山东省济南市市中区四校联考2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份山东省济南市市中区四校联考2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含答案)，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列各式从左到右的变形,因式分解正确的是( )
A.B.
C.D.
2．如图,在中,对角线与相交于点O,则下列结论一定正确的是( )
A.B.C.D.
3．已知,则下列结论正确的是( )
A.B.
C.D.
4．已知一个多边形内角和是外角和的4倍,则这个多边形是( )
A.八边形B.九边形C.十边形D.十二边形
5．不等式组的解集在数轴上可表示为( )
A.B.
C.D.
6．数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图,一次函数(k、b为常数,且)的图象与直线都经过点,当时,x的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．已知关于x的分式方程的解为非正数,则m的取值范围是( )
A.B.C.且D.且
8．如图,在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形.甲、乙两人的作法如下：
甲：连接AC,作AC的垂直平分线MN分别交AD,AC,BC于M,O,N,连接AN,CM,则四边形ANCM是菱形.
乙：分别作,的平分线AE,BF,分别交BC,AD于E,F,连接EF,则四边形ABEF是菱形.
根据两人的作法可判断( )
A.甲正确,乙错误B.乙正确,甲错误C.甲、乙均正确D.甲、乙均错误
9．已知一列均不为1的数,,,,满足如下关系：,,,,,若,则的值是( )
A.B.C.D.2
10．如图,平行四边形ABCD中,,,E在AB上,且,F是BC的中点,过D分别作于P,于Q,则等于( )
A.3:4B.C.D.
二、填空题
11．若代数式有意义,则实数x的取值范围是______.
12．如图,菱形的对角线,相交于点O,,,E是的中点,则的长是______.
13．分解因式：______.
14．如图,将正五边形纸片折叠,使点B与点E重合,折痕为,展开后,再将纸片折叠,使边落在线段上,点B的对应点为点,折痕为,则的大小为______度.
15．若关于x的不等式组所有整数解的和为14,则整数a的值为______.
16．如图,已知,点A在边OX上,.过点A作于点C,以AC为一边在内作等边三角形ABC,点P是围成的区域(包括各边)内的一点,过点P作交OX于点D,作交OY于点E.设,,则的取值范围是______.
三、解答题
17．解不等式组：.
18．解方程：.
19．先化简,再求值：,然后从1,2,3,4中选择一个合适的数代入求值.
20．如图,在平行四边形ABCD中,点E、F在对角线BD上,且.求证：
(1)；
(2)四边形AECF是平行四边形.
21．某校开设智能机器人编程的校本课程,购买了A,B两种型号的机器人模型.A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元,用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同.
(1)求A型,B型机器人模型的单价分别是多少元?
(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台,购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍,且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠.问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元?
22．如图,平行四边形中,分别是、的平分线,且E、F分别在边、上,.
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若,的面积等于,求平行线与间的距离.
23．某健身器材专卖店推出两种优惠活动,并规定购物时只能选择其中一种.
活动一：所购商品按原价打八折；
活动二：所购商品按原价每满300元减80元.(如：所购商品原价为300元,可减80元,需付款220元；所购商品原价为770元,可减160元,需付款610元)
(1)购买一件原价为450元的健身器材时,选择哪种活动更合算？请说明理由.
(2)购买一件原价在500元以下的健身器材时,若选择活动一和选择活动二的付款金额相等,求一件这种健身器材的原价.
(3)购买一件原价在900元以下的健身器材时,原价在什么范围内,选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元,请直接写出a的取值范围.
24．(1)用数学的眼光观察.
如图,在四边形中,,P是对角线的中点,M是的中点,N是的中点,求证：.
(2)用数学的思维思考.
如图,延长图中的线段交的延长线于点E,延长线段交的延长线于点F,求证：.
(3)用数学的语言表达.
如图,在中,,点D在上,,M是的中点,N是的中点,连接并延长,与的延长线交于点G,连接,若,试判断的形状,并进行证明.
25．八年级课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题：
将因式分解.
