2024年四川省德阳市中考数学试卷【含解析】

这是一份2024年四川省德阳市中考数学试卷【含解析】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列四个数中，比﹣2小的数是（ ）
A．0B．﹣1C．﹣D．﹣3
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．﹣（a﹣b）＝﹣a+b
C．a（a+1）＝a2+1D．（a+b）2＝a2+b2
3．（3分）如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中AB∥CD，DE⊥BC，∠ABC＝70°，则∠EDC等于（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
4．（3分）正比例函数y＝kx（k≠0）的图象如图所示，则k的值可能是（ ）
A．B．﹣C．﹣1D．﹣
5．（3分）分式方程＝的解是（ ）
A．3B．2C．D．
6．（3分）为了推进“阳光体育”，学校积极开展球类运动，在一次定点投篮测试中，每人投篮5次，七年级某班统计全班50名学生投中的次数，并记录如下：
表格中有两处数据不小心被墨汁遮盖了，下列关于投中次数的统计量中可以确定的是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
7．（3分）走马灯，又称仙音烛，据史料记载，走马灯的历史起源于隋唐时期，盛行于宋代，是中国特色工艺品，常见于除夕、元宵、中秋等节日．在一次综合实践活动中，一同学用如图所示的纸片，沿折痕折合成一个棱锥形的“走马灯”，正方形做底，侧面有一个三角形面上写了“祥”字，当灯旋转时，正好看到“吉祥如意”的字样．则在A、B、C处依次写上的字可以是（ ）
A．吉 如 意B．意 吉 如
C．吉 意 如D．意 如 吉
8．（3分）已知，正六边形ABCDEF的面积为6，则正六边形的边长为（ ）
A．1B．C．2D．4
9．（3分）将一组数，2，，2，，2，…，，…，按以下方式进行排列：则第八行左起第1个数是（ ）
A．7B．8C．D．4
10．（3分）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30° （AB、CD在同一平面内，B、D在同一水平面上），则建筑物CD的高为（ ）米．
A．20B．15C．12D．10+5
11．（3分）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形（AB＜BC），点P是边AD上一点，则满足PB⊥PC的点P的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
12．（3分）一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为4（单位：dm）的正方形纸片ABCD，他在边AB和AD上分别取点E和点M，使AE＝BE，AM＝1，又在线段MD上任取一点N（点N可与端点重合），再将△EAN沿NE所在直线折叠得到△EA1N，随后连接DA1，小王同学通过多次实践得到以下结论：
①当点N在线段MD上运动时，点A1在以E为圆心的圆弧上运动；
②当DA1达到最大值时，A1到直线AD的距离达到最大；
③DA1的最小值为2﹣2；
④DA1达到最小值时，MN＝5﹣．
你认为小王同学得到的结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上）
13．（4分）化简：＝ ．
14．（4分）若一个多项式加上y2+3xy﹣4，结果是3xy+2y2﹣5，则这个多项式为 ．
15．（4分）某校拟招聘一名优秀的数学教师，设置了笔试、面试、试讲三项水平测试，综合成绩按照笔试占30%，面试占30%，试讲占40%进行计算，小徐的三项测试成绩如图所示，则她的综合成绩为 分．
16．（4分）如图，四边形ABCD是矩形，△ADG是正三角形，点F是GD的中点，点P是矩形ABCD内一点，且△PBC是以BC为底的等腰三角形，则△PCD的面积与△FCD的面积的比值是 .
