2023-2024学年高中下学期高一数学期末卷（全解全析）（北师大版2019）

这是一份2023-2024学年高中下学期高一数学期末卷（全解全析）（北师大版2019），共15页。试卷主要包含了测试范围，已知，则等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：（必修第二册）人教B版2019
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数的实部和虚部分别是（ ）
A．1，1B．1，C．，D．，
【答案】A
【解析】，所以数的实部和虚部分别是1,1，故选A.
2．已知向量，，，若，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【解析】由得，解得，故选B
3．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图，作平面直角坐标系，
使与重合，在轴上，且，在轴上，且，

过作∥，且，连接，则直角梯形为原平面图形，
其面积为，故选C.
4．已知向量，则在方向上的投影数量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，
所以，
因此在方向上的投影为，
故选：D．
5．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积×（弦×矢＋矢）．弧田如图，由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆弧为，半径为4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约为（ ）（结果取整数，参考数据：）

A．4平方米B．5平方米
C．8平方米D．9平方米
【答案】D
【解析】依题意，圆弧所对圆心角为，
所以，“矢”等于，“弦”等于，
所以弧田面积约为平方米.
故选：D
6．已知，则（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
即，所以，
则，解得，故选：B
7．已知，若方程在区间上恰有3个实根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由方程，可得，所以，
当时，，
所以的可能取值为，，，，，，…，
因为原方程在区间上恰有3个实根，所以，
解得，即的取值范围是.
故选：B.
8．《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且．若球的表面积为，则这个三棱柱的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，的中点分别为，，连接，取的中点．
直三棱柱中，，，
四边形是平行四边形，有，
因为三棱柱的底面是直角三角形，，所以，，
，分别是，的外接圆圆心．
因为平面，所以平面，
所以为的外接球的球心．
连接，因为球的表面积为，所以球的半径为1，即，
，则，，可得，，
所以三棱柱的表面积，
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设，为复数，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．若为虚数，则也为虚数
D．若，则的最大值为
【答案】ABC
【解析】设，
则，
，
得，
，
所以，故A正确，
设对应的向量分别为，则由向量三角不等式得，
所以恒成立，所以B正确，
因为为虚数，为实数，所以为虚数，则也为虚数，故C正确；
设，由，则在复平面内点表示以为圆心，1为半径的圆，则，故D错误.
故选：ABC
10．函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．的图象关于直线对称
C．
D．若方程在上有且只有5个根，则
【答案】ACD
【解析】对于A，由，得，即，又，
，故A正确；
对于C，又的图象过点，则，即，
，即得，，又，，
所以，故C正确；
对于B，因为，而，
故直线不是函数的对称轴，故B错误；
对于D，由，得，
解得或，，
方程在上有5个根，从小到大依次为：，
而第7个根为，所以，故D正确.
故选：ACD.
11．如图，在棱长为2的正方体中，在线段上运动（包括端点），下列选项正确的有（ ）

A．
B．
C．直线与平面所成角的最大值是
D．的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于选项A，由正方体性质，易得,,
因为平面，
所以平面.
因为平面，所以，故A正确；
对于选项B，当与重合，则此时与夹角为，故B错误；
对于选项C，如图连接交于，

因为平面，平面，所以.
因为,平面,
所以平面，即平面，
所以为直线与平面所成角，所以.
所以当最小时最大，即时，最小.
由，可得，
此时，故的最大值为，
直线与平面所成角的最大值是，故C正确；
对于选项D，如图，将平面与平面沿翻折到同一个平面内

