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专题3.2 函数的基本性质-【初升高衔接】2023年新高一数学初升高考点必杀50题（人教A版2019）（原卷版+解析版）
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一、单选题
1．设函数，则（ ）．
A．有最大值B．有最大值C．有最小值D．有最小值
【答案】D
【分析】根据基本不等式即得.
【详解】因为函数，
所以 ，当且仅当，即时等号成立，
所以有最小值，无最大值.
故选：D.
2．已知函数在上是减函数，则，，的大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先比较的大小关系，进而利用函数单调性，确定，，的大小关系.
【详解】解：，又函数在上是减函数，
，
故选C.
【点睛】本题考查利用函数单调性来比较大小，是基础题.
3．已知定义在R上的奇函数f(x)满足，当时，，则=（ ）
A．20192B．1C．0D．
【答案】D
【分析】由可得函数的周期为4，然后利用周期对化简，再结合奇函数的性质和已知区间上的解析式可求得结果
【详解】因为，所以，
所以函数的周期为4，
因为为在R上的奇函数，且当时，，
所以，
故选：D
4．若是偶函数，其定义域为，且在上单调递减，设，，则m，n的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据自变量的大小关系,结合函数的单调性和奇偶性,即可得到函数值的大小关系.
【详解】因为是偶函数，所以又，在上单调递减，所以
故选：D
5．下列函数不是偶函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据偶函数的定义，检验是否满足，即可求解.
【详解】A,B,C选项都满足，是偶函数，
，
D选项为奇函数，
故选：D
【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的判定，属于容易题.
6．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】利用为偶函数将所给式子的自变量全部转化到上，然后判断自变量的大小关系，根据自变量的大小关系及单调性判断.
【详解】∵定义在上的偶函数，
∴，，
又∵，，
∴，∴，
故选：C.
【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合运用，较容易，解答时转化并判断自变量的大小关系是关键.
7．已知奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得，结合函数的单调性分析可将不等式化为，解可得答案．
【详解】解：根据题意，函数为奇函数，若，则，
又函数在单调递减，，
，
∴，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，涉及抽象函数的应用，关键是求出的值．
8．设定义在R上的函数满足，且对任意，，当，都有，又，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据奇函数将转化为，进而转变为或，然后根据函数的单调性与奇偶性解不等式即可．
【详解】因为为奇函数，所以，
所以，
因为对任意，且，都有，
所以在单调递减，
因此在单调递减，
且，所以，
故或，
故或，
故选：D．
9．函数是定义在上的奇函数，且，则，的值分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】B
【分析】根据奇函数的性质可得，即可求出，再根据代入求出，即可得解.
【详解】解：是定义在上的奇函数，，解得 ，
则，
，.
故选：B
10．若函数是偶函数，且在[0,2]上是增函数，在上是减函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质进行转化判断即可．
【详解】解：∵f（x）是偶函数，且函数f（x）在[2，+∞）上是减函数，
∴f（4）＜f（3）＜f（2），
即f（﹣4）＜f（3）＜f（﹣2），
故选：C．
【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键．
11．下列函数中，在上是增函数的是
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】逐一考查所给函数的单调性：
A. 是上的减函数；
B. 在区间上单调递减，在区间上单调递增；
C. 在区间R上单调递减；
D. 在区间R上单调递减；
本题选择B选项.
12．设函数是以3为周期的奇函数，且，则
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：由题意，得．
考点：1．函数的奇偶性；2．函数的周期性．
13．关于函数的图象，下列说法正确的是：（）
A．图象关于原点对称B．图象关于轴对称
C．图象关于轴对称D．以上说法均不正确
【答案】A
【分析】判断出函数的奇偶性，由此判断出函数图像的对称性.
【详解】函数的定义域为，，故函数为奇函数，故图像关于原点对称.故选A.
【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性的判断，考查奇偶函数的图像的对称性，属于基础题.
14．函数为偶函数，且图象关于直线对称，，则（ ）
A．3B．4C．D．
【答案】B
【分析】利用函数的对称性和偶函数的性质进行求解即可.
【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以，
又因为函数为偶函数，所以，，
而函数的图象关于直线对称，所以.
故选：B
15．若定义域为R的奇函数在内单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据奇函数在内单调递减，得在上也单调递减，且，根据，得，再分类讨论，利用函数的单调性可求出结果.
【详解】因为奇函数在内单调递减，所以在上也单调递减，且，
因为，所以，
当，即时，，所以；
当，即时，不等式显然成立；
当，即时，，即，此时不等式无解；
当，即时，不等式显然成立；
当，即时，，即，所以，
综上所述：满足的的取值范围是.
故选：D
16．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】采用排除法，先判断函数的奇偶性，再带特殊点求函数值得出结果.
【详解】因为函数，定义域为，关于原点对称，
又，函数为奇函数，图像关于原点对称，排除A，C；
又当时，，排除选项D.
故选：B.
【点睛】思路点睛：函数图像的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图像.
17．已知是定义在R上的函数，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题知，故令，，则函数在区间上单调递增，再分类讨论求解即可.
【详解】解：因为对于任意，都有
所以，即
故令函数，，
所以函数在区间上单调递增，
所以当，显然满足，
当时，函数的对称轴为，故需满足，解得；
当时，函数的对称轴为，故需满足，解得；
综上，实数a的取值范围是
故选：B
18．已知是定义在R上的偶函数，且时，，则（ ）
A．B．C．2D．-2
【答案】C
【分析】先求得，再利用偶函数的性质去求的值即可解决
【详解】由时，，可得，
又是定义在R上的偶函数，则
故选：C
19．已知函数是定义在上的减函数，且对于任意实数，均有，设，若在其定义域上是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．，，B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用换元法令，由此可得，，计算可得的值，从而求得函数的解析式，和的函数解析式，根据分段函数的性质及单调性即可求得的取值范围．
【详解】函数是定义在上的减函数，且对于任意实数，均有，
令，则，即，
所以，解得，所以，
所以，
又因为在其定义域上是单调函数，
所以在上为减函数，
所以，解得或．
故选：．
【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的单调性，利用换元法求出函数的解析式是解本题的关键，分段函数的单调性需要每段都是单调的，并且注意分界点函数值的大小，属于中档题．
20．已知函数，若，则x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据所给分段函数的解析式，进行分类讨论进而得出x的取值范围.
