重庆市七校联盟2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

这是一份重庆市七校联盟2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题，共4页。

命题学校：重庆市长寿中学 命题人：王海辉 审题人：郭万兵
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.考试结束后，将答题卷交回。
第Ⅰ卷 ( 选择题 共58分)
一、单项选择题(本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求)
1.(改编)复数 5i−2的共轭复数是 ( )
A. 2+i B. 2-i C. -2-i D. -2+i
2.(改编)已知两个互斥事件A, B满足P(A+B)=0.5, P(A)=0.2,则P(B)=( )
A. 0.4 B. 0.3 C. 0.6 D. 0.1
3.(改编)正方体 ABCD−A₁B₁C₁D₁中，直线AB₁与直线BC₁夹角的余弦值是 ( )
A. 12 B.32 C.±32 D.±12
4.(原创) 三棱锥P-ABC中, PA与面ABC所成角的余弦值为 223,PA=3,AB=2BC=2, AC= 3,则三棱锥P-ABC的体积是( )
A.32 B.33 C.3 D.36
5.(原创) △ABC中,角A, B, C所对应的边分别是a, b, c, c=acsB+ccsA,则△ABC的形状是 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
6.(改编)甲、乙两人独自破译密码，两个人都成功地破译密码的概率为0.3，甲成功且乙没有成功破译密码的概率为0.2，则甲成功破译密码的概率为( )
A. 0.5 B. 0.6 C. 0.06 D.237.(改编)已知向量( a=34,非零向量b满足对∀λ∈R 都有 |a−λb|≥|a−b|成立，则 |a−2b|的值为 ( )
A.52 B. 10 C. 5 D. 15
8.(改编)边长为2的正三角形ABC的内切圆上有一点P，已知 AP=xAB+yAC,则2x+y的取值范围是( )
A.3−33+3 B.131
C.131 D.3−333+33
二、多项选择题(本题共3个小题，每小题6分，共18分，每小题全选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分)
9.(改编)抛一枚质地均匀的硬币两次，事件A₁：“第1次硬币正面朝上”，事件A₂：“第2次硬币正面朝上”，事件A₃：“两次硬币朝上的面相同”则下列说法正确的是( )
A.PA1=12 B.PA2≠12
C.PA₁A₃=PA₁PA₃ D.PA₁A₂A₃=PA₁PA₂PA₃
10.(原创) 关于x的方程 x²+x+1=0在复数范围内的根是z₁，z₂，则下列说法正确的是 ( )
A.z13=1 B.z12=z2 C.z12024=z1 D.z1=z2
11.(原创)如果一个多面体由两个及其两个以上的正多边形组成，我们称这样的多面体是半正多面体，半正多面体体现了数学的对称美，如图1是一个由正方形和正三角形构成的半正多面体笔筒，其中面 ABCD∥面EFGH，且两个正方形的中心的连线与这两个正方形所在平面垂直，HF⊥AD，EG⊥AB，且所有的棱长都为2，则下列说法正确的是 ( )
A. 该多面体有 10个面
B. 平面ABCD与平面EFGH的距离是 234
C.该几何体外接球的表面积是 8+22π
D. 二面角H-AE-B 的余弦值为 1−23第Ⅱ卷 (非选择题 共92分)
三、填空题(本题共三个小题，每小题5分，其中14题第一空2分，共15分)
12.(改编)已知一组数: 6,8,2,4,10,这组数的第四十百分位数是 .
13.(改编)已知圆锥的母线长为 23,底面圆的周长为 23π,则该圆锥的内切球的体积为 .
14.(原创)已知x₁, x₂,… x₅的平均数和方差分别是2, 1,若. x₆=8,则 x1,x2,⋯,x6的平均数是 ，2x1+1,2x2+1,… 2x6+1的方差是 .
四、解答题(本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤)
15.(改编)(13分)在一次区域的统考中，为了了解学生数学学科成绩的情况，从所有考生的成绩中随机抽取了 40 位考生的成绩进行统计分析，得到如图2所示的频率分布直方图,
(1)估计这 40 名学生的数学成绩的平均数与中位数；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，不能整除的保留1位小数)
(2)为了进一步了解70分以下的学生的数学学习情况,调查方从成绩在[50,70)分数段的同学中按组([50,60),[60,70)各算一组)从样本中分层抽取了6个人进行深入地学习交流，学习交流完后再从这6个人中随机抽取2个人进行再测试，求这两个人中至少有一个人在之前的统考中成绩位于[50，60)的概率.
16.(原创)(15分)如图3所示的直三棱柱. ABC−A₁B₁C₁的每条棱长均为2，E，F分别是棱AB₁,BC₁,的中点, O, G分别是棱AB, AC上的点,平面 EGO‖平面BCC₁.
(1) 求证: G是AC的中点;
(2) 求三棱锥F-EBC的体积.17.(改编)(15分) △ABC中, 角A, B, C所对应的边分别是a, b, c,且 acsC+3asinC=b+c.
(1) 求A;
(2) 若a=2, 求BC边上高的最大值.
18. (原创)(17分) 如图4, 在△ABC中, BO=OC,AT=4TO,AE=2EC.
(1) 用 AB,AC表示 BT;
(2) 求证: B、T、E三点共线;
(3) 若 AB=1,AC=2,∠BAC=π3,求cs∠ETO.
19.(原创)(17分)如图5,四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是平行四边形, △PAB是正三角形， AB=2AD=2,面 PAD⊥面ABCD,AC=1.
(1) 求证: CA⊥平面 PAD;
(2) 当 ∠PAD=135°时,
(i) 若G是面PBD的重心，求直线BG与平面ABCD所成角的正弦值；
(ii) 棱AD上是否存在一点Q，使得二面角A-PQ-C的余弦值为 66,如果有，求此时CQ的长度；如果无，请说明理由.