专题03 函数（五大题型，16区二模真题速递）（解析卷）-2024年高考数学二模试题分类汇编（上海专用）

这是一份专题03 函数（五大题型，16区二模真题速递）（解析卷）-2024年高考数学二模试题分类汇编（上海专用），共28页。试卷主要包含了题型一，题型二，题型三，题型四，题型五等内容，欢迎下载使用。

选 题 列 表
2024·上海杨浦·二模 2024·上海奉贤·二模
2024·上海浦东·二模 2024·上海青浦·二模
2024·上海黄浦·二模 2024·上海闵行·二模
2024·上海普陀·二模 2024·上海金山·二模
2024·上海徐汇·二模 2024·上海静安·二模
2024·上海松江·二模 2024·上海长宁·二模
2024·上海嘉定·二模 2024·上海崇明·二模
2024·上海虹口·二模 2024·上海宝山·二模
汇 编 目 录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc30785" 题型一：函数及其表示 PAGEREF _Tc30785 \h 1
\l "_Tc7917" 题型二：函数的基本性质 PAGEREF _Tc7917 \h 3
\l "_Tc29359" 题型三：指对幂函数 PAGEREF _Tc29359 \h 9
\l "_Tc27721" 题型四：函数的综合应用 PAGEREF _Tc27721 \h 15
\l "_Tc31819" 题型五：函数新定义问题 PAGEREF _Tc31819 \h 19
一、题型一：函数及其表示
1．（2024·上海黄浦·二模）设函数，若恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】分和两种情况下恒成立，参变分离转化为最值求解即可.
【详解】当时，恒成立，即恒成立，
当时，上式成立；
当，，明显函数在上单调递增，
所以，所以；
当时，恒成立，即恒成立，
令，则在上恒成立，
又开口向下，对称轴为，
所以的最大值为，
所以，
综上：实数a的取值范围是.
故选：D.
2．（2024·上海崇明·二模）已知函数为奇函数，则 ．
【答案】/
【分析】考查分段函数奇偶性，先根据函数奇偶性求出函数解析式即可求出函数值.
【详解】令，则由题意为奇函数，
所以当时，，
此时，
故，所以.
故答案为：.
3．（2024·上海嘉定·二模）函数的值域为 ．
【答案】
【分析】利用绝对值的定义化简函数解析式，结合不等式的性质，可得答案.
【详解】由函数，
当时，；当时，.
综上所述，函数的值域为.
故答案为：.
二、题型二：函数的基本性质
4．（2024·上海崇明·二模）已知函数的定义域为．
命题：若当时，都有，则函数是D上的奇函数．
命题：若当时，都有，则函数是D上的增函数．
下列说法正确的是（ ）
A．p、q都是真命题B．p是真命题，q是假命题
C．p是假命题，q是真命题D．p、q都是假命题
【答案】C
【分析】根据题意，结合函数奇偶性与单调性的定义及判定方法，即可求解.
【详解】对于命题，令函数，
则，此时，当函数不是奇函数，
所以命题为假命题，
对于命题，当时，都有，即，不可能，
即当时，可得，满足增函数的定义，所以命题为真命题.
故选：C.
5．（2024·上海奉贤·二模）已知函数，其中，，其中，则图象如图所示的函数可能是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据函数图象和的奇偶性判断.
【详解】易知是偶函数， 是奇函数，给出的函数图象对应的是奇函数，
A. ，定义域为R，
又，所以是奇函数，符合题意，故正确；
B. ，，不符合图象，故错误；
C. ，定义域为R，
但，故函数是非奇非偶函数，故错误；
D. ，定义域为R，
但，故函数是非奇非偶函数，故错误，
故选：A
6．（2024·上海金山·二模）设()，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】由奇函数定义求出，再利用导数的几何意义求出切线方程即得.
【详解】函数是奇函数，则恒成立，
而不恒为0，因此，，求导得，则，而，
所以曲线在点处的切线方程为.
故答案为：
7．（2024·上海奉贤·二模）已知定义域为的函数，其图象是连续的曲线，且存在定义域也为的导函数.
(1)求函数在点的切线方程；
(2)已知，当与满足什么条件时，存在非零实数，对任意的实数使得恒成立？
(3)若函数是奇函数，且满足.试判断对任意的实数是否恒成立，请说明理由.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)恒成立，理由见解析
【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；
（2）先求导，再根据列出方程组，进而可得出结论；
（3）由函数是奇函数，可得是偶函数，再进一步求出导函数的周期性，再整理即可得出结论.
