人教版七年级数学下册同步知识点剖析精品讲义5.2平行线的判定(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册同步知识点剖析精品讲义5.2平行线的判定(原卷版+解析)，共24页。
平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示，
如：直线a与直线互相平行，记作a∥，读作a平行于b。
判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：
①有且只有一个公共点，两直线相交；
②无公共点，则两直线平行；
③两个或两个以上公共点，则两直线重合
平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
a
几何描述 ：∵∥a，∥a
∴∥
平行线的判定
判定方法1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简称：同位角相等，两直线平行
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
几何符号语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行
简称：内错角相等，两直线平行
几何符号语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
简称：同旁内角互补，两直线平行
几何符号语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

【题型一】平面内两直线的位置关系
【典题1】（2022秋·河南三门峡·七年级期中）在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（ ）
A．相交或平行B．相交或垂直C．平行或垂直D．不能确定
巩固练习
1．（）（2022秋·河北秦皇岛·七年级期末）在同一平面内，不重合的两直线的位置关系必是（ ）
A．垂直B．平行C．垂直或平行D．相交或平行
2．（）（2022秋·山东烟台·七年级期末）若P，Q是直线AB外不重合的两点，则下列说法不正确的是( )
A．直线PQ可能与直线AB垂直
B．直线PQ可能与直线AB平行
C．过点P的直线一定能与直线AB相交
D．过点Q只能画出一条直线与AB平行
3．（）（2022秋·江西吉安·七年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．在同一平面内，两条直线不垂直就平行
B．在同一平面内，没有公共点的两条射线是平行线
C．在同一平面内，两条线段不相交就重合
D．在同一平面内，没有公共点的两条线段也可能互相垂直
【题型二】用尺规画平行线
【典题1】（2022秋·江西赣州·七年级期中）如图所示，在∠AOB内有一点P，
（1）过P画L1∥OA；（2）过P画L2∥OB；
（3）用量角器量一量L1与L2相交的角与∠O的大小有怎样关系？
巩固练习
1．（）（2022秋·山东济宁·七年级期中）如图，点P是∠AOB的边OB上的一点．
(1)过点P画OB的垂线，交OA于点E；
(2)过点P画OA的垂线，垂足为H；
(3)过点P画OA的平行线PC.
2．（）（2022秋·山东聊城·七年级期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点M、N、P、Q均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），线段MN经过点P．
(1)过点P画MN的垂线；
(2)过点Q画MN的平行线；
(3)若格点F使△PFM的面积等于4，则这样的点F共有______个．
3（）．（2022春·江苏常州·七年级期末）如图，方格纸中小正方形的边长均为1cm，三角形ABC的顶点均为格点．
（1）过点C画AB的平行线l1；
（2）过点C画AB的垂线l2；
（3）三角形ABC的面积＝ cm2．
【题型三】平行公理的推论及应用
【典题1】（2022秋·云南曲靖·七年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a//b，b//c，则a//c
B．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．在同一平面内，a，b，c是直线，且a//b，b⊥c，则a∥c
D．在同一平面内，a，b，c是直线，则a//b，b∥c，则a⊥c
巩固练习
1．（）（2022秋·河北石家庄·七年级期末）如图，在平面内经过一点作已知直线的平行线，可作平行线的条数有（ ）
A．0条B．1条C．0条或1条D．无数条
2．（）（2022秋·河北唐山·七年级期中）在同一平面内，经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线（ ）
A．垂直B．相交C．平行D．垂直或平行
【题型四】利用同位角判定两直线平行
【典题1】（2022秋·江苏扬州·七年级校联考期中）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法，其依据是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行 B．两直线平行，同位角相等
C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行
巩固练习
1．（）（2022秋·山东泰安·七年级校考期中）如图，直线被直线所截，下列条件能判定的是（ ）
A．B．
C．D．
2（）（（2022秋·黑龙江大庆·七年级校考期末）如图，已知，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（）（（2022秋·河南商丘·七年级期末）如图，已知直线AB，CD被直线EF所截，如果要添加条件，使得MQ∥NP，那么下列条件中能判定MQ∥NP的是( )
A．∠1＝∠2B．∠BMF＝∠DNF
C．∠AMQ＝∠CNPD．∠1＝∠2，∠BMF＝∠DNF
【题型五】利用内错角判定两直线平行
【典题1】（2022春·福建福州期末）如图，点E在的延长线上，能判定的是（ ）
A．B．
C．D．
巩固练习
1．（）（2022秋·安徽滁州·七年级校考期末）如图，∠1＝∠2，由此推出的正确结论是（ ）
A．∠3＝∠4B．∠1＋∠3＝∠2＋∠4
C．AB∥CDD．AD∥BC
2．（）（2022秋·浙江绍兴·七年级校联考期中）如图，下列条件能判断a//b的有（ ）
A．∠2＝∠4B．∠1+∠2＝180°
C．∠1＝∠3D．∠2+∠3＝180°
3．（）（2022秋·辽宁沈阳·七年级校联考期中）下列图形中，由能得到的是（ ）
A．B．C．D．
【题型六】利用同旁内角判定两直线平行
