达到优秀的男生的频率可得；
（3）根据上述统计分析情况写一条看法，只要合理即可．
【解答】解：（1）（1）a＝20×0.2＝4，
b＝1﹣0.05﹣0.20﹣0.50＝0.25，
将七年级20名男生的测试成绩从小到大排列为：52 64 68 72 73 76 77 79 83 83 83 88 88 87 89 91 94 96 97 100，
排在第10，11位的是83，83，
∴中位数c＝＝83；
故答案为：4，0.25，83；
（2）300×0.25＝75（人），
答：估计七年级300名男生中约有75人体能测试能达到优秀；
（3）平时应加强体能训练，（答案不唯一，只要合理即可）．
【点评】本题考查了中位数、平均数、众数和样本估计总体，频数分布直方提，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
22．（10分）数学文化节猜谜游戏中，有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，分别记作字谜A、字谜B、字谜C、字谜D，其中字谜A、字谜B是猜“数学名词”，字谜C、字谜D是猜“数学家人名”．
（1）若小军从中随机抽取一张字谜卡片，则小军抽取的字谜是猜“数学名词”的概率是 ；
（2）若小军一次从中随机抽取两张字谜卡片，请用画树状图或列表的方法求小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能结果，其中小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵字谜A、字谜B、字谜C、字谜D，其中字谜A、字谜B是猜“数学名词”，字谜C、字谜D是猜“数学家人名”，
∴小军从中随机抽取一张字谜卡片，则小军抽取的字谜是猜“数学名词”的概率是＝，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能结果，其中小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的结果有2种，即CD、DC，
∴小军抽取的字谜均是“猜数学家人名”的概率＝．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（10分）我市将5月21日设立为连云港市“人才日”，以最大诚意礼遇人才，让人才与城市“双向奔赴”．活动主办方分两次共邮购了200把绘有西游文化的折扇作为当天一项活动的纪念品．折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如表所示：
若两次邮购折扇共花费1504元，求两次邮购的折扇各多少把？
【分析】如果每次购买都是100把，得到200×8×0.9＝1440（元）≠1504（元）；设一次邮购折扇x（x＞100）把，则另一次邮购折扇（200﹣x）把，得到0.9×8x+8×（1+10%）（200﹣x）＝1504，求出 x＝160，即可得到两次邮购的折扇分别是160把和40把．
【解答】解：如果每次购买都是100把，
∴200×8×0.9＝1440（元）≠1504（元），
∴一次购买多于100把，另一次购买少于100把，
设一次邮购折扇x（x＞100）把，则另一次邮购折扇（200﹣x）把，
∴0.9×8x+8×（1+10%）（200﹣x）＝1504，
∴x＝160，
∴200﹣x＝40．
答：两次邮购的折扇分别是160把和40把．
【点评】本题考查百分数的应用，关键是由百分数的实际意义列出关于x的方程．
24．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+1（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A、B，与y轴交于点C，点A的横坐标为2．
（1）求k的值；
（2）利用图象直接写出时x的取值范围；
（3）如图2，将直线AB沿y轴向下平移4个单位，与函数的图象交于点D，与y轴交于点E，再将函数的图象沿AB平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积.
