人教版七年级数学下册同步知识点剖析精品讲义8.3实际问题与二元一次方程组(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册同步知识点剖析精品讲义8.3实际问题与二元一次方程组(原卷版+解析)，共26页。

【题型一】利用二元一次方程组解决方案问题
【典题】 （2022秋·安徽宣城·七年级统考期末）某医疗器械厂计划用600万元资金采购一批口罩生产机器，其中甲型机器每台的售价为10万元，乙型机器每台的售价为45万元．若购买甲型机器的数量是乙型机器数量的5倍还多3台，则甲、乙两种机器分别购入多少台？
巩固练习
1．（）（2022秋·陕西咸阳·七年级校考期末）为更好地开展阳光体育活动，学校准备到某体育用品店购进一批A型篮球和B型篮球．已知A型篮球的标价比B型篮球的标价每个贵30元，购买8个A型篮球和10个B型篮球共需1320元．
(1)A型篮球和B型篮球的标价各是多少？
(2)该体育用品店推出了以下优惠方案：
方案一：所有商品按标价的九折销售；
方案二：所有商品按标价购买，总费用超过2000元时，超过部分按七折收费．
学校计划在该店购买20个A型篮球和30个B型篮球，选择哪种方案更合算？请说明理由．
2．（）（2022春·四川绵阳·七年级校联考期中）面对当前疫情形势，某工厂迅速反应，研发出两种新型口罩和消毒液．已知1平方米甲型布料可以制成20个A型口罩和10个B型口罩．1平方米乙型布料可以制成10个A型口罩和20个B型口罩，现需要制作1500个A型口罩和1800个B型口罩．为了支援某灾区，现有消毒液19吨．计划同时租用甲型车a辆，乙型车b辆，一次运完，甲型车一次满载2吨，乙型车一次满载3吨，且恰好每辆车都载满消毒液．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)恰好需要甲，乙布料各多少平方米？
(2)在运送消毒液时，请你设计所有可能的租车方案．
【题型二】利用二元一次方程组解决行程问题
【典题】（2022春·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）甲乙二人分别从相距千米的A，两地出发，相向而行．如果甲比乙早出发半小时，那么在乙出发后小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么小时后两人还相距千米，求甲乙二人每小时各走多少千米？
巩固练习
1．（）（2022春·河南南阳·七年级统考期中）A、B两地相距3千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地，两人同时出发，20分钟后两人相遇，又经过10分钟，甲所余路程为乙所余路程的2倍．
(1)求甲、乙每小时各行多少千米？
(2)在他们出发后几分钟两人相距1.5千米（直接写出结果）？
2．（）（2022春·吉林四平·七年级统考期末）从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果保持上坡路每小时走3千米，平路每小时走4千米，下坡路每小时走5千米，那么从甲地到乙地需0.9小时，从乙地到甲地需0.7小时。请问从甲地到乙地上坡路与平路各是多少千米？
【题型三】利用二元一次方程组解决工程问题
【典题】（2022春·甘肃金昌·七年级校考期中）甲、乙共同加工420个零件需12小时，已知甲3小时与乙4小时加工的零件数相等，问甲、乙每小时各加工多少个零件？
巩固练习
1．（）（2022春·河北唐山·七年级统考期末）3月12日是我国的植树节．这一天，某校七年级共有240名学生参加义务植树活动．如果平均每人每天挖树坑6个或栽树10课，那么，怎样安排学生才能使这一天挖出的树坑全部栽上树苗？（要求列方程组解答）
2．（）（2022春·河南南阳·七年级统考期末）甲、乙两人同时加工一批零件，前3小时两人共加工126件，后5小时中甲先花了1小时修理工具，之后甲每小时比以前多加工10件，乙由于体力消耗较大，每小时比原来少加工1件，结果在后5小时内，甲比乙多加工了15件，甲、乙两人原来每小时各加工多少件？
【题型四】利用二元一次方程组解决分配问题
【典题】（2022春·广东东莞·七年级统考期中）学校6名教师和234名学生集体外出活动，准备租用45座大客车或30座小客车，若租用1辆大客车、2辆小客车共需租车费1000元；若租用2辆大客车、1辆小客车共需租车费1100元．
(1)求每辆大、小客车的租车费各是多少元？
(2)怎样租车，正好坐满？写出所有的可能性．（请列方程解答）．
巩固练习
1（）（2022秋·安徽·七年级统考期末）某蔬菜基地第一次向甲地运输124吨蔬菜，恰好装满5辆大货车和2辆小货车；第二次向甲地运输180吨蔬菜，恰好装满6辆大货车和5辆小货车．