【详解】（1）由题可知，，
所以切线的斜率为，
且，
所以函数在点的切线方程为，即；
（2）由题可知，
又因为定义域上对任意的实数满足，
所以，即，
当且时，，
当时，，
当时，；
（3）因为函数在定义域上是奇函数，所以，
所以，所以，所以是偶函数，
因为，所以，
即，即，
因为，所以，即，
所以是周期为的函数，
所以，
所以.
【点睛】思路点睛：利用导数求函数在其上一点处的切线方程的基本步骤如下：
（1）对函数求导得；
（2）计算切线的斜率；
（3）利用点斜式写出切线方程.
8．（2024·上海杨浦·二模）已知.
(1)若的最小正周期为，判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)已知，中，，，分别是角，，所对的边，若，，，求的值.
【答案】(1)非奇非偶函数，理由见解析；
(2).
【分析】（1）利用给定周期求出，再利用奇偶函数的定义判断得解.
（2）利用已知求出角，再利用余弦定理求解即得.
【详解】（1）由的最小正周期为，得，则，
于是，
；
，
所以函数非奇非偶函数.
（2）当时，则，，
在中，，，则，有，
于是，解得，由余弦定理得，
即，整理得，解得，
所以.
9．（2024·上海静安·二模）已知，记（且）．
(1)当（是自然对数的底）时，试讨论函数的单调性和最值；
(2)试讨论函数的奇偶性；
(3)拓展与探究：
① 当在什么范围取值时，函数的图象在轴上存在对称中心？请说明理由；
②请提出函数的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．（不必证明）
【答案】(1)详见解析；
(2)详见解析；
(3)①当时，函数有对称中心，理由见解析；②答案见解析.
【分析】（1）当时，求得，分和，两种情况讨论，分别求得函数的单调性，进而求得函数的最值；
（2）根据题意，分别结合和，列出方程求得的值，即可得到结论；
（3）根据题意，得到当时，函数有对称中心，且时，对于任意的，都有，并且．
【详解】（1）解：当时，函数 ，可得，
若时，，故函数在上单调递增，函数在上无最值；
若时，令，可得，
当时，，函数在上为严格减函数；
当时，，函数在上为严格增函数，
所以，当时，函数取得最小值，最小值为，无最大值．
综上：当时，函数在上无最值；当时，最小值为，无最大值．
（2）解：因为“为偶函数”“对于任意的，都有”
即对于任意的，都有，并且；
即对于任意的，，可得，
所以是为偶函数的充要条件．
因为“为奇函数”“对于任意的，都有”，
即对于任意的，都有，并且，
即对于任意的，，可得，
所以是为奇函数的充要条件，
当时，是非奇非偶函数.
（3）解：①当时，函数有对称中心，
当时，对于任意的，都有，并且．
证明：当时，令，解得为函数的零点，
由，
可得；
② 答案1：当时，函数有对称轴．
即当时，对于任意的，都有，并且，
参考证明：当时，由，
可得，
答案2：当时，的图象关于y轴对称，
即对于任意的，都有，
答案3：当时，函数的零点为，即
【点睛】解决函数极值、最值综合问题的策略：
1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；
2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；
3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.
三、题型三：指对幂函数
10．（2024·上海徐汇·二模）在下列函数中，值域为的偶函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性的定义判断，利用对数函数性质和基本不等式确定偶函数的值域．
【详解】ACD三个选项中函数定义域是，
函数的定义域是，，为偶函数，由对数函数性质知其值域为，B符合；
，因此是奇函数，A不符；
，因此是偶函数，但，当且仅当时取等号，因此函数值域不是，C不符；
，是奇函数，D不符.
故选：B ．
11．（2024·上海杨浦·二模）下列函数中，在区间上为严格增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用解析式直接判断单调性的方法，逐项分析得解.
【详解】对于A，函数在上单调递减，A不是；
对于B，函数在上单调递减，B不是；
对于C，函数在上单调递减，C不是；
对于D，函数在上为严格增函数，D是.
故选：D
12．（2024·上海闵行·二模）已知，为奇函数，当时，，则集合可表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用函数奇偶性可得不等式等价于，再求出函数解析式，利用对数函数单调性解不等式可得结果.
【详解】因为为奇函数，所以等价于，即；
当时，，即，解得；
当时，，可得，所以，
解不等式，可得，
综上可得集合可表示为.
故选：D
13．（2024·上海松江·二模）已知，函数，若该函数存在最小值，则实数的取值范围是 .
