专题12导数及其应用（三大题型，16区二模新题速递）（解析版）-2024年高考数学二模试题分类汇编（上海专用）

这是一份专题12导数及其应用（三大题型，16区二模新题速递）（解析版）-2024年高考数学二模试题分类汇编（上海专用），共44页。试卷主要包含了题型一，题型二，题型三等内容，欢迎下载使用。

选 题 列 表
2024·上海杨浦·二模 2024·上海奉贤·二模
2024·上海浦东·二模 2024·上海青浦·二模
2024·上海黄浦·二模 2024·上海闵行·二模
2024·上海普陀·二模 2024·上海金山·二模
2024·上海徐汇·二模 2024·上海静安·二模
2024·上海松江·二模 2024·上海长宁·二模
2024·上海嘉定·二模 2024·上海崇明·二模
2024·上海虹口·二模 2024·上海宝山·二模
汇 编 目 录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc19410" 题型一：导数的几何意义 PAGEREF _Tc19410 \h 2
\l "_Tc4720" 题型二：导数在研究函数中的作用 PAGEREF _Tc4720 \h 5
\l "_Tc10946" 题型三：导数的综合应用 PAGEREF _Tc10946 \h 21
一、题型一：导数的几何意义
1．（2024·上海闵行·二模）函数在处的切线方程为 .
【答案】
【分析】切线的斜率是在处的导数，切线过，由直线的点斜式方程可以求出切线方程.
【详解】，，所以，
所以在处的切线方程为，即，
故答案为：.
2．（2024·上海静安·二模）已知物体的位移（单位：m）与时间（单位：s）满足函数关系，则在时间段内，物体的瞬时速度为的时刻 （单位：s）．
【答案】
【分析】可求出导函数，根据即可求解．
【详解】由题可得：，
可得，又，
可得．
故答案为：．
3．（2024·上海金山·二模）设()，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】由奇函数定义求出，再利用导数的几何意义求出切线方程即得.
【详解】函数是奇函数，则恒成立，
而不恒为0，因此，，求导得，则，而，
所以曲线在点处的切线方程为.
故答案为：
4．（2024·上海嘉定·二模）已知曲线上有一点，则过点的切线的斜率为 ．
【答案】4
【分析】根据导数的几何意义直接求解即可.
【详解】设，则，
所以，即过点P的切线的斜率为4.
故答案为：4
5．（2024·上海二模）（1）在用“五点法”作出函数的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：
（2）设实数且，求证：；（可以使用公式：）
（3）证明：等式对任意实数恒成立的充要条件是
【答案】（1）表格见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，结合“五点法”作图完善表格.
（2）根据给定条件，利用复合函数求导法则计算即得.
（3）根据给定条件，利用恒等式成立的充要条件推理即得.
【详解】（1）“五点法”作函数的图象的5个关键点的横坐标为，
所以表格如下：
（2）实数且，则，
因此，
所以.
（3）
，
依题意，对任意实数恒成立，
因此，
所以等式对任意实数恒成立的充要条件是.
6．（2024·上海奉贤·二模）已知定义域为的函数，其图象是连续的曲线，且存在定义域也为的导函数.
(1)求函数在点的切线方程；
(2)已知，当与满足什么条件时，存在非零实数，对任意的实数使得恒成立？
(3)若函数是奇函数，且满足.试判断对任意的实数是否恒成立，请说明理由.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)恒成立，理由见解析
【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；
（2）先求导，再根据列出方程组，进而可得出结论；
（3）由函数是奇函数，可得是偶函数，再进一步求出导函数的周期性，再整理即可得出结论.
【详解】（1）由题可知，，
所以切线的斜率为，
且，
所以函数在点的切线方程为，即；
（2）由题可知，
又因为定义域上对任意的实数满足，
所以，即，
当且时，，
当时，，
当时，；
（3）因为函数在定义域上是奇函数，所以，
所以，所以，所以是偶函数，
因为，所以，
即，即，
因为，所以，即，
所以是周期为的函数，
所以，
所以.
