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2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修一专题3.3 抛物线（4类必考点）
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这是一份2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修一专题3.3 抛物线（4类必考点），文件包含专题33抛物线4类必考点人教A版2019选择性必修第一册原卷版docx、专题33抛物线4类必考点人教A版2019选择性必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共41页， 欢迎下载使用。
专题3.3 抛物线 TOC \o "1-3" \h \z \t "正文,1" HYPERLINK \l "_Toc117190554" 【考点1：抛物线的定义】 PAGEREF _Toc117190554 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc117190555" 【考点2：抛物线的标准方程与性质】 PAGEREF _Toc117190555 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc117190556" 【考点3：抛物线的焦点弦】 PAGEREF _Toc117190556 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc117190557" 【考点4：抛物线的实际应用】 PAGEREF _Toc117190557 \h 8【考点1：抛物线的定义】【知识点：抛物线的定义】平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．[方法技巧]利用抛物线的定义解决问题时，应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线距离有关问题的有效途径． 1．（2023秋·高二课时练习）判断正误（正确的写正确，错误的写错误）（1）平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )（2）抛物线实质上就是双曲线的一支．( )（3）若抛物线的方程为y2=−4x，则焦点到准线的距离p=−2.( )（4）抛物线y=6x2的焦点在x轴的正半轴．( )2．（2023秋·高二课时练习）判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”）（1）直线与抛物线相交，则有2个公共点.( )（2）P(x,y)到点F(3,0)的距离与到直线x+y=0的距离相等，则动点P的轨迹不是抛物线.( )（3）P(x,y)到F(3,0)的距离与到直线x−y−3=0的距离相等，则动点P的轨迹是抛物线.( )（4）点M在抛物线y2=2x上，则OM的中点的轨迹是抛物线.( )3．（2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考模拟预测）若抛物线x2=2py（p>0）上一点Mm,3到焦点的距离是5p，则p=（ ）A．34 B．32 C．43 D．234．（2023秋·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）若点A在焦点为F的抛物线y2=4x上，且AF=2，点P为直线x=−1上的动点，则PA+PF的最小值为（ ）A．25 B．2+5 C．2+22 D．45．（2023秋·北京丰台·高三北京丰台二中开学考试）已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，点M在C上．若M到直线x=−1的距离为3，则MF=（ ）A．4 B．5 C．6 D．76．（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考二模）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l:x−2ty+3t2=0（t≠0），定点Fm,0与定直线l1:x=−mm>0，过P向直线l1作垂线，垂足为H．PF=PH，若动点P的轨迹为曲线C，且直线l与曲线C相切，则m= ．7．（2023·江西九江·统考一模）已知点A,B分别是抛物线C:y2=−4x和圆E:x2+y2−2x+4y+4=0上的动点，点A到直线l:x=2的距离为d，则AB+d的最小值为 ．【考点2：抛物线的标准方程与性质】【知识点：抛物线的标准方程与性质】[方法技巧] 求抛物线的标准方程的方法 (1)定义法根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择．(2)待定系数法①根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程．②当焦点位置不确定时，有两种方法解决：1．（2023·新疆·统考三模）已知抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（ ）A．y2=x B．y2=2x C．y2=4x D．y2=8x2．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，AD⊥l于D.若AF=2,∠DAF=60∘，则抛物线C的方程为（ ）A．y2=8x B．y2=4xC．y2=2x D．y2=x3．（2023·河北唐山·迁西县第一中学校考二模）已知抛物线C:y2=2px(p>0)，直线l:y=kx+p2(k>0)与C的一个交点为M，F为抛物线C的焦点，O为坐标原点，若sin∠MFO=22，则k=（ ）A．