(1)装满2辆大货车和3辆小货车能运输多少吨蔬菜？
(2)第三次安排大、小货车共12辆向甲地运输208吨蔬菜，若要使得每辆车都装满，则大货车和小货车分别需要多少辆？
2．（）（2022春·浙江金华·七年级校联考期中）工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完．
(1)若工作人员领取正方形纸板560张，长方形纸板940张，请问利用领取的纸板做了竖式与横式纸盒各多少个？
(2)若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为1：3，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值．
【题型五】利用二元一次方程组解决销售利润问题
【典题】（2022春·海南海口·七年级校考期中）为了丰富同学们的课外生活，体育委员到体育用品商店购买羽毛球拍和乒乓球拍，若购买1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需80元，小强一共用了530元购买了7副同样的羽毛球拍和6副同样的乒乓球拍，问羽毛球拍和乒乓球拍各多少元一副？
巩固练习
1．（）（2022春·河北秦皇岛·七年级校考期中）某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的、两种型号的电风扇，表中是近两周的销售情况：
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本）
求、两种型号的电网扇的销售单价．
2 （）（2022春·广东佛山·七年级校考期中）某服装店用5700元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3600元（毛利润＝售价－进价），这两种服装的进价，标价如表所示．
(1)请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数；
(2)如果A种服装按标价的9折出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元？
【题型六】利用二元一次方程组解决和差倍分问题
【典题】（2022春·黑龙江鸡西·七年级校考期中）一个学生有中国邮票和外国邮票共200张，中国邮票的张数比外国邮票的张数的2倍少10张，这个学生有中国邮票和外国邮票各多少张？
巩固练习
1．（）（2022春·山东烟台·七年级统考期末）某工艺品店购进A，B两种工艺品，已知这两种工艺品的单价之和为200元，购进2个A种工艺品和3个B种工艺品需花费520元．求A，B两种工艺品的单价．
22．（）（2022春·浙江温州·七年级统考期末）某班级学生打算购入多肉植物为教室增添绿色气息．该班学生在市场上了解到甲、乙两种多肉的价格和大小都比较合适，现有如下信息：
(1)求甲、乙两种多肉每个分别是多少元？
(2)若该班同学购买多肉共花费120元，设甲、乙两种多肉分别购买m个，n个（，）．
①用含m的代数式表示n．
②若m，n均为偶数，求出所有满足条件的购买方案，并指出哪种购买方案总数量最多．
【题型七】利用二元一次方程组解决几何
【典题】（2022秋·上海·七年级校考期中）如图，图①是一个长为2n、宽为2m的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形．
(1)图②中拼成的大正方形的面积为 ；
(2)图②中的阴影部分的面积为 ；
(3)若已知图②中拼成的大正方形的周长为28，阴影部分的周长为20，则图①中平均分成的每个小长方形的面积是 ．
巩固练习
1．（）（2022秋·吉林长春·七年级吉林省第二实验学校校联考期中）学校举办“艺术周”创意设计展览，如图，现有一个大正方形和四个一样的小正方形，小华、小雨分别用这些正方形设计出了图1，图2两种图案，根据图1，图2中所标数据，求出大正方形和小正方形的边长分别是多少厘米？
2．（）（2022春·河南驻马店·七年级统考期末）聪聪手中有一块长方形的硬纸片，其中长比宽多，长方形的周长是．
(1)求长方形硬纸片的面积；
(2)现在聪聪想用这块长方形硬纸片沿着边裁出一块长与宽的比为5∶4，面积为的新纸片作为他用，聪聪不知道能否裁得出来，正在发愁．明明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意明明的说法吗？聪聪能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
【题型八】利用二元一次方程组解决古代