【点睛】思路点睛：利用导数求函数在其上一点处的切线方程的基本步骤如下：
（1）对函数求导得；
（2）计算切线的斜率；
（3）利用点斜式写出切线方程.
二、题型二：导数在研究函数中的作用
7．（2024·上海奉贤·二模）如图，在等腰梯形中，∥，，，.点是线段上的一点，点在线段上，.
命题①：若，则随着的增大而减少.
命题②：设，若存在线段把梯形的面积分成上下相等的两个部分，那么，随着的增大而减少.
则下列选项正确的是（ ）．
A．命题①不正确，命题②正确B．命题①，命题②都不正确
C．命题①正确，命题②不正确D．命题①，命题②都正确
【答案】A
【分析】由向量的投影得出①错误；用表示出各面积，再由得到，最后求导可得②正确.
【详解】命题①错误，理由如下：
的大小等价于在上的投影，
由图可知，投影是不断增加的；
命题②正确，理由如下：
设
因为，
做，垂足为，
所以，
所以，
，
，
，
又，
所以化简得到，
求导可得恒成立，
所以随着的增大而减少，故②正确；
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题②关键是作出辅助线后用表示出各三角形的面积，再求导判断即可.
8．（2024·上海徐汇·二模）如图所示，已知满足，为所在平面内一点.定义点集.若存在点，使得对任意，满足恒成立，则的最大值为 .
【答案】
【分析】延长到满足，取的靠近的三等分点，连接，由向量共线定理得三点共线，从而表示的边上的高，利用正弦定理求得的面积的最大值，从而可得结论．
【详解】延长到满足，取的靠近的三等分点，连接，如图，
，
所以三点共线，
又存在点，使得对任意，满足恒成立，则的长表示到直线的距离，即的边上的高，设，
由得，，公用，因此，
所以，
中，设，由正弦定理得，记为角，
所以，，，
所以
，
若不是钝角，则
，
又，所以，即，
所以，
设，则，，它是减函数，
所以时，，
若是钝角，则
，
设，则，，
令，则，
，
时，，递减，时，递增，
所以时，，，
综上，，
此时．
故答案为：3．
【点睛】方法点睛：本题考查向量的线性运算，考查三角形的面积，解题方法其一是根据向量共线定理得出点在一条直线，问题转化为求三角形高的最大值，从而求三角形面积的最大值，解题方法其二是利用正弦定理求三角形的面积，本题中注意在用平方关系转化时，需要根据是否为钝角分类讨论，才能正确求解（本题用海伦公式求三角形的面积方法较简便）．
9．（2024·上海徐汇·二模）如图，两条足够长且互相垂直的轨道相交于点，一根长度为的直杆的两端点分别在上滑动（两点不与点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），直杆上的点满足，则面积的取值范围是 .
【答案】
【分析】令，利用直角三角形边角关系及三角形面积公式求出的面积函数，再利用导数求出值域即得.
【详解】依题意，设，则，
因此的面积，，
求导得，
当时，，当时，，即函数在上递增，在上递减，
因此，而，则，
所以面积的取值范围是.
故答案为：
10．（2024·上海黄浦·二模）如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段与分别以为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点是线段上的动点，点O为线段的中点，点在以为直径的半圆弧上，且均为直角.若百米，则此步道的最大长度为 百米.
【答案】
【分析】设半圆步道直径为百米，连接，借助相似三角形性质用表示，结合对称性求出步道长度关于的函数关系，利用导数求出最大值即得.
【详解】设半圆步道直径为百米，连接，显然，
由点O为线段的中点，得两个半圆步道及直道都关于过点垂直于的直线对称，
则，又，则∽，有，
即有，因此步道长，，
求导得，由，得，
当时，，函数递增，当时，，函数递减，
因此当时，，
所以步道的最大长度为百米.
故答案为：
11．（2024·上海闵行·二模）对于任意的，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】通过构造函数，利用导数分别求和的最小值即可.