13 B．12 C．22 D．334．（多选）（2023·江苏·高二假期作业）对标准形式的抛物线给出下列条件，其中满足抛物线y2=10x的有（ ）A．焦点在y轴上B．焦点在x轴上C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)5．（多选）（2022秋·江苏淮安·高二校联考期中）对于抛物线上18x2=y，下列描述正确的是（ ）A．开口向上，焦点为0,2 B．开口向上，焦点为0,116C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为y=−26．（多选）（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第六中学校联考阶段练习）直线y=kx−k过抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点且与该抛物线交于M，N两点，设O为坐标原点，则下列说法中正确的是（ ）A．p=1 B．抛物线E的准线方程是x=−1C．以MN为直径的圆与定直线相切 D．∠MON的大小为定值7．（多选）（2023秋·江苏·高三江苏省梁丰高级中学校联考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，点F是抛物线C:y2=axa>0的焦点，两点Aa16,1、Ba,bb<0在抛物线C上，则下列说法正确的是（ ）A．抛物线C的方程为y2=4xB．b=−4C．以AB为直径的圆的方程是x−1782+x+322=258D．A、F、B三点共线8．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）写出一个与直线x=−1相切，且与圆x−22+y2=1外切的圆的方程 .9．（2023·全国·高二假期作业）已知圆F：x−122+y2=116与定直线l：x=−14，动圆P与圆F外切且与直线l相切，记动圆P的圆心P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 .10．（2023·全国·高二假期作业）已知点P是曲线y=x2+1上任意一点，A2,0，连接PA并延长至Q，使得AQ=2PA，求动点Q的轨迹方程．11．（2023·高二课时练习）分别求符合下列条件的抛物线方程:(1)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,且过点A2,3;(2)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为52.【考点3：抛物线的焦点弦】【知识点：焦点弦的常用结论】以抛物线y2＝2px(p>0)为例，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B在准线上的射影为A1，B1，则有以下结论：(1)x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2；(2)若直线AB的倾斜角为θ，则|AF|＝eq \f(p,1－cos θ)，|BF|＝eq \f(p,1＋cos θ)；(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2θ)(其中θ为直线AB的倾斜角)，抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦；(4)S△AOB＝eq \f(p2,2sin θ)(其中θ为直线AB的倾斜角)；(5)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)为定值；(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；(7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切；(8)以A1B1为直径的圆与直线AB相切，切点为F，∠A1FB1＝90°；(9)A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线．1．（2023秋·贵州贵阳·高三统考开学考试）直线l经过抛物线y2=6x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点．若AF=3BF，则AB=（ ）A．4 B．92 C．8 D．942．（多选）（2023秋·高二单元测试）如图，过抛物线y2＝8x的焦点F，斜率为k的直线l与抛物线交于A，B两点，与抛物线准线交于C点，若B是AC的中点，则（ ） A． k=±2 B． k=±22C．AB=9 D．AB=103．（多选）（2022秋·广东惠州·高三统考阶段练习）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线l:y=kx−1k≠0与抛物线C交于A、B两点，下面说法正确的是（ ）A．抛物线C的准线方程为x=−2 B．∠AOB>π2C．k=1时，AB=42 D．1AF+1BF=14．（2023秋·北京·高三北京市八一中学校考开学考试）已知抛物线C的方程为y2=2pxp>0，若倾斜角为锐角的直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，且AF=3BF，则直线l的倾斜角为 ．5．（2023秋·福建漳州·高三统考开学考试）已知抛物线y2=2x的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，则4AF+BF的最小值是 .6．（2023春·四川遂宁·高三射洪中学校考开学考试）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过点F的直线交C于A,B两个不同点，则下列结论正确的是 .