专题3.3 幂函数-【初升高衔接】2023年新高一数学初升高考点必杀50题（人教A版2019）（原卷版+解析版）

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一、单选题
1．下列命题中正确的是（ ）
A．当时，函数的图象是一条直线
B．幂函数的图象不可能出现在第四象限
C．幂函数的图象都经过和
D．若幂函数的图象关于原点对称，则是定义域上的减函数
【答案】B
【解析】根据幂函数的图象及性质即可判断各选项的正误.
【详解】A：函数的定义域是，故是去掉点的直线，错误.
B：由幂函数图象知：不可能出现在第四象限，正确.
C：函数不过，错误.
D：幂函数的图象关于原点对称，则是定义域上的增函数，错误.
故选：B
2．已知幂函数的图像关于轴对称，则等于（ ）
A．1B．2C．1或2D．3
【答案】A
【分析】根据幂函数以及幂函数的对称性确定正确答案.
【详解】由于函数是幂函数，所以，解得或.
当时，，是偶函数，图像关于轴对称，符合题意.
当时，，是奇函数，图像不关于轴对称，不符合题意.
所以的值为.
故选：A
3．已知幂函数在内单调递增，则的值为（ ）
A．3B．C．3或D．-2
【答案】A
【分析】由幂函数的定义及幂函数的图象与性质即可求解.
【详解】解：因为幂函数在内单调递增，
所以，解得，
故选：A.
4．已知幂函数在上是减函数，则的值为（ ）
A．1或B．1C．D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的定义和单调性求得的值.
【详解】依题意是幂函数，所以，解得或.
当时，在递增，不符合题意.
当时，在递减，符合题意.
故选：D
5．已知幂函数的图象不过原点，则的值为
A．0B．-1C．2D．0或2
【答案】A
【分析】根据函数是幂函数可知，得出：或，然后验证，得到的值.
【详解】函数是幂函数，
，解得：或，
当时，，过原点，不满足条件；
当时，，不过原点，满足条件，
.
故选:A.
【点睛】本题考查幂函数的解析式和函数性质，形如的函数是幂函数，熟记和时，函数的性质和图象是解题 的关键，本题主要考查基础知识的掌握情况.
6．下列大小比较正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由指数函数的单调性可判断A；由对数函数的单调性可判断B；由幂函数的单调性可判断C；由余弦函数值可判断D.
【详解】由在上是增函数，知，故A错误；
由在上是减函数，知，故B错误；
由在上是减函数，知，故C正确；
由，知，故D错误.
故选：C
【点睛】本题考查比较大小的问题，涉及到指数函数、对数函数、幂函数的单调性以及余弦函数，是一道容易题.
7．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据对数的单调性，指数函数的单调性，幂函数的单调性求解即可.
【详解】因为，，
所以．
故选：B
8．下列四个函数中，在区间上是减函数的是
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】A.在上是增函数，在上是增函数，故错；B. 在上是减函数，在上是减函数，故对；C. 在上是增函数，在上是增函数，故错；D. 在上是增函数，在上是增函数，故错；故选B.
9．已知则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a【答案】D
【解析】利用指数函数的性质，中间数0、幂函数、对数函数的单调性可得的大小关系.
【详解】由指数函数性质知
又为单调减函数，知
又且为增函数，
所以，即，故，
故选：D.
【点睛】本题考查指数、对数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递，属于基础题.
10．如果幂函数的图象经过点，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将点代入即可求解.
【详解】将点代入可得，即，可得：，
解得：，
故选：D
11．若，则使幂函数为奇函数且在上单调递减的值的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】本题首先可根据幂函数在上单调递减得出，然后根据奇函数性质依次判断即可.
【详解】因为幂函数在上单调递减，所以，
因为幂函数为奇函数，所以且定义域关于轴对称，
若，则，不满足；
若，则，满足；
若，此时，，不满足，
综上所述，，
故选：A.
12．设，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据指数函数与幂函数的单调性判断的大小关系.
【详解】因为函数在上是增函数，所以，即，又因为函数在上是增函数，所以，所以，故.
故选：C
13．函数与在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据一次函数和幂函数的图象，依次判断选项即可得到答案.
【详解】对选项A，由一次函数的图象，可得，函数的图象不符合；
对选项B，由一次函数的图象，可得，函数的图象不符合；
对选项C，由一次函数的图象，可得，函数的图象不符合；
对选项D，由一次函数的图象，可得，函数的图象符合.