【典题】（2022春·吉林长春·七年级统考期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中第八卷有这样一个问题：今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？意思是：甲、乙都有钱不知多少，若甲得到乙一半的钱，则甲有50文钱；若乙得到甲三分之二的钱，则乙也有50文钱．问甲、乙各有几文钱？
巩固练习
1（）（2022春·湖南常德·七年级统考期末）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？
(2)若某商人准备用24两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
2．（）（2022秋·安徽滁州·七年级统考期末）《九章算术》是中国古代数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是其最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛三、羊一，直金七两；牛二、羊三，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有3头牛、1只羊，值金7两；2头牛、3只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”
销售时段
销售数量
销售收入
种型号
种型号
第一周
3台
5台
1800元
第二周
4台
10台
3100元
类型价格
A型
B型
进价（元/件）
60
100
标价（元/件）
100
160
8.3 实际问题与二元一次方程组

【题型一】利用二元一次方程组解决方案问题
【典题】 （2022秋·安徽宣城·七年级统考期末）某医疗器械厂计划用600万元资金采购一批口罩生产机器，其中甲型机器每台的售价为10万元，乙型机器每台的售价为45万元．若购买甲型机器的数量是乙型机器数量的5倍还多3台，则甲、乙两种机器分别购入多少台？
【答案】甲型机器购买33台，乙型机器购买6台
【分析】根据两个等量关系：用600万元资金与甲型机器的数量是乙型机器数量的5倍还多3台，设甲型机器购买x台，乙型机器购买y台，列方程组解出即可．
【详解】解：设甲型机器购买x台，乙型机器购买y台，由题意得：
，解得：
答：甲型机器购买33台，乙型机器购买6台．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解题关键．
巩固练习
1．（）（2022秋·陕西咸阳·七年级校考期末）为更好地开展阳光体育活动，学校准备到某体育用品店购进一批A型篮球和B型篮球．已知A型篮球的标价比B型篮球的标价每个贵30元，购买8个A型篮球和10个B型篮球共需1320元．
(1)A型篮球和B型篮球的标价各是多少？
(2)该体育用品店推出了以下优惠方案：
方案一：所有商品按标价的九折销售；
方案二：所有商品按标价购买，总费用超过2000元时，超过部分按七折收费．
学校计划在该店购买20个A型篮球和30个B型篮球，选择哪种方案更合算？请说明理由．
【答案】(1)A型篮球的标价是90元，B型篮球的标价是60元；
(2)方案二更合算，理由见解析
【分析】（1）设A型篮球的标价是x元，B型篮球的标价是y元，根据“A型篮球的标价比B型篮球的标价每个贵30元，购买8个A型篮球和10个B型篮球共需1320元”，列出方程组，即可求解；
（2）先求得按标价购买20个 A型篮球和30个B型篮球的总费用为3600元，再分别求出选择方案一的总费用和选择方案二的总费用并且对两个结果比较大小，即可得到问题的答案．
【详解】（1）解：设A型篮球的标价是x元，B型篮球的标价是y元，根据题意得：
，
解得：，
答：A型篮球的标价是90元，B型篮球的标价是60元；
（2）解：方案二更合算，理由如下：
元，
即按标价购买20个A型篮球和30个B型篮球的总费用为3600元，
方案一：总费用为元，
方案二：总费用为元，
∵，
∴方案二更合算．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、方案选择型问题的求解等知识与方法，正确的用代数式表示购买A型篮球的总费用和购买B型篮球的总费用是解题的关键．
2．（）（2022春·四川绵阳·七年级校联考期中）面对当前疫情形势，某工厂迅速反应，研发出两种新型口罩和消毒液．已知1平方米甲型布料可以制成20个A型口罩和10个B型口罩．1平方米乙型布料可以制成10个A型口罩和20个B型口罩，现需要制作1500个A型口罩和1800个B型口罩．为了支援某灾区，现有消毒液19吨．计划同时租用甲型车a辆，乙型车b辆，一次运完，甲型车一次满载2吨，乙型车一次满载3吨，且恰好每辆车都载满消毒液．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)恰好需要甲，乙布料各多少平方米？