【答案】或
【分析】令，，，，分类讨论的取值范围，判断，的单调性，结合存在最小值，列出相应不等式，综合可得答案．
【详解】由题意，令，，，，
当时，在上单调递减，在上单调递减，则在上的值域为，
因为存在最小值，故需，解得，
结合，此时；
当时，在上单调递减，在上单调递增，则在上的值域为，
因为存在最小值，故需，即，解得，
这与矛盾；
当时，在上单调递减，且在上的值域为，，此时存在最小值2；
则实数的取值范围为或．
故答案为：或．
14．（2024·上海普陀·二模）若实数，满足，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由已知，，，然后利用基本不等式求解即可.
【详解】因为，，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
15．（2024·上海杨浦·二模）若函数为奇函数，则函数，的值域为 .
【答案】
【分析】由奇函数定义可得解析式，即可求得值域.
【详解】当时，，因为为奇函数，则，所以，所以，时值域为.
故答案为：.
16．（2024·上海静安·二模）函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据题意，结合函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解.
【详解】由函数有意义，则满足，即，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
17．（2024·上海金山·二模）已知集合，，则 ．
【答案】
【分析】计算出集合后，利用交集定义即可得.
【详解】由，故.
故答案为：.
18．（2024·上海长宁·二模）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，若，则实数的取值范围为 ．
【答案】或
【分析】由已知结合奇函数的定义可求出及时的函数解析式，然后结合对数函数性质即可求解不等式.
【详解】因为函数是定义域为的奇函数，
所以，
当时，，
当时，，
所以，
所以，
若，
当时，可得，解得，
当时，可得，解得，
当时，可得，显然不成立，
故的取值范围为或.
故答案为：或.
19．（2024·上海青浦·二模）已知，，若，则满足条件的 的取值范围是 ．
【答案】；
【分析】由绝对值等式可知，代入函数后解不等式再结合对数的运算和取值范围求出结果即可.
【详解】因为，
所以，即，
解得或，
所以 的取值范围是，
故答案为：.
20．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】利用函数的单调性脱去法则，再解不等式即得.
【详解】函数都是R上的增函数，则函数是R上的增函数，
不等式，则，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
21．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知是奇函数，当时，，则的值是 .
【答案】/
【分析】根据函数为奇函数求解即可.
【详解】因为是奇函数，所以，
则.
故答案为：.
22．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知集合，集合，则 .
【答案】
【分析】先求出集合，再根据交集的定义即可得解.
【详解】，
而，
所以.
故答案为：.
23．（2024·上海黄浦·二模）设，函数.
(1)求的值，使得为奇函数；
(2)若，求满足的实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由奇函数的性质可得，代入解方程即可得出答案；
（2）由，可得，则，由指数函数的单调性解不等式即可得出答案.
【详解】（1）由为奇函数，可知，
即，解得，
当时，对一切非零实数恒成立，
故时，为奇函数.
（2）由，可得，解得，
所以
解得：，所以满足的实数的取值范围是.
四、题型四：函数的综合应用
24．（2024·上海松江·二模）已知某个三角形的三边长为、及，其中.若，是函数的两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由a，b为函数的两个零点可得，即可得、，由两边之和大于第三边，结合题意可得.
【详解】由为函数的两个零点，故有，
即恒成立，
故，，则，，
由a，b，c为某三角形的三边长，且，
故，且，则， 因为必然成立，
所以，即，解得，
所以，
故的取值范围是：.
故选：B.
25．（2024·上海青浦·二模）对于函数，其中，若关于的方程有两个不同的根，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将方程有两个不同的根，转化为函数图象有两个不同的交点，观察图象可得答案.
【详解】将函数向右平移1个单位得到，
作出函数的图象如下：
要关于的方程有两个不同的根，
则函数和函数有两个不同的交点，
当过点时，，
所以当函数和函数有两个不同的交点时，.
故答案为：.
26．（2024·上海长宁·二模）甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表：
出租车空驶率；依据以述数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为，则 （精确到0.01）
【答案】
【分析】根据题意得到出租车空驶率的模型，检验甲、乙两辆出租车的空驶率，满足题意，从而利用该模型求得丙的空驶率，从而得解.
【详解】依题意，因为出租车行驶的总里程为，出租车有载客时行驶的里程为，
所以出租车空驶率，
对于甲，，满足题意；
对于乙，，满足题意；
所以上述模型满足要求，
则丙的空驶率为，即.
故答案为：.
27．（2024·上海徐汇·二模）已知函数，其中.
(1)求证：是奇函数；
(2)若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）结合奇偶性的定义以及对数函数运算法则即可得证；
（2）分离参数，将原问题等价转换为在上有解，由此转换为求函数值域问题.