【典题1】（2022秋·湖北武汉·七年级期中）如图，能判断直线AB∥CD的条件是（ ）
A．B．C．D．
巩固练习
1．（）（2022秋·重庆江津·七年级期末）如图，下列条件中能判定的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（）（2022秋·山东德州·七年级期末）如图，点E在CD的延长线上，BE与AD交于点F，下列条件能判断BC∥AD的是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠A＋∠CDA＝180°
C．∠4＝∠AD．∠2＋∠5＝180°
【题型七】求满足判定平行线条件的个数
【典题1】（2022秋·山东德州·七年级校考期中）如图，下列能判定ABCD的条件有（）个．
（1）；（2）；（3）；（4）．
A．1B．2C．3D．4
巩固练习
1．（）（2022秋·江苏连云港·七年级校考期末）如图，下列条件：中能判断直线的有( )
A．5个B．4个C．3个D．2个
2．（）（2022秋·广西来宾·七年级期末）如图，①，②，③，④可以判定的条件有（ ）．
A．①②④B．①②③C．②③④D．①②③④
3．（）（2022秋·湖北省直辖县级单位·七年级校考期中）如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件：
①；②；③；④，其中能判断的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
4．（）（2022秋·河北沧州·七年级期末）如图，下列不正确的是__________（填序号）
①如果，那么；②如果，那么；
③如果，那么；④如果，那么；
⑤如果，那么．
【题型八】与平行线判定有关的证明问题
【典题1】（2022秋·北京·七年级校考期中）完成下面的证明．
已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°．
求证：AB∥EF．
证明：∵∠1+∠2＝180°，
∴AB∥ （ ）．
∵∠3+∠4＝180°，
∴ ∥ ．
∴AB∥EF（ ）．
【典题2】 （2022秋·福建莆田·七年级校考期中）如图，已知，求证：．
巩固练习
1．（）（2022秋·内蒙古通辽·七年级期末）看图填空：
已知：如图，为上的点，为上的点，，求证：．
证明：
______，______
__________________
______
又____________
______
2（）（2022秋·山东济宁·七年级期中）如图，GM∥HN，EF分别交AB、CD于点G、H，∠BGH、∠DHF的平分线分别为GM、HN，求证：AB∥CD．
3. （）（2022秋·陕西西安·七年级校考期中）如图，直线、交于点O，，分别平分和，已知，且．
(1)求的度数；
(2)试说明的理由．
4（）．（2022秋·河北保定·七年级期中）如图，点在直线上，射线、分别平分、．
(1)试判断、的位置关系，并说明理由；
(2)若，且，求证：．
5.2 平行线的判定
平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示，
如：直线a与直线互相平行，记作a∥，读作a平行于b。
判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：
①有且只有一个公共点，两直线相交；
②无公共点，则两直线平行；
③两个或两个以上公共点，则两直线重合
平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
a
几何描述 ：∵∥a，∥a
∴∥
平行线的判定
判定方法1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简称：同位角相等，两直线平行
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
几何符号语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行
简称：内错角相等，两直线平行
几何符号语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
简称：同旁内角互补，两直线平行
几何符号语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

【题型一】平面内两直线的位置关系
【典题1】（2022秋·河南三门峡·七年级期中）在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（ ）
A．相交或平行B．相交或垂直C．平行或垂直D．不能确定
【详解】解：在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：相交或平行，
故选：A．
巩固练习
1．（）（2022秋·河北秦皇岛·七年级期末）在同一平面内，不重合的两直线的位置关系必是（ ）
A．垂直B．平行C．垂直或平行D．相交或平行
【详解】解：在同一个平面内，两条直线只有两种位置关系，即平行或相交．
故选：D．
2．（）（2022秋·山东烟台·七年级期末）若P，Q是直线AB外不重合的两点，则下列说法不正确的是( )
A．直线PQ可能与直线AB垂直
B．直线PQ可能与直线AB平行
C．过点P的直线一定能与直线AB相交
D．过点Q只能画出一条直线与AB平行
【详解】PQ与直线AB可能平行，也可能垂直，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故A、B、D均正确，故C错误；故选C．
3．（）（2022秋·江西吉安·七年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．在同一平面内，两条直线不垂直就平行
B．在同一平面内，没有公共点的两条射线是平行线
C．在同一平面内，两条线段不相交就重合
D．在同一平面内，没有公共点的两条线段也可能互相垂直
【详解】解：A、在同一平面内，两条直线不相交就平行，则此项错误，不符合题意；
B、在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，则此项错误，不符合题意；
C、在同一平面内，两条线段不相交，也有可能不重合，则此项错误，不符合题意；
D、在同一平面内，没有公共点的两条线段也可能互相垂直，则此项正确，符合题意；
故选：D．
【题型二】用尺规画平行线
【典题1】（2022秋·江西赣州·七年级期中）如图所示，在∠AOB内有一点P，
（1）过P画L1∥OA；（2）过P画L2∥OB；
（3）用量角器量一量L1与L2相交的角与∠O的大小有怎样关系？
【详解】解：(1)(2)如图所示；
(3)l1与l2的夹角有两个：∠1，∠2.因为∠1=∠O，∠2+∠O=180°，所以l1与l2的夹角与∠O相等或互补.
