2024年四川省内江市中考数学试卷【含解析】

这是一份2024年四川省内江市中考数学试卷【含解析】，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列四个数中，最大数是（ ）
A．﹣2B．0C．﹣1D．3
2．2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列单项式中，ab3的同类项是（ ）
A．3ab3B．2a2b3C．﹣a2b2D．a3b
4．2023年我国汽车出口491万辆，首次超越日本，成为全球第一大汽车出口国，其中491万用科学记数法表示为（ ）
A．4.91×104B．4.91×105C．4.91×106D．4.91×107
5．16的平方根是（ ）
A．2B．﹣4C．4D．±4
6．下列事件时必然事件的是（ ）
A．打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻
B．从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级
C．小明在内江平台一定能抢到龙舟节开幕式门票
D．从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》
7．已知△ABC与△DEF相似，且相似比为1：3，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ）
A．1：1B．1：3C．1：6D．1：9
8．不等式3x≥x﹣4的解集是（ ）
A．x≥﹣2B．x≤﹣2C．x＞﹣2D．x＜﹣2
9．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，若∠EFD＝64°，则∠BEF的大小是（ ）
A．136°B．64°C．116°D．128°
10．某市2021年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到69%．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，则符合题意得方程是（ ）
A．0.64（1+x）＝0.69B．0.64（1+x）2＝0.69
C．0.64（1+2x）＝0.69D．0.64（1+2x）2＝0.69
11．如图所示的电路中，当随机闭合开关S1、S2、S3中的两个时，灯泡能发光的概率为（ ）
A．B．C．D．
12．如图，在平面直角坐标系中，AB⊥y轴，垂足为点B，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y＝﹣x上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2也落在直线y＝﹣x上，如此下去，…，若点B的坐标为（0，3），则点B37的坐标为（ ）
A．（180，135） B．（180，133）C．（﹣180，135） D．（﹣180，133）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
14．分解因式：m2﹣5m＝ ．
15．已知二次函数y＝x2﹣2x+1的图象向左平移两个单位得到抛物线C，点P（2，y1），Q（3，y2）在抛物线C上，则y1 y2（填“＞”或“＜”）．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么tan∠EFC＝ ．
三、解答题（本大题共5小题，共44分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤）
17．（8分）（1）计算：|﹣1|﹣（﹣2）0+2sin30°；
（2）化简：（x+2）（x﹣2）﹣x2．
18．（8分）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，BC＝EF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠A＝55°，∠E＝45°，求∠F的度数．
19．（9分）某校为了解学生对“生命、生态与安全”课程的学习掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行综合测试．测试结果分为A级、B级、C级、D级四个等级，并将测试结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是 ；
（2）扇形统计图中表示D级的扇形圆心角的度数是 ，并把条形统计图补充完整；
（3）该校八年级共有学生600人，如果全部参加这次测试，测试成绩为A级的学生大约有多少人？
20．（9分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（3，n）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出关于x的不等式ax+b＜的解集．
21．（10分）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒．
（1）求猪肉粽每盒、豆沙粽每盒的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价x元（52≤x≤70），y表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数表达式并求出y的最大值．
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分。）
22．（6分）已知实数a、b满足ab＝1的两根，则+＝ ．
23．（6分）如图，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，则∠ACB的度数为 ．
24．（6分）一个四位数，如果它的千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称该数为“极数”．若偶数m为“极数”，且是完全平方数，则m＝ ．