由题意，，
从而，故为平行四边形.
又，故为矩形.
从而当为与交点时，最小，此时，故D正确.
故选:ACD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知命题：若为第一象限角，且，则.能说明命题为假命题的一组的值可以是 ， .
【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一）
【解析】因为为第一象限角，且，
取，则且在第一象限，
此时，
故命题为假命题，满足题意，
所以的值可以是，
13．如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，底面半径为，高为，B是母线SA上一点，且．现要建设一条从A到B的环山观光公路；当公路长度最短时，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，则公路上坡路段长为 千米．
【答案】
【解析】由题意，半径为，山高为，则母线,
底面圆周长，所以展开图的圆心角，
如图，是圆锥侧面展开图，结合题意，,
由点S向引垂线，垂足为点，此时为点S和线段上的点连线的最小值，
即点为公路的最高点，段即为下坡路段，
则，即，得
上坡路段长度为.
14．如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成，若正方形的边长为4，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】如图，以点为原点，分别以所在直线为轴建立坐标系.
因，
而表示在方向上的投影向量的数量，
由图不难发现，设过正方形的中心作与轴平行的直线与左右两个半圆分别交于点，
则当点与点重合时，投影向量的数量最大，当点与点重合时，投影向量的数量最小.
易得，则的最大值为6，最小值为，
故.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（本小题满分13分）设的内角所对的边分别是且向量满足.
(1)求A；
(2)若，求BC边上的高.
【解】（1）因为，所以，
由正弦定理得，
因为，所以，所以，
又，解得；
（2）因为，所以，
即
化简得，解得或(舍去)，
由的面积，又，
故，解得.
16．（本小题满分15分）已知向量，（，），，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为．
(1)求函数的解析式，并求在区间上的值域；
(2)若，且函数在区间上单调，求a的取值范围．
【解】（1）由向量，
则，
由函数的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，得的周期，则，
于是，当时，，
当，即时，，当，即时，，
所以，在区间上的值域为.
（2）由（1）知，
令，解得，
即函数的单调区间为，而函数在区间上单调，
因此，即，
解得，显然，且，
解得，则或，当时，；当时，，
所以实数的取值范围.
17．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是等边三角形，，点分别为和的中点.
(1)求证：平面;
(2)求证：平面平面;
【解】（1）取中点，连接，由为的中点，为的中点，
所以，
又，
则，因此四边形为平行四边形，
于是，
而平面，平面，
所以平面；
（2）过作于点，连接，
由，得≌，
则，即，
因为底面是边长为2的菱形，是等边三角形，
所以，
从而，
所以，
又因为，平面，平面，
则平面，
又因为平面，
所以平面平面.
18．（本小题满分17分）位于大连森林动物园的“大连浪漫之星”摩天轮享有“大连观光新地标，浪漫打卡新高度”的美称.如图，摩天轮的轮径（直径）为70米，座舱距离地面的最大高度可达80米，摩天轮的圆周上均匀地安装着30个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要18分钟.如图，想要观光的乘客需先从地面上楼梯至乘降点，在乘降点处进入座舱后开始观光，再次回到乘降点时观光结束.本题中座舱都被视为圆周上的点，每个座舱高度忽略不计.
(1)甲乙两名游客分别坐在两个不同的座舱内，他们之间间隔4个座舱，求劣弧的弧长（单位：米）；
(2)设游客从乘降点处进舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于时间的函数解析式；
(3)若游客在距离地面至少62.5米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使（1）中的甲，乙两位游客都有最佳视觉效果.
【解】（1）依题意，摩天轮的圆周上均匀地安装着30个座舱，则两个相邻座舱所对的圆心角为，
由甲､乙之间间隔4个座舱，得劣弧所对的圆心角为，弧长，
所以劣弧的弧长为米.
（2）以摩天轮转轮中心为坐标原点，分别以过的水平线和竖直线为轴，建立平面直角坐标系，如图，
不妨设开始转动分钟后距离地面的高度，
依题意，，
则，，
由转一周需要18分钟，得周期，解得，
则，由，得，解得，
因此，
所以.
（3）由在距离地面至少62.5米的高度能够获得最佳视觉效果，得，
即，则，即，解得，
则分钟，于是有6分钟的时间使游客甲有最佳视觉效果，
而劣弧所对的圆心角为，则甲乙相隔的时间，有，解得分钟，
因此当甲刚开始有最佳视觉效果时，乙需3分钟后才有视觉效果，
所以甲乙都有最佳视觉效果的时间为分钟.
19．（本小题满分17分）对于数集，其中，.定义向量集.若对于任意，存在，使得，则称具有性质.定义向量集的子集，若存在不相等的向量，，使得，且具有性质，则称为“向量伴随数集”.
(1)已知数集，请你写出数集对应的向量集，并验证是否具有性质；
(2)已知数集，请你写出数集对应的向量集，并验证是否具有性质；
(3)若，且具有性质，写出的值（不需要写出解析过程），并说明是否为“向量伴随数集”.
【解】（1）因为，
所以，
因为，
，
，
即对任意，存在，使得，所以具有性质.
（2）因为，则

因为，
，，
，，
即对任意，存在，使得，所以具有性质.
（3）因为，设数集对应的向量集，
则，
选取（），则中与垂直的元素必有形式，
则，又，
当时，则，不符合题意，
当时，则，不符合题意，
当时，则，不符合题意，
所以，则，解得或（舍去），
所以，经检验时具有性质；
此时，
则子集

若取，，由，故，
即存在不相等的向量，，使得，所以是“向量伴随数集”.