人教版七年级数学下册同步知识点剖析精品讲义8.1二元一次方程组(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册同步知识点剖析精品讲义8.1二元一次方程组(原卷版+解析)，共16页。
二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。
【注意】1) 二元：含有两个未知数；
2）一次：所含未知数的项的次数都是1。例如：xy=1，xy的次数是二，属于二元二次方程。
3) 方程：方程的左右两边必须都是整式（分母不能出现未知数）。
二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
【易错点】二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解。
【解题技巧】在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值。
二元一次方程组的概念：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，叫做二元一次方程组．
二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
【注意】1）二元一次方程组的解是方程中每个方程的解。
2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的，但是有的方程组有无数个解或无解。
如：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝5，,4x＋4y＝20.))（无数解），如：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝5，,x＋y＝2.))（无解）

【题型一】二元一次方程的定义
【典题】（2023春·七年级课时练习）下列各方程是二元一次方程的是（ ）
A． B．C．D．
巩固练习
1．（）（2023春·江苏·七年级期中）如果是二元一次方程，那么（ ）
A． B． C． D．
2．（）（2022春·福建漳州·七年级统考期中）方程是关于x、y的二元一次方程，则（ ）
A．； B．，
C．， D．，
3．（）（2022秋·山东菏泽·七年级校考期末）方程：①；②；③；④，其中一元一次方程的个数是（ ）
A．个B．个C．个D．个
【题型二】二元一次方程的解
【典题】（2022春·海南海口·七年级校考期中）若是方程的一个解，则的值为（ ）
A．1B． C．3D．2
巩固练习
1．（）（2022春·海南海口·七年级校考期中）下列各对数是二元一次方程的解的是（ ）
A．B．C．D．
2．（）（2022春·山东日照·七年级日照市新营中学校考期中）袋里有若干个大小相同红球和白球，如果摸一红球得5分，摸一白球得1分． 那么总得分为分摸法有多少种？（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（）（2023春·浙江·七年级期中）方程的非负整数解有（）
A．1组B．2组C．3组D．4组
4．（）（2022秋·重庆北碚·七年级统考期末）为安置50名培训人员入住，需要同时租用6人间和4人间两种客房，若每个房间都住满，则租房方案共有（ ）
A．4种B．5种C．6种D．7种
【题型三】判断是否二元一次方程组
【典题】（2023春·全国·七年级期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
巩固练习
1．（）（2022春·山东淄博·七年级校考期中）下列方程组中，二元一次方程组一共有（ ）个．
（1），（2），（3），（4）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（）（2022春·山东临沂·七年级统考期中）在下列方程组：①，②，③，④，⑤中，是二元一次方程组的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①②⑤D．①②③⑤
【题型四】判断是否二元一次方程组的解
【典题】（2022春·福建龙岩·七年级校考期中）已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组是（ ）
A．B．C．D．
巩固练习
1．（）（2022春·山东泰安·七年级统考期中）方程与下列方程构成的方程组的解为的是（ ）
A．B．C．D．
2．（）（2023春·七年级课时练习）已知方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【题型五】已知二元一次方程组的解求参数
【典题】（2022春·陕西渭南·七年级统考期末）已知是二元一次方程组的解，求的平方根．
巩固练习
1．（）（2022春·陕西渭南·七年级统考期末）已知关于、的方程组的解是，求的值．
2．（）（2023春·七年级课时练习）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a得到方程的解为，乙看错了方程②中的b得到方程组的解为，求a+b的值是多少？
3．（）（2023春·七年级课时练习）已知关于，的二元一次方程，是不为零的常数．
(1)若是该方程的一个解，求的值；
(2)当每取一个不为零的值时，都可得到一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．
8.1 二元一次方程组
二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。
【注意】1) 二元：含有两个未知数；
2）一次：所含未知数的项的次数都是1。例如：xy=1，xy的次数是二，属于二元二次方程。
3) 方程：方程的左右两边必须都是整式（分母不能出现未知数）。
二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
【易错点】二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解。
【解题技巧】在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值。