巩固练习
1．（）（2022秋·山东济宁·七年级期中）如图，点P是∠AOB的边OB上的一点．
(1)过点P画OB的垂线，交OA于点E；
(2)过点P画OA的垂线，垂足为H；
(3)过点P画OA的平行线PC.
【解析】
（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
（3）解：如图所示：
2．（）（2022秋·山东聊城·七年级期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点M、N、P、Q均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），线段MN经过点P．
(1)过点P画MN的垂线；
(2)过点Q画MN的平行线；
(3)若格点F使△PFM的面积等于4，则这样的点F共有______个．
【详解】（1）解：如图
（2）如图
（3）满足条件的点F有6个．
3（）．（2022春·江苏常州·七年级期末）如图，方格纸中小正方形的边长均为1cm，三角形ABC的顶点均为格点．
（1）过点C画AB的平行线l1；
（2）过点C画AB的垂线l2；
（3）三角形ABC的面积＝ cm2．
【详解】解：（1）如图，直线l1即为所求作．
（2）如图，直线l2即为所求作．
（3）△ABC的面积＝3×3﹣×2×3﹣×1×2﹣×1×3＝．
故答案为：．
【题型三】平行公理的推论及应用
【典题1】5．（2022秋·云南曲靖·七年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a//b，b//c，则a//c
B．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．在同一平面内，a，b，c是直线，且a//b，b⊥c，则a∥c
D．在同一平面内，a，b，c是直线，则a//b，b∥c，则a⊥c
【详解】解：先根据要求画出图形，图形如下图所示：
根据所画图形可知：A正确．
巩固练习
1．（）（2022秋·河北石家庄·七年级期末）如图，在平面内经过一点作已知直线的平行线，可作平行线的条数有（ ）
A．0条B．1条C．0条或1条D．无数条
【详解】解：在同一平面内，当这个点在直线上时，此时可作0条与已知直线平行的线，，
当这个点在直线外时，可以作一条直线于已知直线m的平行．故选C．
2．（）（2022秋·河北唐山·七年级期中）在同一平面内，经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线（ ）
A．垂直B．相交C．平行D．垂直或平行
【详解】解：在同一平面内，经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直或平行；故选：D．
【题型四】利用同位角判定两直线平行
【典题1】（2022秋·江苏扬州·七年级校联考期中）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法，其依据是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行 B．两直线平行，同位角相等
C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行
【详解】如图：
∵∠1＝∠2，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）．
故选：C．
巩固练习
1．（）（2022秋·山东泰安·七年级校考期中）如图，直线被直线所截，下列条件能判定的是（ ）
A．B．
C．D．
【详解】A、当∠1=∠3时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；
B、当∠2+∠4=180°时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；
C、当∠4=∠5时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；
D、当∠1=∠2时，a∥b，故此选项符合题意；故选：D
2（）（（2022秋·黑龙江大庆·七年级校考期末）如图，已知，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：A.∠1与∠2是邻补角，无法判断两条铁轨平行，故此选项不符合题意；
B. ∠1与∠3与两条铁轨平行没有关系，故此选项不符合题意；
C. ∠1与∠4是同位角，且∠1=∠4=90°，故两条铁轨平行，所以该选项正确；
D. ∠1与∠5与两条铁轨平行没有关系，故此选项不符合题意；故选：C．
3．（）（（2022秋·河南商丘·七年级期末）如图，已知直线AB，CD被直线EF所截，如果要添加条件，使得MQ∥NP，那么下列条件中能判定MQ∥NP的是( )
A．∠1＝∠2B．∠BMF＝∠DNF
C．∠AMQ＝∠CNPD．∠1＝∠2，∠BMF＝∠DNF
【详解】A.∠1与∠2不是同位角，不能判定MQ∥NP，故该选项不符合题意，
B.∠BMF＝∠DNF，只能判定AB//CD，不能∠BMF＝∠DNF，故该选项不符合题意，
C.∠AMQ与∠CNP不是同位角，不能判定MQ∥NP，故该选项不符合题意，
D. ∵∠BMF＝∠DNF，∴AB//CD，∠EMB=∠MND，
∵∠1=∠2，∴∠EMQ=∠MNP，∴MQ∥NP，故该选项符合题意，故选D.