(2)在运送消毒液时，请你设计所有可能的租车方案．
【答案】(1)恰好需要40平方米甲型布料，70平方米乙型布料
(2)共有3种租车方案，方案1：租用8辆甲型车，1辆乙型车；方案2：租用5辆甲型车，3辆乙型车；方案3：租用2辆甲型车，5辆乙型车
【分析】（1）设恰好需要x平方米甲型布料，y平方米乙型布料，根据题意列二元一次方程组即可解答；
（2）设计划同时租用甲型车a辆，乙型车b辆，然后根据题意列出二元一次方程，再结合实际情况确定a，b的值即可解答．
【详解】（1）解：设恰好需要x平方米甲型布料，y平方米乙型布料，
根据题意得：，解得：．
答：恰好需要40平方米甲型布料，70平方米乙型布料．
（2）解：设计划同时租用甲型车a辆，乙型车b辆
根据题意得：，
∴．
又∵a，b均为正整数，
∴或或，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用8辆甲型车，1辆乙型车；
方案2：租用5辆甲型车，3辆乙型车；
方案3：租用2辆甲型车，5辆乙型车．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，理解题意正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解答本题的关键．
【题型二】利用二元一次方程组解决行程问题
【典题】（2022春·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）甲乙二人分别从相距千米的A，两地出发，相向而行．如果甲比乙早出发半小时，那么在乙出发后小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么小时后两人还相距千米，求甲乙二人每小时各走多少千米？
【答案】甲每小时走千米，乙每小时走千米
【分析】设甲每小时走千米，乙每小时走千米，根据题意列出方程组解答即可．
【详解】解：设甲每小时走千米，乙每小时走千米，
根据题意，得．
整理，得．
解得．
答：甲每小时走千米，乙每小时走千米．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解决本题的关键是根据题意找到等量关系．
巩固练习
1．（）（2022春·河南南阳·七年级统考期中）A、B两地相距3千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地，两人同时出发，20分钟后两人相遇，又经过10分钟，甲所余路程为乙所余路程的2倍．
(1)求甲、乙每小时各行多少千米？
(2)在他们出发后几分钟两人相距1.5千米（直接写出结果）？
【答案】(1)甲每小时行4千米，乙每小时行5千米
(2)10分钟或30分钟
【分析】（1）这是行程问题中的相遇问题，三个基本量：路程、速度、时间．关系式为：路程=速度×时间．题中的两个等量关系是：20分钟×甲的速度+20分钟×乙的速度=3千米，3千米-30分钟×甲的速度=（3千米-30分钟×乙的速度）×2，依此列出方程求解即可，注意单位换算；
（2）先求出两人一共行驶的路程，再除以速度和即可求解．
【详解】（1）解：设甲每小时行千米．
乙每小时行千米．
依题意：
解方程组得
答：甲每小时行4千米，乙每小时行5千米．
（2）相遇前：（3-1.5）÷（+）
=1.5÷
=10（分钟），
相遇后：（3+1.5）÷（+）
=4.5÷
=30（分钟）．
故在他们出发后10分钟或30分钟两人相距1.5千米．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，本题是行程问题中的相遇问题，解题关键是如何建立二元一次方程组的模型．
2．（）（2022春·吉林四平·七年级统考期末）从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果保持上坡路每小时走3千米，平路每小时走4千米，下坡路每小时走5千米，那么从甲地到乙地需0.9小时，从乙地到甲地需0.7小时。请问从甲地到乙地上坡路与平路各是多少千米？
【答案】从甲地到乙地上坡路长为1.5千米，平路长为1.6千米
【分析】设从甲地到乙地上坡路长为千米，平路长为千米，根据题意即可列出二元一次方程组，解方程组，即可求得．
【详解】设从甲地到乙地上坡路长为千米，平路长为千米，
根据题意得：
解得
