2024年上海市中考数学试卷【含解析】

这是一份2024年上海市中考数学试卷【含解析】，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题等内容，欢迎下载使用。
1．如果x＞y，那么下列正确的是（ ）
A．x+5≤y+5B．x﹣5＜y﹣5C．5x＞5yD．﹣5x＞﹣5y
2．函数的定义域是（ ）
A．x＝2B．x≠2C．x＝3D．x≠3
3．以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A．x2﹣6x＝0B．x2﹣9＝0C．x2﹣6x+6＝0D．x2﹣6x+9＝0
4．科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的是（ ）
A．甲种类B．乙种类C．丙种类D．丁种类
5．四边形ABCD为矩形，过A、C作对角线BD的垂线，过B、D作对角线AC的垂线．如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（ ）
A．菱形B．矩形C．直角梯形D．等腰梯形
6．在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点P在ABC内，分别以ABP为圆心画圆，圆A半径为1，圆B半径为2，圆P半径为3，圆A与圆P内切，圆P与圆B的关系是（ ）
A．内含B．相交C．外切D．相离
二、填空题（每题4分，共48分）
7．计算：（4x2）3＝ ．
8．计算：（a+b）（b﹣a）＝ ．
9．已知，则x＝ ．
10．科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为2×105GB，一张普通唱片的容量约为25GB，则蓝光唱片的容量是普通唱片的 倍．（用科学记数法表示）
11．若正比例函数y＝kx的图象经过点（7，﹣13），则y的值随x的增大而 .（选填“增大”或“减小”）
12．在菱形ABCD中，∠ABC＝66°，则∠BAC＝ °．
13．某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元．则投入80万元时，销售量为 万元．
14．一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同．随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有 个绿球．
15．如图，在平行四边形ABCD中，E为对角线AC上一点，设，若AE＝2EC，则＝ （结果用含，的式子表示）．
16．博物馆为展品准备了人工讲解、语音播报和AR增强三种讲解方式，博物馆共回收有效问卷1000张，其中700人没有讲解需求，剩余300人中需求情况如图所示（一人可以选择多种）．那么在总共2万人的参观中，需要AR增强讲解的人数约有 人．
17．在平行四边形ABCD中，∠ABC是锐角，将CD沿直线l翻折至AB所在直线，对应点分别为C′，D′，若AC′：AB：BC＝1：3：7，则cs∠ABC＝ ．
18．对于一个二次函数y＝a（x﹣m）2+k（a≠0）中存在一点P（x′，y′），使得x′﹣m＝y′﹣k≠0，则称2|x′﹣m|为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ．
三、简答题（共78分，其中第19～22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分）
19．（10分）计算：．
20．（10分）解方程组：．
21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（k为常数且k≠0）上有一点A（﹣3，m），且与直线y＝﹣2x+4交于另一点B（n，6）．
（1）求k与m的值；
（2）过点A作直线l∥x轴与直线y＝﹣2x+4交于点C，求sin∠OCA的值．
22．（10分）同学用两幅三角板拼出了如图的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠）．
（1）求：①两个直角三角形的直角边（结果用h表示）；
②平行四边形的底、高和面积（结果用h表示）；
（2）请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求：①不与给定的图形状相同；②画出三角形的边．
23．（12分）如图所示，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD．
（1）求证：AD2＝DE•DC；
（2）F为线段AE延长线上一点，且满足，求证：CE＝AD．
24．（12分）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和B（5，0）．
（1）求平移后新抛物线的表达式；