二元一次方程组的概念：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，叫做二元一次方程组．
二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
【注意】1）二元一次方程组的解是方程中每个方程的解。
2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的，但是有的方程组有无数个解或无解。
如：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝5，,4x＋4y＝20.))（无数解），如：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝5，,x＋y＝2.))（无解）

【题型一】二元一次方程的定义
【典题】（2023春·七年级课时练习）下列各方程是二元一次方程的是（ ）
A． B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二元一次方程定义：含有两个未知数，未知数最高次数为1的整式方程，逐项判定即可得到答案．
【详解】解：A、符合定义，故符合题意；
B、方程的最高次数是2，不符合定义，故不符合题意；
C、方程的最高次数是2，不符合定义，故不符合题意；
D、方程不是整式方程，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程定义，熟记含有两个未知数，未知数最高次数为1的整式方程叫二元一次方程是解决问题的关键．
巩固练习
1．（）（2023春·江苏·七年级期中）如果是二元一次方程，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用二元一次方程的定义直接判断即可确定出与的值．
【详解】解：∵是二元一次方程，
∴，解得，
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．
2．（）（2022春·福建漳州·七年级统考期中）方程是关于x、y的二元一次方程，则（ ）
A．； B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】根据二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，进行解答即可．
【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程，
∴，，，，
解得：，，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
3．（）（2022秋·山东菏泽·七年级校考期末）方程：①；②；③；④，其中一元一次方程的个数是（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】根据一元一次方程的定义即可求解．
【详解】解：有两个未知数，因而不是一元一次方程；
不是整式方程，故不是一元一次方程；
是一元一次方程；
是一元一次方程．
故选：．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的概念，理解一元一次方程的概念是解题的关键．
【题型二】二元一次方程的解
【典题】（2022春·海南海口·七年级校考期中）若是方程的一个解，则的值为（ ）
A．1B． C．3D．2
【答案】D
【分析】将方程的解代入原方程中，解关于的一元一次方程即可求解．
【详解】解：将代入得：
，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解的概念，解一元一次方程，理解方程的解的概念是解题的关键．
巩固练习
1．（）（2022春·海南海口·七年级校考期中）下列各对数是二元一次方程的解的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二元一次方程解的定义，逐项计算，即可求解．
【详解】解：A、把代入得：，则是二元一次方程的解，故本选项符合题意；
B、把代入得：，则不是二元一次方程的解，故本选项不符合题意；
C、把代入得：，则不是二元一次方程的解，故本选项不符合题意；
D、把代入得：，则不是二元一次方程的解，故本选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
2．（）（2022春·山东日照·七年级日照市新营中学校考期中）袋里有若干个大小相同红球和白球，如果摸一红球得5分，摸一白球得1分． 那么总得分为分摸法有多少种？（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】设摸红球x个，白球y个，依题意列出二元一次方程，找到符合实际条件的解即可．
【详解】解：设摸红球x个，白球y个，
依题意得：，
符合实际条件的解由：
，，，，，
共5种，
故选：C．
【点睛】本题考查了列二元一次方程即方程组的解；解题的关键是找到符合实际的解．
3．（）（2023春·浙江·七年级期中）方程的非负整数解有（）
A．1组B．2组C．3组D．4组
【答案】C
【分析】把x看作已知数求出y，即可确定出非负整数解．
【详解】解∶，
，
当时，时，时，，
则方程的非负整数解为或或
故选∶C．
【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y．
4．（）（2022秋·重庆北碚·七年级统考期末）为安置50名培训人员入住，需要同时租用6人间和4人间两种客房，若每个房间都住满，则租房方案共有（ ）
A．4种B．5种C．6种D．7种
【答案】A
【分析】设租用x间6人间，租用y间4人间，根据参加培训的共50人，即可得出关于x，y的二元一次方程，再结合x，y均为正整数即可得出结论．
【详解】解：设租用x间6人间，租用y间4人间，
依题意，得：，
∴．
又∵x，y均为正整数，
∴或或或，
∴共有4种租房方案．
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
【题型三】判断是否二元一次方程组