【详解】若，则，，符合题意；
若，则，，此时只有符合题意；
若，则，，但因为，此时没有x符合题意.
故选：D.
【点睛】本题考查分段函数的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
二、多选题
21．下列函数中，既是奇函数又在区间是增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据函数的奇偶性和单调性的定义，对各选项的函数逐一判断即可．
【详解】A：是偶函数，故A错误；
B：是奇函数，且在是增函数，故B正确；
C：是奇函数，在为减函数，为增函数，故C错误；
D：是奇函数，且在是增函数，故D正确.
故选：BD.
22．若函数与的值域相同，但定义域不同，则称和是“同象函数”，已知函数，，则下列函数中与是“同象函数”的有（ ）
A．，B．，
C． ，D．，
【答案】ACD
【分析】分别求出各个选项中函数的值域，从而判断是否符合与的值域相同，但定义域不同，从而判断符合“同象函数”.
【详解】因为函数，，所以其定义域为，值域为；
对于选项A，，，其定义域为，值域为，是“同象函数”；
对于选项B，，，其定义域为，值域为，不是“同象函数”；
对于选项C， ，，其定义域为，值域为，是“同象函数”；
对于选项D，，，其定义域为，值域为，是“同象函数”.
故选：ACD
23．已知函数，则下列描述一定正确的是（ ）
A．为奇函数B．为偶函数
C．在R上是增函数D．的解集为
【答案】ACD
【分析】利用函数奇偶性的定义判断出为奇函数，A正确，B错误；
求出在上单调递增，结合函数奇偶性得到在R上是增函数，C正确；
根据函数奇偶性和单调性解不等式，得到D正确.
【详解】定义域为R，且，
故为奇函数，A正确，B错误；
当时，开口向上，对称轴为，
在上单调递增，
根据为奇函数，得到在R上是增函数，C正确；
因为为奇函数，故变形为，
又在R上是增函数，所以，
解得：，D正确..
故选：ACD
24．定义域为R的函数满足，且当时，.以下结论正确的是（ ）
A．为奇函数B．为偶函数
C．为增函数D．为减函数
【答案】AC
【解析】由题意，令x=y=0，可求得，令y=-x，代入条件，可求得的奇偶性，任取，且，利用定义法，结合题意，即可证明的单调性
【详解】因为对于任意x，y都有，
令x=y=0，则，即，
令y=-x，则，所以，
所以为奇函数，故A正确，
任取，且，
则，
因为，所以，
所以，即，
所以在R上为单调递增函数，故C正确，
故答案为：AC
25．下列函数中是偶函数的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】由偶函数的概念对选项逐一判断
【详解】对于A，函数定义域为R，，故A正确
对于B，函数定义域为，故B错误
对于C，函数定义域为R，，故C正确
对于D，函数定义域为R，，故D正确
故选：ACD
26．已知函数的定义域为，对任意实数x，y满足：，且时，当时，．则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．为上的减函数D．为奇函数
【答案】ABD
【分析】取，，得出，，的值进而判断A, B；由判断C；令结合奇偶性的定义判断D.
【详解】由已知，令，得，，令，得，，再令，得，，A，B正确；
，不是上的减函数，C错误；
令，得，，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于取特殊值结合奇偶性的定义判断奇偶性.
27．对任意两个实数，，定义若，，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．函数是偶函数B．方程有三个解
C．函数有4个单调区间D．函数有最大值为1，无最小值
【答案】ABCD
【分析】写出函数解析式，结合函数图象即可得解.
【详解】根据题意可得：，
作出函数图象可得：
所以该函数是偶函数，有三个零点，四个单调区间，当x=±1时取得最大值为1，无最小值.
故选：ABCD
【点睛】此题考查函数新定义问题，关键在于根据新定义写出函数解析式，作出函数图象便于解题.
28．已知表示不超过的最大整数，例如，等，定义，则下列结论正确的有（ ）
A．，
B．不等式的解集为
C．的值域为
D．是周期函数
【答案】CD
【分析】利用特殊值法可判断A选项的正误；解不等式可判断B选项的正误；取可判断C选项的正误；验证可判断D选项的正误.
【详解】对于A，当时，，，不满足，故A错误；
对于B，由可得，故的取值集合为，故，故B错误；
对于C，对于函数，若且，则，则，C选项正确；
对于D，对任意的，存在使得，则，
，故，
所以，，
故函数为周期函数，D选项正确.
故选：CD.
29．已知是定义在上的奇函数，满足，当时，，则下列结论正确的有（ ）
A．函数的图象关于直线对称B．函数是周期函数
C．函数在上单调递增D．函数有最小值
【答案】ABD
【分析】根据奇函数和可得，结合函数的对称性即可判断A；根据周期函数的定义即可判断B；利用函数的周期性与单调性即可判断C；根据函数的奇偶性和周期性即可判断D.
【详解】A.由题意知，，则，有，
所以函数图象关于直线对称，故A正确；
B.由，得，
所以4是函数的周期，故B正确；
C.由选项B可知，为的周期函数，
所以函数在上单调递增，即为函数在上单调递增.
又函数在上单调递增，由选项A可知函数图象关于直线对称，
则函数在上单调递减，所以函数在上不单调，故C错误；
D.由选项C的分析可知，在一个周期中，
函数在上单调递增，在上单调递减，
又为奇函数，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，故D正确.
故选：ABD
30．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为1B．的值域为
C．的最大值为2D．在上单调递减
【答案】ABC
【分析】根据各选项的表达式写出函数解析式并判断单调性，结合已知函数的定义确定各新函数的值域、最值.
【详解】A：，当时的最大值为1，故正确；
B：上递增，值域，故正确；
C：，当且仅当时取等号，故正确；
D：，在递增，故错误；
故选：ABC．
三、填空题
31．已知，对任意，都有成立，则实数的取值范围是___________
【答案】
【解析】可判断在上单调递增，列出式子即可求解.
【详解】对任意，都有成立，
在上单调递增，
，解得.
故答案为：.
【点睛】易错点睛：本题考查根据分段函数的单调性求参数范围，需满足分段函数每部分分别单调，还应注意在分段处的函数值大小问题，这是容易漏掉的地方.