【详解】设函数，定义域为R，则，
当时，；当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
最小值为，
所以当时，有最小值1；
设函数，定义域为，则，
当时，；当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
最小值为，
所以当时，有最小值1，
不等式恒成立，则有，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
12．（2024·上海静安·二模）已知实数，记．若函数在区间上的最小值为，则的值为 ．
【答案】3
【分析】先对函数求导，结合导数与单调性及最值关系即可求解．
【详解】当时，，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
故时，取得最小值，
解得，．
故答案为：3．
13．（2024·上海静安·二模）已知，记（且）．
(1)当（是自然对数的底）时，试讨论函数的单调性和最值；
(2)试讨论函数的奇偶性；
(3)拓展与探究：
① 当在什么范围取值时，函数的图象在轴上存在对称中心？请说明理由；
②请提出函数的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．（不必证明）
【答案】(1)详见解析；
(2)详见解析；
(3)①当时，函数有对称中心，理由见解析；②答案见解析.
【分析】（1）当时，求得，分和，两种情况讨论，分别求得函数的单调性，进而求得函数的最值；
（2）根据题意，分别结合和，列出方程求得的值，即可得到结论；
（3）根据题意，得到当时，函数有对称中心，且时，对于任意的，都有，并且．
【详解】（1）解：当时，函数 ，可得，
若时，，故函数在上单调递增，函数在上无最值；
若时，令，可得，
当时，，函数在上为严格减函数；
当时，，函数在上为严格增函数，
所以，当时，函数取得最小值，最小值为，无最大值．
综上：当时，函数在上无最值；当时，最小值为，无最大值．
（2）解：因为“为偶函数”“对于任意的，都有”
即对于任意的，都有，并且；
即对于任意的，，可得，
所以是为偶函数的充要条件．
因为“为奇函数”“对于任意的，都有”，
即对于任意的，都有，并且，
即对于任意的，，可得，
所以是为奇函数的充要条件，
当时，是非奇非偶函数.
（3）解：①当时，函数有对称中心，
当时，对于任意的，都有，并且．
证明：当时，令，解得为函数的零点，
由，
可得；
② 答案1：当时，函数有对称轴．
即当时，对于任意的，都有，并且，
参考证明：当时，由，
可得，
答案2：当时，的图象关于y轴对称，
即对于任意的，都有，
答案3：当时，函数的零点为，即
【点睛】解决函数极值、最值综合问题的策略：
1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；
2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；
3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.
14．（2024·上海虹口·二模）若函数满足：对任意，都有，则称函数具有性质.
(1)设，，分别判断与是否具有性质？并说明理由；
(2)设函数具有性质，求实数的取值范围；
(3)已知函数具有性质，且图像是一条连续曲线，若在上是严格增函数，求证：是奇函数.
【答案】(1)不具有性质，具有性质
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）取特殊值判断，利用所给定义判断；
（2）首先判断的奇偶性，依题意可得是严格增函数，则恒成立，再分、、三种情况讨论.
（3）依题意只要证明对任意实数，，对任意实数，设，则由具有性质知：当时，①，设，分、两种情况讨论，结合零点存在性定理证明即可.
【详解】（1）不具有性质，理由如下：
取，有.
具有性质，理由如下：
对任意，，
有.
（2）函数定义域为，
又，
所以是奇函数，
函数具有性质，故对，，
都有，
又为奇函数，
故，即是严格增函数，恒成立.
若，则，解得；
若，则恒成立；
若，则，解得；
综合上述，实数的取值范围为.
（3）因函数的定义域为，
要证明是奇函数，
只要证明对任意实数，即可.
对任意实数，设，则由具有性质知：
当时， ①，
设，当，即时，由①得，
即当时②，
当，即时，由①得，
即当时③，
于是由曲线的连续性，函数在上存在零点，
即 ④ ，
由函数在上严格增，知：函数在上严格增；
所以由②知，由③知，故；
故由④得，
即对任意实数，均有，
因此，函数是奇函数.
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是理解性质的定义，第二问结合函数的奇偶性得到函数的单调性，从而转化为恒成立问题.