故选：D
【点睛】本题主要考查一次函数和幂函数的图象，属于简单题.
14．当时，幂函数为减函数，则实数m的值为（ ）
A．B．
C．或D．以上都不正确
【答案】B
【分析】根据幂函数的定义和单调性即得.
【详解】因为函数既是幂函数又是的减函数，
所以，
解得：.
故选：B.
15．已知点在幂函数的图象上，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意得，解得，从而得出函数解析式，再根据幂函数的单调性即可得出结论．
【详解】解：点在幂函数的图象上，
∴，解得，
，
∴在上单调递增，
又，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查幂函数的定义及其单调性的应用，属于基础题．
16．下列函数中，在区间上为减函数的是
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：A中函数不具有单调性；B中函数为减函数；C中函数为增函数；D中函数为增函数
考点：函数单调性
17．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（-2）=0，则关于x的不等式（x-1）f（x-1）＜0的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】结合函数奇偶性和单调性的关系，将不等式转化为不等式组进行求解即可．
【详解】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（-2）=0，
∴f（x）在（-∞，0）上单调递增，且f（2）=0，
则不等式（x-1）f（x-1）＜0等价为或
即x-1＞2或-2＜x-1＜0，
得x＞3或-1＜x＜1，
即不等式的解集为（-1，1）∪（3，+∞），
故选D．
【点睛】本题考查不等式的求解，结合函数奇偶性和单调性的关系进行转化是解决本题的关键．
18．已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出分段函数在各段上的函数值集合，再根据给定值域，列出不等式求解作答.
【详解】函数在上单调递减，其函数值集合为，
当时，的取值集合为，的值域，不符合题意，
当时，函数在上单调递减，其函数值集合为，
因函数的值域为，则有，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：D
19．幂函数，及直线，将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ（如图所示），那么幂函数的图像在第一象限中经过的“卦限”是（ ）
A．Ⅳ和ⅦB．Ⅳ和ⅧC．Ⅲ和ⅧD．Ⅲ和Ⅶ
【答案】D
【分析】根据幂函数的图像与性质,结合当指数变化时的规律,即可判断出的图像在第一象限中经过的“卦限”
【详解】在直线左侧,幂函数的指数越大月接近轴.因为,所以在左侧部分位于的右侧,即Ⅲ 内;
在直线右侧,幂函数的指数越小越接近轴,因为,所以在右侧部分位于的下方侧,即Ⅶ 内;
综上可知, 函数的图像在第一象限中经过的“卦限”是Ⅲ 和Ⅶ
故选:D
【点睛】本题考查了幂函数的图像与性质,幂函数的图像与指数的变化关系,属于中档题.
20．已知实数a，b，c满足，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分别求出，，的大致范围，即可比较，，的大小.
【详解】由题意得，，故；
，
因，根据对勾函数得，因此；
由勾股数可知，又因且，故；
因此.
故选：C.
【点睛】指数式、对数式的大小比较，常利用函数的单调性或中间值进行比较，要根据具体式子的特点，选择恰当的函数，有时还需要借助幂函数比较.对于比较的式子，要先化简转化，再比较大小.
二、多选题
21．下列四个命题中不正确的是（ ）
A．
B．是定义域上的减函数
C．和表示同一个函数
D．幂函数的图象都过点（1，1）
【答案】ABC
【分析】根据空集，函数的单调性，以及相等函数的定义，幂函数的性质，判断选项.
【详解】A.不含任何元素，所以，故A错误；
B.的减区间是和，但不能说在定义域上是减函数，故B错误；
C. 的定义域为，而的定义域是，所以两个函数不是同一函数故C错误；
D.根据幂函数的性质可知，幂函数都过点，故D正确.
故选：ABC
22．下列关于幂函数描述正确的有（ ）
A．幂函数的图象必定过定点和
B．幂函数的图象不可能过第四象限
C．当幂指数时，幂函数是奇函数
D．当幂指数时，幂函数是增函数
【答案】BD
【分析】依据幂函数的性质逐一判断选项即可．
【详解】解：选项A：幂函数的图象必定过定点，不一定过，例，故A错误；
选项B：幂函数的图象不可能过第四象限，正确；
选项C：当幂指数时，幂函数不是奇函数，故C错误；
选项D：当幂指数时，幂函数是增函数，正确；
故选：BD
23．已知函数是幂函数，则m的值为（ ）
A．B．C．1D．3
【答案】AC
【分析】由幂函数的定义可得，且，解方程求出的值.