①若点P(2,2)，则|AF|+|AP|的最小值是3②|AB|的最小值是2③若|AF|⋅|BF|=12，则直线AB的斜率为±22④过点A,B分别作抛物线C的切线，设两切线的交点为Q，则点Q的横坐标为−17．（2023秋·高二课时练习）过抛物线y2=4x的焦点，斜率为2的直线l与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长．8．（2023春·山东潍坊·高二校考阶段练习）已知O为坐标原点，过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于A,B两点，点A在第一象限，且AF=2p.(1)求直线AB的斜率；(2)若AB=163，求抛物线C的方程.9．（2023秋·高二课时练习）已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，求AB+DE的最小值.10．（2023秋·高二课时练习）已知抛物线y2=4x.其焦点为F.(1)求以M(1,1)为中点的抛物线的弦所在的直线方程；(2)若互相垂直的直线m，n都经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ABCD面积的最小值．【考点4：抛物线的实际应用】【知识点：抛物线的实际应用】抛物线的几何特性在实际中应用广泛，解决此类问题的关键是根据题意(一般是根据题中所给图形)建立适当的直角坐标系，设出抛物线的标准方程，依据题意得到抛物线上一点的坐标，从而求出抛物线方程，进而解决实际问题．1．（2023·黑龙江大庆·统考模拟预测）石拱桥是世界桥梁史上出现较早、形式优美、结构坚固的一种桥型.如图，这是一座石拱桥，桥洞弧线可近似看成是顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线C的一部分，当水距离拱顶4米时，水面的宽度是8米，则抛物线C的焦点到准线的距离是（ ） A．1米 B．2米 C．4米 D．8米2．（2023秋·陕西商洛·高二校考阶段练习）上世纪90年代，南京江宁区和陕西洛南县就建立了深厚的友谊，1993年江宁区出资帮助洛南修建了宁洛桥，增强了两地之间的友谊.如今人行道两侧各加宽6米，建成了“彩虹桥”（图1），非常美丽.桥上一抛物线形的拱桥（图2）跨度AB=30m，拱高OP=5m，在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，则支柱A1B1的长度为 m.（精确到0.01m） 3．（2023秋·高二课时练习）已知一隧道的顶部是抛物拱形，拱高是1米，跨度为2米，建立适当的平面直角坐标系，求相应坐标系下此拱形的抛物线方程．4．（2023秋·高二课时练习）将物体向斜上方抛出，抛出时的速度大小为v0，方向与水平方向的夹角为α.假如只考虑重力，不计空气阻力，证明斜抛物体的运动轨迹是抛物线的一部分，并求这条抛物线的焦点与准线之间的距离.5．（2023秋·高二课时练习）如图，某大桥中央桥孔的跨度为20m，拱顶呈抛物线形，拱顶距水面10m，桥墩高出水面4m.现有一货轮欲通过此孔，该货轮水下宽度不超过18m.目前吃水线上部分中央船体高16m，宽16m.若不考虑水下深度，该货轮在此状况下能否通过桥孔？试说明理由. 6．（2023秋·高二课时练习）一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m. (1)试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标；(2)为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，求此时卫星波束反射聚集点的坐标.7．（2023秋·高二课时练习）如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出.已知灯口圆的直径为60cm，灯的深度为40cm. (1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点.光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？(2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到66cm，并且保持光源与顶点的距离不变.求探照灯的深度.8．（2023秋·高二课时练习）如图，A地在B地东偏北45∘方向，相距22km处，B地与东西走向的高铁线（近似看成直线）l相距4km已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，现要在公路旁建造一个变电房M（变电房与公路之间的距离忽略不计），分别向A地、B地送电． (1)试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路PQ所在曲线的方程；(2)问变电房M应建在相对A地的什么位置（方位和距离），才能使得架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度． 图形标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦点坐标eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))准线方程x＝－eq \f(p,2)x＝eq \f(p,2)y＝－eq \f(p,2)y＝eq \f(p,2)离心率e＝1焦半径|PF|＝x0＋eq \f(p,2)|PF|＝－x0＋eq \f(p,2)|PF|＝y0＋eq \f(p,2)|PF|＝－y0＋eq \f(p,2)法一分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，为避免开口方向不确定可分为y2＝2px(p>0)和y2＝－2px(p>0)两种情况求解法二设成y2＝mx(m≠0)，若m>0，开口向右；若m<0，开口向左；若m有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成x2＝my(m≠0)．如果不确定焦点所在的坐标轴，应考虑上述两种情况设方程