15．（2024·上海长宁·二模）设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称函数有上界，实数的最小值为函数的上确界；记集合{在区间上是严格增函数}；
(1)求函数的上确界；
(2)若，求的最大值；
(3)设函数一定义域为；若，且有上界，求证：，且存在函数，它的上确界为0；
【答案】(1)2
(2)4
(3)证明见解析
【分析】（1）由函数的单调性求出值域再根据题意可得；
（2）求出的表达式，求导，再利用在上严格递增得到导函数大于等于零恒成立，然后利用基本不等式求出最小值即可；
（3）假设存在，由单调性可得，再取，且可得，推出①②互相矛盾，然后令，根据题意求出值域最后确定上确界即可.
【详解】（1）因为函数在区间上严格递减，
所以函数的值域为，
所以函数的上确界为2.
（2），，
因为记集合{在区间上是严格增函数}，
所以恒成立，
因为，当且仅当时取等号，所以，
所以的最大值为4.
（3）证明：因为函数有上界，设，
假设存在，使得，
设，
因为，所以在上严格递增，进而，
得，
取，且，
由于，得到，①
由，得，②
显然①②两式矛盾，所以假设不成立，
即对任意，均有，
令，则，
因为当时，，
所以在上严格递增，，
因为的值域为，
所以函数的上确界为零.
【点睛】关键点点睛：
（1）第二问的关键是导函数大于等于零恒成立，用基本不等式求解；
（2）第三问关键是根据不等式的结构能够想到取，再得到与当，得到矛盾.
16．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知函数及其导函数的定义域均为.设，曲线在点处的切线交轴于点.当时，设曲线在点处的切线交轴于点.依此类推，称得到的数列为函数关于的“数列”.
(1)若，是函数关于的“数列”，求的值；
(2)若，是函数关于的“数列”，记，证明：是等比数列，并求出其公比；
(3)若，则对任意给定的非零实数，是否存在，使得函数关于的“数列”为周期数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)证明见解析，公比为
(3)存在
【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线方程，再根据“数列”的定义即可得解；
（2）由题意可得，再根据结合等比数列的定义化简即可得出结论；
（3）由题意可得，设特征函数为，利用蛛网模型分和两种情况讨论，求出函数的单调区间，进而可得出结论.
【详解】（1）由，得，
因为，则，
所以曲线在点的切线方程为，
令，则，
所以；
（2）由，得，
于是曲线在点处的切线方程为，
令，则，
由题意得到，
所以，
又因为，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
（3）由，得，
所以曲线在点处的切线方程为，
令，则，
设特征函数为，则，
情况1：当时，则，
此时，所以函数在定义域内为增函数，
令，解得，又因，故此时方程无解，
当时，，所以不能成周期数列；
当时，，所以不能成周期数列；
故当时，不存在，使得函数关于的“数列”为周期数列；
情况2：当时，，
令，得或，
令，得或或，
所以函数在上单调递增，
在上单调递减，
而，所以函数为奇函数，
，，
令，方程无解，
令，解得
当时，，，
所以数列是周期为的周期数列；
当时，，且与符号正负交替，
假设存在周期数列，则等价于存在，使得，
若为偶数，中每一个括号内的式子都是同号的，
所以不可能为，所以数列不可能为周期数列；
若为奇数，中，
每一个括号内的式子都与是同号的，
所以不可能为，所以数列不可能为周期数列；
当时，，
可得得到起初是正负交替，但是以后会一直为正或负，所以不能成周期数列，
故当时，有满足条件，使得数列成周期为的周期数列，
此时，
综上所述，存在满足题意.
【点睛】方法点睛：等比数列的两种判定方法：
（1）定义法：（常数）数列为等比数列；
（2）等差中项法：数列为等比数列.
三、题型三：导数的综合应用
17．（2024·上海金山·二模）设，有如下两个命题：
①函数的图象与圆有且只有两个公共点；
②存在唯一的正方形，其四个顶点都在函数的图象上．
则下列说法正确的是（ ）．
A．①正确，②正确B．①正确，②不正确
C．①不正确，②正确D．①不正确，②不正确
【答案】B
【分析】对①：结合函数性质与图象判断即可得；对②：由曲线的对称性，可得要使得正方形存在，则为等腰直角三角形，利用极限思想可得至少存在两个正方形.