【详解】因为函数是幂函数，
所以，
解得或.
故选：AC.
24．下列函数f(x)中，满足对任意有的是（ ）
A．B．C．D．f(x)=|x-1|
【答案】ABD
【解析】由题意可得只需满足函数在区间上单调递增即可.
【详解】对任意有，
则函数在区间上为增函数，
对于A，，由二次函数的图像与性质可知满足题意，故A可选；
对于B，，根据幂函数的性质，函数在区间上为增函数，故B可选；
对于C，，函数在区间上为减函数，故C不选；
对于D， ，显然函数在区间上为增函数，故D可选；
故选：ABD
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、幂函数的单调性、分段函数的单调性，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
25．下列说法正确的是（ ）．
A．命题“，有”的否定是“，使得”
B．幂函数为偶函数
C．的单调减区间为
D．函数的图象与y轴的交点至多有1个
【答案】AD
【分析】对于A，由全称命题的否定的方法即可判断其说法正确；
对于B，先由幂函数的概念化简，再利用奇偶性的判断方法判断的奇偶性；
对于C，化简易得其单调递减区间；
对于D，利用函数的概念即可判断其说法正确.
【详解】对于A，全称命题的否定的方法：改符号，否结论，故A说法正确；
对于B，因为为幂函数，所以，解得或，
当时，，则，显然，故为奇函数，故B说法错误；
注：此时已经判断得B错误，故不再讨论的情况；
对于C，因为，由反比例函数易知的单调递减区间为，，注意两区间是分开的，不能用并集符号，故C错误；
对于D，由函数的概念可知，一个自变量对应至多一个因变量，因此当时，可能没有取值，也可能只有一个取值，故的图象与y轴的交点至多有1个，故D正确.
故选：AD.
26．若函数是幂函数，则一定（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．在上单调递减D．在上单调递增
【答案】BD
【解析】根据函数是幂函数，由求得m，再逐项判断.
【详解】因为函数是幂函数，
所以，
解得或，
所以或，
由幂函数性质知是奇函数且单调递增，
故选：BD.
27．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】由函数奇偶性的定义及指数函数与幂函数的性质即可求解.
【详解】解：对A：，定义域为R，因为，所以为偶函数，且时，，由幂函数的性质知函数在上单调递增，故选项A正确；
对B：，定义域为R，因为，所以为奇函数，故选项B错误；
对C：，定义域为R，因为，所以函数为偶函数，且时，，由指数函数的性质知函数在上单调递增，故选项C正确；
对D：，定义域为R，因为，且，所以函数不具有奇偶性，故选项D错误.
故选：AC.
28．幂函数在上是增函数，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．函数在上单调递增
C．函数是偶函数
D．函数的图象关于原点对称
【答案】ABD
【分析】根据幂函数的定义与性质得到方程（不等式）组，解得，即可得到，从而判断可得；
【详解】解：因为幂函数在上是增函数，
所以，解得，所以，
所以，故为奇函数，函数图象关于原点对称，
所以在上单调递增；
故选：ABD
29．已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据条件表示出，即可分别判断各个选项的正误.
【详解】，又，即，
由得，则，得，则，所以A正确；可知，，则，故C正确；
对于B：∵B错；
对于D：由和知与均递减，
再由，的大小关系知D正确.
故选：ACD.
【点睛】本题考查指数式和对数式的互换，考查大小的判断，属于基础题.
30．已知点在幂函数的图像上，则函数是（ ）
A．奇函数B．上的增函数
C．偶函数D．上的减函数
【答案】BC
【分析】由幂函数定义可得，将代入解析式可得，后可判断奇偶性与单调性.
【详解】由题意得，因此，则点在幂函数的图像上，，则，故.则是偶函数，且在上是增函数.
故选：BC
三、填空题
31．函数的定义域为__________.
【答案】
【分析】依照偶次根式大于等于0，分母不为0，列出关系式求解即可.
【详解】函数解析式为，则，解得.
因此，函数的定义域为.
故答案为：.
【点睛】本题考查求具体函数的定义域，熟悉各类函数定义域的要求是解题的关键，属于基础题.
32．若幂函数的图像过点，则______.
【答案】
【分析】设出，代入点，求出，从而求出解析式，从而求出.
【详解】设，将代入，，解得：，
故，.
故答案为：-1
33．函数恒过定点______．
【答案】
【分析】令即可求得定点坐标.
【详解】当，即时，，函数恒过定点.