32．若函数为定义在上的偶函数，则________．
【答案】4
【分析】根据函数是定义在上的偶函数，由求得a，再利用的图象关于轴对称，求得b即可．
【详解】偶函数的定义域为，则，解得，
所以，满足的图象关于轴对称，
所以对称轴，解得，则．
故答案为：4
33．如果 ，则的取值范围是___________．
【答案】．
【分析】先根据不等式的形式构造新函数，利用导数研究函数的单调性，再利用单调性解不等式即可
【详解】解：由已知得
令 ，则 对任意恒成立，于是在上单调减．
即
由在上单调递减得 ，解得
所以的取值范围是．
故答案为：
34．已知是R上的奇函数,且当时,,则_________.
【答案】
【解析】利用奇函数的性质以及题目所给时，的解析式，化简求得的值.
【详解】因为,,
所以.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，属于基础题.
35．是奇函数，且函数在上单调递增，则实数的取值范围是_________________
【答案】
【解析】结合奇函数性质有，可解得，画出函数图像，即可求解
【详解】由题可知：，即，解得，
所以，画出函数图像，如图：
函数图像的单增区间为，要满足函数在上单调递增，则有，解得
故答案为：
【点睛】本题考查由奇偶性求解具体参数，增减性求解具体参数范围，属于基础题
36．已知函数在上是偶函数，在中任意取两个不相等的实数,，都有恒成立，若，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】根据题意，得出函数在区间单调递减，进而得到函数的图象关于轴对称，把不等式，化为为，即可求解.
【详解】由题意，函数在区间都有恒成立，
可得函数在区间单调递减，
又由函数是上是偶函数，可得函数的图象关于轴对称，
因为，可得，
整理得， 解得或，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】求解函数不等式的方法：
1、解函数不等式的依据是函数的单调性的定义，
具体步骤：①将函数不等式转化为的形式；②根据函数的单调性去掉对应法则“”转化为形如：“”或“”的常规不等式，从而得解.
2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解.
37．记号表示，中取较大的数，如．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．若对任意，都有，则实数的取值范围是______．
【答案】
【详解】由题意，当时，令，故
解得，此时
故时，
令，故
解得，此时，
又因为函数是定义域上的奇函数，所以图象关于原点对称，且，
故时，
所以函数的图象如图所示，
要使得，根据图象的平移变换，
由图象分析可得且，解得且，即且.
故答案为：
【点睛】主要考查了分段函数图象与性质的综合应用，其中解答中借助新定义，得到函数在的解析式，并作出函数的图象，在根据函数的奇偶性，得到函数的图象，由，根据图象的变换得出相应的条件，即可求解的取值范围，解答中正确得到函数的图象，利用图象得到是解答关键.
38．若实数满足，称为函数的不动点.有下面三个命题：（1）若是二次函数，且没有不动点，则函数也没有不动点；（2）若是二次函数，则函数可能有个不动点；（3）若的不动点的个数是，则的不动点的个数不可能是；它们中所有真命题的序号是________________________.
【答案】（1）（2）（3）
【分析】（1）题意说明方程无实数根，即函数的图象与直线无交点，由此可得恒成立，或恒成立，由此可得结论．
（2）由是二次函数，则是四次函数，结合四次函数图象可判断．
（3）若有两个不动点，设为，则，（），用反证法证明不可能有3个不动点．
【详解】（1）设，由题意无实根，即函数的图象与直线无交点，
时，的图象在轴上方，
则对任意，恒成立，恒成立，
∴恒成立，
当时，的图象在轴下方，
则对任意，恒成立，恒成立，
∴恒成立．
综上不论还是，方程无实根，即无不动点，（1）正确；
（2）是二次函数，则是一元四次函数，是一元四次方程，可能是4个不同的实解，即有4个不动点．
如，有两个不动点和3，
而，
有4个不等实根．（2）正确；
（3）若有两个不动点，设为，则，（），
，
显然是方程的解，
若有3个不动点，则方程有两个相等的实根，且不是它的根．即，，即（*）
，，
，或，与（*）式矛盾，
∴不可能有3个不动点．（3）正确．
故答案为：（1）（2）（3）．
【点睛】本题考查函数的新定义，解题关键是对新定义的理解，不动点就是方程的解，可理解为函数图象与直线的交点．这样可利用函数的性质或用方程根的分布判断命题是否成立．
39．把函数f(x)＝x3－3x的图象C1向右平移u个单位长度，再向下平移v个单位长度后得到图象C2，若对任意u＞0，曲线C1与C2至多只有一个交点，则v的最小值为_________．
【答案】4
【详解】根据题意曲线C的解析式为则方程，即，即对任意恒成立，于是的最大值，令则由此知函数在（0，2）上为增函数，在上为减函数，所以当时，函数取最大值，即为4，于是，v的最小值为4
40．已知函数，若有，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【详解】∵，
∴函数在R上为增函数，
由题意得，
∴，
∵，
∴．
∴，解得．
∴实数的取值范围是．
答案：
点睛：本题考查了用函数单调性解不等式的问题，同时也考查了学生观察问题分析问题的能力，由题意得到是解题的关键，在此基础上将不等式化为
的形式，下一步需要由函数的单调性求解，在分析可得函数为增函数，所以根据单调性的定义将函数不等式转化为一般不等式求解．
四、解答题
41．已知函数，判断函数在(-2,+∞)上单调性并给出证明.
【答案】单调递增，证明见解析
【分析】利用函数单调性的定义，在给定区间内设并判断的大小关系即可求证单调性.
【详解】在(-2,+∞)上单调递增，
证明：∀∈(-2,+∞)，且，又=，
∴==，而，，，
∴<0，即，
∴在(-2,+∞)上单调递增.
42．求证：函数在区间上是增函数.
【答案】证明见解析
【分析】根据函数单调性的定义，取并结合解析式，判断的大小关系，即可证明结论.
【详解】证明：任取，.
又，，.
∴，则，即.
∴在区间上是增函数.
43．已知函数
（1）求证：在区间上是减函数；
（2）求证：是奇函数.
【答案】（1）证明减解析；（2）证明减解析.
【分析】（1）利用函数的单调性的定义证明；
（2）利用函数的奇偶性的定义证明.
