人教版七年级数学下册同步知识点剖析精品讲义9.1不等式(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册同步知识点剖析精品讲义9.1不等式(原卷版+解析)，共14页。
不等式的定义：用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫作不等式。
不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解。
不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合。它可以在数轴上直观地表示出来，是数形结合的具体表现。
解不等式的概念：求不等式的解集的过程叫作解不等式。
数轴表示不等式的解集：不等式的解集用数轴表示有以下四种情况：
【易错点】用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆图。
不等式的性质：
基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变，即
若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。
基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变，即
若a>b,c>0，则ac>bc（或ac>bc）
基本性质3（易错）：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，即
若a>b,cc。
基本性质6：如果，，那么.
【总结】

【题型一】不等式的定义
【典题】（2022春·广东惠州·七年级统考期末）在下列数学表达式：①，②，③，④，⑤中，是不等式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
巩固练习
1．（）（2022春·河北承德·七年级统考期末）某种牛奶包装盒上表明“净重205g，蛋白质含量≥3%”．则这种牛奶蛋白质的质量是（ ）
A．3%以上B．6.15gC．6.15g及以上D．不足6.15g
2．（）（2022春·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）椰树牌椰子汁外包装标明：净含量为，表明了这瓶椰子汁的净含量的范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（）（2022春·北京东城·七年级统考期末）已知，下列四个结论中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（）（2022春·内蒙古呼伦贝尔·七年级统考期末）与5的和不大于，用不等式表示为（ ）
A．B．C．D．
【题型二】不等式的解集
【典题】（2022春·四川眉山·七年级统考期末）下列各数中，满足不等式的是（ ）
A．B．0C．1D．3
巩固练习
1．（）（2022春·吉林长春·七年级统考期末）下面各数中，是不等式a＜﹣2的解的是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．0D．1
2．（）（2022春·江苏南通·七年级如东县实验中学校联考期中）不等式的解（ ）
A．为0，1，2B．为0，1C．为1，2D．有无数个
3．（）（2021春·河北沧州·七年级统考期末）下列关系式中不含这个解的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（）（2021春·山西忻州·七年级统考期末）下列说法错误的是（ ）
A．不等式的解集是
B．不等式的整数解有无数个
C．不等式的整数解是0
D．是不等式的一个解
【题型三】不等式的性质
【典题】（2021春·江苏扬州·七年级校考期末）若a＞b，则下列不等式中，正确的是（ ）
A．3a＞3bB．a﹣4＜b﹣4C．1﹣2a＞1﹣2bD．
巩固练习
1．（）（2021春·重庆铜梁·七年级校考期中）已知，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
2．（）（2021春·甘肃武威·七年级统考期末）已知，则下列不等式不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（）（2021春·四川内江·七年级校考期中）不等式的解集是，那么（ ）
A．B．C．D．
4．（）（2021春·四川泸州·七年级统考期末）如果，那么下列式子不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（）（2021秋·广东深圳·七年级统考期中）（1）若a＜0，则a 2a；（用“＞”“＜”“＝”填空）
（2）若a＜c＜b＜0，则abc 0；（用“＞”“＜”“＝”填空）
（3）若a＜c＜0＜b，化简：4（c﹣a）﹣2（2c﹣b），并判断化简结果的正负．
6．（）（2021春·山西·七年级统考期中）根据不等式的性质，将下列不等式化成“”或“”的形式．
（1）．
（2）．
7．（）（2021春·山西·七年级统考期中）（1）若，试比较与的大小，并说明理由．
（2）若，且，求m的取值范围．
等式的性质
不等式的性质
对称性：若a=b，则b=a
反对称性：若a>b，则bb，b>c，则a>c
性质1：若a=b，则a±c=b±c
性质1：若a>b，则a±c>b±c
性质2：若a=b，c≠0，
则ac=bc，
性质2：若a>b，c>0，则ac>bc，
性质3：若a>b，cb+c，a-c>b-c。
基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变，即
若a>b,c>0，则ac>bc（或ac>bc）
基本性质3（易错）：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，即
若a>b,cc。
基本性质6：如果，，那么.