专题3.3 抛物线 TOC \o "1-3" \h \z \t "正文,1" HYPERLINK \l "_Toc117190554" 【考点1：抛物线的定义】 PAGEREF _Toc117190554 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc117190555" 【考点2：抛物线的标准方程与性质】 PAGEREF _Toc117190555 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc117190556" 【考点3：抛物线的焦点弦】 PAGEREF _Toc117190556 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc117190557" 【考点4：抛物线的实际应用】 PAGEREF _Toc117190557 \h 8【考点1：抛物线的定义】【知识点：抛物线的定义】平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．[方法技巧]利用抛物线的定义解决问题时，应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线距离有关问题的有效途径． 1．（2023秋·高二课时练习）判断正误（正确的写正确，错误的写错误）（1）平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )（2）抛物线实质上就是双曲线的一支．( )（3）若抛物线的方程为y2=−4x，则焦点到准线的距离p=−2.( )（4）抛物线y=6x2的焦点在x轴的正半轴．( )2．（2023秋·高二课时练习）判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”）（1）直线与抛物线相交，则有2个公共点.( )（2）P(x,y)到点F(3,0)的距离与到直线x+y=0的距离相等，则动点P的轨迹不是抛物线.( )（3）P(x,y)到F(3,0)的距离与到直线x−y−3=0的距离相等，则动点P的轨迹是抛物线.( )（4）点M在抛物线y2=2x上，则OM的中点的轨迹是抛物线.( )3．（2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考模拟预测）若抛物线x2=2py（p>0）上一点Mm,3到焦点的距离是5p，则p=（ ）A．34 B．32 C．43 D．234．（2023秋·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）若点A在焦点为F的抛物线y2=4x上，且AF=2，点P为直线x=−1上的动点，则PA+PF的最小值为（ ）A．25 B．2+5 C．2+22 D．45．（2023秋·北京丰台·高三北京丰台二中开学考试）已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，点M在C上．若M到直线x=−1的距离为3，则MF=（ ）A．4 B．5 C．6 D．76．（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考二模）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l:x−2ty+3t2=0（t≠0），定点Fm,0与定直线l1:x=−mm>0，过P向直线l1作垂线，垂足为H．PF=PH，若动点P的轨迹为曲线C，且直线l与曲线C相切，则m= ．7．（2023·江西九江·统考一模）已知点A,B分别是抛物线C:y2=−4x和圆E:x2+y2−2x+4y+4=0上的动点，点A到直线l:x=2的距离为d，则AB+d的最小值为 ．【考点2：抛物线的标准方程与性质】【知识点：抛物线的标准方程与性质】[方法技巧] 求抛物线的标准方程的方法 (1)定义法根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择．(2)待定系数法①根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程．②当焦点位置不确定时，有两种方法解决：1．（2023·新疆·统考三模）已知抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（ ）A．y2=x B．y2=2x C．y2=4x D．y2=8x2．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，AD⊥l于D.若AF=2,∠DAF=60∘，则抛物线C的方程为（ ）A．y2=8x B．y2=4xC．y2=2x D．y2=x3．（2023·河北唐山·迁西县第一中学校考二模）已知抛物线C:y2=2px(p>0)，直线l:y=kx+p2(k>0)与C的一个交点为M，F为抛物线C的焦点，O为坐标原点，若sin∠MFO=22，则k=（ ）A．13 B．12 C．22 D．334．（多选）（2023·江苏·高二假期作业）对标准形式的抛物线给出下列条件，其中满足抛物线y2=10x的有（ ）A．焦点在y轴上B．焦点在x轴上C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)5．（多选）（2022秋·江苏淮安·高二校联考期中）对于抛物线上18x2=y，下列描述正确的是（ ）A．开口向上，焦点为0,2 B．