17．（4分）数学活动课上，甲组同学给乙组同学出示了一个探究问题：把数字1至8分别填入如图的八个圆圈内，使得任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1．经过探究后，乙组的小高同学填出了图中两个中心圆圈的数字a、b，你认为a可以是 （填上一个数字即可）．
18．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（﹣，n），与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc＞0；②5b+2c＜0；③若抛物线经过点（﹣6，y1），（5，y2），则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝4无实数根，则n＜4．其中正确结论是 （请填写序号）．
三、解答题（本大题共7小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
19．（14分）（1）计算：+（）﹣2﹣2cs60°；
（2）解不等式组：．
20．（10分）2024年中国龙舟公开赛（四川•德阳站），在德阳旌湖沱江桥水域举行，预计来自全国各地1000余名选手将参赛．旌湖两岸高颜值的绿色生态景观绿化带“德阳之窗”将迎接德阳市民以及来自全国各地的朋友近距离的观看比赛．比赛设置男子组、女子组、本地组三个组别，其中男子组将进行A：100米直道竞速赛，B：200米直道竞速赛，C：500米直道竞速赛，D：3000米绕标赛．为了了解德阳市民对于这四个比赛项目的关注程度，随机对部分市民进行了问卷调查（参与问卷调查的每位市民只能选择其中一个项目），将调查得到的数据绘制成数据统计表和扇形统计图（表、图都未完全制作完成）：
市民最关注的比赛项目人数统计表
（1）直接写出a、b的值和D所在扇形圆心角的度数；
（2）若当天观看比赛的市民有10000人，试估计当天观看比赛的市民中关注哪个比赛项目的人数最多？大约有多少人？
（3）为了缓解比赛当天城市交通压力，维护交通秩序，德阳交警旌阳支队派出4名交警（2男2女）对该路段进行值守，若在4名交警中任意抽取2名交警安排在同一路口执勤，请用列举法（画树状图或列表）求出恰好抽到的两名交警性别相同的概率．
21．（12分）如图，一次函数y＝﹣2x+2与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点A（﹣1，m）．（1）求m的值和反比例函数y＝的解析式；
（2）将直线y＝﹣2x+2向下平移h个单位长度（h＞0）后得直线y＝ax+b，若直线y＝ax+b与反比例函数y＝（x＜0）的图象的交点为B（n，2），求h的值，并结合图象求不等式＜ax+b的解集．
22．（12分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC与BD相交于点O，点F为BC的中点，连接AF与BD相交于点E，连接CE并延长交AB于点G．
（1）证明：△BEF∽△BCO；
（2）证明：△BEG≌△AEG．
23．（13分）罗江糯米咸鹅蛋是德阳市非物质文化遗产之一，至今有200多年历史，采用罗江当地林下养殖的鹅产的散养鹅蛋，经过传统秘方加以糯米、青豆等食材以16道工序手工制作而成．为了迎接端午节，进一步提升糯米咸鹅蛋的销量，德阳某超市将购进的糯米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售，有A、B两种组合方式，其中A组合有4枚糯米咸鹅蛋和6个肉粽，B组合有6枚糯米咸鹅蛋和10个肉粽．A、B两种组合的进价和售价如表：
（1）求每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少？
（2）根据市场需求，超市准备的B种组合数量是A种组合数量的3倍少5件，且两种组合的总件数不超过95件，假设准备的两种组合全部售出，为使利润最大，该超市应准备多少件A种组合？最大利润为多少？
24．（14分）如图，抛物线y＝x2﹣x+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当0＜x≤2时，求y＝x2﹣x+c的函数值的取值范围；
（3）将抛物线的顶点向下平移个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求PA+PM的最小值．
25．（15分）已知⊙O的半径为5，B、C是⊙O上两定点，点A是⊙O上一动点，且∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交⊙O于点D．
（1）证明：点D为上一定点；
（2）过点D作BC的平行线交AB的延长线于点F．
①判断DF与⊙O的位置关系，并说明理由；
②若△ABC为锐角三角形，求DF的取值范围．
2024年四川省德阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的.）
1．（3分）下列四个数中，比﹣2小的数是（ ）
A．0B．﹣1C．﹣D．﹣3
【分析】四个数比较即可求解．
【解答】解：∵﹣3＜﹣2＜﹣1＜﹣＜0，
∴比﹣2小的数是﹣3．
故选：D．
