天津市南开中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷(无答案)

这是一份天津市南开中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷(无答案)，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共100分。考试结束后，将答题纸交回。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本大题共8小题，每小题4分，共32分．
（1）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
（2）对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
（3）已知集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
（4）根据分类变量与的一组样本观测数据，计算得到．依据小概率值的独立性检验，推断应为（ ）
A．变量与独立，这一推断犯错误的概率不超过0.05
B．变量与独立，这一推断犯错误的概率不超过0.01
C．变量与不独立，这一推断犯错误的概率不超过0.05
D．变量与不独立，这一推断犯错误的概率不超过0.01
（5）“拃”是我国古代的一种长度单位，最早见于金文时代，“一拃”指张开大拇指和中指两端间的距离．某数学兴趣小组为了研究右手一拃长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从所在班级随机抽取了15名学生，根据测量数据的散点图发现和具有线性相关关系，其经验回归直线方程为，且，．已知小明的右手一拃长为20厘米，据此估计小明的身高为（ ）
A．175厘米B．179厘米C．183厘米D．187厘米
（6）下列不等式中成立的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
（7）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
（8）为丰富同学们的劳动体验，增强劳动技能，认识到劳动最光荣、劳动最伟大，高二年级在社会实践期间开展“打埂作畦”“移苗定植”“挑水浇园”“插架”四项劳动技能比赛项目．某宿舍8名同学积极参加，若每名同学必须参加且只能参加1个项目，且每个项目至多三人参加，则这8个人中至多有1人参加“打埂作畦”的不同参加方法数为（ ）
A．2730B．10080C．20160D．40320
Ⅱ卷（共32分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
（9）已知随机变量服从正态分布，且，则______．
（10）若展开式中的常数项为-160，则实数______．
（11）已知函数，其中，，若，则的最小值为______．
（12）在南开中学建校120周年即将到来之际，我校举办校史知识竞答活动，每班各选派两名同学代表共回答4道题，每道题随机分配给其中一个同学回答．甲、乙两位同学代表高二1班答题，假设每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且每道题是否答对相互独立．记高二1班答对题目的数量为随机变量，则的数学期望为______．
（13）甲乙两人进行射击，甲射击两次，乙射击一次．若甲每次射击命中的概率均是，乙命中的概率是，两人每次射击是否命中都互不影响，则甲乙二人全部命中的概率为______；在两人总共至少命中两次的条件下，甲恰好命中两次的概率为______．
（14）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是______．
三、解答题：本大题共3小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（15）（本小题满分14分）
已知函数，．
（Ⅰ）若关于的不等式的解集为，求不等式的解集；
（Ⅱ）若，求不等式的解集．
（Ⅲ）若，对于任意的，恒成立，求的取值范围．
（16）（本小题满分14分）
同学们，欢迎大家来到“南德琐艾科学剧场”．在这里，欧阳南德与上官琐艾将为大家上演统计学史上著名的“女士品茶”试验．
（Ⅰ）上官琐艾认为：“将茶倒进牛奶里和将牛奶倒进茶里的味道是不同的。”为了验证这一说法，欧阳南德利用“假设检验”的思想设计了如下试验。他首先提出零假设：“将茶倒进牛奶里和将牛奶倒进茶里的味道是相同的，即上官琐艾无法判断两种饮品味道的区别。”下面，他准备了8杯外观完全一致的饮品，其中4杯为“茶奶”（即将茶倒进奶里所得的饮品），4杯为“奶茶”（即将奶倒进茶里所得的饮品），然后请上官琐艾通过品尝味道来从中选出4杯她认为是“奶茶”的饮品。设随机变量表示上官琐艾选出的4杯饮品中确为“奶茶”的杯数，随后我们通过计算的值来对零假设作出判断，其原理为：在零假设下，如果的值很小，小到我们可以将其认为是小概率事件，那么我们就有充分的理由拒绝零假设，即认为上官同学确有区分两种饮品味道的能力．
（ⅰ）请求出随机变量的分布列（概率请用数值表示）；
（ⅱ）当小概率值为0.05时，请你求出上官琐艾至少要选择正确多少杯“奶茶”，我们才有充分的理由拒绝零假设？该推断犯错误的概率是多少？
（Ⅱ）下面进入“剧场花絮”时间，离开剧情，回归现实，两位同学其实都没有区分“茶奶”与“奶茶”味道的能力，即当他们品尝一杯饮品时，判断正确的概率均为．现在，为了不浪费道具材料，欧阳与上官两位同学请一位剧场观众利用剩下的茶与奶又新制作了9杯饮品（只有观众知道这9杯饮品中哪些是“茶奶”与“奶茶”），他们决定做一个名为“心有灵犀”的游戏，规则如下：对于这9杯饮品，欧阳与上官二人逐杯进行品尝（每一杯二人均品尝），并独自作出判断，如果二人对同一杯饮品的判断均是正确的（即判断对了其为“茶奶”还是“奶茶”），那么他们共同积1分，否则积0分；在进行所有品尝前，他们要先选定一个“心有灵犀数”，如果在品尝完所有饮品后所获得的总积分恰为该“心有灵犀数”，那么他们将“携手取胜”．请问，欧阳、上官二人应该选择哪一个“心有灵犀数”才能最有机会“携手取胜”呢？
（17）（本小题满分16分）
已知函数，其中．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若函数有两个不同的零点，．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：．0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828