开口向上，焦点为0,116C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为y=−26．（多选）（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第六中学校联考阶段练习）直线y=kx−k过抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点且与该抛物线交于M，N两点，设O为坐标原点，则下列说法中正确的是（ ）A．p=1 B．抛物线E的准线方程是x=−1C．以MN为直径的圆与定直线相切 D．∠MON的大小为定值7．（多选）（2023秋·江苏·高三江苏省梁丰高级中学校联考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，点F是抛物线C:y2=axa>0的焦点，两点Aa16,1、Ba,bb<0在抛物线C上，则下列说法正确的是（ ）A．抛物线C的方程为y2=4xB．b=−4C．以AB为直径的圆的方程是x−1782+x+322=258D．A、F、B三点共线8．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）写出一个与直线x=−1相切，且与圆x−22+y2=1外切的圆的方程 .9．（2023·全国·高二假期作业）已知圆F：x−122+y2=116与定直线l：x=−14，动圆P与圆F外切且与直线l相切，记动圆P的圆心P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 .10．（2023·全国·高二假期作业）已知点P是曲线y=x2+1上任意一点，A2,0，连接PA并延长至Q，使得AQ=2PA，求动点Q的轨迹方程．11．（2023·高二课时练习）分别求符合下列条件的抛物线方程:(1)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,且过点A2,3;(2)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为52.【考点3：抛物线的焦点弦】【知识点：焦点弦的常用结论】以抛物线y2＝2px(p>0)为例，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B在准线上的射影为A1，B1，则有以下结论：(1)x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2；(2)若直线AB的倾斜角为θ，则|AF|＝eq \f(p,1－cos θ)，|BF|＝eq \f(p,1＋cos θ)；(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2θ)(其中θ为直线AB的倾斜角)，抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦；(4)S△AOB＝eq \f(p2,2sin θ)(其中θ为直线AB的倾斜角)；(5)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)为定值；(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；(7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切；(8)以A1B1为直径的圆与直线AB相切，切点为F，∠A1FB1＝90°；(9)A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线．1．（2023秋·贵州贵阳·高三统考开学考试）直线l经过抛物线y2=6x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点．若AF=3BF，则AB=（ ）A．4 B．92 C．8 D．942．（多选）（2023秋·高二单元测试）如图，过抛物线y2＝8x的焦点F，斜率为k的直线l与抛物线交于A，B两点，与抛物线准线交于C点，若B是AC的中点，则（ ） A． k=±2 B． k=±22C．AB=9 D．AB=103．（多选）（2022秋·广东惠州·高三统考阶段练习）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线l:y=kx−1k≠0与抛物线C交于A、B两点，下面说法正确的是（ ）A．抛物线C的准线方程为x=−2 B．∠AOB>π2C．k=1时，AB=42 D．1AF+1BF=14．（2023秋·北京·高三北京市八一中学校考开学考试）已知抛物线C的方程为y2=2pxp>0，若倾斜角为锐角的直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，且AF=3BF，则直线l的倾斜角为 ．5．（2023秋·福建漳州·高三统考开学考试）已知抛物线y2=2x的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，则4AF+BF的最小值是 .6．（2023春·四川遂宁·高三射洪中学校考开学考试）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过点F的直线交C于A,B两个不同点，则下列结论正确的是 .①若点P(2,2)，则|AF|+|AP|的最小值是3②|AB|的最小值是2③若|AF|⋅|BF|=12，则直线AB的斜率为±22④过点A,B分别作抛物线C的切线，设两切线的交点为Q，则点Q的横坐标为−17．（2023秋·高二课时练习）过抛物线y2=4x的焦点，斜率为2的直线l与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长．8．