答：从甲地到乙地上坡路长为1.5千米，平路长为1.6千米．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意列出方程组是解决本题的关键．
【题型三】利用二元一次方程组解决工程问题
【典题】（2022春·甘肃金昌·七年级校考期中）甲、乙共同加工420个零件需12小时，已知甲3小时与乙4小时加工的零件数相等，问甲、乙每小时各加工多少个零件？
【答案】甲每小时加工零件20个，乙每小时加工零件15个．
【分析】设甲每小时加工零件x个，乙每小时加工零件y个，根据题意可列出关于x，y的二元一次方程组，解出x，y即得出答案．
【详解】设甲每小时加工零件x个，乙每小时加工零件y个，
依题意有：，
解得：，
答：甲每小时加工零件20个，乙每小时加工零件15个．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用．读懂题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．
巩固练习
1．（）（2022春·河北唐山·七年级统考期末）3月12日是我国的植树节．这一天，某校七年级共有240名学生参加义务植树活动．如果平均每人每天挖树坑6个或栽树10课，那么，怎样安排学生才能使这一天挖出的树坑全部栽上树苗？（要求列方程组解答）
【答案】安排150名学生挖树坑，安排90名学生栽树才能使这一天挖出的树坑全部栽上树苗
【分析】设安排x名学生挖树坑，安排y名学生栽树．根据题意列出方程组求解即可
【详解】解：设安排x名学生挖树坑，安排y名学生栽树．
依题意，得，
解得，
答：安排150名学生挖树坑，安排90名学生栽树才能使这一天挖出的树坑全部栽上树苗．
【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组是解题关键．
2．（）（2022春·河南南阳·七年级统考期末）甲、乙两人同时加工一批零件，前3小时两人共加工126件，后5小时中甲先花了1小时修理工具，之后甲每小时比以前多加工10件，乙由于体力消耗较大，每小时比原来少加工1件，结果在后5小时内，甲比乙多加工了15件，甲、乙两人原来每小时各加工多少件？
【答案】甲原来每小时加工20件，乙原来每小时加工22件
【分析】设甲原来每小时加工x件，乙每小时加工y件，利用工作总量＝工作效率×工作时间，结合“前3小时两人共加工126件，后5小时内，甲比乙多加工了15件”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设甲原来每小时加工x件，乙每小时加工y件，依题得：
，
解方程组得：，
答：甲原来每小时加工20件，乙原来每小时加工22件．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【题型四】利用二元一次方程组解决分配问题
【典题】（2022春·广东东莞·七年级统考期中）学校6名教师和234名学生集体外出活动，准备租用45座大客车或30座小客车，若租用1辆大客车、2辆小客车共需租车费1000元；若租用2辆大客车、1辆小客车共需租车费1100元．
(1)求每辆大、小客车的租车费各是多少元？
(2)怎样租车，正好坐满？写出所有的可能性．（请列方程解答）．
【答案】(1)每辆大车的租车费是400元，每辆小车的租车费是300元
(2)①租用30座小客车8辆；②租用45座大客车2辆，30座小客车5辆；③租用45座大客车4辆，30座小客车2辆
【分析】（1）设大车每辆的租车费是元，小车每辆的租车费是元，根据题意列出二元一次方程组并求解即可；
（2）设租用45座大客车辆，30座小客车辆，根据题意列出二元一次方程，并求出非负整数解，即可解决问题．
【详解】（1）解：设大车每辆的租车费是元，小车每辆的租车费是元，
由题意得：，
解得：，
答：大车每辆的租车费是400元，小车每辆的租车费是300元；
（2）设租用45座大客车辆，30座小客车辆，
由题意得：，
整理得：，
∵、为非负整数，
∴或或，
∴共有三种租车方案：①租用30座小客车8辆；②租用45座大客车2辆，30座小客车5辆；③租用45座大客车4辆，30座小客车2辆．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题关键是理解题意，找准等量关系并正确列出二元一次方程（组）．
巩固练习
1（）（2022秋·安徽·七年级统考期末）某蔬菜基地第一次向甲地运输124吨蔬菜，恰好装满5辆大货车和2辆小货车；第二次向甲地运输180吨蔬菜，恰好装满6辆大货车和5辆小货车．
(1)装满2辆大货车和3辆小货车能运输多少吨蔬菜？
(2)第三次安排大、小货车共12辆向甲地运输208吨蔬菜，若要使得每辆车都装满，则大货车和小货车分别需要多少辆？