【详解】（1）任取，且，
则，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
即
所以在区间上是减函数；
（2）因为，
所以定义域关于原点对称，
又，
所以是奇函数.
44．设函数的定义域为，当时，，且对任意，，都有，且．
（1）求，的值；
（2）证明：在上为单调递增函数；
（3）若有不等式成立，求的取值范围．
【答案】（1），（1）；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）利用赋值法即可求解.
（2）利用函数单调性定义即可证明.
（3）根据函数单调性可得，解不等式即可求解.
【详解】解（1）因为（2），
所以，
所以，
又因为（2）（1），且当时，，
所以（1）
（2）当时，，
所以，而，
所以，
所以，
对任意的，，当时，有，
因为，
所以，
所以，
即，
所以，
即，
所以在上是单调递增函数
（3）因为，
所以，而在上是单调递增函数，
所以，
即：，
所以，
所以，
所以的取值范围是
45．已知函数．
（1）若，判断函数在上的单调性，并用定义法加以证明；
（2）若，求函数在上的值域．
【答案】（1）见解析；（2）.
【分析】（1）根据得，得，进而利用单调性的定义证明即可；
（2）由条件得，进而可得在上单调递减，从而可得值域.
【详解】（1）由，解得，
所以，
可判断函数在上为减函数，证明如下：
任取，则
所以，所以函数在上为减函数；
（2）由，得，解得.
所以，易知该函数为为减函数，
所以，，
所以函数在上的值域为
46．已知函数的定义域是且，对定义域内的任意都有，且当时，，.
（1）求证：函数是偶函数；
（2）求证：在上是增函数；
（3）解不等式：.
【答案】（1）详见解析;（2）详见解析;（3）.
【分析】（1）通过赋值法得到，再通过定义法证明函数是偶函数；
（2）由构造，然后通过当时，，定号，进而解决单调性问题；
（3）利用题设，赋值可得，再利用条件将原不等式化为，结合在上是增函数解出不等式.
【详解】（1）证明：由题可知，令，则，
所以，，
令，则，
所以，，
对任意的都有，成立，
所以，函数是偶函数；
（2）证明：设为上任意两数，且，则
因为，则，
所以，，
所以，即
所以，在上是增函数；
（3）
所以不等式可化为
由（2）可知，在上是增函数
所以，
所以，，，且
所以，，
故原不等式的解集为.
47．若非零函数对任意实数a，b，均有，且当时，．
(1)求的值．
(2)求证：①任意，．②为减函数．
(3)当时，解不等式．
(4)若，求在上的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
(4)最大值和最小值分别是16，．
【分析】（1）令即得；
（2）用单调性的定义证明；
（3）将原不等式转化为，结合函数单调性求解；
（4）结合单调性即可求解.
【详解】（1）因为，，所以．
（2）①因为，所以．
②因为，
所以．任取，则，
所以．又因为恒成立，所以，
所以为减函数．
（3）由，
原不等式转化为，
结合单调性得：，所以，故不等式的解集为．
（4），，，，所以在上的最大值和最小值分别是16，．
48．已知函数，.
(1)求的值域；
(2)讨论在上的单调性；
(3)设，，证明：.
【答案】(1)；
(2)答案见解析；
(3)证明见解析
【分析】（1）利用基本不等式的性质即可求；
（2）求得解析式，令，可得，（），对a分类讨论，利用二次函数的性质及复合函数的单调性即可判断判断在上的单调性；
（3）由（2）可知，时，的最小值为，则，同理当时，的最小值可能是或，代入即可得到.
（1）
由基本不等式，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以的值域为；
（2）
，令，，设，
i. 当，即，
当时，，关于单调递减，单调递增，所以单调递减；
当时，，关于单调递增，单调递增，所以单调递增；
ii. 当时，即时，令，解得，，
当时，，关于单调递减，单调递增，所以单调递减；
当时，，关于单调递减，单调递减，所以单调递增；
当时，，关于单调递增，单调递减，所以单调递减；
当时，，关于单调递增，单调递增，所以单调递增；
综上可知，当时，在单调递减，在单调递增；
当时，在和单调递减，在和单调递增.
（3）
证明：i. 根据（2）的结论，时，的最小值为，
此时，，得，，所以，
ii. 时，的最小值可能是或，而，所以，
此时，，，且，所以，
综上可知，当时，.
49．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求函数的解析式；并写出函数的单调区间；
（2）函数在区间上的最小值为，求的值域.
【答案】（1），单调递增区间为，；单调递减区间为；（2）
【分析】（1）令，则，利用可求得在时的解析式；经验证，时满足所求解析式，进而可整理得到解析式；结合二次函数的图象和性质可得函数的单调区间；
（2）分别在、、和四种情况下，结合函数单调性可确定最小值，进而得到每一段区间上对应的值域，综合可得最终结果.
【详解】（1）当时，
为奇函数
为上的奇函数 ，满足
的单调递增区间为，；单调递减区间为
（2）当时，，即
当时，，即
当时，，即
当时，，即
综上所述：的值域为
【点睛】本题考查利用函数奇偶性求解函数解析式、函数单调区间的求解、函数最值和值域的求解问题；关键是能够结合分段函数的解析式，根据二次函数的性质确定最值取得的点.
50．已知是定义在上的奇函数，且，对任意的且 时，有成立．
（1）判断在上的单调性，并用定义证明；
（2）解不等式；
（3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或或.
【分析】（1）利用函数单调性的定义，结合函数为奇函数以及题目所给已知条件，证得，由此判断出函数在上递增.（2）根据函数的定义域和单调性列不等式组，解不等式组求得不等式的解集.（3）根据的单调性，将问题转化为，对恒成立问题来求解，构造函数，结合一次函数的性质列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】（1）证明任取且，则，
∵为奇函数，∴,
∴
由已知得，,
∴，即，∴在上单调递增．
(2)∵在上单调递增，∴，解得 .
不等式的解集为
(3)∵，在上单调递增，∴在上，.
问题转化为，即，对恒成立．
设.
①若，则，对恒成立．
②若，则为的一次函数，若，对恒成立，必须，且，∴或.
∴的取值范围是或或.