故答案为：.
34．已知函数在实数集上是奇函数，且当时，，则__________．
【答案】1
【详解】根据题意知函数在实数集上是奇函数，则
∵当当时，．
∵函数在实数集上是奇函数， ， ．

即答案为1
35．幂函数的单调增区间是___________
【答案】
【详解】由题意得 单调增区间是
36．幂函数在区间上是减函数，则__________.
【答案】0
【分析】由幂函数在上的单调性，可得幂指数正负的不等式，求出m的范围即可得解.
【详解】因幂函数在区间上是减函数，则，
解得，而，则0.
故答案为：0
37．已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，则__________.
【答案】0
【详解】分析：由函数的奇偶性分别得，，
从而得，进而得解.
详解：，.
由是定义在上的奇函数，可得.
又是定义在上的偶函数，所以.
综上可得.
所以.
故答案为0.
点睛：本题中主要考查了函数的奇偶性的性质，以及抽象复合函数的奇偶性，属于难点，需要区别以下难点：
是偶函数，则，是奇函数，则，
是偶函数，则，是奇函数，则.
38．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，那么_____．
【答案】
【分析】根据奇函数f（0）=0，求出m的值，利用f(-1)=-f(1)即可得到答案.
【详解】∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，∴m=-1，,
∴f（-1）=-f（1）=-（-1+ ）=
故答案为
【点睛】本题考查函数的奇偶性，根据奇偶性的定义求出m值，是解决该类问题的关键．
39．设f(x)是定义在R上周期为2的函数，当x∈(-1，1]时，，其中m∈R.若f()=f()，则m的值是___________.
【答案】
【分析】分别计算f()和f()，解方程求出m.
【详解】
由f()=f()可得：，解得：
故答案为：1
40．已知，则________．
【答案】-4.
【分析】根据题意，平方求得，进而得到，再根据幂函数的单调性，得到，即可求解．
【详解】由，则，解得，
又由
因为，根据幂函数的单调性，可得，即，
所以，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了幂函数的性质及其应用，其中解答中根据题意，求得，进而得到，再利用幂函数的性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
四、解答题
41．作出函数的图像.
【答案】图像见解析
【分析】根据幂函数的性质，作图即可.
【详解】解：图像如下．
42．已知幂函数为偶函数，．
(1)求的解析式；
(2)若对于恒成立，求k的取值范围.
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）首先根据幂函数定义得到或，再根据为偶函数判断即可.
（2）首先讲题意转化为对于恒成立，再分类讨论求解即可.
【详解】（1）因为幂函数为偶函数，
所以，解得或.
当时，，定义域为R，，
所以为偶函数，符合条件.
当时，，定义域为R，，
所以为奇函数，舍去.
所以.
（2）因为，
所以对于恒成立，
等价于对于恒成立，
①，
②，
③，
综上：
43．已知幂函数的图像经过点()，函数为奇函数.
(1)求幂函数的解析式及实数a的值；
(2)判断函数f（x）在区间（-1，1）上的单调性，并用的数单调性定义证明
【答案】(1)；
(2)在（-1，1）上单调递增，证明见解析
【分析】（1）首先代点，求函数的解析式，利用奇函数的性质，求，再验证；
（2）根据函数单调性的定义，设，作差，判断符号，即可判断函数的单调性.
【详解】（1）由条件可知，所以，即，
，
因为是奇函数，所以，即，
满足是奇函数，所以成立；
（2）由（1）可知，
在区间上任意取值，且，
，
因为，所以，，
所以，
即，
所以函数在区间上单调递增.
44．已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数.
（1）求函数的解析式；
（2）设函数，若对任意的恒成立，求实数c的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由单调性确定的范围，再由奇偶性确定值；
（2）由二次函数性质求解．
【详解】（1）在区间上是单调增函数，即，解得.
又，.
当时，不是偶函数；
当时，是偶函数.
故函数的解析式为.
（2）由（1）知，则.
对任意的恒成立，，且.又，，解得.
故实数c的取值范围是.
【点睛】本题考查幂函数的奇偶性与单调性，考查二次函数恒成立问题．属于中档题
45．在同一平面直角坐标系中，作出下列函数的图像，总结出一般规律：
（1）和；（2）和.
【答案】见解析.
【分析】（1）在同一平面直角坐标系中，作出函数的图像；
（2）在同一平面直角坐标系中，作出函数的图像，
对比两组函数解析式的特点和函数函数的图像的特征写出一般规律.