25．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，E是BC边上一点，且BE＝2，点I是△ABC的内心，BI的延长线交AC于点D，P是BD上一动点，连接PE、PC，则PE+PC的最小值为 ．
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）
26．（12分）已知关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2．
（1）填空：x1+x2＝ ，x1x2＝ ；
（2）求+，x1+；
（3）已知+＝2p+1，求p的值．
27．（12分）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，过点C作AD的垂线，垂足为点E．
（1）求证：△ACE∽△ABC；
（2）求证：CE是⊙O的切线；
（3）若AD＝2CE，OA＝，求阴影部分的面积．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交AB于点E．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），过点F作x轴的垂线交AB于点G，连接DF，当四边形EGFD为菱形时，求点D的横坐标．
2024年四川省内江市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。）
1．下列四个数中，最大数是（ ）
A．﹣2B．0C．﹣1D．3
【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：∵﹣2＜﹣1＜0＜3，
∴最大的数是：3．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键．
2．2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．
【解答】解：A、B、C中的图形不是中心对称图形，故A、B、C不符合题意；
D、图形是中心对称图形，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
3．下列单项式中，ab3的同类项是（ ）
A．3ab3B．2a2b3C．﹣a2b2D．a3b
【分析】根据同类项的定义：所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同．据此进行解题即可．
【解答】解：根据同类项的定义可知，
ab3的同类项是3ab3．
故选：A．
【点评】本题考查同类项和单项式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
4．2023年我国汽车出口491万辆，首次超越日本，成为全球第一大汽车出口国，其中491万用科学记数法表示为（ ）
A．4.91×104B．4.91×105C．4.91×106D．4.91×107
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：491万＝4910000＝4.91×106，
故选：C．
【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
5．16的平方根是（ ）
A．2B．﹣4C．4D．±4
【分析】根据平方根的定义即可求得答案．
【解答】解：16的平方根是±4，
故选：D．
【点评】本题考查平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
6．下列事件时必然事件的是（ ）
A．打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻
B．从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级
C．小明在内江平台一定能抢到龙舟节开幕式门票
D．从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻是随机事件，不符合题意；
B、从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级是必然事件，符合题意；
C、小明在内江平台能抢到龙舟节开幕式门票是随机事件，不符合题意；
D、从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》是随机事件，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
7．已知△ABC与△DEF相似，且相似比为1：3，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ）
A．1：1B．1：3C．1：6D．1：9
【分析】已知相似比即可得出相似周长之比．
【解答】解：∵△ABC与△DEF相似，且相似比为1：3，
∴△ABC与△DEF的周长比为1：3．
故选：B．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形周长之比等于相似比是解题的关键．
8．不等式3x≥x﹣4的解集是（ ）
A．x≥﹣2B．x≤﹣2C．x＞﹣2D．x＜﹣2
【分析】根据解一元一次不等式的一般步骤解不等式即可．
【解答】解：∵3x≥x﹣4，
∴3x﹣x≥﹣4，
∴2x≥﹣4，
∴x≥﹣2；
故选：A．
【点评】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的性质．
9．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，若∠EFD＝64°，则∠BEF的大小是（ ）
A．136°B．64°C．116°D．128°
【分析】由平行线的性质推出∠BEF+∠EFD＝180°，即可求出∠BEF＝116°．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∵∠EFD＝64°，
∴∠BEF＝116°．
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠BEF+∠EFD＝180°．
10．某市2021年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到69%．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，则符合题意得方程是（ ）
A．0.64（1+x）＝0.69B．0.64（1+x）2＝0.69
C．0.64（1+2x）＝0.69D．0.64（1+2x）2＝0.69
【分析】由某市2021年底森林覆盖率为64%，2023年底森林覆盖率已达到69%即可列出方程．
【解答】解：根据题意得：0.64（1+x）2＝0.69，
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．
11．如图所示的电路中，当随机闭合开关S1、S2、S3中的两个时，灯泡能发光的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中灯泡能发光的有4种结果，再由概率公式求解即可．
【解答】解：设S把1、S2、S3中分别用1、2、3表示，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中灯泡能发光的有4种结果，
∴灯泡能发光的概率为：＝，
故选：A．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
12．如图，在平面直角坐标系中，AB⊥y轴，垂足为点B，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y＝﹣x上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2也落在直线y＝﹣x上，如此下去，…，若点B的坐标为（0，3），则点B37的坐标为（ ）
A．（180，135）B．（180，133）
C．（﹣180，135）D．（﹣180，133）
【分析】先求出点A的坐标，进而得出△OAB的周长，根据所给旋转方式发现点B2n﹣1（n为正整数）都在直线y＝﹣x上，依次求出OB2n﹣1的长度，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
将y＝3代入y＝得，
x＝﹣4，
所以点A的坐标为（﹣4，3），
所以OB＝3，AB＝4，
在Rt△ABO中，
AO＝，
所以C△OAB＝3+4+5＝12．
由所给旋转方式可知，
点B2n﹣1（n为正整数）在直线y＝上．
因为OB1＝5+4＝9，
OB3＝9+12，
OB5＝9+2×12，
…，
所以OB2n﹣1＝9+12（n﹣1）＝12n﹣3，
令2n﹣1＝37，
解得n＝19，
所以12n﹣3＝12×19﹣3＝225，
即OB37＝225．
令点B37的坐标为（m，），
所以m2+，
解得m＝﹣180（舍正），
所以，
所以点B37的坐标为（﹣180，135）．
故选：C．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标变化规律，能根据所给旋转方式发现OB2n﹣1（n为正整数）长度的变化规律是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≠0 ．
【分析】根据反比例函数分母不为0求解即可．
【解答】解：∵，
∴x≠0，
故答案为：x≠0．
【点评】本题考查了反比例函数自变量x的取值范围，掌握分母不为0是解题的关键．
14．分解因式：m2﹣5m＝ m（m﹣5） ．
【分析】原式提取公因式即可得到结果．
【解答】解：原式＝m（m﹣5），
故答案为：m（m﹣5）
【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
15．已知二次函数y＝x2﹣2x+1的图象向左平移两个单位得到抛物线C，点P（2，y1），Q（3，y2）在抛物线C上，则y1 ＜ y2（填“＞”或“＜”）．
【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”写出平移后抛物线的解析式，然后利用抛物线的增减性即可得到结论．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴二次函数y＝x2﹣2x+1的图象向左平移两个单位得到抛物线C的函数关系式为：y＝（x﹣1+2）2，即y＝（x+1）2；
∴抛物线C开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∵点P（2，y1），Q（3，y2）在抛物线C上，且﹣1＜2＜3，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标等知识点，难度不大，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么tan∠EFC＝ ．
【分析】先根据矩形的性质得BC＝AD＝5，CD＝AB＝3，再根据折叠的性质得AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF＝4，则CF＝BC﹣BF＝1，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+12＝（3﹣x）2，解方程即可得到x，进一步得到EF的长，再根据正切数的定义即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴BC＝AD＝5，CD＝AB＝3，∠B＝∠C＝90°，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF＝AD＝5，EF＝DE，
∴在Rt△ABF中，，
∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，
设CE＝x，则EF＝DE＝CD﹣CE＝3﹣x，
∵在Rt△ECF中，CE2+FC2＝EF2，
∴x2+12＝（3﹣x）2，解得，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理，正切的定义．
三、解答题（本大题共5小题，共44分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤）
17．（8分）（1）计算：|﹣1|﹣（﹣2）0+2sin30°；
（2）化简：（x+2）（x﹣2）﹣x2．
【分析】（1）利用绝对值的性质，零指数幂，特殊锐角三角函数值计算即可；
（2）利用平方差公式计算即可．
【解答】解：（1）原式＝1﹣1+2×
＝1﹣1+1
＝1；
（2）原式＝x2﹣4﹣x2
＝﹣4．
【点评】本题考查实数的运算，零指数幂，特殊锐角三角函数值，平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．（8分）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，BC＝EF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠A＝55°，∠E＝45°，求∠F的度数．
【分析】（1）先根据AD＝BE得AB＝DE，由此可依据“SSS”判定△ABC和△DEF全等；
（2）由△ABC≌△DEF得∠A＝∠FDE＝55°，进而根据三角形内角和定理可得∠F的度数．
【解答】（1）证明：∵AD＝BE，
∴AD+BD＝BE+BD，
即AB＝DE，
在△ABC和△DEF中，
，
△ABC≌△DEF（SSS）；
（2）解：∵∠A＝55°，∠E＝45°，
由（1）可知：△ABC≌△DEF，
∴∠A＝∠FDE＝55°，
∴∠F＝180°﹣（∠FDE+∠E）＝180°﹣（55°+45°）＝80°．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
19．（9分）某校为了解学生对“生命、生态与安全”课程的学习掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行综合测试．测试结果分为A级、B级、C级、D级四个等级，并将测试结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是 40 ；
（2）扇形统计图中表示D级的扇形圆心角的度数是 72° ，并把条形统计图补充完整；
（3）该校八年级共有学生600人，如果全部参加这次测试，测试成绩为A级的学生大约有多少人？
【分析】（1）根据B级的人数和所占的百分比，可以求得本次抽样测试的学生人数；
（2）用360°乘以D级人数所占的百分比即可求出D级的扇形圆心角的度数，用总人数乘以C级的人数所占的百分比求出C级的人数，即可把条形统计图补充完整；
（3）求出A级的学生人数所占的百分比乘以该校八年级学生总数600即可．
【解答】解：（1）本次抽样测试的学生人数是：12÷30%＝40（人），
故答案为：40；
（2）扇形统计图中表示D级的扇形圆心角的度数是：360°×＝72°，
C级的人数为：40×35%＝14（人），
补充完整的条形统计图如图所示；
故答案为：72°；
（3）600×＝90（人），
答：测试成绩为A级的学生大约有90人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．（9分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（3，n）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出关于x的不等式ax+b＜的解集．
【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可；
（2）根据函数图象及交点坐标，直接写出不等式解集即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（3，n），
∴k＝﹣2×3＝3×n，
∴k＝﹣6，n＝﹣2，
∴反比例函数解析式为y＝﹣，
A（﹣2，3），B（3，﹣2）在一次函数y＝ax+b的图象上，
，解得，
一次函数解析式为y＝﹣x+1．
（2）由图象可知，关于x的不等式ax+b＜的解集为：﹣2＜x＜0或x＞3．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
21．（10分）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒．
（1）求猪肉粽每盒、豆沙粽每盒的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价x元（52≤x≤70），y表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数表达式并求出y的最大值．
【分析】（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a﹣20）元，根据商家用5000元购进的猪肉粽和用3000元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可；
（2）由题意得，当x＝52时，每天可售出180盒，当猪肉粽每盒售价x元（52≤x≤70）时，每天可售[180﹣10（x﹣52）]盒，列出每天销售猪肉粽的利润y与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式，根据二次函数的性质及x的取值范围求利润的最大值．
【解答】解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a﹣20）元，
则＝，
解得：a＝50，
经检验a＝50是方程的解，
此时a﹣20＝30，
∴猪肉粽每盒进价50元，豆沙粽每盒进价30元；
（2）由题意得，当x＝52时，每天可售出180盒，
当猪肉粽每盒售价x元（52≤x≤70）时，每天可售[180﹣10（x﹣52）]盒，
∴y＝（x﹣50）[180﹣10（x﹣52）]＝（x﹣50）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1200x﹣35000＝﹣10（x﹣60）2+1000，
∵﹣10＜0，52≤x≤70，
∴当x＝60时，y取最大值，最大值为1000元，
答：y关于x的函数解析式为y＝﹣10x2+1200x﹣35000（52≤x≤70），且最大利润为1000元．
【点评】本题考查了二次函数的应用以及分式方程的解法，关键是根据题意列出每天销售猪肉粽的利润y与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式．
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分。）
22．（6分）已知实数a、b满足ab＝1的两根，则+＝ 1 ．
【分析】把ab＝1代入原式，根据分式的加法法则计算即可．
【解答】解：∵ab＝1，
∴原式＝+
＝+
＝
＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的加法法则是解题的关键．
23．（6分）如图，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，则∠ACB的度数为 100° ．
【分析】由等腰三角形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝x°，∠BDC＝∠BCD＝y°，由三角形内角和定理列出方程，可求解．
【解答】解：∵AC＝AE，BC＝BD，
∴设∠AEC＝∠ACE＝x°，∠BDC＝∠BCD＝y°，
∴∠A＝180°﹣2x°，∠B＝180°﹣2y°，
∵∠ACB+∠A+∠B＝180°，∠BDC+∠AEC+∠DCE＝180°，
∴∠ACB+（180°﹣2x）+（180°﹣2y）＝180°，180°﹣（x+y）＝∠DCE，
∴∠ACB+360°﹣2（x+y）＝180°，
∴∠ACB+2∠DCE＝180°，
∵∠DCE＝40°，
∴∠ACB＝100°，
故答案为：100°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，利用三角形内角和为180°列出方程是解题的关键．
24．（6分）一个四位数，如果它的千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称该数为“极数”．若偶数m为“极数”，且是完全平方数，则m＝ 1188或4752 ．
【分析】设四位数m的个位数字为x，十位数字为y，将m表示出来，根据是完全平方数，得到可能的值即可得出结论．
【解答】解：设四位数m的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数），
∴m＝1000（9﹣y）+100（9﹣x）+10y+x＝99（100﹣10y﹣x），
∵m是四位数，
∴99（100﹣10y﹣x）是四位数，
即1000≤99（100﹣10y﹣x）＜10000，
∵，
∴，
∵是完全平方数，
∴3（100﹣10y﹣x）既是3的倍数也是完全平方数，
∴3（100﹣10y﹣x）只有36，81，144，225这四种可能，
∴是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425，
又m是偶数，
∴m＝1188或4752，
故答案为：1188或4752．
【点评】此题考查列代数式解决问题，设出m的代数式后根据题意得到代数式的取值范围是解题的关键，根据取值范围确定可能的值即可解答问题．
25．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，E是BC边上一点，且BE＝2，点I是△ABC的内心，BI的延长线交AC于点D，P是BD上一动点，连接PE、PC，则PE+PC的最小值为 ．
【分析】在AB取点F，使BF＝BE＝2，连接PF，CF，过点F作FH⊥BC于H，利用三角形内心的定义可得出∠ABD＝∠CBD，利用SAS证明△BFP≌△BEP，得出PF＝PE，则 PE+PC＝PF+PC≥CF，当C、P、F三点共线时，PE+PC最小，最小值为CF，利用含 30° 的直 角三角形的性质求出BH，利用勾股定理求出FH，CF即可．
【解答】解：在AB取点F，使 BF＝BE＝2，连接PF，CF，过点F作FH⊥BC于H，
∵是△ABC 的内心，
∴BI平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
又 BP＝BP，
∴△BFP≌△BEP（SAS），
∴PF＝PE，
∴PE+PC＝PF+PC≥CF，
当C、P、F三点共线时，PE+PC最小，最小值为CF，
∵FH⊥BC，∠ABC＝60°，
∴∠BFH＝30°，
∴，
∴，CH＝BC﹣BH＝7，
∴，
∴PE+PC 的最小值为 ，
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的内心，全等三角形的判定与性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形和含30°的直角三角形是解题的关键．
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）
26．（12分）已知关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2．
（1）填空：x1+x2＝ p ，x1x2＝ 1 ；
（2）求+，x1+；
（3）已知+＝2p+1，求p的值．
【分析】（1）由根与系数的关系直接可得答案；
（2）把所求式子变形后，结合（1）代入即可；
（3）把已知变形后代入可得p的方程，解出p值后再检验即可．
【解答】解：（1）由根与系数的关系得：x1+x2＝p，x1x2＝1，
故答案为：p，1；
（2）∵x1+x2＝p，x1x2＝1，
∴+＝＝＝p；
∵关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2，
∴，
∴，即；
（3）由根与系数的关系得：x1+x2＝p，x1x2＝1，
∵，
∴，
∴p2﹣2＝2p+1，
解得：p1＝3，p2＝﹣1，
当p＝3 时，Δ＝p2﹣4＝9﹣4＝5＞0；
当 p＝﹣1 时，Δ＝p2﹣4＝﹣3＜0；
∴p＝3．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根系关系，熟练地掌握根系公式是解决本题 的关键．
27．（12分）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，过点C作AD的垂线，垂足为点E．
（1）求证：△ACE∽△ABC；
（2）求证：CE是⊙O的切线；
（3）若AD＝2CE，OA＝，求阴影部分的面积．
【分析】（1）利用圆周角定理，垂直的定义和相似三角形的判定定理解答即可；
（2）连接OC，利用角平分线的定义，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可；
（3）连接OD，过点O作OF⊥AD于点F，利用垂径定理，矩形的判定与性质得到OF＝AF，则△AFO为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质求得AF＝FO＝1，再利用阴影部分的面积＝S扇形OAD﹣S△OAD解答即可．
【解答】（1）证明：∵C是的中点，
∴，
∴∠EAC＝∠BAC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∵CE⊥AE，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ACB，
∴△ACE∽△ABC；
（2）证明：连接OC，如图，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
由（1）知：∠EAC＝∠BAC，
∴∠EAC＝∠OCA，
∴OC∥AE，
∵CE⊥AE，
∴OC⊥CE．
∵OC为⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（3）解：连接OD，过点O作OF⊥AD于点F，如图，
则AF＝FD＝AD，
∵AD＝2CE，
∴AF＝CE．
∵OF⊥AD，CE⊥AE，OC⊥CE，
∴四边形EFOC为矩形，
∴OF＝CE，
∴OF＝AF，
则△AFO为等腰直角三角形，
∴∠FAO＝45°，AF＝FO＝OA＝1．
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠FAO＝45°，
∴∠AOD＝90°．
∴OA•OD＝＝1，
＝，
∴阴影部分的面积＝S扇形OAD﹣S△OAD＝﹣1．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，圆的切线的判定定理，圆的有关计算，等腰直角三角形的判定与性质，垂径定理，连接经过切点的半径，作出弦的弦心距是解决此类问题常添加的辅助线．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交AB于点E．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），过点F作x轴的垂线交AB于点G，连接DF，当四边形EGFD为菱形时，求点D的横坐标．
【分析】（1）先求出A、B的坐标，然后代入y＝﹣x2+bx+c，求出b、c的值即可；
（2）由对顶角的性质性质知∠AEC＝∠DEB，若存在△BDE和△ACE相似，则有△ACE∽△BDE和△ACE∽△DBE两种情况，然后分情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可；
（3）设点D（m，﹣m2+m+6），E（m，﹣2m+6），F（n，﹣n2+n+6），G（n，﹣2n+6），则DE＝﹣m2+3m，FG＝﹣n2+3n，根据菱形的性质得出﹣m2+3m＝﹣n2+3n，可求出n＝3﹣m，过点G作GK⊥DE于K，可得∠EGK＝∠BAC，利用等角的余弦值相等得出，求出，根据菱形的性质得出，解方程求出m的值即可．
【解答】解：（1）令y＝0，则﹣2x+6＝0，
则x＝3；
令x＝0，则y＝6，
∴A（3，0），B（0，6），
把A（3，0），B（0，6）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得，
∴抛物线所对应的函数表达式为y＝﹣x2+x+6；
（2）存在点D，使得△BDE和△ACE相似，
设点D（t，﹣t2+t+6），则E（t，﹣2t+6），C（t，0），H（t，6），
∴EC＝﹣2t+6，AC＝3﹣t，BH＝t，DH＝﹣t2+t，DE＝﹣t2+3t，
∵△BDE和△ACE相似，∠BED＝∠AEC，
∴△ACE∽△BDE或△ACE∽△DBE，
①如图，当△ACE∽△BDE时，∠BDE＝∠ACE＝90°，
∴BD∥AC，
∴D点纵坐标为6，
∴﹣t2+t+6＝6，
解得t＝0或t＝1，
∴D（1，6）；
②如图，当△ACE∽△DBE时，∠BDE＝∠CAE，
过B作BH⊥DC于H，
∴∠BHD＝90°，
∴，
∴，
∴﹣2t2+2t＝t，
解得t＝0（舍去）或，
∴，
综上所述，点D的坐标为（1，6）或．
（3）如图，∵四边形EGFD为菱形，
∴DE∥FG，DE＝FG，ED＝EG，
设点D（m，﹣m2+m+6），E（m，﹣2m+6），F（n，﹣n2+n+6），G（n，﹣2n+6），
∴DE＝﹣m2+3m，FG＝﹣n2+3n，
∴﹣m2+3m＝﹣n2+3n，
即（m﹣n）（m+n﹣3）＝0，
∵m﹣n≠0，
∴m+n﹣3＝0，
即m+n＝3或n＝3﹣m，
∵A（3，0），B（0，6），
∴AO＝3，BO＝6，
∴，
过点G作GK⊥DE于K，
∴KG∥AC，
∴∠EGK＝∠BAC，
∴，
即，
∴，
∵DE＝EG，
∴，
∴，
解得（不合题意，舍去）或，
∴，
∴点D的横坐标为 ．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质，菱形的性质，解题时要能够灵活运用所学的数学知识，要会分类讨论．
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