【答案】(1)76吨
(2)大货车8辆和小货车4辆
【分析】（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x吨、y吨，根据“5辆大货车与2辆小货车一次可以运货124吨，6辆大货车与5辆小货车一次可以运货180吨”列方程组求解可得；
（2）设安排m辆大货车，则小货车需要（12﹣m）辆，根据两种货车运送的蔬菜总质量208吨列方程求解可得．
【详解】（1）解：设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x吨、y吨，
根据题意，得：，
解得：，
∴
答：装满2辆大货车和3辆小货车能运输76吨蔬菜．
（2）设安排m辆大货车，则小货车需要辆，
根据题意，得：，
解得：，
所以则大货车8辆和小货车4辆．
答：需要大货车8辆和小货车4辆．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和一元一次方程求解．
2．（）（2022春·浙江金华·七年级校联考期中）工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完．
(1)若工作人员领取正方形纸板560张，长方形纸板940张，请问利用领取的纸板做了竖式与横式纸盒各多少个？
(2)若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为1：3，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值．
【答案】(1)做成40个竖式纸盒，260个横式纸盒
(2)竖式纸盒与横式纸盒个数的比值为3
【分析】（1）设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，则需要正方形纸板（x+2y）张，需要长方形的纸板（4x+3y）张，根据题意列出方程组，解方程组即可求解；
（2）由（1）结合题意可得：，解比例即可求解．
【详解】（1）解：设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，
则需要正方形纸板（x+2y）张，需要长方形的纸板（4x+3y）张，
由题意可得：，解得：
答：做成40个竖式纸盒，260个横式纸盒；
（2）由题意可得：，
解得：x＝3y，
∴x：y＝3，
答：竖式纸盒与横式纸盒个数的比值为3．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程组的解，理解题意，找到等量关系列出方程组是解题的关键．
【题型五】利用二元一次方程组解决销售利润问题
【典题】（2022春·海南海口·七年级校考期中）为了丰富同学们的课外生活，体育委员到体育用品商店购买羽毛球拍和乒乓球拍，若购买1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需80元，小强一共用了530元购买了7副同样的羽毛球拍和6副同样的乒乓球拍，问羽毛球拍和乒乓球拍各多少元一副？
【答案】羽毛球拍50元一副，乒乓球拍30元一副
【分析】设羽毛球拍元一副，乒乓球拍元一副，根据“购买1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需80元，小强一共用了530元购买了7副同样的羽毛球拍和6副同样的乒乓球拍”建立方程组，解方程组即可得．
【详解】解：设羽毛球拍元一副，乒乓球拍元一副，
由题意得：，
解得，符合题意，
答：羽毛球拍50元一副，乒乓球拍30元一副．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键．
巩固练习
1．（）（2022春·河北秦皇岛·七年级校考期中）某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的、两种型号的电风扇，表中是近两周的销售情况：
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本）
求、两种型号的电网扇的销售单价．
【答案】250元，210元
【分析】根据3台A型号的销售收入+5台B型号的销售收入=1800, 4台A型号的销售收入+10台B型号的销售收入=3100,列方程组求解即可.
【详解】设A型号电风扇的销售单价为x元/台，B型号电风扇的销售单价为y元/台，根据题意列方程组，得
，
解得
∴A型号电风扇的销售单价为250元/台，B型号电风扇的销售单价为210元/台.
【点睛】本题主要考查了列二元一次方程组解应用题，解题的关键是找等量关系.