（2）直线x＝m（m＞0）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q；
①如果PQ小于3，求m的取值范围；
②记点P在原抛物线上的对应点为P′，如果四边形P′BPQ有一组对边平行，求点P的坐标．
25．（14分）在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在边AB上，且．
（1）如图1所示，点F在边CD上，且，联结EF，求证：EF∥BC；
（2）已知AD＝AE＝1；
①如图2所示，联结DE，如果△ADE外接圆的圆心恰好落在∠B的平分线上，求△ADE的外接圆的半径长；
②如图3所示，如果点M在边BC上，联结EM、DM、EC，DM与EC交于N．如果∠DMC＝∠CEM，BC＝4，且CD2＝DM•DN，求边CD的长．
2024年上海市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题4分，共24分）
1．如果x＞y，那么下列正确的是（ ）
A．x+5≤y+5B．x﹣5＜y﹣5C．5x＞5yD．﹣5x＞﹣5y
【分析】利用不等式的性质逐项判断即可．
【解答】解：如果x＞y，两边同时加上5得x+5＞y+5，则A不符合题意；
如果x＞y，两边同时减去5得x﹣5＞y﹣5，则B不符合题意；
如果x＞y，两边同时乘5得5x＞5y，则C符合题意；
如果x＞y，两边同时乘﹣5得﹣5x＜﹣5y，则D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查不等式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2．函数的定义域是（ ）
A．x＝2B．x≠2C．x＝3D．x≠3
【分析】根据题意可得x﹣3≠0，解得x的取值范围即可．
【解答】解：由题意得x﹣3≠0，
解得：x≠3，
故选：D．
【点评】本题考查函数自变量的取值范围，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
3．以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A．x2﹣6x＝0B．x2﹣9＝0C．x2﹣6x+6＝0D．x2﹣6x+9＝0
【分析】求出x2﹣6x＝0的根为x＝0或x＝6，x2﹣9＝0的根为x＝3或x＝﹣3，可知A，B不符合题意；由x2﹣6x+6＝0得Δ＝36﹣24＝12＞0，知C不符合题意；由x2﹣6x+9＝0知Δ＝36﹣36＝0，知D符合题意．
【解答】解：x2﹣6x＝0的根为x＝0或x＝6，
∴x2﹣6x＝0有两个不等实数根，故A不符合题意；
x2﹣9＝0的根为x＝3或x＝﹣3，
∴x2﹣9＝0有两个不等实数根，故B不符合题意；
由x2﹣6x+6＝0知Δ＝36﹣24＝12＞0，
∴x2﹣6x+6＝0有两个不等实数根，故C不符合题意；
由x2﹣6x+9＝0知Δ＝36﹣36＝0，
∴x2﹣6x+9＝0有两个相等实数根，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查解一元二次方程和一元二次方程的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程有两个相等实数根需满足Δ＝0．
4．科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的是（ ）
A．甲种类B．乙种类C．丙种类D．丁种类
【分析】先找出平均数小的种类，再根据方差的意义即可得出答案．
【解答】解：∵甲种类和乙种类开花时间最短，
∴从甲种类和乙种类进行选，
∵甲的方差大于乙的方差，
∴开花时间最短的并且最平稳的是乙种类．
故选：B．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5．四边形ABCD为矩形，过A、C作对角线BD的垂线，过B、D作对角线AC的垂线．如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（ ）
A．菱形B．矩形C．直角梯形D．等腰梯形
【分析】根据矩形的性质得到AC＝BD，S△ABC＝S△BCD＝S△ADC＝S△BAD，根据三角形的面积公式得到AE＝BF＝CG＝DH，再根据菱形的判定定理判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AC＝BD，S△ABC＝S△BCD＝S△ADC＝S△BAD，
∵AE⊥BD，BF⊥AC，CG⊥BD，DH⊥AC，
∴AE＝BF＝CG＝DH，
∴四个垂线可以拼成一个菱形，
故选：A．
【点评】本题考查的是矩形的性质、菱形的判定、三角形的面积计算，熟记四条边相等的四边形是菱形是解题的关键．
6．在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点P在ABC内，分别以ABP为圆心画圆，圆A半径为1，圆B半径为2，圆P半径为3，圆A与圆P内切，圆P与圆B的关系是（ ）
