2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修三专题7.2 离散型随机变量及其分布列（3类必考点）

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专题7.2 离散型随机变量及其分布列 TOC \o "1-3" \h \z \t "正文,1"  HYPERLINK \l "_Toc128127190" 【基础知识梳理】  PAGEREF _Toc128127190 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc128127191" 【考点1：随机变量】  PAGEREF _Toc128127191 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc128127258" 【考点2：求简单随机变量的分布列】  PAGEREF _Toc128127258 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc128127612" 【考点3：随机变量分布列的性质】  PAGEREF _Toc128127612 \h 8【基础知识梳理】1．随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量．2．离散型随机变量分布列的概念及性质(1)概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．(2)分布列的性质：①pi≥0，i＝1,2,3，…，n；②eq \i\su(i＝1,n,p)i＝1.3．离散型随机变量的分布列的性质主要有三方面的作用：(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．[方法技巧]求离散型随机变量分布列的步骤(1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1,2，3，…，n)；(2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi；(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确．　　【考点1：随机变量】【知识点：随机变量】1．（2024高二上·全国·课时练习）判断正误（正确的写正确，错误的写错误）（1）随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( )（2）在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量．( )（3）随机变量是用来表示不同试验结果的量．( )（4）甲进行3次射击，甲击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的可能取值为1，2，3.( )2．（2024高三·全国·专题练习）袋中有2个黑球、5个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是（    ）A．取到的球的个数 B．取到红球的个数C．至少取到一个红球 D．至少取到一个红球的概率3．（2024高二下·河南驻马店·阶段练习）抛掷2枚骰子，所得点数之和记为，那么表示的随机试验结果是（    ）A．2枚都是4点B．1枚是1点，另1枚是3点C．2枚都是2点D．1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点4．（2024高二·全国·课后作业）某袋中装有大小相同的10个红球，5个黑球．每次随机抽取1个球，若取到黑球，则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为（    ）A． B．C． D．5．（23-24高二下·河南周口·期中）下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数；②一个沿轴进行随机运动的质点，它在轴上的位置；③某派出所一天内接到的报警电话次数；④某同学上学路上离开家的距离．其中是离散型随机变量的个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．46．（多选）（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用ξ表示甲的得分，则表示的可能结果为（    ）A．甲赢三局 B．甲赢一局输两局C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局7．（2024高二·全国·课堂例题）先后抛两枚均匀的硬币，设正面朝上的硬币数为X，样本空间为．(1)借助合适的符号，用列举法写出样本空间；(2)求出随机变量X的取值范围．8．（2024高二·全国·课堂例题）下列变量中哪些是随机变量？如果是随机变量，那么可能的取值有哪些？(1)一个实验箱中装有标号为1，2，3，3，4的5只白鼠，从中任取1只，记取到的白鼠的标号为X；(2)明天的降雨量L（单位：mm）；(3)先后抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面向上的次数X．【考点2：求简单随机变量的分布列】【知识点：求简单随机变量的分布列】1．（23-24高二下·河南新乡·期中）投掷两枚质地均匀的骰子，记偶数点朝上的骰子的个数为，则的分布列为（    ）A． B． C．  D．   2．（2024·全国·高考模拟）从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，则随机变量的概率分布为： ．3．（2024高二·湖南·课后作业）将10个质地、大小一样的球装入袋中，其中6个白球，4个红球．现从袋中任取一个球，用X表示“取到白球”，即求随机变量X的概率分布．4．（2024高二·江苏·课时练习）一种新型节能灯使用寿命低于1000 h的概率为0.1，定义随机变量，试写出随机变量X的概率分布列．5．（2024高二·全国·课时练习）某商店购进一批西瓜，预计晴天西瓜畅销，可获利1000元；阴天销路一般，可获利500元；下雨天西瓜滞销，会亏损500元，根据天气预报，未来数日晴天的概率为0.4，阴天的概率为0.2，下雨的概率为0.4，试写出销售这批西瓜获利的分布列．6．（2024高二·全国·课堂例题）全班有40名学生，某次数学作业的成绩如下：现从该班中任选一名学生，用X表示这名学生的数学作业成绩，求随机变量X的分布列．7．（2024高二上·全国·课时练习）设离散型随机变量X的分布列为：求随机变量的分布列．8．（2024高二·湖南·课后作业）将个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号.现从中任取个球，以表示取出球的最大号码.(1)求的分布列；(2)求的概率.9．（2024高二·全国·课后作业）设离散型随机变量的分布列为（1）求的分布列；（2）求的分布列．10．（23-24高二下·广东东莞·期中）一个袋中装有5个形状大小完全相同的小球，其中红球有2个，白球有3个，从中任意取出3个球.(1)求取出的3个球恰有一个红球的概率；(2)若随机变量X表示取得红球的个数，求随机变量X的分布列.【考点3：随机变量分布列的性质】【知识点：随机变量分布列的性质】1．（2024高二下·江苏连云港·阶段练习）随机变量的分布列如表格所示，其中，则等于（    ）A． B． C． D．2．（2024高二下·江西宜春·阶段练习）已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量，则（    ）A． B． C． D．3．（2024高二下·全国·专题练习）下列表格可以作为ξ的分布列的是（    ）A．B．C．D．4．（23-24高二上·山东德州·期末）离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x，y（x，）代替，分布列如下：则（    ）A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.655．（2024高三·全国·专题练习）已知离散型随机变量的分布列为：则 ．6．（2024高二下·全国·专题练习）已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则m的值为 .7．（23-24高二上·吉林·期末）随机变量的分布列如下表所示：则 .8．（2024高二下·全国·专题练习）已知随机变量X的分布列为求随机变量的分布列．9．（2024高二下·河北秦皇岛·阶段练习）设离散型随机变量X的分布列为(1)求的分布列；(2)求．10．（2024高二下·全国·专题练习）若盒中装有同一型号的灯泡共9只，其中有6只合格品，3只次品．某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只坏灯泡，每次从中取一只灯泡，若是合格品则用它更换坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中），求成功更换会议室的坏灯泡前取出的次品灯泡数X的分布列.Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnX12PX01PX012PX012P012分数012345人数01312204X01234P0.20.10.10.3m012340.20.10.10.30.301X0123Pa5a013Pa1－a123P145P01－112P2a1234560.210.200.100.10123m012312340.10.3X123456PX01234P0.20.10.10.3m