【点评】本题主要考查了有理数的大小比较，熟知各个数之间的大小关系即可求解．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．﹣（a﹣b）＝﹣a+b
C．a（a+1）＝a2+1D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】根据同底数幂的运算法则得a2•a3＝a2+3＝a5，由此可对选项A进行判断；根据去括号法则得﹣（a﹣b）＝﹣a+b，由此可对选项B进行判断；根据单项式乘多项式的运算法则得a（a+1）＝a2+a，由此可对选项C进行判断；根据完全平方公式得（a+b）2＝a2+2ab+b2，由此可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：∵a2•a3＝a2+3＝a5，
∴选项A中的计算不正确，故不符合题意；
∵﹣（a﹣b）＝﹣a+b，
∴选项B中的计算正确，故符合题意；
∵a（a+1）＝a2+a，
∴选项C中的计算不正确，故不符合题意；
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴选项D中的计算不正确，故不符合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，去括号法则，单项式乘多项式，完全平方公式，熟练掌握同底数幂的乘法运算，去括号法则，单项式乘多项式，完全平方公式是解决问题的关键．
3．（3分）如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中AB∥CD，DE⊥BC，∠ABC＝70°，则∠EDC等于（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
【分析】由平行线的性质推出∠C＝∠B＝70°，由垂直的定义得到∠CED＝90°，即可求出∠EDC＝90°﹣70°＝20°．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠C＝∠B＝70°，
∵DE⊥BC，
∴∠CED＝90°，
∴∠EDC＝90°﹣70°＝20°．
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠C＝∠B．
4．（3分）正比例函数y＝kx（k≠0）的图象如图所示，则k的值可能是（ ）
A．B．﹣C．﹣1D．﹣
【分析】根据正比例函数的性质即可得到结论．
【解答】解：由图象知，函数值y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∴k的值可能是，
故选：A．
【点评】本题考查了正比例函数的图象，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．
5．（3分）分式方程＝的解是（ ）
A．3B．2C．D．
【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【解答】解：原方程去分母得：x+3＝5x，
解得：x＝，
经检验，x＝是分式方程的解，
故选：D．
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
6．（3分）为了推进“阳光体育”，学校积极开展球类运动，在一次定点投篮测试中，每人投篮5次，七年级某班统计全班50名学生投中的次数，并记录如下：
表格中有两处数据不小心被墨汁遮盖了，下列关于投中次数的统计量中可以确定的是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【分析】根据众数的定义即可得到结论．
【解答】解：∵被墨汁遮盖的人数为50﹣1﹣10﹣17﹣6＝16，
∴投中的3次的人数最多，是17，
∴投中次数的统计量中可以确定的是众数，
故选：C．
【点评】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握中位数、众数、平均数及方差的定义．
7．（3分）走马灯，又称仙音烛，据史料记载，走马灯的历史起源于隋唐时期，盛行于宋代，是中国特色工艺品，常见于除夕、元宵、中秋等节日．在一次综合实践活动中，一同学用如图所示的纸片，沿折痕折合成一个棱锥形的“走马灯”，正方形做底，侧面有一个三角形面上写了“祥”字，当灯旋转时，正好看到“吉祥如意”的字样．则在A、B、C处依次写上的字可以是（ ）
A．吉 如 意B．意 吉 如
C．吉 意 如D．意 如 吉
【分析】观察几何体的展开图便可求解．
【解答】解：∵由题意得展开图是四棱锥，
∴A、B、C处依次写上的字可以是吉、如、意；或如、吉、意．
故选：A．
【点评】本题主要考察了几何体的展开图，利用四棱锥的展开图的特点即可求解．
8．（3分）已知，正六边形ABCDEF的面积为6，则正六边形的边长为（ ）
A．1B．C．2D．4
【分析】根据正六边形的性质，二次根式的乘除法的计算方法进行计算即可．
【解答】解：如图，连接OA，OB，过点O作OM⊥AB，垂足为点M，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是正三角形，