【总结】

【题型一】不等式的定义
【典题】（2022春·广东惠州·七年级统考期末）在下列数学表达式：①，②，③，④，⑤中，是不等式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】根据不等式的定义：用不等号连接的式子叫做不等式，进行判断即可得出结果．
【详解】解：在下列数学表达式：①，②，③，④，⑤中，是不等式的有：①②⑤，共3个；
故选B．
【点睛】本题考查不等式的判断．熟练掌握不等式的定义，是解题的关键．
巩固练习
1．（）（2022春·河北承德·七年级统考期末）某种牛奶包装盒上表明“净重205g，蛋白质含量≥3%”．则这种牛奶蛋白质的质量是（ ）
A．3%以上B．6.15gC．6.15g及以上D．不足6.15g
【答案】C
【分析】根据蛋白质含量大于或等于3%判断即可．
【详解】解：∵205×3％=6.15（g），蛋白质含量≥3%，
∴这种牛奶蛋白质的质量是6.15g及以上，
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的定义，掌握≥表示大于或等于是解题的关键．
2．（）（2022春·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）椰树牌椰子汁外包装标明：净含量为，表明了这瓶椰子汁的净含量的范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据不等式的定义可得答案．
【详解】解：这瓶椰子汁的净含量的范围是：330−5≤x≤330＋5，即，
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的定义，正确理解的意义是解题关键．
3．（）（2022春·北京东城·七年级统考期末）已知，下列四个结论中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据排除法判定即可．
【详解】∵
∴当时，，故排除A、C、D
故选：B
【点睛】本题考查绝对值和不等式，解题的关键是取特值用排除法解题．
4．（）（2022春·内蒙古呼伦贝尔·七年级统考期末）与5的和不大于，用不等式表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式，不大于即小于或等于．
【详解】解：“与5的和不大于-1”用不等式表示为，
故选：D．
【点睛】此题考查利用字母来表示题目中的不等关系，抓住大于、小于、不大于、不小于等关键字．
【题型二】不等式的解集
【典题】（2022春·四川眉山·七年级统考期末）下列各数中，满足不等式的是（ ）
A．B．0C．1D．3
【答案】A
【分析】根据各项数据的大小，判断其是否满足不等式的解集即可．
【详解】∵-4＜0，0＜1＜3，x＜0，
∴满足条件的只有-4，
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式解集的知识，关键是明白不等式解的取值范围．
巩固练习
1．（）（2022春·吉林长春·七年级统考期末）下面各数中，是不等式a＜﹣2的解的是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．0D．1
【答案】A
【分析】根据不等式的解集的定义，即可求解．
【详解】解：A.因为-3＜﹣2，所以-3是不等式a＜﹣2的解，故本选项符合题意；
B.因为-2=-2，所以-2不是不等式a＜﹣2的解，故本选项不符合题意；
C.因为0＞-2，所以0不是不等式a＜﹣2的解，故本选项不符合题意；
D.因为1＞-2，所以1不是不等式a＜﹣2的解，故本选项不符合题意；
故选：A.
【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集，也就是说，满足这个不等式的所有解组成解集是不等式的解集是解题的关键．
2．（）（2022春·江苏南通·七年级如东县实验中学校联考期中）不等式的解（ ）
A．为0，1，2B．为0，1C．为1，2D．有无数个
【答案】D
【分析】根据不等式解的定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴满足不等式的解有无数个，
故选D．
【点睛】本题主要考查了不等式的解，熟知不等式解的定义是解题的关键．
3．（）（2021春·河北沧州·七年级统考期末）下列关系式中不含这个解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】把x=-1代入各个代数式，满足关系式成立时，它就是该关系式的解．
【详解】解：当x=-1时，2x+1=-1，-2x+1=3≥3，-2x-1=1≤3，
所以x=-1满足选项A、C、D，因为-1不大于-1，所以x=-1不满足B．
故选：B．
【点睛】本题考查了等式、不等式的解及解的判断方法．理解“≥”“≤”是关键．
4．（）（2021春·山西忻州·七年级统考期末）下列说法错误的是（ ）
A．不等式的解集是
B．不等式的整数解有无数个
C．不等式的整数解是0
D．是不等式的一个解
【答案】C
【分析】解出不等式的解集，根据不等式的解的定义，就是能使不等式成立的未知数的值，就可以作出判断．
【详解】解：A、不等式x−3＞2的解集是x＞5，正确，不符合题意；
B、由于整数包括负整数、0、正整数，所以不等式x＜3的整数解有无数个，正确，不符合题意；
C、不等式x＋3＜3的解集为x＜0，所以不等式x＋3＜3的整数解不能是0，错误，符合题意；
D、由于不等式2x＜3的解集为x＜1.5，所以x＝0是不等式2x＜3的一个解，正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的解集，解答此题关键是掌握解不等式的方法，及整数的分类．
【题型三】不等式的性质