【详解】对①：令，
当时，，当时，，
则在、上单调递增，在上单调递减，
又，，
函数的图象与圆的图象如图所示：
故函数的图象与圆有且只有两个公共点，故①正确；
对②：由，
故要使得正方形存在，则为等腰直角三角形，
显然，当时，，
点在函数图像外侧，则，此时；
利用极限思想，时，，此时；
时，，此时，如图所示，
故至少两个正方形， 故②错误.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：结论②需注意使用极限思想，从而得到至少两个正方形.
18．（2024·上海虹口·二模）已知定义在上的函数的导数满足，给出两个命题：
①对任意，都有；②若的值域为，则对任意都有.
则下列判断正确的是（ ）
A．①②都是假命题B．①②都是真命题
C．①是假命题，②是真命题D．①是真命题，②是假命题
【答案】B
【分析】对于①，根据不等式，构造函数，然后利用函数的单调性证明即可；对于②，根据函数的值域和单调性，结合不等式求解即可.
【详解】，故在上递增，
对于①，设，，
设，
，，
单调递减，单调递增，
，即，
，即，
故，故①是真命题.
对于②，由①知，，
即，
，故.
且在上递增，故，
，
故的值域为
所以，
即，故，
②是真命题.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题①判断的关键是首先根据导数和函数单调性的关系得到在上递增，再构造函数，利用导数得到其单调性，最后得到，则可判断①.
19．（23-24高三下·上海浦东新·期中）设，记，令有穷数列为零点的个数，则有以下两个结论：①存在，使得为常数列；②存在，使得为公差不为零的等差数列.那么（ ）
A．①正确，②错误B．①错误，②正确
C．①②都正确D．①②都错误
【答案】C
【分析】对于①，列举验证，对于②，列举验证.
【详解】当时，
，此时，
，此时，
，此时，
故存在，使为常数列；①正确；
设，则有个零点，
则在的每个区间内各至少一个零点，故至少有个零点，
因为是一个次函数，故最多有个零点，因此有且仅有个零点，
同理，有且仅有个零点，，有且仅有个零点，
故，所以是公差为的等差数列，故②正确.
故选：C.
20．（2024·上海普陀·二模）已知，若关于的不等式的解集中有且仅有一个负整数，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】原式可化为，然后研究函数的图象，只需当时，在下方时，只有一个负整数即可，构造不等式组求解．
【详解】原不等式可化为：，
令，，显然时，，单调递减；时，，单调递增，
所以，且时，，,
同一坐标系中，作出与（过定点的图象：
据图可知，满足题意的整数解为，此时应满足，
解得．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：本题考查不等式解问题，关键是将不等式适当变形，转化为两个函数交点问题.
21．（2024·上海松江·二模）已知函数（为常数），记.
(1)若函数在处的切线过原点，求实数的值；
(2)对于正实数，求证：；
(3)当时，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意，得到，求得，结合导数的几何意义，求得切线方程，将原点代入切线方程，即可求解；
（2）设函数，求得，求得函数的单调性和最小值为，得到，即可得证；
（3）根据题意，得到，结合，把转化为，设，利用导数求得的单调性和最大值，即可得证.
【详解】（1）解：由题意，函数，且，
可得，则，
所以，又因为，
所以在处的切线方程为，
又因为函数在处的切线过原点，可得，
解得.
（2）解：设函数，
可得，其中，
则，
令，可得，即，即，解得，
令，可得，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
可得的最小值为，所以，
又由，
所以.
（3）解：当时，即证，
由于，所以，只需证，
令，只需证明，
又由，
因为，可得，令，解得；令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，也时最大值，所以，
即，即时，不等式恒成立.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
22．（2024·上海虹口·二模）已知关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据题意，分且和且，两种情况讨论，构造函数，利用导数和基本不等式，求得函数的最值，即可求解.
【详解】因为关于的不等式对任意均成立，
①当对任意均成立时，可得对任意均成立，
令，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，所以，
又由对任意均成立，
可得对任意均成立，
因为，当且仅当时，即时，等号成立，
所以，所以.