A．内含B．相交C．外切D．相离
【分析】根据题意，作出图形，数形结合，即可得到答案．
【解答】解：∵圆A半径为1，圆P半径为3，圆A与圆P内切，
∴圆A含在圆P内，即PA＝3﹣1＝2，
∴P在以A为圆心、2为半径的圆与△ABC边相交形成的弧上运动，如图所示：
∴当到P'位置时，圆P与圆B圆心距离PB最大，为，
∵，
∴圆P与圆B相交，
故选：B．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，点与圆的位置关系，涉及勾股定理，熟记圆的位置关系是解决问题的关键．
二、填空题（每题4分，共48分）
7．计算：（4x2）3＝ 64x6 ．
【分析】幂的乘方，底数不变指数相乘．
【解答】解：（4x2）3＝64x6，
故答案为：64x6．
【点评】本题考查了幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
8．计算：（a+b）（b﹣a）＝ b2﹣a2 ．
【分析】根据平方差公式进行计算即可．
【解答】解：（a+b）（b﹣a）
＝（b+a）（b﹣a）
＝b2﹣a2，
故答案为：b2﹣a2．
【点评】本题考查平方差公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
9．已知，则x＝ 1 ．
【分析】根据算术平方根的定义，进行计算．
【解答】解：∵，
∴2x﹣1＝1，
∴x＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了算术平方根的定义，利用两边平方进行解题即可．
10．科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为2×105GB，一张普通唱片的容量约为25GB，则蓝光唱片的容量是普通唱片的 8×103 倍．（用科学记数法表示）
【分析】利用科学记数法的定义列式计算即可．
【解答】解：2×105＝200000，
则200000÷25＝8000＝8×103，
即蓝光唱片的容量是普通唱片的8×103倍，
故答案为：8×103．
【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
11．若正比例函数y＝kx的图象经过点（7，﹣13），则y的值随x的增大而 减小 .（选填“增大”或“减小”）
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出k的值，由k＝﹣＜0，利用正比例函数的性质，可得出y的值随x的增大而减小．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过点（7，﹣13），
∴﹣13＝7k，
解得：k＝﹣．
∵k＝﹣＜0，
∴y的值随x的增大而减小．
故答案为：减小．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，牢记“当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小”是解题的关键．
12．在菱形ABCD中，∠ABC＝66°，则∠BAC＝ 57 °．
【分析】由菱形的性质得到AB＝BC，推出∠BAC＝∠BCA，而∠ABC＝66°，由三角形内角和定理即可求出∠BAC的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠ABC＝66°，
∴∠BAC＝（180°﹣66°）＝57°．
故答案为：57．
【点评】本题考查菱形的性质，关键是由菱形的性质推出AB＝BC．
13．某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元．则投入80万元时，销售量为 4500 万元．
【分析】设y＝ke+b，根据当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，可得y＝50x+500，令x＝80得y＝50×80+500＝4500．
【解答】解：设y＝ke+b，
∵当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，
∴，
解得，
∴y＝50x+500，
当x＝80时，y＝50×80+500＝4500，
故答案为：4500．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是用待定系数法求出一次函数解析式．
14．一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同．随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有 3 个绿球．
【分析】直接由概率公式即可得出结论．