【题型五】利用内错角判定两直线平行
【典题1】（2022春·福建福州期末）如图，点E在的延长线上，能判定的是（ ）
A．B．
C．D．
【详解】A. ，，故该选项不符合题意；
B. ，，故该选项符合题意；
C. ，，故该选项不符合题意；
D. ，，故该选项不符合题意；
故选B
巩固练习
1．（）（2022秋·安徽滁州·七年级校考期末）如图，∠1＝∠2，由此推出的正确结论是（ ）
A．∠3＝∠4B．∠1＋∠3＝∠2＋∠4
C．AB∥CDD．AD∥BC
【详解】解：∵∠1＝∠2，∴故选C
2．（）（2022秋·浙江绍兴·七年级校联考期中）如图，下列条件能判断a//b的有（ ）
A．∠2＝∠4B．∠1+∠2＝180°
C．∠1＝∠3D．∠2+∠3＝180°
【详解】解：A．根据∠2=∠4能推出a∥b，故本选项符合题意；
B．根据∠1+∠2=180°不能推出a∥b，故本选项不符合题意；
C．根据∠1=∠3不能推出a∥b，故本选项不符合题意；
D．根据∠2+∠3=180°不能推出a∥b，故本选项不符合题意；
故选：A．
3．（）（2022秋·辽宁沈阳·七年级校联考期中）下列图形中，由能得到的是（ ）
A．B．C．D．
【详解】A.∠1＝∠2，不能判断，故A不符合题意；
B.∵∠1＝∠2，∴（内错角相等，两直线平行），故B符合题意；
C.，，故C不符合题意；
D.∠1＝∠2，不能判断，故D不符合题意．故选：B．
【题型六】利用同旁内角判定两直线平行
【典题1】（2022秋·湖北武汉·七年级期中）如图，能判断直线AB∥CD的条件是（ ）
A．B．C．D．
【详解】A选项中∠3和∠4的对顶角是一组同旁内角，所以当∠3+∠4=180°时AB∥CD；
B选项中∠3和∠4的对顶角是一组同旁内角，所以当∠3=∠4时AB与CD不一定平行；
C选项中∠1和∠3的对顶角是一组同旁内角，所以当∠1+∠3=180°时，AB与CD不一定平行；
D选项中∠1和∠2的对顶角是一组同旁内角，所以当∠1=∠2时AB与CD不一定平行．
故选：A．
巩固练习
1．（）（2022秋·重庆江津·七年级期末）如图，下列条件中能判定的是（ ）
A．B．
C．D．
【详解】解：A. ∵不是直线形成的内错角与同位角，
∴故不能判断；
B. ∵是直线形成的内错角，
∴可判断，故不能判断；
C. ∵直线形成的同旁内角，
∴，
∴，
故可判定；
D. ∵是直线形成的同位角，
∴可判断，故不能判断；
故选择C．
2．（）（2022秋·山东德州·七年级期末）如图，点E在CD的延长线上，BE与AD交于点F，下列条件能判断BC∥AD的是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠A＋∠CDA＝180°
C．∠4＝∠AD．∠2＋∠5＝180°
【详解】解：∵∠1＝∠3，∴AB∥CD，故A不符合题意；
∵∠A+∠CDA＝180°，∴AB∥CD，故B不符合题意；
∵∠4＝∠A，∴AB∥CD，故C不符合题意；
∵∠2+∠5＝180°，∠DFE+∠5＝180°，∴∠DFE＝∠2，∴BC∥AD，故D符合题意；
故选：D．
【题型七】求满足判定平行线条件的个数
【典题1】（2022秋·山东德州·七年级校考期中）如图，下列能判定ABCD的条件有（）个．
（1）；（2）；（3）；（4）．
A．1B．2C．3D．4
【详解】解：当∠B+∠BCD=180°，ABCD，符合题意；
当∠1=∠2时，ADBC，不符合题意；
当∠3=∠4时，ABCD，符合题意；
当∠B=∠5时，ABCD，符合题意．
综上，符合题意的有3个，故选：C．
巩固练习
1．（）（2022秋·江苏连云港·七年级校考期末）如图，下列条件：中能判断直线的有( )
A．5个B．4个C．3个D．2个
【详解】解：①∵∠1=∠3，∴l1∥l2，故本小题正确；
②∵∠2+∠4=180°，∴l1∥l2，故本小题正确；
③∵∠4=∠5，∴l1∥l2，故本小题正确；
④∠2=∠3不能判定l1∥l2，故本小题错误；
⑤∵∠6=∠2+∠3，∴l1∥l2，故本小题正确．
故选B．
2．（）（2022秋·广西来宾·七年级期末）如图，①，②，③，④可以判定的条件有（ ）．