②当且对于任意均成立时，
结合①可知且，此时无解.
综上可得，实数实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；
2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
23．（2024·上海普陀·二模）对于函数，和，，设，若，，且，皆有成立，则称函数与“具有性质”.
(1)判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由；
(2)若函数，与“具有性质”，求的取值范围；
(3)若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据条件，结合性质的定义判断即可；
（2）根据，，与 “具有性质”，可得对，,恒成立，再求出的范围即可；
（3）根据条件，得到，再构造函数，结合条件证明不等式即可．
【详解】（1）由，且，
得，即，
则，
即 ，
即 ，
则函数与“具有性质”.
（2）由函数与“具有性质”，
得，，且，
即，
整理得，
则对恒成立，
又，，
则，，即，
则，即所求的的取值范围为.
（3）由函数在有两个零点，得，
又函数与“具有性质”，
则，
即，
即，
令，即，
记，即，
因为，
当时，；当时，，
所以函数在区间是减函数，在上是增函数.
要证，即证，
不妨设，即证，
只需证，
即证，
设，即，
因为，
所以函数在是减函数，且，
又，则，
即，则得证，
故 .
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，利用不等式恒成立求出参数的取值范围，关键是利用极值点偏移构造函数证明不等式．
24．（2024·上海徐汇·二模）已知各项均不为0的数列满足（是正整数），，定义函数，是自然对数的底数.
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)记函数，其中.
（i）证明：对任意，；
（ii）数列满足，设为数列的前项和.数列的极限的严格定义为：若存在一个常数，使得对任意给定的正实数（不论它多么小），总存在正整数m满足：当时，恒有成立，则称为数列的极限.试根据以上定义求出数列的极限.
【答案】(1)证明见解析，；
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）由可变形为，从而得到为等差数列，然后由累乘法求通项即可；
（2）可先证：，根据的表达式求导，分析单调性，得出最小值，即可得证，再证：，即证恒成立，即即可；先求出，然后由，分析单调性证明进而得到，代入表达式，取可得，再对进行放缩即可求解.
【详解】（1）由于数列的各项均不为，
所以，可变形为（是正整数），
所以，数列是首项为，公差为的等差数列，所以，
又，也符合上式，所以.
（2）（i）先证：.
根据已知，得
由当且仅当时等号成立，
于是在上是严格增函数，故成立.
再证：.
又，记，则，
由，故且仅当时等号成立，
于是在上是严格减函数，
故，于是，证毕.
（ii）由题意知，，
下面研究.将（i）推广至一般情形.
，
由当且仅当时等号成立，
于是在上是严格增函数，故成立.①
再证：.，
记，则，
由，故当且仅当时等号成立，
于是在上是严格减函数，
故，于是，
所以，，即对任意，.
于是对，，整理得，
令，得，即，故.
（方法一）当时，
故即，
从而.对于任意给定的正实数，令，
则取为大于且不小于的最小整数，
则当时，恒成立，因此，数列的极限为.
（方法二）而对于任意，只需且时，
可得.
故存在，当时，恒有，
因而的极限.
【点睛】方法点睛：本题主要考查数列的通项、求和，另外考查数列和函数的结合以及新定义知识，难度较大，本题主要思维方法：
1.基本方法求通项：定义法，累乘法；
2.不等式的证明，借助构造函数利用导数分析单调性，求最值；
3.新定义考查，主要是结合导数的最值分析和不等式的放缩思维，对于一般学生要求较高，难度很大.
25．（2024·上海杨浦·二模）函数、的定义域均为，若对任意两个不同的实数，，均有或成立，则称与为相关函数对.
(1)判断函数与是否为相关函数对，并说明理由；
(2)已知与为相关函数对，求实数的取值范围；
(3)已知函数与为相关函数对，且存在正实数，对任意实数，均有.求证：存在实数，使得对任意，均有.
【答案】(1)是，理由见解析；
(2)
(3)证明见解析；
【分析】（1）由与不为相关函数对，得到且，从而若为相关函数，由成立求解；
（2）根据与为相关函数对，由成立求解；
（3）采用反证法，假设对任意均存在，均有，根据与为相关函数对，分，，得出矛盾即可.