【典题】（2021春·江苏扬州·七年级校考期末）若a＞b，则下列不等式中，正确的是（ ）
A．3a＞3bB．a﹣4＜b﹣4C．1﹣2a＞1﹣2bD．
【答案】A
【分析】根据不等式的性质判断即可．
【详解】解：A、在不等式a＞b的两边都乘3，不等号的方向不变，即3a＞3b，原变形正确，故本选项符合题意；
B、在不等式a＞b的两边都减去4，不等号的方向不变，即a﹣4＞b﹣4，原变形错误，故本选项不符合题意；
C、在不等式a＞b的两边都乘﹣2，再加上1，不等号的方向改变，即1﹣2a＜1﹣2b，原变形错误，故本选项不符合题意；
D、在不等式a＞b的两边都除以2，不等号的方向不变，即，原变形错误，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
巩固练习
1．（）（2021春·重庆铜梁·七年级校考期中）已知，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用不等式的性质逐项验证即可．
【详解】解：A.∵，两边同乘以，得，故选项A不成立；
B.∵，两边同乘以，因为的符号不确定，故选项B不一定成立；
C. ∵，两边同乘以，得，故选项C一定成立；
D. ∵，两边同减去2，得，故选项D不成立；
故选：C
【点睛】本题考查了不等式得性质，熟练掌握不等式得性质是解题的关键．
2．（）（2021春·甘肃武威·七年级统考期末）已知，则下列不等式不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质，即可判断四个选项的正误．
【详解】A、，，故本选项不符合题意；
B、，，故本选项不符合题意；
C、，，故选项不符合题意；
D、，，，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查不等式的性质，注意不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变是解本题的关键．
3．（）（2021春·四川内江·七年级校考期中）不等式的解集是，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由不等式的性质可知：不等式两边乘(或除以）同一个负数，不等号的方向改变；因此可以判定，由此求得m的取值范围即可．
【详解】∵不等式的解集是，
∴，
解得：，
故选：C．
【点睛】此题考查不等式的解集，解决问题的关键是掌握不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘(或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4．（）（2021春·四川泸州·七年级统考期末）如果，那么下列式子不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据不等式的性质，进行计算即可解答．
【详解】解：A、∵a＜b，
∴ma＜mb（m＞0），故A符合题意；
B、∵a＜b，
∴2a-1＜2b-1，故B不符合题意；
C、∵a＜b，
∴a-1＜b-1，故C不符合题意；
D、∵a＜b，
∴-2a＞-2b，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
5．（）（2021秋·广东深圳·七年级统考期中）（1）若a＜0，则a 2a；（用“＞”“＜”“＝”填空）
（2）若a＜c＜b＜0，则abc 0；（用“＞”“＜”“＝”填空）
（3）若a＜c＜0＜b，化简：4（c﹣a）﹣2（2c﹣b），并判断化简结果的正负．
【答案】(1) ＞;(2) ＜;(3) -4a+2b,结果为正
【分析】(1)根据不等式的基本性质即可求解;
(2)根据有理数的乘法法则即可求解;
(3)先化简,再根据根据不等式的基本性质即可求解;
【详解】解:∵a＜0
∴a＞2a
(2) ∵a＜c＜b＜0，
∴ac>0（同号两数相乘得正），
∴abc＜0（不等式两边乘以同一个负数，不等号的方向改变）．
(3) 4（c﹣a）﹣2（2c﹣b）=4c-4a-4c+2b=-4a+2b
∵a＜c＜0＜b
∴-4a＞0, 2b＞0
∴-4a+2b＞0
故结果为正
【点睛】主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
6．（）（2021春·山西·七年级统考期中）根据不等式的性质，将下列不等式化成“”或“”的形式．
（1）．
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据不等式的性质，两边都除以，可得答案；
（2）根据不等式的性质，两边都减，整理后再两边都除以3，可得答案．
【详解】解：（1）将两边都除以，
得．
（2）将两边都减，
得，
即，
两边都除以3，
得．
【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟记不等式的性质．
7．（）（2021春·山西·七年级统考期中）（1）若，试比较与的大小，并说明理由．
（2）若，且，求m的取值范围．
【答案】（1），理由见解析；（2）
【分析】（1）利用不等式的性质进行比较大小；
（2）根据不等式的性质可得，求解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴不等式两边同时乘以－2得，
∴不等式两边同时减7得．
（2）∵，且，
∴，
解得，即m的取值范围是．
【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质．
等式的性质
不等式的性质
对称性：若a=b，则b=a
反对称性：若a>b，则bb，b>c，则a>c
性质1：若a=b，则a±c=b±c
性质1：若a>b，则a±c>b±c
性质2：若a=b，c≠0，
则ac=bc，
性质2：若a>b，c>0，则ac>bc，
性质3：若a>b，c