【解答】解：∵一个袋子中有若干个白球和绿球，随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，
∴袋子中至少有3个绿球，
故答案为：3．
【点评】本题考查了概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．
15．如图，在平行四边形ABCD中，E为对角线AC上一点，设，若AE＝2EC，则＝ （结果用含，的式子表示）．
【分析】由AE＝2EC得出，再根据平面向量三角形运算法则求出，再由平行四边形的性质即可得出结果．
【解答】解：∵，AE＝2CE，
∴，
又∵，
∴＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量，平行四边形的性质，熟记平面向量的三角形运算法则是解题的关键．
16．博物馆为展品准备了人工讲解、语音播报和AR增强三种讲解方式，博物馆共回收有效问卷1000张，其中700人没有讲解需求，剩余300人中需求情况如图所示（一人可以选择多种）．那么在总共2万人的参观中，需要AR增强讲解的人数约有 2000 人．
【分析】用总人数乘以需要AR增强讲解的人数所占的百分比即可．
【解答】解：在总共2万人的参观中，需要AR增强讲解的人数约有20000××＝2000（人）．
故答案为：2000．
【点评】本题考查了条形统计图，要充分运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题．
17．在平行四边形ABCD中，∠ABC是锐角，将CD沿直线l翻折至AB所在直线，对应点分别为C′，D′，若AC′：AB：BC＝1：3：7，则cs∠ABC＝ 或 ．
【分析】分别考虑C'在AB之间时和C′在BA的延长线上时两种情况，根据题意假设出每条线段的长度，根据翻折的性质可知各个角之间的关系，即可求解．
【解答】解：当C′在AB之间时，如图，
根据AC'：AB：BC＝1：3：7，不妨设AC'＝1，AB＝3，BC＝7，
由翻折的性质知：∠FCD＝∠FC'D'，
∵CD沿直线l翻折至AB所在直线，
∴∠BC′F+∠FC′D′＝∠FCD+∠FBA，
∴∠BC′F＝∠FBA，
∴，
过F作AB的垂线交于E，
∴，
∴，
当C′在BA的延长线上时，如图，
根据AC′：AB：BC＝1：3：7，不妨设AC'＝1，AB＝3，BC＝7，
同理知：，
过点F作AB的垂线交于E，
∴，
∴，
故答案为：或．
【点评】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，求余弦值，等腰三角形的判定及性质，解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解．
18．对于一个二次函数y＝a（x﹣m）2+k（a≠0）中存在一点P（x′，y′），使得x′﹣m＝y′﹣k≠0，则称2|x′﹣m|为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 4 ．
【分析】先将抛物线化为顶点式，再根据题意即可求得抛物线“开口大小”．
【解答】解：∵抛物线＝﹣（x﹣）2+，
∴x′﹣＝﹣（x′﹣）2+﹣，
解得x′﹣＝﹣2，
∴抛物线“开口大小”为2|x′﹣|＝2×|﹣2|＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查二次函数的性质、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
三、简答题（共78分，其中第19～22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分）
19．（10分）计算：．
【分析】先化简绝对值，二次根式，零指数幂，再根据实数的运算法则进行计算．
【解答】解：
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了绝对值，二次根式，零指数幂等，掌握化简法则是解题的关键．
20．（10分）解方程组：．
【分析】由①得出（x﹣4y）（x+y）＝0，求出x﹣4y＝0或x+y＝0，求出x＝4y或x＝﹣y，把x＝4y代入②得出4y+2y＝6，求出y＝1，求出x，再把x＝﹣y代入②得出﹣y+2y＝6，再求出x即可．
【解答】解：，
由①，得（x﹣4y）（x+y）＝0，
x﹣4y＝0或x+y＝0，
x＝4y或x＝﹣y，
把x＝4y代入②，得4y+2y＝6，
解得：y＝1，
即x＝4×1＝4；
把x＝﹣y代入②，得﹣y+2y＝6，
解得：y＝6，
即x＝﹣6，
所以方程组的解是，．
【点评】本题考查了解高次方程，能根据x2﹣3xy﹣4y2＝0求出x﹣4y＝0或x+y＝0是解此题的关键．
21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（k为常数且k≠0）上有一点A（﹣3，m），且与直线y＝﹣2x+4交于另一点B（n，6）．
（1）求k与m的值；