【详解】（1）解：若与不为相关函数对，则且，
则，所以只要即可，
当，时，
，
所以函数与是相关函数对；
（2）因为与为相关函数对，
所以，
令，，当时，；当时，，
所以是极小值点，，
所以，
所以；
（3）假设对任意均存在，
均有，
则取，，，使得，
对任意，，有，，
又函数与为相关函数对，
则①若，则；
②若，则，
由①②知：，由，将其分为很多个子区间，
如，，，……
则以上每个区间至多包含一个，矛盾，假设不成立，
故存在实数，使得对任意，均有．
【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是由假设，，根据函数与为相关函数对，分别由和，构造，找出矛盾而得证.
26．（2024·上海黄浦·二模）若函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”，称这两点为函数的图象的一对“同切点”.
(1)分别判断函数与的图象是否存在“自公切线”，并说明理由；
(2)若，求证：函数有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”；
(3)设，的零点为，，求证：“存在，使得点与是函数的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”.
【答案】(1)函数的图象存在“自公切线”； 函数的图象不存在“自公切线”，理由见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）由直线切的图象于点判断，由导数确定意见性判断.
（2）利用导数探讨单调性结合零点存在性定理推理即得唯一零点，再假定存在“自公切线”，利用导数的几何意义求出切线方程，证明在上无解即得.
（3）求出在点与处的切线方程，利用（2）的结论，结合诱导公式，及充要条件的证明方法推理即得.
【详解】（1）显然直线切的图象于点，
直线是的图象的一条“自公切线”，因此函数的图象存在“自公切线”；
对于是严格减函数，则在不同点处的切线斜率不同，
所以函数的图象不存在“自公切线”.
（2）由恒成立，且仅当时，
则是上的严格增函数，可得它至多有一个零点，
令，
由的图象是连续曲线，且，
因此在上存在零点，即在上存在零点，所以有唯一零点；
假设的图象存在“自公切线”，则存在且，
使得的图象在与处的切线重合，即，有，不妨设，
切线，，
有相同截距，即，而，
则，即，
则有，即，令，，
即函数在上单调递增，，因此当时，，
即在上无解，
所以的图象不存在“自公切线”.
（3）对给定的，由（2）知有唯一零点，即唯一确定，
又在点处的切线方程为，即，
在点处的切线方程为，
若存在，使得点与是函数图象的一对“同切点”，
则，又，则，
所以，且，从而存在，
使得，代入，可得，则，即是数列中的项；
反之，若是数列中的项，则存在，使得，即，
由（2）中的严格增，可知严格增，又且，可知，
令，则且，
即，可得，所以存在，
使得点与是函数的图象的一对“同切点”.
所以存在，使得点与是函数图象的一对“同切点”的充要条件是“是数列中的项”.
【点睛】结论点睛：函数y=f(x)是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：.
27．（2024·上海闵行·二模）已知定义在上的函数的表达式为，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列（）.
(1)求函数在区间上的值域；
(2)求证：函数在区间（）上有且仅有一个零点；
(3)求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求得的导数，判断的单调性，可得所求值域；
（2）讨论为奇数，或偶数时，的单调性，结合函数零点存在定理，可得证明；
（3）由（2）可知函数在（）上且仅有一个零点，再由零点存在定理、以及正切函数的性质和不等式的性质，可得证明.
【详解】（1）由，
当时，，即函数在区间上是严格增函数，
且，，
所以在区间上的值域为.
（2）当时，
①当是偶数时，，
函数在区间上是严格增函数；
②当是奇数时，，
函数在区间上是严格减函数；
且，故，
所以由零点存在定理可知，
函数在区间上有且仅有一个零点.
（3）由（2）可知函数在上有且仅有一个零点，
且满足，即（几何意义：是与交点的横坐标）
又因为，故，
所以由零点存在性定理可知，
函数在上有且仅有一个零点，
于是，
①因为，得
所以，即；
（或者
）
② 因为
由（1）可知，当时，有
故，所以；
由①②可知.
