【备战2025年高考】 高中物理一轮复习 运动和力的关系专题 第4章 第3讲　圆周运动导学案（教师版+学生版）

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1.熟练掌握描述圆周运动的各物理量之间的关系.
2.掌握匀速圆周运动由周期性引起的多解问题的分析方法.
科学思维:
1.会分析圆周运动的向心力来源，掌握圆周运动的动力学问题的分析方法，掌握圆锥摆模型．
考点一 圆周运动的运动学问题
梳理·必备知识
1．描述圆周运动的物理量
2．匀速圆周运动
(1)定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫作匀速圆周运动．
(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变速运动．
(3)条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心．
1．匀速圆周运动是匀变速曲线运动．( × )
2．物体做匀速圆周运动时，其线速度是不变的．( × )
3．物体做匀速圆周运动时，其所受合外力是变力．( √ )
4．匀速圆周运动的向心加速度与半径成反比．( × )
提升·关键能力
1．对公式v＝ωr的理解
当ω一定时，v与r成正比．
当v一定时，ω与r成反比．
2．对an＝eq \f(v2,r)＝ω2r的理解
在v一定时，an与r成反比；在ω一定时，an与r成正比．
3．常见的传动方式及特点
考向1 圆周运动物理量的分析和计算
例1 如图，A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，则它们( )
A．线速度大小之比为4∶3
B．角速度之比为3∶4
C．圆周运动的半径之比为2∶1
D．向心加速度大小之比为1∶2
答案 A
解析 时间相同，路程之比即线速度大小之比，为4∶3，A项正确；由于时间相同，运动方向改变的角度之比即对应扫过的圆心角之比，等于角速度之比，为3∶2，B项错误；线速度之比除以角速度之比等于半径之比，为8∶9，C项错误；由向心加速度an＝eq \f(v2,r)知，线速度平方之比除以半径之比即向心加速度大小之比，为2∶1，D项错误．
考向2 圆周传动问题
例2 (多选)在如图所示的齿轮传动中，三个齿轮的半径之比为2∶3∶6，当齿轮传动的时候，关于小齿轮边缘的A点和大齿轮边缘的B点，下列说法正确的是( )
A．A点和B点的线速度大小之比为1∶1
B．A点和B点的角速度之比为1∶1
C．A点和B点的角速度之比为3∶1
D．A点和B点的线速度大小之比为1∶3
答案 AC
解析 题图中三个齿轮边缘的线速度大小相等，则A点和B点的线速度大小之比为1∶1，由v＝ωr可知，线速度一定时，角速度与半径成反比，则A点和B点角速度之比为3∶1，故A、C正确，B、D错误．
考向3 圆周运动的多解问题
例3 (多选)如图所示，直径为d的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动．一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为h，重力加速度为g，则( )
A．子弹在圆筒中的水平速度为deq \r(\f(g,2h))
B．子弹在圆筒中的水平速度为2deq \r(\f(g,2h))
C．圆筒转动的角速度可能为πeq \r(\f(g,2h))
D．圆筒转动的角速度可能为3πeq \r(\f(g,2h))
答案 ACD
解析 子弹在圆筒中运动的时间与自由下落高度h的时间相同，即t＝eq \r(\f(2h,g))，则v0＝eq \f(d,t)＝deq \r(\f(g,2h))，故A正确，B错误；在此段时间内圆筒转过的圈数为半圈的奇数倍，即ωt＝(2n＋1)π(n＝0,1,2，…)，所以ω＝eq \f(2n＋1π,t)＝(2n＋1)πeq \r(\f(g,2h))(n＝0,1,2，…)，故C、D正确．
考点二 圆周运动的动力学问题
梳理·必备知识
1．匀速圆周运动的向心力
(1)作用效果
向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小．
(2)大小
Fn＝meq \f(v2,r)＝mrω2＝meq \f(4π2,T2)r＝mωv.
(3)方向
始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力．
2．离心运动和近心运动
(1)离心运动：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动．
(2)受力特点(如图)
①当F＝0时，物体沿切线方向飞出，做匀速直线运动．
②当0ω，则与以ω匀速转动时相比，以ω′匀速转动时( )
A．小球的高度一定降低
B．弹簧弹力的大小一定不变
C．小球对杆压力的大小一定变大
D．小球所受合外力的大小一定变大
答案 BD
解析 对小球受力分析，设弹簧弹力为FT，弹簧与水平方向的夹角为θ，则对小球竖直方向有FTsin θ＝mg，而FT＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(MP,cs θ)－l0))
可知θ为定值，FT不变，则当转速增大后，小球的高度不变，弹簧的弹力不变，A错误，B正确；
水平方向当转速较小，杆对小球的弹力FN背离转轴时，则FTcs θ－FN＝mω2r
即FN＝FTcs θ－mω2r
当转速较大，FN指向转轴时，
则FTcs θ＋FN′＝mω′2r
即FN′＝mω′2r－FTcs θ
因ω′>ω，根据牛顿第三定律可知，小球对杆的压力不一定变大，C错误；
根据F合＝mω2r可知，因角速度变大，则小球所受合外力变大，D正确．
例5 (2022·全国甲卷·14)北京2022年冬奥会首钢滑雪大跳台局部示意图如图所示．运动员从a处由静止自由滑下，到b处起跳，c点为a、b之间的最低点，a、c两处的高度差为h.要求运动员经过c点时对滑雪板的压力不大于自身所受重力的k倍，运动过程中将运动员视为质点并忽略所有阻力，则c点处这一段圆弧雪道的半径不应小于( )
A.eq \f(h,k＋1) B.eq \f(h,k) C.eq \f(2h,k) D.eq \f(2h,k－1)
答案 D
解析 运动员从a到c根据动能定理有mgh＝eq \f(1,2)mvc2，在c点有FNc－mg＝meq \f(vc2,Rc)，FNc≤ kmg，联立有Rc≥eq \f(2h,k－1)，故选D.