（2）过点A作直线l∥x轴与直线y＝﹣2x+4交于点C，求sin∠OCA的值．
【分析】（1）将点B坐标代入一次函数解析式求出n，再将点B坐标代入反比例函数解析式求出k值，最后将点A坐标代入反比例函数解析式求出m即可；
（2）求出点C坐标，根据正弦函数定义直接写出结果即可．
【解答】解：（1）点B（n，6）在直线y＝﹣2x+4图象上，
∴﹣2n+4＝6，解得n＝﹣1，
∴B（﹣1，6），
∵B（﹣1，6）在反比例函数图象上，
∴k＝﹣6，
∴反比例函数解析式为y＝﹣，
∵点A（﹣3，m）在反比例函数图象上，
∴m＝﹣＝2．
∴m＝2．
（2）在函数y＝﹣2x+4中，当y＝2时，x＝1，
∴C（1，2），
∴OC＝，
∴sin∠OCA＝＝．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
22．（10分）同学用两幅三角板拼出了如图的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠）．
（1）求：①两个直角三角形的直角边（结果用h表示）；
②平行四边形的底、高和面积（结果用h表示）；
（2）请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求：①不与给定的图形状相同；②画出三角形的边．
【分析】（1）①解直角三角形即可求解；②由题意可知四边形MNGH是矩形，利用线段的和差可求出矩形的边长，进而可求出面积；
（2）根据题意画出图形即可．
【解答】解：（1）①如图，△ABC为等腰直角三角板，∠ACB＝90°，则，
如图，△DEF为含30°的直角三角形板，∠DEF＝90°，∠F＝30°，D＝60°，则EF＝2h，；
综上，等腰直角三角板直角边为 ，含 30° 的直角三角形板直角边为2h和 ；
②由题意可知∠MNG＝∠NGH＝∠GHM＝∠HMN＝90°，
∴四边形MNGH是矩形，
由图可得，，，
∴，
故小平行四边形的底为 ，高为 ，面积为 ，
（2）如图，即为所作图形．
【点评】本题考查了解直角三角形，矩形的判定，矩形的面积，图形设计，正确识图是解题的关键．
23．（12分）如图所示，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD．
（1）求证：AD2＝DE•DC；
（2）F为线段AE延长线上一点，且满足，求证：CE＝AD．
【分析】（1）由矩形性质得到∠BAD＝90°，∠ADE＝90°，AB＝DC，由角的互余得到∠ABD＝∠DAE，从而确定△ADE∽△BAD，利用相似三角形性质得到AD2＝DE•DC；
（2）由矩形性质，结合题中条件，利用等腰三角形的判定与性质得到 OA＝OD＝EF＝CF，∠ODA＝∠OAD，∠FEC＝∠FCE，进而由三角形全等的判定与性质即可得到．
【解答】证明：（1）∵矩形ABCD，
∴∠BAD＝90°，∠ADE＝90°，AB＝DC，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠DAE+∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠DAE，
∵∠BAD＝∠ADE＝90°，
∴△ADE∽△BAD，
∴，
∴AD2＝DE•BA，
∵AB＝DC，
∴AD2＝DE•DC；
（2）连接AC，交BD于点O，
∵矩形ABCD，
∴∠ADE＝90°，
∴∠DAE+∠AED＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠DAE+∠ADB＝90°，
∴∠ADB＝∠AED，
∵∠FEC＝∠AED，
∴∠ADO＝∠FEC，
∵矩形ABCD，
∴，
∴，
∴OA＝OD＝EF＝CF，
∴∠ADO＝∠OAD，∠FEC＝∠FCE，
∵∠ADO＝∠FEC，
∴∠ADO＝∠OAD＝∠FEC＝∠FCE，
在△ODA和△FEC中，
，
∴△ODA≌△FEC（AAS），
∴CE＝AD．
【点评】本题考查了矩形综合，涉及矩形性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题的关键．
24．（12分）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和B（5，0）．
（1）求平移后新抛物线的表达式；
（2）直线x＝m（m＞0）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q；
①如果PQ小于3，求m的取值范围；
②记点P在原抛物线上的对应点为P′，如果四边形P′BPQ有一组对边平行，求点P的坐标．
【分析】（1）设平移抛物线后得到的新抛物线为，把和B（5，0）代入，可得答案；
（2）①如图，设，则，，结合PQ小于3，可得，结合x＝m（m＞0），从而可得答案；
②先确定平移方式为：向右平移2个单位，向下平移3个单位，由题意可得：P在B的右边，当BP′∥PQ时，可得，结合平移的性质可得答案如图，当P′Q∥BP时，则∠P′QT＝∠BPT，过P'作P′S⊥QP于S，证明△P'SQ∽△BTP，可得，设，则，，，再建立方程求解即可．