观察：经过小组合作交流,小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式
解法二：原式
感悟：对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时,我们可以将多项式分为若干组,再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的,这就是因式分解的分组分解法.分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用.(温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止)
类比：
(1)请用分组分解法将因式分解；
挑战：
(2)请用分组分解法将因式分解；
应用：
(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲,我们利用它验证了勾股定理.如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形,中间是一个小正方形.若直角三角形的两条直角边长分别是a和,斜边长是3,小正方形的面积是1.根据以上信息,先将因式分解,再求值.
26．在中,,,,点D是的中点.四边形是菱形(D,E,F,G按逆时针顺序排列),,且,菱形可以绕点D旋转,连接和,设直线和直线所夹的锐角为.
(1)在菱形绕点D旋转的过程中,当点E在线段上时,如图①,请直接写出与的数量关系及的值；
(2)当菱形绕点D旋转到如图②所示的位置时,(1)中的结论是否成立?若成立,请写出证明过程；若不成立,请说明理由；
(3)设直线与直线的交点为P,在菱形绕点D旋转一周的过程中,当所在的直线经过点B时,请直接写出的面积.
参考答案
1．答案：C
解析：A、,属于整式的乘法,故不符合题意；
B、,不符合几个整式乘积的形式,不是因式分解；故不符合题意；
C、,属于因式分解,故符合题意；
D、因为,所以因式分解错误,故不符合题意；
故选C.
2．答案：B
解析：∵四边形是平行四边形,对角线与相交于点O,
A.,不一定成立,故该选项不正确,不符合题意；
B.,故该选项正确,符合题意；
C.,不一定成立,故该选项不正确,不符合题意；
D.,不一定成立,故该选项不正确,不符合题意；
故选：B.
3．答案：B
解析：得,则,
∴,
∴,
故选：B.
4．答案：C
解析：设这个多边形的边数为n,
则,
解得：,
故选C.
5．答案：A
解析：,
由①得：,
由②得：,
∴不等式组的解集为：,
在数轴上表示如下：
,
故选A.
6．答案：A
解析：由函数图象可知不等式的解集即为一次函数图象在正比例函数图象下方的自变量的取值范围,
∴当时,x的取值范围是,
故选A.
7．答案：C
解析：
去分母得：,
解得,
∵关于x的分式方程的解为非正数,
∴,
∴且,
故选：C.
8．答案：C
解析：甲和乙的作法都正确：
理由是：
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴.
∴.
∵MN是AC的垂直平分线,
∴.
在和中,
∵,,,
∴,
∴.
∴四边形ANCM是平行四边形.
∵,
∴四边形ANCM是菱形.
如图,
∵,
∴,.
∵BF平分,AE平分,
∴,.
∴,.
∴,.
∴.
∵,且,
∴四边形ABEF是平行四边形.
∵,
∴平行四边形ABEF是菱形.
故选C.
9．答案：A
解析：∵,
∴,,,,…….；
由此可得规律为按2、、、四个数字一循环,
∵,
∴；
故选A.
10．答案：B
解析：连接DE、DF,过F作于N,过C作于M,
∵根据三角形的面积和平行四边形的面积得：
,即.
∴,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴
∵,∴.∴
∵,∴设,
∵,F是BC的中点,∴,,,
由勾股定理得：,
∴,
∴.∴,故选B.
11．答案：
解析：若代数式有意义,则,
解得：,
故答案为：.
12．答案：5
解析：在菱形中,,,
是等边三角形,
,
在菱形中,,则是直角三角形,
E是的中点,
,
故答案为：5.
13．答案：
解析：原式.
故答案为：.
14．答案：45
解析：∵正五边形的每一个内角为,
将正五边形纸片折叠,使点B与点E重合,折痕为,
则,
∵将纸片折叠,使边落在线段上,点B的对应点为点,折痕为,
∴,,
在中,,
故答案为：45.
15．答案：2或/或2
解析：,
解不等式①,得：,
解不等式②,得：,
不等式组的解集为,
所有整数解的和为14,
分两种情况：
(1)整数解为2,3,4,5时,,
解得,
a为整数,
；
(2)整数解为,0,1,2,3,4,5时,,
解得,
a为整数,
；
综上可知,整数a的值为2或,
故答案为：2或.