【点睛】本小题主要考查定义法判断函数的单调性，考查利用函数的单调性解抽象函数不等式，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
一、单选题
1．设函数，则（ ）．
A．有最大值B．有最大值C．有最小值D．有最小值
【答案】D
【分析】根据基本不等式即得.
【详解】因为函数，
所以 ，当且仅当，即时等号成立，
所以有最小值，无最大值.
故选：D.
2．已知函数在上是减函数，则，，的大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先比较的大小关系，进而利用函数单调性，确定，，的大小关系.
【详解】解：，又函数在上是减函数，
，
故选C.
【点睛】本题考查利用函数单调性来比较大小，是基础题.
3．已知定义在R上的奇函数f(x)满足，当时，，则=（ ）
A．20192B．1C．0D．
【答案】D
【分析】由可得函数的周期为4，然后利用周期对化简，再结合奇函数的性质和已知区间上的解析式可求得结果
【详解】因为，所以，
所以函数的周期为4，
因为为在R上的奇函数，且当时，，
所以，
故选：D
4．若是偶函数，其定义域为，且在上单调递减，设，，则m，n的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据自变量的大小关系,结合函数的单调性和奇偶性,即可得到函数值的大小关系.
【详解】因为是偶函数，所以又，在上单调递减，所以
故选：D
5．下列函数不是偶函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据偶函数的定义，检验是否满足，即可求解.
【详解】A,B,C选项都满足，是偶函数，
，
D选项为奇函数，
故选：D
【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的判定，属于容易题.
6．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】利用为偶函数将所给式子的自变量全部转化到上，然后判断自变量的大小关系，根据自变量的大小关系及单调性判断.
【详解】∵定义在上的偶函数，
∴，，
又∵，，
∴，∴，
故选：C.
【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合运用，较容易，解答时转化并判断自变量的大小关系是关键.
7．已知奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得，结合函数的单调性分析可将不等式化为，解可得答案．
【详解】解：根据题意，函数为奇函数，若，则，
又函数在单调递减，，
，
∴，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，涉及抽象函数的应用，关键是求出的值．
8．设定义在R上的函数满足，且对任意，，当，都有，又，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据奇函数将转化为，进而转变为或，然后根据函数的单调性与奇偶性解不等式即可．
【详解】因为为奇函数，所以，
所以，
因为对任意，且，都有，
所以在单调递减，
因此在单调递减，
且，所以，
故或，
故或，
故选：D．
9．函数是定义在上的奇函数，且，则，的值分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】B
【分析】根据奇函数的性质可得，即可求出，再根据代入求出，即可得解.
【详解】解：是定义在上的奇函数，，解得 ，
则，
，.
故选：B
10．若函数是偶函数，且在[0,2]上是增函数，在上是减函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质进行转化判断即可．
【详解】解：∵f（x）是偶函数，且函数f（x）在[2，+∞）上是减函数，
∴f（4）＜f（3）＜f（2），
即f（﹣4）＜f（3）＜f（﹣2），
故选：C．
【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键．
11．下列函数中，在上是增函数的是
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】逐一考查所给函数的单调性：
A. 是上的减函数；
B. 在区间上单调递减，在区间上单调递增；
C. 在区间R上单调递减；
D. 在区间R上单调递减；
本题选择B选项.
12．设函数是以3为周期的奇函数，且，则
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：由题意，得．
考点：1．函数的奇偶性；2．函数的周期性．
13．关于函数的图象，下列说法正确的是：（）
A．图象关于原点对称B．图象关于轴对称
C．图象关于轴对称D．以上说法均不正确
【答案】A
【分析】判断出函数的奇偶性，由此判断出函数图像的对称性.
【详解】函数的定义域为，，故函数为奇函数，故图像关于原点对称.故选A.
【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性的判断，考查奇偶函数的图像的对称性，属于基础题.
14．函数为偶函数，且图象关于直线对称，，则（ ）
A．3B．4C．D．
【答案】B
【分析】利用函数的对称性和偶函数的性质进行求解即可.
【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以，
又因为函数为偶函数，所以，，
而函数的图象关于直线对称，所以.
故选：B
15．若定义域为R的奇函数在内单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据奇函数在内单调递减，得在上也单调递减，且，根据，得，再分类讨论，利用函数的单调性可求出结果.
【详解】因为奇函数在内单调递减，所以在上也单调递减，且，
因为，所以，
当，即时，，所以；
当，即时，不等式显然成立；
当，即时，，即，此时不等式无解；
当，即时，不等式显然成立；
当，即时，，即，所以，
综上所述：满足的的取值范围是.
故选：D
16．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】采用排除法，先判断函数的奇偶性，再带特殊点求函数值得出结果.
【详解】因为函数，定义域为，关于原点对称，
又，函数为奇函数，图像关于原点对称，排除A，C；
又当时，，排除选项D.
故选：B.
【点睛】思路点睛：函数图像的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图像.
17．已知是定义在R上的函数，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题知，故令，，则函数在区间上单调递增，再分类讨论求解即可.
【详解】解：因为对于任意，都有
所以，即
故令函数，，
所以函数在区间上单调递增，
所以当，显然满足，
当时，函数的对称轴为，故需满足，解得；
当时，函数的对称轴为，故需满足，解得；
综上，实数a的取值范围是
故选：B
18．已知是定义在R上的偶函数，且时，，则（ ）
A．B．C．2D．-2
【答案】C
【分析】先求得，再利用偶函数的性质去求的值即可解决
【详解】由时，，可得，
又是定义在R上的偶函数，则
故选：C
19．已知函数是定义在上的减函数，且对于任意实数，均有，设，若在其定义域上是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．，，B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用换元法令，由此可得，，计算可得的值，从而求得函数的解析式，和的函数解析式，根据分段函数的性质及单调性即可求得的取值范围．
【详解】函数是定义在上的减函数，且对于任意实数，均有，
令，则，即，
所以，解得，所以，
所以，
又因为在其定义域上是单调函数，
所以在上为减函数，
所以，解得或．
故选：．
【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的单调性，利用换元法求出函数的解析式是解本题的关键，分段函数的单调性需要每段都是单调的，并且注意分界点函数值的大小，属于中档题．
20．已知函数，若，则x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据所给分段函数的解析式，进行分类讨论进而得出x的取值范围.