考向2 圆锥摆模型
例6 (2023·辽宁省六校联考)四个完全相同的小球A、B、C、D均在水平面内做圆锥摆运动．如图甲所示，小球A、B在同一水平面内做圆锥摆运动(连接B球的绳较长)；如图乙所示，小球C、D在不同水平面内做圆锥摆运动，但是连接C、D的绳与竖直方向之间的夹角相等(连接D球的绳较长)，则下列说法错误的是( )
A．小球A、B角速度相等
B．小球A、B线速度大小相等
C．小球C、D所需的向心加速度大小相等
D．小球D受到绳的拉力与小球C受到绳的拉力大小相等
答案 B
解析 对题图甲中A、B分析，设绳与竖直方向的夹角为θ，绳长为l，小球的质量为m，小球A、B到悬点O的竖直距离为h，则mgtan θ＝mω2lsin θ，解得ω＝eq \r(\f(g,lcs θ))＝eq \r(\f(g,h))，所以小球A、B的角速度相等，线速度大小不相等，故A正确，B错误；对题图乙中C、D分析，设绳与竖直方向的夹角为θ，小球的质量为m，绳上拉力为FT，则有mgtan θ＝man，FTcs θ＝mg，得an＝gtan θ，FT＝eq \f(mg,cs θ)，所以小球C、D所需的向心加速度大小相等，小球C、D受到绳的拉力大小也相等，故C、D正确．
例7 如图所示，质量相等的甲、乙两个小球，在光滑玻璃漏斗内壁做水平面内的匀速圆周运动，甲在乙的上方．则( )
A．球甲的角速度一定大于球乙的角速度
B．球甲的线速度一定大于球乙的线速度
C．球甲的运动周期一定小于球乙的运动周期
D．甲对内壁的压力一定大于乙对内壁的压力
答案 B
解析 对小球受力分析，小球受到重力和支持力，它们的合力提供向心力，设支持力与竖直方向夹角为θ，根据牛顿第二定律有mgtan θ＝meq \f(v2,R)＝mRω2，解得v＝eq \r(gRtan θ) ，ω＝eq \r(\f(gtan θ,R))，由题图可知，球甲的轨迹半径大，则球甲的角速度一定小于球乙的角速度，球甲的线速度一定大于球乙的线速度，故A错误，B正确；根据T＝eq \f(2π,ω)，因为球甲的角速度一定小于球乙的角速度，则球甲的运动周期一定大于球乙的运动周期，故C错误；因为支持力FN＝eq \f(mg,cs θ)，结合牛顿第三定律，球甲对内壁的压力一定等于球乙对内壁的压力，故D错误．
例8 如图所示，质量均为m的a、b两小球用不可伸长的等长轻质绳子悬挂起来，使小球a在竖直平面内来回摆动，小球b在水平面内做匀速圆周运动，连接小球b的绳子与竖直方向的夹角和小球a摆动时绳子偏离竖直方向的最大夹角都为θ，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．a、b 两小球都是所受合外力充当向心力
B．a、b两小球圆周运动的半径之比为tan θ
C．小球b受到的绳子拉力大小为eq \f(mg,cs θ)
D．小球a运动到最高点时受到绳子的拉力大小为eq \f(mg,sin θ)
答案 C
解析 小球a速度大小变化，只有在最低点时所受合外力充当向心力，而小球b做匀速圆周运动，所受合外力充当向心力，故A错误；由几何关系可知，a、b两小球做圆周运动的半径之比为eq \f(1,sin θ)，故B错误；Fbcs θ＝mg，即Fb＝eq \f(mg,cs θ)，故C正确；小球a到达最高点时速度为零，将重力正交分解，有Fa＝mgcs θ，故D错误．
圆锥摆模型
1.如图所示，向心力F向＝mgtan θ＝meq \f(v2,r)＝mω2r，且r＝Lsin θ，联立解得v＝eq \r(gLtan θsin θ)，ω＝eq \r(\f(g,Lcs θ)).
2．稳定状态下，θ角越大，对应的角速度ω和线速度v就越大，小球受到的拉力F＝eq \f(mg,cs θ)和运动所需的向心力也越大．
考向3 生活中的圆周运动
例9 列车转弯时的受力分析如图所示，铁路转弯处的圆弧半径为R，两铁轨之间的距离为d，内外轨的高度差为h，铁轨平面和水平面间的夹角为α(α很小，可近似认为tan α≈sin α)，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．列车转弯时受到重力、支持力和向心力的作用
B．列车过转弯处的速度v＝eq \r(\f(gRh,d))时，列车轮缘不会挤压内轨和外轨
C．列车过转弯处的速度v