【详解】（1）函数的定义域为 ，
在中任取一个实数，都有，并且.
因此，是奇函数.
（2）等价于即在上有解.
记，因为在上为严格减函数，
所以，，，
故的值域为，因此，实数的取值范围为.
28．（2024·上海金山·二模）已知函数，记，，，.
(1)若函数的最小正周期为，当时，求和的值；
(2)若，，函数有零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用三角函数的周期公式求得，再利用三角函数的值域与周期性求得，从而得解；
（2）根据题意，利用换元法将问题转化为在有解，从而利用参变分离法或二次函数根的布分即可得解.
【详解】（1）因为函数的最小正周期，所以，
则当时，，
所以，得，
因为，所以取得，
（2）解法一：
当，时，，，
设，
由题意得，在有解，化简得，
又在上单调递减，
所以，则.
解法二：
当，时，，，
设，
由题意得，在有解，
记，对称轴为，
则由根的分布可得，即，解得，
所以.
五、题型五：函数新定义问题
29．（2024·上海普陀·二模）对于函数，和，，设，若，，且，皆有成立，则称函数与“具有性质”.
(1)判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由；
(2)若函数，与“具有性质”，求的取值范围；
(3)若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据条件，结合性质的定义判断即可；
（2）根据，，与 “具有性质”，可得对，,恒成立，再求出的范围即可；
（3）根据条件，得到，再构造函数，结合条件证明不等式即可．
【详解】（1）由，且，
得，即，
则，
即 ，
即 ，
则函数与“具有性质”.
（2）由函数与“具有性质”，
得，，且，
即，
整理得，
则对恒成立，
又，，
则，，即，
则，即所求的的取值范围为.
（3）由函数在有两个零点，得，
又函数与“具有性质”，
则，
即，
即，
令，即，
记，即，
因为，
当时，；当时，，
所以函数在区间是减函数，在上是增函数.
要证，即证，
不妨设，即证，
只需证，
即证，
设，即，
因为，
所以函数在是减函数，且，
又，则，
即，则得证，
故 .
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，利用不等式恒成立求出参数的取值范围，关键是利用极值点偏移构造函数证明不等式．
30．（2024·上海杨浦·二模）函数、的定义域均为，若对任意两个不同的实数，，均有或成立，则称与为相关函数对.
(1)判断函数与是否为相关函数对，并说明理由；
(2)已知与为相关函数对，求实数的取值范围；
(3)已知函数与为相关函数对，且存在正实数，对任意实数，均有.求证：存在实数，使得对任意，均有.
【答案】(1)是，理由见解析；
(2)
(3)证明见解析；
【分析】（1）由与不为相关函数对，得到且，从而若为相关函数，由成立求解；
（2）根据与为相关函数对，由成立求解；
（3）采用反证法，假设对任意均存在，均有，根据与为相关函数对，分，，得出矛盾即可.
【详解】（1）解：若与不为相关函数对，则且，
则，所以只要即可，
当，时，
，
所以函数与是相关函数对；
（2）因为与为相关函数对，
所以，
令，，当时，；当时，，
所以是极小值点，，
所以，
所以；
（3）假设对任意均存在，
均有，
则取，，，使得，
对任意，，有，，
又函数与为相关函数对，
则①若，则；
②若，则，
由①②知：，由，将其分为很多个子区间，
如，，，……
则以上每个区间至多包含一个，矛盾，假设不成立，
故存在实数，使得对任意，均有．
【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是由假设，，根据函数与为相关函数对，分别由和，构造，找出矛盾而得证.
31．（2024·上海黄浦·二模）若函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”，称这两点为函数的图象的一对“同切点”.
(1)分别判断函数与的图象是否存在“自公切线”，并说明理由；
(2)若，求证：函数有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”；
(3)设，的零点为，，求证：“存在，使得点与是函数的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”.
【答案】(1)函数的图象存在“自公切线”； 函数的图象不存在“自公切线”，理由见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）由直线切的图象于点判断，由导数确定意见性判断.
（2）利用导数探讨单调性结合零点存在性定理推理即得唯一零点，再假定存在“自公切线”，利用导数的几何意义求出切线方程，证明在上无解即得.
（3）求出在点与处的切线方程，利用（2）的结论，结合诱导公式，及充要条件的证明方法推理即得.
【详解】（1）显然直线切的图象于点，
直线是的图象的一条“自公切线”，因此函数的图象存在“自公切线”；
对于是严格减函数，则在不同点处的切线斜率不同，
所以函数的图象不存在“自公切线”.