【详解】解：（1）图像如图.
（2）图像如下：
一般规律：
①幂函数图像都过点；
②幂函数中，当时，它在第一象限内图像上升，是增函数；当时，它在第一象限内图像下降，是减函数.
【点睛】本题考查了画幂函数的图像，考查了幂函数的性质，考查了数形结合思想.
46．已知函数.
（1）判断函数在区间上的单调性并证明；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）减函数，证明见详解；
（2）的最大值为；最小值为
【分析】（1）函数在区间上是减函数，在上任取两个实数，且，最后判定的符号，得出结论；
（2）利用函数在区间上的单调性可求出函数最大值和最小值；
【详解】（1）函数在区间上是减函数，
证明如下：设是区间上任意两个实数，且，
则，
，
、，，
，即
所以函数在区间上是减函数.
（2）由（1）可知函数在区间上是减函数，
所以当时，取得最大值，最大值为，
当时，取得最小值，最小值为.
【点睛】本题主要考查利用定义证明函数的单调性、根据函数的单调性求最值，用定义证明单调性步骤：“，任取、作差、变形、定号”，属于基础题.
47．已知函数是幂函数.
(1)求函数的解析式;
(2)判断函数的奇偶性,并证明你的结论;
(3)判断函数在上的单调性,并证明你的结论.
【答案】(1);(2)函数为偶函数;(3)在上单调递减,证明见解析.
【解析】（1）根据幂函数定义即可得的值，可得函数的解析式；
（2）利用奇偶性定义即可知函数的奇偶性；
（3）利用函数单调性定义即可证明函数在上的单调性.
【详解】（1）因为函数是幂函数，
则，
解得，
故．
（2）函数为偶函数．
证明如下：由（1）知，其定义域为关于原点对称，
因为对于定义域内的任意，都有
，
故函数为偶函数．
（3）在上单调递减．
证明如下：在上任取，，不妨设，
则
，
且，
，
在上单调递减.
【点睛】本题主要考查的是幂函数，函数的奇偶性、单调性，主要是它们定义的应用，考查学生的计算能力，是基础题.
48．已知函数．
（1）若函数为奇函数，求实数a的值；
（2）若对任意的[﹣1，1]，不等式在[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若在处取得极小值，且(0，3)，求实数a的取值范围．
【答案】（1）a=0.（2）m＞17（3）
【分析】（1）根据函数的奇偶性的概念得到参数值；（2）原题转化为，对恒成立，对函数求导研究函数的单调性得到函数的最值进而得到参数值；（3）对函数求导得到时，，时，，列式得到，解出a的范围.
【详解】（1）为奇函数，则，求得a=0.
（2）若，则
令，对恒成立，则
∴对恒成立，令
，令.则
，∵17＞13，∴，∴m＞17
（3）∵，∴
∵在处取得极小值.且
∴时，，时，
∴，∴，∴实数a的取值范围为.
【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决．但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法．
49．某人开汽车以的速度从地到远处的地，在地停留后，再以 的速度返回地，把汽车离开地的路程表示为时间（从地出发是开始）的函数，并画出函数的图象；再把车速表示为时间的函数，并画出函数的图象．
【答案】见解析
【分析】根据分段函数写出x,v的表达式，作图即可
【详解】由题意得：路程表示为时间的函数：图像如图：
车速v()表示为时间的函数：图像如图
【点睛】本题考查函数的实际应用，考查分析问题解决问题能力，着重考查分段函数的概念是基础题
50．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)：
(1)是幂函数；
(2)是正比例函数；
(3)是反比例函数；
(4)是二次函数．
【答案】(1)m＝2或m＝－1.(2)m＝－ .(3)m＝－ .(4) m＝－1.
【详解】试题分析：（1）根据幂函数的定义可知m2－m－1＝1，解方程即可；
（2）根据正比例函数的定义知－5m－3＝1，再检验系数即可；
（3））根据反比例函数的定义知－5m－3＝－1，再检验系数即可；
（4）若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，再检验系数即可.
试题解析：
(1)∵f(x)是幂函数，
故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，
解得m＝2或m＝－1.
(2)若f(x)是正比例函数，
则－5m－3＝1，解得m＝－.
此时m2－m－1≠0，故m＝－.
(3)若f(x)是反比例函数，
则－5m－3＝－1，
则m＝－，此时m2－m－1≠0，
故m＝－.
(4)若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，
即m＝－1，此时m2－m－1≠0，故m＝－1.－
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