16．答案：
解析：过P作交于点H,
∵,,
∴四边形EODP是平行四边形,,
∴,
中,,
∴,
∴,
当P在AC边上时,H与C重合,此时OH的最小值,即的最小值是2；
当P在点B时,OH的最大值是：,即的最大值是5,
∴.
故答案为：.
17．答案：
解析：
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式的解集为：
18．答案：
解析：原方程可化为.
方程两边同乘,得.
解得.
检验：当时,.
∴原方程的解是.
19．答案：,当时,值为
解析：
,
,
,
∴当时,原式
20．答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
解析：(1)证明：∵四边形是平行四边形,
∴,,
∴,
又,
∴(SAS)；
(2)证明：∵,
∴,
∴,
∴四边形AECF是平行四边形
21．答案：(1)A型编程机器人模型单价是500元,B型编程机器人模型单价是300元
(2)购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少,最少花费是11200元
解析：(1)设A型编程机器人模型单价是x元,B型编程机器人模型单价是元.
根据题意,得
解这个方程,得
经检验,是原方程的根.
答：A型编程机器人模型单价是500元,B型编程机器人模型单价是300元.
(2)设购买A型编程机器人模型m台,购买B型编程机器人模型台,购买A型和B型编程机器人模型共花费w元,
由题意得：,解得.
∴
即,
∵,
∴w随m的增大而增大.
∴当时,w取得最小值11200,此时；
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少,最少花费是11200元.
22．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：∵四边形是平行四边形,
∴,,
∴,
∵、分别是、的平分线,
∴,,
∴,
∴,
∴四边形是平行四边形,
∵,
∴四边形是菱形；
(2)连接,
∵,,
∴,
∴,
∵四边形是菱形,
∴,
∴,
∴,,
∴,即,
∴,
∵,
∴,
∵的面积等于,
∴,
∴平行线与间的距离.
23．答案：(1)活动一更合算
(2)400元
(3)当或时,活动二更合算
解析：(1)购买一件原价为450元的健身器材时,
活动一需付款：元,活动二需付款：元,
∴活动一更合算；
(2)设这种健身器材的原价是x元,
则,
解得,
答：这种健身器材的原价是400元,
(3)这种健身器材的原价为a元,
则活动一所需付款为：元,
活动二当时,所需付款为：a元,
当时,所需付款为：元,
当时,所需付款为：元,
①当时,,此时无论a为何值,都是活动一更合算,不符合题意,
②当时,,解得,
即：当时,活动二更合算,
③当时,,解得,
即：当时,活动二更合算,
综上：当或时,活动二更合算.
24．答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)是直角三角形,证明见解析
解析：(1)的中点,M是的中点,
.
同理,.
,
.
.
(2)的中点,M是的中点,
,
.
同理,.
由(1)可知,
.
(3)是直角三角形,证明如下：
如图,取的中点P,连接,,
M是的中点,
,.
同理,,.
,
.
.
,
,
.
,
.
又,
是等边三角形,
.
又,
.
,
.
是直角三角形.
故答案为：是直角三角形.
25．答案：(1)
(2)
(3),9
解析：(1)
；
(2)
；
(3)
,
∴根据题意得,,
∴原式.
26．答案：(1),
(2)(1)中结论成立,证明见解析
(3)或
解析：(1),,理由如下：
在中,,,,
则,,
点D是的中点,
,
则,,
,
为等边三角形,
；
(2)(1)的结论成立,理由：
证明：延长交于点T,交于点N,
,
,
,,
,
,,
,
,
；
(3)当B、E、F共线时,如下图,连接,
根据图形的对称性,当B、E、F共线时,且点D是的中点,
则F、G、C共线,分别过点G、E作的垂线,垂足分别为H、M,交于点P,
,
则,
则,
即,均为等边三角形,
,
由(1)知为等边三角形,
则,则A、M、P、G共线,
由(1)、(2)知,,
则,
在等边三角形中,,
则,
,
；
当B、F重合时,也符合题意,如下图：
在中,,,
,
由(1)、(2)可知,,
,
设,则,
,
,
即,
解得：,
；
综上,的面积为：或.