【详解】若，则，，符合题意；
若，则，，此时只有符合题意；
若，则，，但因为，此时没有x符合题意.
故选：D.
【点睛】本题考查分段函数的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
二、多选题
21．下列函数中，既是奇函数又在区间是增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据函数的奇偶性和单调性的定义，对各选项的函数逐一判断即可．
【详解】A：是偶函数，故A错误；
B：是奇函数，且在是增函数，故B正确；
C：是奇函数，在为减函数，为增函数，故C错误；
D：是奇函数，且在是增函数，故D正确.
故选：BD.
22．若函数与的值域相同，但定义域不同，则称和是“同象函数”，已知函数，，则下列函数中与是“同象函数”的有（ ）
A．，B．，
C． ，D．，
【答案】ACD
【分析】分别求出各个选项中函数的值域，从而判断是否符合与的值域相同，但定义域不同，从而判断符合“同象函数”.
【详解】因为函数，，所以其定义域为，值域为；
对于选项A，，，其定义域为，值域为，是“同象函数”；
对于选项B，，，其定义域为，值域为，不是“同象函数”；
对于选项C， ，，其定义域为，值域为，是“同象函数”；
对于选项D，，，其定义域为，值域为，是“同象函数”.
故选：ACD
23．已知函数，则下列描述一定正确的是（ ）
A．为奇函数B．为偶函数
C．在R上是增函数D．的解集为
【答案】ACD
【分析】利用函数奇偶性的定义判断出为奇函数，A正确，B错误；
求出在上单调递增，结合函数奇偶性得到在R上是增函数，C正确；
根据函数奇偶性和单调性解不等式，得到D正确.
【详解】定义域为R，且，
故为奇函数，A正确，B错误；
当时，开口向上，对称轴为，
在上单调递增，
根据为奇函数，得到在R上是增函数，C正确；
因为为奇函数，故变形为，
又在R上是增函数，所以，
解得：，D正确..
故选：ACD
24．定义域为R的函数满足，且当时，.以下结论正确的是（ ）
A．为奇函数B．为偶函数
C．为增函数D．为减函数
【答案】AC
【解析】由题意，令x=y=0，可求得，令y=-x，代入条件，可求得的奇偶性，任取，且，利用定义法，结合题意，即可证明的单调性
【详解】因为对于任意x，y都有，
令x=y=0，则，即，
令y=-x，则，所以，
所以为奇函数，故A正确，
任取，且，
则，
因为，所以，
所以，即，
所以在R上为单调递增函数，故C正确，
故答案为：AC
25．下列函数中是偶函数的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】由偶函数的概念对选项逐一判断
【详解】对于A，函数定义域为R，，故A正确
对于B，函数定义域为，故B错误
对于C，函数定义域为R，，故C正确
对于D，函数定义域为R，，故D正确
故选：ACD
26．已知函数的定义域为，对任意实数x，y满足：，且时，当时，．则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．为上的减函数D．为奇函数
【答案】ABD
【分析】取，，得出，，的值进而判断A, B；由判断C；令结合奇偶性的定义判断D.
【详解】由已知，令，得，，令，得，，再令，得，，A，B正确；
，不是上的减函数，C错误；
令，得，，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于取特殊值结合奇偶性的定义判断奇偶性.
27．对任意两个实数，，定义若，，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．函数是偶函数B．方程有三个解
C．函数有4个单调区间D．函数有最大值为1，无最小值
【答案】ABCD
【分析】写出函数解析式，结合函数图象即可得解.
【详解】根据题意可得：，
作出函数图象可得：
所以该函数是偶函数，有三个零点，四个单调区间，当x=±1时取得最大值为1，无最小值.
故选：ABCD
【点睛】此题考查函数新定义问题，关键在于根据新定义写出函数解析式，作出函数图象便于解题.
28．已知表示不超过的最大整数，例如，等，定义，则下列结论正确的有（ ）
A．，
B．不等式的解集为
C．的值域为
D．是周期函数
【答案】CD
【分析】利用特殊值法可判断A选项的正误；解不等式可判断B选项的正误；取可判断C选项的正误；验证可判断D选项的正误.
【详解】对于A，当时，，，不满足，故A错误；
对于B，由可得，故的取值集合为，故，故B错误；
对于C，对于函数，若且，则，则，C选项正确；
对于D，对任意的，存在使得，则，
，故，
所以，，
故函数为周期函数，D选项正确.
故选：CD.
29．已知是定义在上的奇函数，满足，当时，，则下列结论正确的有（ ）
A．函数的图象关于直线对称B．函数是周期函数
C．函数在上单调递增D．函数有最小值
【答案】ABD
【分析】根据奇函数和可得，结合函数的对称性即可判断A；根据周期函数的定义即可判断B；利用函数的周期性与单调性即可判断C；根据函数的奇偶性和周期性即可判断D.
【详解】A.由题意知，，则，有，
所以函数图象关于直线对称，故A正确；
B.由，得，
所以4是函数的周期，故B正确；
C.由选项B可知，为的周期函数，
所以函数在上单调递增，即为函数在上单调递增.
又函数在上单调递增，由选项A可知函数图象关于直线对称，
则函数在上单调递减，所以函数在上不单调，故C错误；
D.由选项C的分析可知，在一个周期中，
函数在上单调递增，在上单调递减，
又为奇函数，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，故D正确.
故选：ABD
30．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为1B．的值域为
C．的最大值为2D．在上单调递减
【答案】ABC
【分析】根据各选项的表达式写出函数解析式并判断单调性，结合已知函数的定义确定各新函数的值域、最值.
【详解】A：，当时的最大值为1，故正确；
B：上递增，值域，故正确；
C：，当且仅当时取等号，故正确；
D：，在递增，故错误；
故选：ABC．
三、填空题
31．已知，对任意，都有成立，则实数的取值范围是___________
【答案】
【解析】可判断在上单调递增，列出式子即可求解.
【详解】对任意，都有成立，
在上单调递增，
，解得.
故答案为：.
【点睛】易错点睛：本题考查根据分段函数的单调性求参数范围，需满足分段函数每部分分别单调，还应注意在分段处的函数值大小问题，这是容易漏掉的地方.