（2）由恒成立，且仅当时，
则是上的严格增函数，可得它至多有一个零点，
令，
由的图象是连续曲线，且，
因此在上存在零点，即在上存在零点，所以有唯一零点；
假设的图象存在“自公切线”，则存在且，
使得的图象在与处的切线重合，即，有，不妨设，
切线，，
有相同截距，即，而，
则，即，
则有，即，令，，
即函数在上单调递增，，因此当时，，
即在上无解，
所以的图象不存在“自公切线”.
（3）对给定的，由（2）知有唯一零点，即唯一确定，
又在点处的切线方程为，即，
在点处的切线方程为，
若存在，使得点与是函数图象的一对“同切点”，
则，又，则，
所以，且，从而存在，
使得，代入，可得，则，即是数列中的项；
反之，若是数列中的项，则存在，使得，即，
由（2）中的严格增，可知严格增，又且，可知，
令，则且，
即，可得，所以存在，
使得点与是函数的图象的一对“同切点”.
所以存在，使得点与是函数图象的一对“同切点”的充要条件是“是数列中的项”.
【点睛】结论点睛：函数y=f(x)是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：.
32．（2024·上海虹口·二模）若函数满足：对任意，都有，则称函数具有性质.
(1)设，，分别判断与是否具有性质？并说明理由；
(2)设函数具有性质，求实数的取值范围；
(3)已知函数具有性质，且图像是一条连续曲线，若在上是严格增函数，求证：是奇函数.
【答案】(1)不具有性质，具有性质
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）取特殊值判断，利用所给定义判断；
（2）首先判断的奇偶性，依题意可得是严格增函数，则恒成立，再分、、三种情况讨论.
（3）依题意只要证明对任意实数，，对任意实数，设，则由具有性质知：当时，①，设，分、两种情况讨论，结合零点存在性定理证明即可.
【详解】（1）不具有性质，理由如下：
取，有.
具有性质，理由如下：
对任意，，
有.
（2）函数定义域为，
又，
所以是奇函数，
函数具有性质，故对，，
都有，
又为奇函数，
故，即是严格增函数，恒成立.
若，则，解得；
若，则恒成立；
若，则，解得；
综合上述，实数的取值范围为.
（3）因函数的定义域为，
要证明是奇函数，
只要证明对任意实数，即可.
对任意实数，设，则由具有性质知：
当时， ①，
设，当，即时，由①得，
即当时②，
当，即时，由①得，
即当时③，
于是由曲线的连续性，函数在上存在零点，
即 ④ ，
由函数在上严格增，知：函数在上严格增；
所以由②知，由③知，故；
故由④得，
即对任意实数，均有，
因此，函数是奇函数.
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是理解性质的定义，第二问结合函数的奇偶性得到函数的单调性，从而转化为恒成立问题.
33．（2024·上海金山·二模）已知函数与有相同的定义域．若存在常数()，使得对于任意的，都存在，满足，则称函数是函数关于的“函数”．
(1)若，，试判断函数是否是关于的“函数”，并说明理由；
(2)若函数与均存在最大值与最小值，且函数是关于的“函数”，又是关于的“函数”，证明：；
(3)已知，，其定义域均为．给定正实数，若存在唯一的，使得是关于的“函数”，求的所有可能值．
【答案】(1)不是，理由见解析
(2)证明见解析
(3)的所有可能值为或
【分析】（1）结合题目所给定义分别计算即可得；
（2）结合定义可得，，即可得解；
（3）记集合，，结合定义可得，再分、、讨论即可得.
【详解】（1）不是关于的“函数”．
解法一：当时，，所以不存在，使得
解法二：因为函数()的值域为，比如取，则，
不存在，使得；
（2）设．
由题意，存在，使得．
因为函数是关于的“函数”，
所以存在，满足，
从而．
同理，由是关于的“函数”，
可得，
综上，；
（3）记集合，．
由是关于的“函数”，得，
①当时， ，，
从而，解得，
因唯一，令，解得(舍)或(舍)；
②当时，，，
从而，解得，
因唯一，令，解得，符合题意；
③当时，，，
从而，解得，
因唯一，令，解得，符合题意；
综上，的所有可能值为或．
【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助集合，，得到，从而对、、讨论.
甲
乙
丙
接单量t（单）
7831
8225
8338
油费s（元）
107150
110264
110376
平均每单里程k（公里）
15
15
15
平均每公里油费a（元）
0.7
0.7
0.7