【分析】（1）先求出点A的纵坐标，再将点A坐标代入一次函数解析式求出k值即可；
（2）根据函数图象及交点坐标，直接写出不等式解集即可；
（3）作CG⊥DE，根据等腰直角三角形性质求出CG长，再由两点间距离公式求出AC长，由平移性质可知，阴影部分面积就是▱ACFD的面积求出即可．
【解答】解：（1）∵点A在 的图象上，
∴当 x＝2时，．
∴A（2，3），
∴将点A（2，3）代入y＝kx+1，
得：k＝1．
（2）由（1）可知一次函数解析式为y＝x+1，
联立方程组，解得，，
A（2，3），B（﹣3，﹣2），
根据图像可知不等式的解集为：x＜﹣3或0＜x＜2．
（3）由题意可知 C（0，1），CE＝4．
如图，过点C作CG⊥DE，垂足为G，
∵CE＝4，∠CEG＝45°，
∴．
又∵A（2，3），C（0，1），
∴．
由平移性质可知，阴影部分面积就是▱ACFD的面积，即 ．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键．
25．（12分）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为km，南门O设立在A6A7边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路BM，A6A7在BM上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路BC，C处有一座雕塑．在A1处测得雕塑在北偏东45°方向上，在A2处测得雕塑在北偏东59°方向上．
（1）∠CA1A2＝ 90 °，∠CA2A1＝ 76 °；
（2）求点A1到道路BC的距离；
（3）若该小组成员小李出南门O后沿道路MB向东行走，求她离B处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？
（结果精确到0.1km，参考数据，sin76°≈0.97，tan76°≈4.00，sin59°≈0.86，tan59°≈1.66）
【分析】（1）求出正八边形的一个外角的度数，再根据角的和差关系进行求解即可；
（2）过点A作AD⊥BC于点D，解Rt△CA2A1，求出（km），解Rt△CA1D，求出（km）；
（3）连接CA8并延长交BM于点E，延长A1A8交BE于点G，过点A8作AF⊥BC，垂足为F，解Rt△A7A8G，求出A8G，证明△CA8F∽△CEB，列出比例式进行求解即可．
【解答】解：（1）∵正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8，
∴外角＝，
∴∠CA1A2＝45°+45°＝90°，∠CA2A1＝45°+（90°﹣59°）＝76°，
故答案为：90；76；
（2）过点A1作A1D⊥BC于点D，
在Rt△CA2A1中，，∠CA2A1＝76°，
∴（km），
在Rt△CA1D中，易知∠CA1D＝45°
∴，
答：点A1到道路BC的距离为2.0千米．
（3）连接CA8并延长交BM于点E，延长A1A8交BE于点G，过点A8作A8F⊥BC于点F，
∵正八边形的外角均为45°，
∴在Rt△A7A8G中，，
∴，
又∵A8F＝A1D＝CD＝2，，
∴，
∵∠CFA8＝∠B，∠FCA8＝∠BCE，
∴△CA8F∽△CEB，
∴，
∴，
∵，
∴EB＝2.4（km）．
答：小李离点B不超过2.4km，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响．
【点评】本题考查了正多边形的外角，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，掌握综合推理能力是解题的关键．
26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1（a、b为常数，a＞0）．（1）若抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，求抛物线对应的函数表达式；
（2）如图，当b＝1时，过点C（﹣1，a）、分别作y轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接MN、MD．求证：MD平分∠CMN；
（3）当a＝1，b≤﹣2时，过直线y＝x﹣1（1≤x≤3）上一点G作y轴的平行线，交抛物线于点H．若GH的最大值为4，求b的值．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）连接CN，根据题意，求得M（﹣1，a﹣2），N（1，a），进而求出CN＝2，CM＝a﹣（a﹣2）＝2，利用勾股定理求出，求出，从而得到∠NDM＝∠NMD，结合平行线的性质即可证明结论；
（3）设G（m，m﹣1），则H（m，m2+bm﹣1），1≤m≤3，求出当a＝1时，x2＝1﹣b≥3，得到点G在H的上方，设GH＝t，故t＝﹣m2+（1﹣b）m，其对称轴为，分为和两种情况讨论即可．
【解答】（1）解：∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，