32．若函数为定义在上的偶函数，则________．
【答案】4
【分析】根据函数是定义在上的偶函数，由求得a，再利用的图象关于轴对称，求得b即可．
【详解】偶函数的定义域为，则，解得，
所以，满足的图象关于轴对称，
所以对称轴，解得，则．
故答案为：4
33．如果 ，则的取值范围是___________．
【答案】．
【分析】先根据不等式的形式构造新函数，利用导数研究函数的单调性，再利用单调性解不等式即可
【详解】解：由已知得
令 ，则 对任意恒成立，于是在上单调减．
即
由在上单调递减得 ，解得
所以的取值范围是．
故答案为：
34．已知是R上的奇函数,且当时,,则_________.
【答案】
【解析】利用奇函数的性质以及题目所给时，的解析式，化简求得的值.
【详解】因为,,
所以.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，属于基础题.
35．是奇函数，且函数在上单调递增，则实数的取值范围是_________________
【答案】
【解析】结合奇函数性质有，可解得，画出函数图像，即可求解
【详解】由题可知：，即，解得，
所以，画出函数图像，如图：
函数图像的单增区间为，要满足函数在上单调递增，则有，解得
故答案为：
【点睛】本题考查由奇偶性求解具体参数，增减性求解具体参数范围，属于基础题
36．已知函数在上是偶函数，在中任意取两个不相等的实数,，都有恒成立，若，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】根据题意，得出函数在区间单调递减，进而得到函数的图象关于轴对称，把不等式，化为为，即可求解.
【详解】由题意，函数在区间都有恒成立，
可得函数在区间单调递减，
又由函数是上是偶函数，可得函数的图象关于轴对称，
因为，可得，
整理得， 解得或，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】求解函数不等式的方法：
1、解函数不等式的依据是函数的单调性的定义，
具体步骤：①将函数不等式转化为的形式；②根据函数的单调性去掉对应法则“”转化为形如：“”或“”的常规不等式，从而得解.
2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解.
37．记号表示，中取较大的数，如．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．若对任意，都有，则实数的取值范围是______．
【答案】
【详解】由题意，当时，令，故
解得，此时
故时，
令，故
解得，此时，
又因为函数是定义域上的奇函数，所以图象关于原点对称，且，
故时，
所以函数的图象如图所示，
要使得，根据图象的平移变换，
由图象分析可得且，解得且，即且.
故答案为：
【点睛】主要考查了分段函数图象与性质的综合应用，其中解答中借助新定义，得到函数在的解析式，并作出函数的图象，在根据函数的奇偶性，得到函数的图象，由，根据图象的变换得出相应的条件，即可求解的取值范围，解答中正确得到函数的图象，利用图象得到是解答关键.
38．若实数满足，称为函数的不动点.有下面三个命题：（1）若是二次函数，且没有不动点，则函数也没有不动点；（2）若是二次函数，则函数可能有个不动点；（3）若的不动点的个数是，则的不动点的个数不可能是；它们中所有真命题的序号是________________________.
【答案】（1）（2）（3）
【分析】（1）题意说明方程无实数根，即函数的图象与直线无交点，由此可得恒成立，或恒成立，由此可得结论．
（2）由是二次函数，则是四次函数，结合四次函数图象可判断．
（3）若有两个不动点，设为，则，（），用反证法证明不可能有3个不动点．
【详解】（1）设，由题意无实根，即函数的图象与直线无交点，
时，的图象在轴上方，
则对任意，恒成立，恒成立，
∴恒成立，
当时，的图象在轴下方，
则对任意，恒成立，恒成立，
∴恒成立．
综上不论还是，方程无实根，即无不动点，（1）正确；
（2）是二次函数，则是一元四次函数，是一元四次方程，可能是4个不同的实解，即有4个不动点．
如，有两个不动点和3，
而，
有4个不等实根．（2）正确；
（3）若有两个不动点，设为，则，（），
，
显然是方程的解，
若有3个不动点，则方程有两个相等的实根，且不是它的根．即，，即（*）
，，
，或，与（*）式矛盾，
∴不可能有3个不动点．（3）正确．
故答案为：（1）（2）（3）．
【点睛】本题考查函数的新定义，解题关键是对新定义的理解，不动点就是方程的解，可理解为函数图象与直线的交点．这样可利用函数的性质或用方程根的分布判断命题是否成立．
39．把函数f(x)＝x3－3x的图象C1向右平移u个单位长度，再向下平移v个单位长度后得到图象C2，若对任意u＞0，曲线C1与C2至多只有一个交点，则v的最小值为_________．
【答案】4
【详解】根据题意曲线C的解析式为则方程，即，即对任意恒成立，于是的最大值，令则由此知函数在（0，2）上为增函数，在上为减函数，所以当时，函数取最大值，即为4，于是，v的最小值为4
40．已知函数，若有，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【详解】∵，
∴函数在R上为增函数，
由题意得，
∴，
∵，
∴．
∴，解得．
∴实数的取值范围是．
答案：
点睛：本题考查了用函数单调性解不等式的问题，同时也考查了学生观察问题分析问题的能力，由题意得到是解题的关键，在此基础上将不等式化为
的形式，下一步需要由函数的单调性求解，在分析可得函数为增函数，所以根据单调性的定义将函数不等式转化为一般不等式求解．
四、解答题
41．已知函数，判断函数在(-2,+∞)上单调性并给出证明.
【答案】单调递增，证明见解析
【分析】利用函数单调性的定义，在给定区间内设并判断的大小关系即可求证单调性.
【详解】在(-2,+∞)上单调递增，
证明：∀∈(-2,+∞)，且，又=，
∴==，而，，，
∴<0，即，
∴在(-2,+∞)上单调递增.
42．求证：函数在区间上是增函数.
【答案】证明见解析
【分析】根据函数单调性的定义，取并结合解析式，判断的大小关系，即可证明结论.
【详解】证明：任取，.
又，，.
∴，则，即.
∴在区间上是增函数.
43．已知函数
（1）求证：在区间上是减函数；
（2）求证：是奇函数.
【答案】（1）证明减解析；（2）证明减解析.
【分析】（1）利用函数的单调性的定义证明；
（2）利用函数的奇偶性的定义证明.