∴OA＝OB＝AB，
设AB＝x，则OA＝OB＝x，
∴S正六边形＝6S△AOB＝6，
∴6××x×x＝6，
解得x＝2或x＝﹣2＜0舍去，
即正六边形的边长为2．
故选：C．
【点评】本题考查正多边形和圆，二次根式的乘除法，掌握正六边形的性质，二次根式乘除法的计算方法是正确解答的关键．
9．（3分）将一组数，2，，2，，2，…，，…，按以下方式进行排列：则第八行左起第1个数是（ ）
A．7B．8C．D．4
【分析】根据题意求得第八行左起第1个数是第几个数后即可求得答案．
【解答】解：由题意可得前七行所有的数的总个数为1+2+3+4+5+6+7＝28，
则第八行左起第1个数是第29个数，即＝，
故选：C．
【点评】本题考查算术平方根及规律探索问题，结合已知条件求得前七行所有的数的总个数是解题的关键．
10．（3分）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30° （AB、CD在同一平面内，B、D在同一水平面上），则建筑物CD的高为（ ）米．
A．20B．15C．12D．10+5
【分析】设过点A的水平线于CD交于点E，在Rt△BCD中，用CD表示BD，在Rt△ACE中，用CD表示AE，再利用AE＝BD列方程即可求出CD．
【解答】解：设过点A的水平线于CD交于点E，如图，
由题意，知：四边形ABDE是矩形DE＝AB＝10米，AE＝BD，
在Rt△BCD中，
BD＝＝CD，
在Rt△ACE中，
AE＝＝（CD﹣DE＝（CD﹣10），
∴（CD﹣10）＝CD，
解得CD＝15（米），
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
11．（3分）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形（AB＜BC），点P是边AD上一点，则满足PB⊥PC的点P的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【分析】根据题意可知点P在以BC为直径的圆上，得出AD与此圆的位置关系即可解决问题．
【解答】解：∵PB⊥PC，
∴点P在以BC为直径的圆上．
如图所示，
∵四边形ABCD是黄金矩形，
∴令AB＝CD＝（）a，AD＝BC＝2a，
∴⊙M的半径为a．
∵＞0，
∴AD边与⊙M相离，
∴AD边上满足PB⊥PC的点P的个数为0．
故选：D．
【点评】本题考查黄金分割及矩形的性质，巧用数形结合的数学思想是解题的关键．
12．（3分）一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为4（单位：dm）的正方形纸片ABCD，他在边AB和AD上分别取点E和点M，使AE＝BE，AM＝1，又在线段MD上任取一点N（点N可与端点重合），再将△EAN沿NE所在直线折叠得到△EA1N，随后连接DA1，小王同学通过多次实践得到以下结论：
①当点N在线段MD上运动时，点A1在以E为圆心的圆弧上运动；
②当DA1达到最大值时，A1到直线AD的距离达到最大；
③DA1的最小值为2﹣2；
④DA1达到最小值时，MN＝5﹣．
你认为小王同学得到的结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由折叠可得 A1E＝AE＝BE＝2，可得点A1到点E的距离恒为2，即可判断①；
连接DE，由勾股定理得到在Rt△ADE 中，，由 DA1+A1E≥DE，即可 判断③；
DA1 达到最小值时，点A1 在线段DE上，证得△A1DN∽△ADE，得到 ，从而求得 ，通过MN＝AD﹣DN﹣AM 即可判断④；
在△A1DE 中，A1D 随着∠DEA1 的增大而增大，而当∠NEA最大时，∠DEA1 有最大值， 有最大值，此时点N与点D重合．过点A1作A1G⊥AD于点G，作A1P⊥AB于点P，可得四边 形 AGA1P 是矩形，因此 A1G＝AP＝AE+EP 当 A1D 取得最大值时，∠A1EP 有最小值，在Rt△A1EP 中，EP＝A1E•cs∠A1EP 有最大值，A1G＝AP＝AE+EP 有最大值，即可判断②．
【解答】解：∵正方形纸片ABCD的边长为4dm，AE＝BE，
∴，
由折叠的性质可知，A1E＝AE＝2，
∴当点N在线段MD上运动时，点A在以E为圆心的圆弧上运动．
故①正确；
连接DE，
∵在正方形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，AE＝2，
∴在Rt△ADE中，，
∵DA1+A1E≥DE，
∴，
∴DA1的最小值为，
故③正确；
如图，
DA1达到最小值时，点A在线段DE上，
由折叠可得∠NA1E＝∠A＝90°，
∴∠DA1N＝90°，
∴∠DA1N＝∠A，
∵∠A1DN＝∠ADE，
∴△A1DN∽△ADE，
，
∴，
∴，
∴，
故④错误．
在△A1DE中，，A1E＝AE＝2，
∴A1D随着∠DEA1的增大而增大，
∵∠DEA1＝∠NEA1﹣∠NED＝∠NEA﹣∠NED＝∠NEA﹣（∠AED﹣∠NEA）＝2∠NEA﹣∠AED，
∴当∠NEA最大时，∠DEA1有最大值，A1G有最大值，此时，点N与点D重合，
过点A1作A1G⊥AD于点G，作A1P⊥AB于点P，
∵∠A＝90°，