∴分别将 A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣1中，
得，
解得，
∴抛物线对应的函数表达式为．
（2）证明：连接CN，如图，
∵b＝1，
∴y＝ax2+x﹣1，
当x＝﹣1时，y＝a﹣2，
∴M（﹣1，a﹣2），
当x＝1时，y＝a，
∴N（1，a），
∵C（﹣1，a），N（1，a），
∴CN＝2，CM＝a﹣（a﹣2）＝2，CM⊥CN，
在Rt△CMN中，CM＝2，CN＝2，
∴，
∵，
∴DN＝MN，
∴∠NDM＝∠NMD，
∵DN∥CM，
∴∠NDM＝∠CMD，
∴∠NMD＝∠CMD，
∴MD平分∠CMN．
（3）解：设G（m，m﹣1），则H（m，m2+bm﹣1），1≤m≤3，
当a＝1时，y＝x2+bx﹣1，
∵过直线y＝x﹣1（1≤x≤3）上一点G作y轴的平行线，
令x2+bx﹣1＝x﹣1，
解得x1＝0，x2＝1﹣b．
∵b≤﹣2，
∴x2＝1﹣b≥3，
点G在H的上方，如图，
设GH＝t，则t＝﹣m2+（1﹣b）m，
其对称轴为，且，
①当时，即﹣5≤b≤﹣2，
由图可知，
当时，t取得最大值，
解得b＝﹣3或b＝5（舍去），
②当时，得b＜﹣5，
由图可知，
当m＝3时，t取得最大值﹣9+3﹣3b＝4，
解得（舍去），
综上所述，b的值为﹣3．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，主要考查待定系数法求解析式，二次函数的性质，掌握分类讨论的思想是解题的关键．
27．（12分）【问题情境】
（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小听将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 2 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
【操作实践】
（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系；
【探究应用】
（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将△PDC绕点P逆时针旋转，他发现旋转过程中∠DAP存在最大值．若PE＝8，PF＝5，当∠DAP最大时，求AD的长；
（4）如图6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若AC+CD＝5，BC+CE＝8，求AE+BD的最小值．
【分析】（1）利用圆与正多边形的性质分别计算两个正方形的面积可得答案；
（2）由 EG⊥FH，证明 a2+c2＝b2+d2，再结合图形变换可得答案；
（3）将△PDC绕点P逆时针旋转，可得点D在以点P为圆心，PD为半径的圆上运动，可得当AD与⊙P相切时，∠DAP最大，再进一步解答即可；
（4）将△BDC 沿BC对折，D的对应点为 D1，将△AEC 沿AC 对折，E的对应点为 E1，连接 D1E1，再将△ABE1 沿AC方向平移，使A与 D1 重合，得△B1D1E2，由（2）可得：AE+BD＝D1E2+BD1，当 E2，D1，B三点共线时，AE+BD＝D1E2+BD1 最短，再进一步解答即可．
【解答】解：（1）∵正方形ABCD，EFGH及圆为正方形ABCD的内切圆，为正方形EFGH的外接正方形，
∴设AE＝DE＝DH＝CH＝CG＝BG＝AF＝BF＝m，∠A＝90°，
∴AB＝AD＝2m，，
∴，，
∴大正方形面积是小正方形面积的2倍，
故答案为：2；
（2）如图，
∵EG⊥FH，
∴a2＝OF2+OE2，c2＝OG2+OH2，d2＝OE2+OH2，b2＝OF2+OG2，
∴a2+c2＝b2+d2，结合图形变换可得：PA2+PC2＝PB2+PD2；
（3）如图，∵将△PDC绕点P逆时针旋转，
∴点D在以点P为圆心，PD为半径的圆上运动，
∵A为圆外一个定点，
∴当AD与⊙P相切时，∠DAP最大，
∴PD⊥AD，
∴AD2＝AP2﹣PD2，
由（2）可得：AE＝DF，
∵PE＝8，PF＝5，
∴AD2＝AP2﹣PD2＝PE2+AE2﹣PF2﹣DF2＝82﹣52＝39，
∴；
（4）如图，将△BDC沿BC对折，D的对应点为D1，将△AEC沿AC对折，E的对应点为E1，连接D1E1，
∴CD＝CD1，CE＝CE1，
再将△ABE1沿AC方向平移，使A与D1重合，如图，得△B1D1E2，
由（2）可得：AE+BD＝D1E2+BD1，
∴当E2，D1，B三点共线时，AE+BD＝D1E2+BD1最短，
∵AC+CD＝5，BC+CE＝8，
∴E1E2＝5，BE1＝8，
∴，
∴AE+BD的最小值为．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，平移的性质，旋转的性质，圆与正多边形的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/18 7:38:45；用户：陈莉；邮箱：badywgy52@xyh.cm；学号：39221433等次
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