【典题】（2023春·全国·七年级期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用二元一次方程组的定义逐一选项判断即可．
【详解】解：A、原方程组中含有分式方程，不是二元一次方程组，不合题意；
B、原方程组是二元二次方程组，不是二元一次方程组，不合题意；
C、原方程组中含有三个未知数，是三元一次方程组，不合题意；
D、原方程组是二元一次方程组，符合题意，
故选：D
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键．
巩固练习
1．（）（2022春·山东淄博·七年级校考期中）下列方程组中，二元一次方程组一共有（ ）个．
（1），（2），（3），（4）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且含未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．
【详解】解：（1）符合二元一次方程组的定义；
（2）第二个方程中的是二次的，故该选项不符合题意；
（3）第一个方程不是整式方程，故该选项不符合题意；
（4）符合二元一次方程组的定义．
则二元一次方程组共2个，
故选：B．
【点睛】此题考查了二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案．
2．（）（2022春·山东临沂·七年级统考期中）在下列方程组：①，②，③，④，⑤中，是二元一次方程组的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①②⑤D．①②③⑤
【答案】C
【分析】由二元一次方程组的概念可直接判断得到答案．
【详解】解：由二元一次方程组的概念：方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次；可判断①②⑤是二元一次方程组．
故选：C．
【点睛】本题考查二元一次方程组的概念，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【题型四】判断是否二元一次方程组的解
【典题】（2022春·福建龙岩·七年级校考期中）已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把代入方程组检验即可．
【详解】解：A、将代入方程组，
可得：，
即是方程组的解，符合题意；
B、将代入方程组，
可得：，
即不是方程组的解，不符合题意；
C、将代入方程组，
可得：，
即不是方程组的解，不符合题意；
D、将代入方程组，
可得：，
即不是方程组的解，不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
巩固练习
1．（）（2022春·山东泰安·七年级统考期中）方程与下列方程构成的方程组的解为的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将x、y代入选项检验即可得到结论．
【详解】解：将，代入，方程成立，
故选：D．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
2．（）（2023春·七年级课时练习）已知方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由整体换元思想可得，求出x，y的值即可．
【详解】解：∵方程组的解是，
∴方程组的解满足关系式，
解得，，
故选：C
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系是解答此题的关键．
【题型五】已知二元一次方程组的解求参数
【典题】（2022春·陕西渭南·七年级统考期末）已知是二元一次方程组的解，求的平方根．
【答案】
【分析】将x和y的值代入原方程，得到关于a和b的方程组，求出a和b的值即可．
【详解】解：把代入二元一次方程组，
得：，解得：．
∴，
∴的平方根为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解以及平方根，解题的关键是求出a和b的值．
巩固练习
1．（）（2022春·陕西渭南·七年级统考期末）已知关于、的方程组的解是，求的值．
【答案】3
【分析】把代入方程组得出关于m，n的方程组，求出m，n的值，代入|m-n|计算，即可得出答案．
【详解】解：∵关于、的方程组的解是
∴
解得
∴．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，绝对值，理解二元一次方程组的解的定义，绝对值的意义是解决问题的关键．
2．（）（2023春·七年级课时练习）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a得到方程的解为，乙看错了方程②中的b得到方程组的解为，求a+b的值是多少？
【答案】
【分析】根据方程组解的定义，应满足方程②，应满足方程①，将它们分别代入方程②①，就可得到关于a，b的方程，解得a，b的值．
【详解】解：根据题意 是②方程的解， 是①方程的解，
∴ ，
解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组解的定义，解决本题的关键是熟练掌握二元一次方程组解的定义．
3．（）（2023春·七年级课时练习）已知关于，的二元一次方程，是不为零的常数．
(1)若是该方程的一个解，求的值；
(2)当每取一个不为零的值时，都可得到一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将方程的解代入方程中求解限可；
（2）方法一：取k的两个特殊值，得到二元一次方程组，解之即可；方法二：将原方程转化为，根据当每取一个不为零的值时所得方程都有一个公共解可得x+1=0，y-2=0，解之即可．
【详解】（1）解：将代入方程得，
解得；
（2）解法一：任取两个的值，不妨取，得到两个方程并组成方程组，
解得，
即这个方程的公共解是；
解法二：原方程可化为，当时，无论取任何一个不为0的值时，都有，
解得，，
即这个方程的公共解是．
【点睛】本题考查二元一次方程的解，解题关键是理解什么是方程的解．