【解答】解：（1）设平移抛物线后得到的新抛物线为，
把和B（3，0）代入，
可得：，解得：，
∴新抛物线为；
（2）①如图，设，则，
∴，
∵PQ小于3，
∴，
∴x＜1，
∵x＝m（m＞0），
∴0＜m＜1；
②，
∴平移方式为：向右平移2个单位，向下平移3个单位，
由题意可得：P在B的右边，当BP′∥PQ时，
∴BP′⊥x轴，
∴xP′＝xB＝5，
∴，
由平移的性质可得：，即；
如图，当P′Q∥BP时，则∠P′QT＝∠BPT，过P′作P′S⊥QP于S，
∴∠P'SQ＝∠BTP＝90°，
∴△P'SQ∽△BTP，
∴，
设，则，，，
∴，
解得：x＝1（不符合题意舍去）；
综上：．
【点评】本题属于二次函数的综合题，抛物线的平移，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
25．（14分）在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在边AB上，且．
（1）如图1所示，点F在边CD上，且，联结EF，求证：EF∥BC；
（2）已知AD＝AE＝1；
①如图2所示，联结DE，如果△ADE外接圆的圆心恰好落在∠B的平分线上，求△ADE的外接圆的半径长；
②如图3所示，如果点M在边BC上，联结EM、DM、EC，DM与EC交于N．如果∠DMC＝∠CEM，BC＝4，且CD2＝DM•DN，求边CD的长．
【分析】（1）添加辅助线，转移比例线段，得到，从而证出EF∥BC；
（2）利用三角形外接圆得性质得出△AOE≌△AOD，再根据BO平分∠ABC得出∠AOB＝90，然后得出相似，求出半径OA的长度；
（3）最后一问难度较大，首先将条件转化成线段和角度关系，由CD2＝DM•DN，很容易找到△DCN∽△DMC，再根据这个相似结论证出△BEM∽△BPC，多组相似转化，再利用勾股定理建立方程，求出未知数．
【解答】（1）证明：延长DE和CB交于点G，
∵AD∥BC，
∴，
∵AE＝AB，DF＝
∴，，
∴，
∴EF∥BC．
（2）①记点O为△ADE外接圆圆心，过点O作OF⊥AE于点F，连接OA，OD，OE．
∵点O为△ADE外接圆的圆心，
∴OA＝OE＝OD，
∴AF＝EF＝AE＝，
∵AE＝AB，
∴AB＝3AE＝3，
∵AE＝AD，0E＝OD，OA＝OA，
∴△AOE≌△AOD（SSS），
∴∠EAO＝∠DAO，
∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠CBO，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴2∠EAO+2∠ABO＝180°，即∠EAO+∠ABO＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∵OF⊥AE，
∴∠AFO＝∠AOB＝90°，
∵∠FAO＝∠OAB，
∴△FAO∽△OAB，
∴，即AO2＝AF•AB＝，
∴AO＝，
∴△ADE外接圆半径为．
②延长BA，CD交于点P，过点E作EQ⊥BC，垂足为点Q．
∵AD∥BC，
∴△PAD∽△PBC，
∴，
由①知AB＝3，
∴，
∴PA＝1，
∵CD2＝DM•DN，
∴，
∵∠CDN＝∠MDC，
∴△DCN∽△DMC，
∴∠DCN＝∠CMD，
∵∠DMC＝∠CEM，
∴∠CEM＝∠DCN，
∴EM∥CD，
∴，
由AB＝3，AE＝1得，BE＝2，
∴，
∴BM＝MC＝2，
∴△BEM∽△BPC，
∴，
设ME＝2a，则PC＝4a，
∵AD∥BC，
∴，
∴PD＝a，DC＝3a，
∵EM∥CD，
∴△ENM∽△CND，
∴，
设EN＝2b，则CN＝3b，
∵∠DMC＝∠CEM，∠ECM＝∠MCN，
∴△CNM∽△CME，
∴，即CM2＝CN•CE，
∴4＝3b•5b，解得b＝，
∴CE＝，
在Rt△BQE中，由勾股定理可得：
BE2﹣BQ2＝CN2﹣CQ2，
∴4﹣BQ2＝（）2﹣（4﹣BQ）2，
解得BQ＝，
∴EQ2＝BE2﹣BQ2＝，
∵QM＝BM﹣BQ＝2﹣＝，
∴在Rt△EQM中，由勾股定理可得，EM＝，
∵，
∴DC＝．
【点评】本题主要考查了圆的综合题，同时也考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，三角形的外接圆等知识点，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/20 7:29:08；用户：陈莉；邮箱：badywgy52@xyh.cm；学号：39221433种类
甲种类
乙种类
丙种类
丁种类
平均数
2.3
2.3
2.8
3.1
方差
1.05
0.78
1.05
0.78
种类
甲种类
乙种类
丙种类
丁种类
平均数
2.3
2.3
2.8
3.1
方差
1.05
0.78
1.05
0.78