A．①②④B．①②③C．②③④D．①②③④
【详解】解：①由于∠1和∠3是同位角，则①可判定；
②由于∠2和∠3是内错角，则②可判定；
③①由于∠1和∠4既不是同位角、也不是内错角，则③不能判定；
④①由于∠2和∠5是同旁内角，则④可判定；
即①②④可判定．
故选A．
3．（）（2022秋·湖北省直辖县级单位·七年级校考期中）如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件：
①；②；③；④，其中能判断的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
【详解】解：①∵∠1=∠3，∴AD∥BC；
②∵∠2+∠5=180°，∠5=∠AGC，∴∠2+∠AGC=180°，∴AB∥CD；
③∵∠4=∠B，∴AB∥CD；
④∵∠D+∠BCD=180°，∴AD∥BC．
故选：B．
4．（）（2022秋·河北沧州·七年级期末）如图，下列不正确的是__________（填序号）
①如果，那么；②如果，那么；
③如果，那么；④如果，那么；
⑤如果，那么．
【详解】解：①∵，
∴（同位角相等，两直线平行），故正确；
②∵，
∴（同位角相等，两直线平行），故正确；
③和不属于三线八角中的其中一类，故无法判断，故错误；
④∵，∴（同位角相等，两直线平行），故正确；
⑤和不属于三线八角中的其中一类，故无法判断，故错误．
故答案为：③⑤
【题型八】与平行线判定有关的证明问题
【典题1】（2022秋·北京·七年级校考期中）完成下面的证明．
已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°．
求证：AB∥EF．
证明：∵∠1+∠2＝180°，
∴AB∥ （ ）．
∵∠3+∠4＝180°，
∴ ∥ ．
∴AB∥EF（ ）．
【详解】证明：如图所示：
∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∵∠3+∠4＝180°（已知），
∴CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行），
∴AB∥EF（若两直线同时平行于第三直线，则这两直线也相互平行），
故答案为：CD；同旁内角互补，两直线平行；CD；EF；若两直线同时平行于第三条直线，则这两条直线也相互平行．
【典题2】 （2022秋·福建莆田·七年级校考期中）如图，已知，求证：．
【详解】证明：，，
，，又∵，．
巩固练习
1．（）（2022秋·内蒙古通辽·七年级期末）看图填空：
已知：如图，为上的点，为上的点，，求证：．
证明：
______
，______
______
____________
______
又______
______
______
【详解】解：已知，
，对顶角相等，
等量代换，
内错角相等，两直线平行，
两直线平行，同位角相等，
已知，
等量代换，
内错角相等，两直线平行．
2（）（2022秋·山东济宁·七年级期中）如图，GM∥HN，EF分别交AB、CD于点G、H，∠BGH、∠DHF的平分线分别为GM、HN，求证：AB∥CD．
【详解】证明：∵GM∥HN，
∴∠MGH＝∠NHF，
∵∠BGH、∠DHF的平分线分别为GM、HN，
∴∠BGH＝2∠MGH，∠DHF＝2∠NHF，
∴∠BGH＝∠DHF，
∴AB∥CD．
3. （）（2022秋·陕西西安·七年级校考期中）如图，直线、交于点O，，分别平分和，已知，且．
(1)求的度数；
(2)试说明的理由．
【详解】（1）解：∵，分别平分和，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，，
∴，
∴．
4（）．（2022秋·河北保定·七年级期中）如图，点在直线上，射线、分别平分、．
(1)试判断、的位置关系，并说明理由；
(2)若，且，求证：．
【解析】
(1)解：，
理由如下：
∵平分，平分，
∴，，
，
∴，
∴；
(2)证明：∵（已证），（已知），
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴．