[数学][期中]四川省泸州市龙马潭区2023-2024学年高二下学期期中考试试题

这是一份[数学][期中]四川省泸州市龙马潭区2023-2024学年高二下学期期中考试试题，共16页。试卷主要包含了 若曲线， 直线被圆所截得的弦长为， 已知，，，则， 下列说法中正确的有， 已知，下列结论正确的有等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知数列的前n项和为，则（ ）
A. 81B. 162C. 243D. 486
【答案】B
【解析】数列的前n项和为，所以.
故选：B
2. 已知直线的倾斜角为，直线，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为直线的倾斜角为，所以，
又，所以.
故选：C.
3. 若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由，
得，
由该曲线表示圆，
可知，
解得或，
故选：B.
4. 直线被圆所截得的弦长为（ ）
A 1B. C. 2D. 3
【答案】C
【解析】由已知得圆心为，半径，
因为圆心在直线上，
所以直线被圆所截得的弦长为.
故选：C
5. 在等比数列中，，是方程两根，若，则m的值为（ ）
A. 3B. 9C. D.
【答案】B
【解析】因为，是方程两根，
所以，即，
在等比数列中，，又，
所以，因为，所以，所以.
故选：B.
6. 甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在小区的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】首先求所有可能情况，5个人去3个地方，共有种情况，
再计算5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去，
5人被分为或
当5人被分为时，情况数为;
当5人被分为时，情况数为；
所以共有.
由于所求甲不去，情况数较多，反向思考，求甲去的情况数，最后用总数减即可，
当5人被分为时，且甲去，甲若为1，则，甲若为3，则
共计种，
当5人被分为时，且甲去，甲若为1，则，甲若为2，则，共计种，
所以甲不在小区的概率为
故选：B.
7. 设，为任意两个事件，且，，则下列选项必成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，则，故，
而，则，又，
所以.
故选：D
8. 已知，，，则（参考数据：）（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为， ，
考虑构造函数，则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
因为，所以，即，
所以，
所以，即，
又，
所以，故，
故选：B.
二、多项选择题（每小题5分，共4小题，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 下列说法中正确的有（ ）
A.
B. 函数的单调增区间为
C. 一质点的运动方程为，则该质点在时的瞬时速度是
D. ，则
【答案】CD
【解析】对于A，，故A错误；对于B，函数定义域为正实数，故B错误；
对于C，，当时，，故C正确；对于D，若，则.
故选：CD.
10. 已知，下列结论正确的有（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AD
【解析】因为，
令，则，令，则，
所以，故B错误；
令，则，故C错误：
令，则，所以，
通项为，所以，故A正确；
令，
则，
令，得，故D正确.
故选：AD
11. 已知等差数列{}的前n项和 ，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C 当取得最大值时D. 当取得最大值时
【答案】ABC
【解析】设公差为，则，
所以，解得，故A正确；
，故B正确；
，所以当时，最大，故C正确，D错.
故选：ABC.
12. 已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，过点的两条互相垂直的直线，分别与抛物线交于，和，，过点分别作，的垂线，垂足分别为，，则（ ）
A. 四边形面积的最大值为2
B. 四边形周长的最大值为
C. 为定值
D. 四边形面积的最小值为32
【答案】ABD
【解析】依题意，，解得，
即抛物线：，焦点，准线方程为：，直线，与坐标轴不垂直，
因为，，则四边形为矩形，
有，
当且仅当时取等号，，
即四边形面积的最大值为2，A正确；
因为，
则，
当且仅当时取等号，因此四边形周长最大值为，B正确；

设直线方程为：，，由消去y得：，则，
，
同理，
因此，C错误；
四边形面积，
当且仅当时取等号，所以四边形面积的最小值为32，D正确.
故选：ABD
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）
13. 已知椭圆C：的离心率为，则椭圆的短轴长为_____.
【答案】
【解析】根据题意可得离心率，解得，
所以椭圆的短轴长为.
故答案为：.
14. 设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%、35%、20%，各厂的产品的次品率分别为4%、2%、5%，现从中任取一件，则取到的次品的概率为________．
【答案】
【解析】由题设，从中任取一件取到的次品的概率为.故答案为：
15. 如图，在四棱柱中，底面，且底面为菱形，，，，为的中点，在上，在平面内运动（不与重合），且平面，异面直线与所成角的余弦值为，则的最大值为___________.
【答案】
【解析】连接交于点，平面，平面，则，
因为四边形为菱形，则，
，、平面，平面，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、，
易知平面的一个法向量为，
因为平面，所以，，
设点，其中，则，
由已知可得，
因为，
解得，即点，
设点，则，
因，则，可得，且，可得，
所以，点，
因为平面，、平面，，，
且，
所以，.
故答案为：.
16. 双曲线的左，右焦点分别为，，右支上有一点M，满足，的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为________．
【答案】
【解析】内切圆Q分别与，，，轴切于点S，T，N，P
则四边形、都为正方形，
设内切圆半径为，由圆的切线性质，
则，则 ，①
又因为，②
且双曲线定义得，，③
由①、②、③得，
所以，
从而，
由勾股定理，，所以，
解得．
故答案为：
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知圆C的圆心为，半径为3，l是过点的直线．
（1）判断点P是否在圆上，并证明你的结论；
（2）若圆C被直线l截得的弦长为，求直线l的方程．
解：（1）点P不在圆上．
证明如下：
∵，
∴由圆的定义可知点P是在圆C的内部，不在圆上；
（2）由直线与圆的位置关系可知，圆心C到直线l的距离，
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，
此时，满足题意；
②当直线l的斜率存在时，设直线l为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0，
又∵，解得，此时直线l为3x＋4y－8＝0，
综上所述：直线l的方程为x＝0或3x＋4y－8＝0．
18. 如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，点是线段的中点

（1）证明：平面；
（2）若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离.
解：（1）取中点，连接，如图所示，

为中点，则，又，得，
由，，得，
所以四边形为平行四边形，，
又平面，平面，所以平面.
（2），易知，又，得.
由平面，且直线与圆柱底面所成角为，即，则有.
如图，以为原点，分别为轴，过垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系，

则有，，
，
设平面的一个法向量为，则，
令，有，得，
，
设点到平面的距离为，.
19. 为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有和两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道类试题得10分；每答对1道类试题得20分，答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）．已知某同学类试题中有7道题能答对，而他答对各道类试题的概率均为．
（1）若该同学只抽取3道类试题作答，设表示该同学答这3道试题的总得分，求的分布和期望；
（2）若该同学在类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率．
解：（1）
，，
，
所以X的分布为
所以
（2）记“该同学仅答对1道题”为事件M.
这次竞赛中该同学仅答对1道题得概率为.
20. 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
解：（1）∵，
∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴
21. 如图，已知双曲线的右焦点，点分别在C的两条渐近线上，轴，（O为坐标原点）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过C上一点的直线与直线AF相交于点M，与直线相交于点，证明点在上移动时，恒为定值，并求此定值．
解：（1）由题意知，直线OB方程为，直线OA的方程为，
因为，
所以直线BF的方程为，与直线OB方程联立，
解得，把代入直线OA的方程得，所以
又因为ABOB，所以，解得，
故双曲线C的方程为
（2）由（1）知，则直线的方程为，
即
因为直线AF的方程为，所以直线与AF的交点 ，
直线与直线的交点为 ，因为，
则
因为是C上一点，则，代入上式得
，
所求定值为
22. 已知函数．
（1）当时，求的最大值；
（2）若恰有一个零点，求a的取值范围．
解：（1）当时，，
则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以；
（2），
则，
当时，，所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，此时函数无零点，不合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；
又，
由（1）得，即，所以，
当时，，
则存在，使得，
所以仅在有唯一零点，符合题意；
当时，，所以单调递增，又，
所以有唯一零点，符合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；此时，
由（1）得当时，，，所以，
此时
存在，
使得，
所以在有一个零点，在无零点，
所以有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为.
X
0
10
20
30
P