2 （）（2022春·广东佛山·七年级校考期中）某服装店用5700元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3600元（毛利润＝售价－进价），这两种服装的进价，标价如表所示．
(1)请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数；
(2)如果A种服装按标价的9折出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元？
【答案】(1)购进A型服装45件，购进B型服装30件
(2)服装店比按标价出售少收入1410元
【分析】（1）设购进A型服装x件，B型服装y件，根据“某服装店用5700元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3600元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用少收入的钱数=每件A型服装少挣的钱数×销售数量+每件B型服装少挣的钱数×销售数量，即可求出结论．
【详解】（1）设购进A种服装x件，购进B种服装y件，
根据题意得：，
解得：
答：购进A型服装45件，购进B型服装30件；
（2）
=450+960
（元）．
答：服装店比按标价出售少收入1410元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【题型六】利用二元一次方程组解决和差倍分问题
【典题】（2022春·黑龙江鸡西·七年级校考期中）一个学生有中国邮票和外国邮票共200张，中国邮票的张数比外国邮票的张数的2倍少10张，这个学生有中国邮票和外国邮票各多少张？
【答案】这个学生有中国邮票为130张，外国邮票为70张．
【分析】设这个学生有中国邮票和外国邮票各x、y张，然后根据邮票共200张，中国邮票的张数比外国邮票的张数的2倍少10张列出方程组求解即可．
【详解】解：设这个学生有中国邮票和外国邮票各x、y张，
由题意得，
解得，
∴这个学生有中国邮票为130张，外国邮票为70张
答：这个学生有中国邮票为130张，外国邮票为70张．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确设出未知数找到等量关系列出方程组是解题的关键．
巩固练习
1．（）（2022春·山东烟台·七年级统考期末）某工艺品店购进A，B两种工艺品，已知这两种工艺品的单价之和为200元，购进2个A种工艺品和3个B种工艺品需花费520元．求A，B两种工艺品的单价．
【答案】A，B两种工艺品的单价分别为80元、 120元
【分析】设A，B两种工艺品的单价分别为x元、 y元，根据题意列出方程组，求解即可．
【详解】解：设A，B两种工艺品的单价分别为x元、 y元，
依题意得
②×2，得2x+2y=400③
②－③，得y=120．
将y=120代入①，得x=80．
所以A，B两种工艺品的单价分别为80元、 120元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
22．（）（2022春·浙江温州·七年级统考期末）某班级学生打算购入多肉植物为教室增添绿色气息．该班学生在市场上了解到甲、乙两种多肉的价格和大小都比较合适，现有如下信息：
(1)求甲、乙两种多肉每个分别是多少元？
(2)若该班同学购买多肉共花费120元，设甲、乙两种多肉分别购买m个，n个（，）．
①用含m的代数式表示n．
②若m，n均为偶数，求出所有满足条件的购买方案，并指出哪种购买方案总数量最多．
【答案】(1)甲种多肉的单价为6元/个，乙种多肉的单价为8元/个
(2)①；②方案见解析，购买总数量最多的方案为甲种多肉为12个，乙种多肉为6个
【分析】（1）设甲种多肉的单价为x元/个，乙种多肉的单价为y元/个，根据等量关系式：5个甲+1个乙=38元，2个甲+3个乙=36元，列出方程组，解方程组即可；
（2）①根据甲种多肉花费+乙种多肉的花费=120，列出关系式即可；
②根据m，n均为偶数，求出m、n的值，得出答案即可．
(1)
解：设甲种多肉的单价为x元/个，乙种多肉的单价为y元/个，
由题意可得，
解得，
答：甲种多肉的单价为6元/个，乙种多肉的单价为8元/个．
(2)
①由题意，得，整理，得；
②∵m，n均为偶数，
∴，或者，．
∴购买总数量最多的方案为甲种多肉为12个，乙种多肉为6个．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用和二元一次方程的应用，根据等量关系式列出方程组，是解题的关键．
【题型七】利用二元一次方程组解决几何
【典题】（2022秋·上海·七年级校考期中）如图，图①是一个长为2n、宽为2m的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形．
(1)图②中拼成的大正方形的面积为 ；
(2)图②中的阴影部分的面积为 ；
(3)若已知图②中拼成的大正方形的周长为28，阴影部分的周长为20，则图①中平均分成的每个小长方形的面积是 ．
【答案】(1)
(2)
(3)6
【分析】（1）判断出正方形的边长，可得结论；
（2）判断出阴影正方形的的边长，可得结论；
（3）构建方程组，求出m，n可得结论．
【详解】（1）解：∵图②中拼成的大正方形的边长为，
∴面积为；
故答案为：；
（2）解：图②中的阴影部分的边长为，
∴面积为；
故答案为：．
（3）解：∵图②中拼成的大正方形的周长为28，阴影部分的周长为20，
∴图②中拼成的大正方形的边长为7，阴影部分的边长为5，
∴，
解得，
∴每个小长方形的面积．
故答案为：6．
【点睛】本题考查图形的拼剪，正方形的面积公式，以及解二元一次方程组，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
巩固练习
1．（）（2022秋·吉林长春·七年级吉林省第二实验学校校联考期中）学校举办“艺术周”创意设计展览，如图，现有一个大正方形和四个一样的小正方形，小华、小雨分别用这些正方形设计出了图1，图2两种图案，根据图1，图2中所标数据，求出大正方形和小正方形的边长分别是多少厘米？