∴四边形AGA1P是矩形，
∴A1G＝AP＝AE+EP，
当A1D取得最大值时，∠AEN＝∠A1EN也是最大值，
∵∠A1EP＝180°﹣∠AEN﹣∠A1EN＝180°﹣2∠AEN
∴∠A1EP有最小值，
∴在Rt△A1EP中，EP＝A1E•cs∠A1EP有最大值，
即A1G＝AP＝AE+EP有最大值，
∴点A1到AD的距离最大．
故②正确．
综上所述，正确的共有3个．
故选：C．
【点评】本题主要考查了翻折变换、轴对称的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，综合运用相关知识是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上）
13．（4分）化简：＝ 3 ．
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：＝|﹣3|＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质和化简方法是掌握解答的关键》
14．（4分）若一个多项式加上y2+3xy﹣4，结果是3xy+2y2﹣5，则这个多项式为 y2﹣1 ．
【分析】根据题意，列出3xy+2y2﹣5﹣（y2+3xy﹣4）去括号化简即可．
【解答】解：3xy+2y2﹣5﹣（y2+3xy﹣4）
＝3xy+2y2﹣5﹣y2﹣3xy+4
＝y2﹣1．
故答案为：y2﹣1．
【点评】本题考查了整式的加减，熟练掌握去括号和合并同类项是关键．
15．（4分）某校拟招聘一名优秀的数学教师，设置了笔试、面试、试讲三项水平测试，综合成绩按照笔试占30%，面试占30%，试讲占40%进行计算，小徐的三项测试成绩如图所示，则她的综合成绩为 85.8 分．
【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可．
【解答】解：她的综合成绩为86×30%+80×30%+90×40%＝85.8（分），
故答案为：85.8．
【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
16．（4分）如图，四边形ABCD是矩形，△ADG是正三角形，点F是GD的中点，点P是矩形ABCD内一点，且△PBC是以BC为底的等腰三角形，则△PCD的面积与△FCD的面积的比值是 2 .
【分析】作辅助线如图，设BC＝a，CD＝b，根据性质和图形表示出面积即可得到答案．
【解答】解：如图，作BC，AD中点为M，N，连接MN，GN，连接PD，FC，过F作FR⊥CD交CD的延长线于R点，延长RF，与GN交于Q点．
设BC＝a，CD＝b，
∵△PBC是以BC为底的等腰三角形，
∴P在MN上，
∴P到CD的距离即为，
∴，
在△GQF和△DRF中，
，
∴△GQF≌△DRF（AAS），
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点评】本题考查矩形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，正确设出边长表示出两个面积是解题的关键．
17．（4分）数学活动课上，甲组同学给乙组同学出示了一个探究问题：把数字1至8分别填入如图的八个圆圈内，使得任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1．经过探究后，乙组的小高同学填出了图中两个中心圆圈的数字a、b，你认为a可以是 1（或8） （填上一个数字即可）．
【分析】由于两个中心圆圈有6根连线，数字1至8，共有8个数字，若2，3，4，5，6，7，其中任何一个数字填在中心位置，那么与其相邻的2个数字均不能出现在与中心圆圈相连的6个圆圈中，否则不满足任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1，故只剩下5个数字可选，不满足6个空的圆圈需要填入，故中心圆圈只能是1或者8．
【解答】解：两个中心圆圈分别有6根连线，数字1至8，共有8个数字，若2，3，4，5，6，7，其中任何一个数字填在中心位置，那么与其相邻的2个数字均不能出现在与中心圆圈相连的6个圆圈中，故只剩下5个数字可选，不满足6个空的圆圈需要填入．∴位于两个中心圆圈的数字a、b，只可能是1或者8．
故答案为：1（或8）．
【点评】本题考查了规律：数字的变化类，理解题意是解题的关键．
18．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（﹣，n），与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc＞0；②5b+2c＜0；③若抛物线经过点（﹣6，y1），（5，y2），则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝4无实数根，则n＜4．其中正确结论是 ①②④ （请填写序号）．
【分析】依据题意，利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断①；利用抛物线的对称轴求出a＝b，根据图象可得当x＝1时，y＝a+b+c＜0，即可判断②；利用二次函数的性质即可判断③；根据抛物线与直线y＝4无交点即可判断④．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（﹣，n），