【点睛】关键点点睛：本题第三问，借助在（）上且仅有一个零点，利用正切函数的性质和不等式的性质求解.
28．（2024·上海崇明·二模）已知.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数存在两个不同的极值点，求证：；
(3)若，，数列满足，．求证：当时，．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）先对函数求导，结合导数的几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程；
（2）由已知结合导数与单调性及极值关系先表示，然后结合二次方程根的存在条件即可证明；
（3）结合导数分析的单调性，结合已知递推关系及函数单调性即可证明.
【详解】（1）当时，，
所以曲线在点处的切线方程为.；
（2）由，得：，令，则，
原方程可化为：①，则是方程①的两个不同的根，
所以，解得，
所以
，
因为，所以，所以；
（3）由题意可知，，所以，
当时，，所以函数在区间上严格减，
当时，，所以函数在区间上严格增，
因为，所以，，
以此类推，当时，，
又，
所以函数在区间上严格减，
当时，，所以，
所以，即，故.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了导数的几何意义在切线方程求解中的应用，还考查了导数与单调性在不等式证明中的应用，解题关键在于根据定义域判断导函数的正负性，从而得出函数的单调性，得到最值进行比较.
29．（2024·上海嘉定·二模）已知常数，设，
(1)若，求函数的最小值；
(2)是否存在，且，，依次成等比数列，使得、、依次成等差数列？请说明理由．
(3)求证：“”是“对任意，，都有”的充要条件．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求导分析的符号，的单调性，最值，即可得出答案．
（2）根据题意可得，，则，分两种情况：当时，当时，讨论是否满足条件，即可得出答案．
（3）由，借助换元法，令，可得，分别证明充分性和必要性，即可得出答案．
【详解】（1）当时，，则，
在上，单调递减，
在上，单调递增，
所以；
（2）若、、依次成等比数列，则，
若、、成等差数列，则，
所以，
所以，
当时，成立，
当时，则，联立，得，
，即，
所以，与矛盾，
所以时，存在，，满足条件，
当时，不存在，，满足条件；
（3），则，
，
所以，
又
，
令，
上式
，
令，则恒成立，单调递减，
所以，
充分性：若，则，则恒成立，
必要性：要使得式恒成立，则恒成立，即．
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于对“对任意，，都有”的转化，借助换元法，可得其等价为“对任意，，都有，其中”.
30．（2024·上海·二模）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．类比三角函数的三种性质：①平方关系：；②两角和公式：，③导数：定义双曲正弦函数．
(1)直接写出，具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；
(2)当时，双曲正弦函数的图像总在直线的上方，求直线斜率的取值范围；
(3)无穷数列满足，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)存在，
【分析】（1）类比，写出平方关系，和角关系和导数关系，并进行证明；
（2）构造函数，，求导，分和两种情况，结合基本不等式，隐零点，得到函数单调性，进而得到答案；
（3）当时，利用数学归纳法证得排除该可能；当，同理证得，从而利用换元法即可得解.
【详解】（1）平方关系：；
和角公式：；
导数：．
理由如下：平方关系，
；
和角公式：，
故；
导数：，；
（2）构造函数，，
由（1）可知，
①当时，由，
又因为，故，等号不成立，
所以，故为严格增函数，
此时，故对任意，恒成立，满足题意；
②当时，令，
则，可知是严格增函数，
由与可知，存在唯一，使得，
故当时，，则在上为严格减函数，
故对任意，，即，矛盾；
综上所述，实数的取值范围为．
（3）当时，存在，使得，
由数学归纳法证明：，证明如下：
①当时，成立，
②假设当（为正整数）时，，
则成立.
综上：.
所以，有，即.
当时， ，
而函数的值域为，
则对于任意大于1的实数，存在不为0的实数，使得，
类比余弦二倍角公式，猜测.
证明如下：
类比时的数学归纳法，设，
易证，，，，，
所以若，
设，则，解得：或，即，
所以，于是.
综上：存在实数使得成立.
【点睛】思路点睛：对新定义的题型要注意一下几点：
（1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点
（2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件
（3）含有参数是要注意分类讨论的思想.
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