【详解】（1）任取，且，
则，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
即
所以在区间上是减函数；
（2）因为，
所以定义域关于原点对称，
又，
所以是奇函数.
44．设函数的定义域为，当时，，且对任意，，都有，且．
（1）求，的值；
（2）证明：在上为单调递增函数；
（3）若有不等式成立，求的取值范围．
【答案】（1），（1）；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）利用赋值法即可求解.
（2）利用函数单调性定义即可证明.
（3）根据函数单调性可得，解不等式即可求解.
【详解】解（1）因为（2），
所以，
所以，
又因为（2）（1），且当时，，
所以（1）
（2）当时，，
所以，而，
所以，
所以，
对任意的，，当时，有，
因为，
所以，
所以，
即，
所以，
即，
所以在上是单调递增函数
（3）因为，
所以，而在上是单调递增函数，
所以，
即：，
所以，
所以，
所以的取值范围是
45．已知函数．
（1）若，判断函数在上的单调性，并用定义法加以证明；
（2）若，求函数在上的值域．
【答案】（1）见解析；（2）.
【分析】（1）根据得，得，进而利用单调性的定义证明即可；
（2）由条件得，进而可得在上单调递减，从而可得值域.
【详解】（1）由，解得，
所以，
可判断函数在上为减函数，证明如下：
任取，则
所以，所以函数在上为减函数；
（2）由，得，解得.
所以，易知该函数为为减函数，
所以，，
所以函数在上的值域为
46．已知函数的定义域是且，对定义域内的任意都有，且当时，，.
（1）求证：函数是偶函数；
（2）求证：在上是增函数；
（3）解不等式：.
【答案】（1）详见解析;（2）详见解析;（3）.
【分析】（1）通过赋值法得到，再通过定义法证明函数是偶函数；
（2）由构造，然后通过当时，，定号，进而解决单调性问题；
（3）利用题设，赋值可得，再利用条件将原不等式化为，结合在上是增函数解出不等式.
【详解】（1）证明：由题可知，令，则，
所以，，
令，则，
所以，，
对任意的都有，成立，
所以，函数是偶函数；
（2）证明：设为上任意两数，且，则
因为，则，
所以，，
所以，即
所以，在上是增函数；
（3）
所以不等式可化为
由（2）可知，在上是增函数
所以，
所以，，，且
所以，，
故原不等式的解集为.
47．若非零函数对任意实数a，b，均有，且当时，．
(1)求的值．
(2)求证：①任意，．②为减函数．
(3)当时，解不等式．
(4)若，求在上的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
(4)最大值和最小值分别是16，．
【分析】（1）令即得；
（2）用单调性的定义证明；
（3）将原不等式转化为，结合函数单调性求解；
（4）结合单调性即可求解.
【详解】（1）因为，，所以．
（2）①因为，所以．
②因为，
所以．任取，则，
所以．又因为恒成立，所以，
所以为减函数．
（3）由，
原不等式转化为，
结合单调性得：，所以，故不等式的解集为．
（4），，，，所以在上的最大值和最小值分别是16，．
48．已知函数，.
(1)求的值域；
(2)讨论在上的单调性；
(3)设，，证明：.
【答案】(1)；
(2)答案见解析；
(3)证明见解析
【分析】（1）利用基本不等式的性质即可求；
（2）求得解析式，令，可得，（），对a分类讨论，利用二次函数的性质及复合函数的单调性即可判断判断在上的单调性；
（3）由（2）可知，时，的最小值为，则，同理当时，的最小值可能是或，代入即可得到.
（1）
由基本不等式，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以的值域为；
（2）
，令，，设，
i. 当，即，
当时，，关于单调递减，单调递增，所以单调递减；
当时，，关于单调递增，单调递增，所以单调递增；
ii. 当时，即时，令，解得，，
当时，，关于单调递减，单调递增，所以单调递减；
当时，，关于单调递减，单调递减，所以单调递增；
当时，，关于单调递增，单调递减，所以单调递减；
当时，，关于单调递增，单调递增，所以单调递增；
综上可知，当时，在单调递减，在单调递增；
当时，在和单调递减，在和单调递增.
（3）
证明：i. 根据（2）的结论，时，的最小值为，
此时，，得，，所以，
ii. 时，的最小值可能是或，而，所以，
此时，，，且，所以，
综上可知，当时，.
49．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求函数的解析式；并写出函数的单调区间；
（2）函数在区间上的最小值为，求的值域.
【答案】（1），单调递增区间为，；单调递减区间为；（2）
【分析】（1）令，则，利用可求得在时的解析式；经验证，时满足所求解析式，进而可整理得到解析式；结合二次函数的图象和性质可得函数的单调区间；
（2）分别在、、和四种情况下，结合函数单调性可确定最小值，进而得到每一段区间上对应的值域，综合可得最终结果.
【详解】（1）当时，
为奇函数
为上的奇函数 ，满足
的单调递增区间为，；单调递减区间为
（2）当时，，即
当时，，即
当时，，即
当时，，即
综上所述：的值域为
【点睛】本题考查利用函数奇偶性求解函数解析式、函数单调区间的求解、函数最值和值域的求解问题；关键是能够结合分段函数的解析式，根据二次函数的性质确定最值取得的点.
50．已知是定义在上的奇函数，且，对任意的且 时，有成立．
（1）判断在上的单调性，并用定义证明；
（2）解不等式；
（3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或或.
【分析】（1）利用函数单调性的定义，结合函数为奇函数以及题目所给已知条件，证得，由此判断出函数在上递增.（2）根据函数的定义域和单调性列不等式组，解不等式组求得不等式的解集.（3）根据的单调性，将问题转化为，对恒成立问题来求解，构造函数，结合一次函数的性质列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】（1）证明任取且，则，
∵为奇函数，∴,
∴
由已知得，,
∴，即，∴在上单调递增．
(2)∵在上单调递增，∴，解得 .
不等式的解集为
(3)∵，在上单调递增，∴在上，.
问题转化为，即，对恒成立．
设.
①若，则，对恒成立．
②若，则为的一次函数，若，对恒成立，必须，且，∴或.
∴的取值范围是或或.
【点睛】本小题主要考查定义法判断函数的单调性，考查利用函数的单调性解抽象函数不等式，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
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