∴﹣＝﹣．
∴a＝b，
∵抛物线开口方向向下，即a＜0，
∴b＜0，
当x＝0时，y＝c＞0，
∴abc＞0，故①正确．
由图象可得：当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
∴5b+2c＜0，故②正确．
∵直线x＝﹣是抛物线的对称轴，
∴点（﹣6，y1）到对称轴的距离大于点（5，y2）到对称轴的距离，
∴y1＜y2，故③错误．
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝4无实数根，
∴顶点A（﹣，n）在直线y＝4的下方，
∴n＜4，故④正确．
故正确的有①②④．
故答案为：①②④．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
三、解答题（本大题共7小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
19．（14分）（1）计算：+（）﹣2﹣2cs60°；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）利用立方根的定义，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值计算即可；
（2）解各不等式后即可求得不等式组的解集．
【解答】解：（1）原式＝﹣2+4﹣2×
＝﹣2+4﹣1
＝1；
（2）解不等式①得：x≥4，
解不等式②得：x＜6，
故原不等式组的解集为4≤x＜6．
【点评】本题考查实数的运算及解一元一次不等式组，熟练掌握相关运算法则及解不等式组的方法是解题的关键．
20．（10分）2024年中国龙舟公开赛（四川•德阳站），在德阳旌湖沱江桥水域举行，预计来自全国各地1000余名选手将参赛．旌湖两岸高颜值的绿色生态景观绿化带“德阳之窗”将迎接德阳市民以及来自全国各地的朋友近距离的观看比赛．比赛设置男子组、女子组、本地组三个组别，其中男子组将进行A：100米直道竞速赛，B：200米直道竞速赛，C：500米直道竞速赛，D：3000米绕标赛．为了了解德阳市民对于这四个比赛项目的关注程度，随机对部分市民进行了问卷调查（参与问卷调查的每位市民只能选择其中一个项目），将调查得到的数据绘制成数据统计表和扇形统计图（表、图都未完全制作完成）：
市民最关注的比赛项目人数统计表
（1）直接写出a、b的值和D所在扇形圆心角的度数；
（2）若当天观看比赛的市民有10000人，试估计当天观看比赛的市民中关注哪个比赛项目的人数最多？大约有多少人？
（3）为了缓解比赛当天城市交通压力，维护交通秩序，德阳交警旌阳支队派出4名交警（2男2女）对该路段进行值守，若在4名交警中任意抽取2名交警安排在同一路口执勤，请用列举法（画树状图或列表）求出恰好抽到的两名交警性别相同的概率．
【分析】（1）首先求出部分市民的人数为42÷28%＝150，根据C：500米直道竞速赛人数所占的百分比求得a，根据题意即可得到结论；
（2）根据扇形统计图即可得到结论；
（3）设2名男性交警用A，B表示，2名女性交警用C，D表示，根据题意即可画树状图，进而求出恰好抽到的两名交警性别相同的概率．
【解答】解：（1）部分市民的人数为42÷28%＝150（人），
∴a＝150×12%＝18，b＝150﹣42﹣18﹣30＝60（人），
D所在扇形圆心角的度数为360×＝144°；
（2）当天观看比赛的市民中关注D：3000米绕标赛比赛项目的人数最多，
10000×＝4000（人），
答：当天观看比赛的市民中关注D：3000米绕标赛比赛项目的人数最多大约有4000人；
（3）设2名男性交警用A，B表示，2名女性交警用C，D表示，
根据题意，画树状图如下：
由图可知：共有12种等可能的结果，符合条件的结果有4种，
所以恰好抽到的两名交警性别相同的概率为：＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法、频率分布表、扇形统计图，解决本题的关键是掌握概率公式．
21．（12分）如图，一次函数y＝﹣2x+2与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点A（﹣1，m）．（1）求m的值和反比例函数y＝的解析式；
（2）将直线y＝﹣2x+2向下平移h个单位长度（h＞0）后得直线y＝ax+b，若直线y＝ax+b与反比例函数y＝（x＜0）的图象的交点为B（n，2），求h的值，并结合图象求不等式＜ax+b的解集．
【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式及m值即可；
（2）根据平移法则得到平移后的解析式为y＝﹣2x+2﹣h，将点B坐标代入解析式求出h值，根据图像直接写出不等式式＜ax+b的解集即可．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，m）在一次函数y＝﹣2x+2图象上，
∴m＝﹣2×（﹣1）+2＝4，
∴A（﹣1，4），
∵点A在反比例函数y＝图象上，