【答案】大正方形的边长是厘米，小正方形的边长是厘米
【分析】根据图示，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则等量关系有，，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，
∴由图1可知，，由图2可知，
联立方程组得，，解方程组得，，
∴大正方形的边长是厘米，小正方形的边长是厘米．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际运用，根据图示列出等量关系是解题的关键．
2．（）（2022春·河南驻马店·七年级统考期末）聪聪手中有一块长方形的硬纸片，其中长比宽多，长方形的周长是．
(1)求长方形硬纸片的面积；
(2)现在聪聪想用这块长方形硬纸片沿着边裁出一块长与宽的比为5∶4，面积为的新纸片作为他用，聪聪不知道能否裁得出来，正在发愁．明明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意明明的说法吗？聪聪能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
【答案】(1)
(2)不同意，不能裁出
【分析】（1）设长方形硬纸片的长为xcm，宽为ycm，根据长方形的长比宽多10cm且周长是100cm，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用长方形的面积公式即可求出长方形硬纸片的面积；
（2）设裁出的新长方形纸片的长为5acm，则宽为4acm，根据长方形的面积公式结合新纸片的面积为520cm2，即可得出关于a的方程，解之取其正值由4a＞20，即可得出不能裁出符合要求的纸片．
【详解】（1）解：设长方形硬纸片的长为，宽为．
依题意，得：
解得：
所以长方形硬纸片的面积为：
（2）设裁出的新长方形纸片的长为，则宽为
依题意，得
解得或（舍去）
∵
∴不能裁出符合要求的纸片．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及算术平方根的应用，掌握以上知识是解题的关键．
【题型八】利用二元一次方程组解决古代
【典题】（2022春·吉林长春·七年级统考期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中第八卷有这样一个问题：今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？意思是：甲、乙都有钱不知多少，若甲得到乙一半的钱，则甲有50文钱；若乙得到甲三分之二的钱，则乙也有50文钱．问甲、乙各有几文钱？
【答案】甲有文钱，乙有25文钱．
【分析】设甲有x文钱，乙有y文钱，根据“若甲得到乙一半的钱，则甲有50文钱；若乙得到甲三分之二的钱，则乙也有50文钱”，得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设甲有x文钱，乙有y文钱，
依题意得：，
解得：，
答：甲有文钱，乙有25文钱．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
巩固练习
1（）（2022春·湖南常德·七年级统考期末）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？
(2)若某商人准备用24两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
【答案】(1)每头牛3两银子，每头羊2两银子
(2)三种，见解析
【分析】（1）根据题意找出等量关系，列出方程组求解即可；
（2）设该商人购买了a头牛，b头羊，根据题意列出等式，根据a、b均为正整数，找出符合条件的值即可．
【详解】（1）解：设每头牛x两银子，每头羊y两银子，根据题意，得
，
解得，
即：每头牛3两银子，每头羊2两银子；
（2）设该商人购买了a头牛，b头羊，根据题意，得
，即：，
∵a、b均为正整数，
∴为2的倍数，
当时，，
当时，，
当时，，
当为大于8的正整数时，为负数，不合题意，
所以该方程的解为或或，
即：共有三种购买方法：
方案一：购买2头牛，9头羊；
方案二：购买4头牛，6头羊；
方案三：购买6头牛，3头羊．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确地根据题意找出等量关系列出方程求解是解题的关键．
2．（）（2022秋·安徽滁州·七年级统考期末）《九章算术》是中国古代数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是其最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛三、羊一，直金七两；牛二、羊三，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有3头牛、1只羊，值金7两；2头牛、3只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”
【答案】每头牛值金两，每只羊值金两
【分析】设每头牛值金两，每只羊值金两，根据等量关系式：3头牛价钱+1只羊价钱=7两，2头牛价钱+3只羊价钱=8两，列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：设每头牛值金两，每只羊值金两，
可列方程组，
解得：，，
答：每头牛值金两，每只羊值金两．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意找出题目中的等量关系式，是解题的关键．
销售时段
销售数量
销售收入
种型号
种型号
第一周
3台
5台
1800元
第二周
4台
10台
3100元
类型价格
A型
B型
进价（元/件）
60
100
标价（元/件）
100
160