（2023春·山东潍坊·高二校考阶段练习）已知O为坐标原点，过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于A,B两点，点A在第一象限，且AF=2p.(1)求直线AB的斜率；(2)若AB=163，求抛物线C的方程.9．（2023秋·高二课时练习）已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，求AB+DE的最小值.10．（2023秋·高二课时练习）已知抛物线y2=4x.其焦点为F.(1)求以M(1,1)为中点的抛物线的弦所在的直线方程；(2)若互相垂直的直线m，n都经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ABCD面积的最小值．【考点4：抛物线的实际应用】【知识点：抛物线的实际应用】抛物线的几何特性在实际中应用广泛，解决此类问题的关键是根据题意(一般是根据题中所给图形)建立适当的直角坐标系，设出抛物线的标准方程，依据题意得到抛物线上一点的坐标，从而求出抛物线方程，进而解决实际问题．1．（2023·黑龙江大庆·统考模拟预测）石拱桥是世界桥梁史上出现较早、形式优美、结构坚固的一种桥型.如图，这是一座石拱桥，桥洞弧线可近似看成是顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线C的一部分，当水距离拱顶4米时，水面的宽度是8米，则抛物线C的焦点到准线的距离是（ ） A．1米 B．2米 C．4米 D．8米2．（2023秋·陕西商洛·高二校考阶段练习）上世纪90年代，南京江宁区和陕西洛南县就建立了深厚的友谊，1993年江宁区出资帮助洛南修建了宁洛桥，增强了两地之间的友谊.如今人行道两侧各加宽6米，建成了“彩虹桥”（图1），非常美丽.桥上一抛物线形的拱桥（图2）跨度AB=30m，拱高OP=5m，在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，则支柱A1B1的长度为 m.（精确到0.01m） 3．（2023秋·高二课时练习）已知一隧道的顶部是抛物拱形，拱高是1米，跨度为2米，建立适当的平面直角坐标系，求相应坐标系下此拱形的抛物线方程．4．（2023秋·高二课时练习）将物体向斜上方抛出，抛出时的速度大小为v0，方向与水平方向的夹角为α.假如只考虑重力，不计空气阻力，证明斜抛物体的运动轨迹是抛物线的一部分，并求这条抛物线的焦点与准线之间的距离.5．（2023秋·高二课时练习）如图，某大桥中央桥孔的跨度为20m，拱顶呈抛物线形，拱顶距水面10m，桥墩高出水面4m.现有一货轮欲通过此孔，该货轮水下宽度不超过18m.目前吃水线上部分中央船体高16m，宽16m.若不考虑水下深度，该货轮在此状况下能否通过桥孔？试说明理由. 6．（2023秋·高二课时练习）一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m. (1)试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标；(2)为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，求此时卫星波束反射聚集点的坐标.7．（2023秋·高二课时练习）如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出.已知灯口圆的直径为60cm，灯的深度为40cm. (1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点.光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？(2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到66cm，并且保持光源与顶点的距离不变.求探照灯的深度.8．（2023秋·高二课时练习）如图，A地在B地东偏北45∘方向，相距22km处，B地与东西走向的高铁线（近似看成直线）l相距4km已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，现要在公路旁建造一个变电房M（变电房与公路之间的距离忽略不计），分别向A地、B地送电． (1)试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路PQ所在曲线的方程；(2)问变电房M应建在相对A地的什么位置（方位和距离），才能使得架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度． 图形标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦点坐标eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))准线方程x＝－eq \f(p,2)x＝eq \f(p,2)y＝－eq \f(p,2)y＝eq \f(p,2)离心率e＝1焦半径|PF|＝x0＋eq \f(p,2)|PF|＝－x0＋eq \f(p,2)|PF|＝y0＋eq \f(p,2)|PF|＝－y0＋eq \f(p,2)法一分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，为避免开口方向不确定可分为y2＝2px(p>0)和y2＝－2px(p>0)两种情况求解法二设成y2＝mx(m≠0)，若m>0，开口向右；若m<0，开口向左；若m有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成x2＝my(m≠0)．如果不确定焦点所在的坐标轴，应考虑上述两种情况设方程
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