∴k＝﹣4，
∴反比例函数解析式为y＝﹣；
（2）∵点为B（n，2）在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴2＝﹣，解得n＝﹣2，
∴B（﹣2，2），
将直线y＝﹣2x+2向下平移h个单位长度得到解析式为y＝﹣2x+2﹣h，
∵点B（﹣2，2）在直线y＝﹣2x+2﹣h图象上，
∴2＝﹣2×（﹣2）+2﹣h，解得h＝4，
根据函数图象及交点坐标可知，不等式＜ax+b的解集为：x＜﹣2．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键．
22．（12分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC与BD相交于点O，点F为BC的中点，连接AF与BD相交于点E，连接CE并延长交AB于点G．
（1）证明：△BEF∽△BCO；
（2）证明：△BEG≌△AEG．
【分析】（1）根据菱形的性质及∠ABC的度数，可得出△ABC为等边三角形，再根据F为BC的中点，得出AF⊥BC，据此可解决问题．
（2）根据等边三角形的性质可得出判定题中所给两三角形全等的条件，进而可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AC⊥BD，
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
∵点F为BC的中点，
∴AF⊥BC，
∴∠BOC＝∠BFE＝90°，
又∵∠EBF＝∠CBO，
∴△BEF∽△BCO．
（2）证明：∵BO⊥AC，AF⊥BC，
∴CG⊥AB，
∴∠BGE＝∠AGE．
又∵AC＝BC，
∴BG＝AG．
在△BEG和△AEG中，
，
∴△BEG≌△AEG（SAS）．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定、等边三角形的判定与性质及菱形的性质，熟知相似三角形和全等三角形的判定及菱形的性质是解题的关键．
23．（13分）罗江糯米咸鹅蛋是德阳市非物质文化遗产之一，至今有200多年历史，采用罗江当地林下养殖的鹅产的散养鹅蛋，经过传统秘方加以糯米、青豆等食材以16道工序手工制作而成．为了迎接端午节，进一步提升糯米咸鹅蛋的销量，德阳某超市将购进的糯米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售，有A、B两种组合方式，其中A组合有4枚糯米咸鹅蛋和6个肉粽，B组合有6枚糯米咸鹅蛋和10个肉粽．A、B两种组合的进价和售价如表：
（1）求每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少？
（2）根据市场需求，超市准备的B种组合数量是A种组合数量的3倍少5件，且两种组合的总件数不超过95件，假设准备的两种组合全部售出，为使利润最大，该超市应准备多少件A种组合？最大利润为多少？
【分析】（1）设每枚糯米咸鹅蛋的进价是x元，每个肉粽的进价是y元，根据A，B两种组合的进价，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该超市准备m件A种组合，则该超市准备（3m﹣5）件B种组合，根据准备的两种组合的总件数不超过95件，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设该超市准备的两种组合全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝每件A组合的销售利润×准备数量+每件B组合的销售利润×准备数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设每枚糯米咸鹅蛋的进价是x元，每个肉粽的进价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每枚糯米咸鹅蛋的进价是16元，每个肉粽的进价是5元；
（2）设该超市准备m件A种组合，则该超市准备（3m﹣5）件B种组合，
根据题意得：m+3m﹣5≤95，
解得：m≤25．
设该超市准备的两种组合全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（120﹣94）m+（188﹣146）（3m﹣5），
即w＝152m﹣210，
∵152＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝25时，w取得最大值，最大值为152×25﹣210＝3590．
答：为使利润最大，该超市应准备25件A种组合，最大利润为3590元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
24．（14分）如图，抛物线y＝x2﹣x+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当0＜x≤2时，求y＝x2﹣x+c的函数值的取值范围；
（3）将抛物线的顶点向下平移个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求PA+PM的最小值．
【分析】（1）把A（﹣1，0）代入y＝x2﹣x+c得c＝﹣2，故抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）求出抛物线y＝x2﹣x﹣2开口向上，顶点坐标为（，﹣），对称轴为直线x＝；由|0﹣|＜|2﹣|，知在0＜x≤2时，当x＝2，y取最大值22﹣2﹣2＝0；当x＝时，y取最小值﹣，从而函数值的取值范围是﹣≤y≤0；
（3）连接BM，过A作AH⊥BM于H，交抛物线对称轴直线x＝于P'，设直线x＝交x轴于N，求出B（2，0），BN＝2﹣＝，M（，﹣3），MN＝3，可得BM＝，sin∠BMN＝＝，即得P'H＝P'M，从而P'A+P'M＝P'A+P'H＝AH，由垂线段最短可知，当P与P'重合时，PA+PM最小，最小值为AH的长度，根据面积法求出AH＝＝＝，故PA+PM的最小值为．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝x2﹣x+c得：0＝1+1+c，
解得c＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，
∴抛物线y＝x2﹣x﹣2开口向上，顶点坐标为（，﹣），对称轴为直线x＝；
∵|0﹣|＜|2﹣|，
∴在0＜x≤2时，当x＝2，y取最大值22﹣2﹣2＝0；当x＝时，y取最小值﹣；
∴当0＜x≤2时，函数值的取值范围是﹣≤y≤0；
（3）连接BM，过A作AH⊥BM于H，交抛物线对称轴直线x＝于P'，设直线x＝交x轴于N，如图：
在y＝x2﹣x﹣2中，令y＝0得0＝x2﹣x﹣2，
解得x＝﹣1或x＝2，
∴B（2，0），
∴BN＝2﹣＝，
∵将抛物线的顶点（，﹣）向下平移个单位长度得到点M，
∴M（，﹣3），MN＝3，
∴BM＝＝＝，
∴sin∠BMN＝＝＝，
∴＝，
∴P'H＝P'M，
∴P'A+P'M＝P'A+P'H＝AH，
由垂线段最短可知，当P与P'重合时，PA+PM最小，最小值为AH的长度，
∵2S△ABM＝AB•MN＝BM•AH，
∴AH＝＝＝，
∴PA+PM的最小值为．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，锐角三角函数，胡不归问题等，解题的关键掌握胡不归问题的解决方法．
25．（15分）已知⊙O的半径为5，B、C是⊙O上两定点，点A是⊙O上一动点，且∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交⊙O于点D．
（1）证明：点D为上一定点；
（2）过点D作BC的平行线交AB的延长线于点F．
①判断DF与⊙O的位置关系，并说明理由；
②若△ABC为锐角三角形，求DF的取值范围．
【分析】（1）连接OB，OC，由∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，可得∠BOD＝2∠BAD＝60°，的度数是60°，而B为定点，故D为上一定点；
（2）①连接OD，由∠BAC的平分线交⊙O于点D，可得＝，故OD⊥BC，又DF∥BC，从而OD⊥DF，即知DF与⊙O相切；
②当∠A1BC为直角时，连接OD交BC于M，求出DF＝；当∠A2CB为直角时，连接OD，BD，求出DF＝5；由图可知，当A由A1运动到A2（不包括A1，A2）时，△ABC是锐角三角形，即可得DF的取值范围是＜DF＜5．
【解答】（1）证明：连接OB，OC，如图：
∵∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，
∴∠BAD＝∠BAC＝30°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝60°，
∴的度数是60°，
∵B为定点，
∴D为上一定点；
（2）解：①DF与⊙O相切，理由如下：
连接OD，如图：
∵∠BAC的平分线交⊙O于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴OD⊥BC，
∵DF∥BC，
∴OD⊥DF，
∵OD为⊙O的半径，
∴DF与⊙O相切；
②当∠A1BC为直角时，连接OD交BC于M，如图：
∵∠BA1C＝60°，
∵∠A1BC＝90°，
∴∠C＝30°，A1C为⊙O的直径，
∵⊙O的半径为5，
∴A1C＝10，A1B＝A1C＝5，
∴BC＝5，
由①知，＝，
∴BM＝BC＝，∠BMD＝90°，
∵∠FBC＝180°﹣∠A1BC＝90°，∠FDM＝90°，
∴四边形BFDM是矩形，
∴DF＝BM＝；
当∠A2CB为直角时，连接OD，BD，如图：
∵∠A2CB＝90°，∠BA2C＝60°，
∴A2B是⊙O的直径，∠A2BC＝30°，
∵DF∥BC，
∴∠F＝∠A2BC＝30°，
∵DF与⊙O相切，
∴∠FDO＝90°，
∴OF＝2OD＝10，
∴DF＝＝＝5；
由图可知，当A由A1运动到A2（不包括A1，A2）时，△ABC是锐角三角形，
∴DF的取值范围是＜DF＜5．
【点评】本题考查圆的综合应用，涉及勾股定理及应用，含特殊角的直角三角形三边关系，直线和圆的位置关系等，解题的关键是求出临界点时DF的长度．
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