河北省石家庄市2023-2024学年高二下学期5月质量检测 数学试题（含解析）

这是一份河北省石家庄市2023-2024学年高二下学期5月质量检测 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了10万人，15，635等内容，欢迎下载使用。
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区城内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑：非选择题用黑色鉴字笔在答题卡上作答：字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5，本卷主要考查内容：选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．椭圆的焦点坐标为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知函数在处的导数为3，则（ ）
A．3B．C．6D．
3．某大学食堂备有4种荤菜､8种素菜､2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（ ）
A．14B．64C．72D．80
4．在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的，数学考试成绩在80分到100分（含80分和100分）之间的人数为800，则可以估计参加本次联考的总人数约为（ ）
A．1600B．1800C．2100D．2400
5．一个盒子里装有相同大小的白球､黑球共20个，其中黑球6个，现从盒中随机的抽取5个球，则概率为的事件是（ ）
A．没有白球B．至多有2个黑球
C．至少有2个白球D．至少有2个黑球
6．设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ）
A．或－1B．或1C．－1或2D．
8．已知函数满足（其中是的导数），若，，，则下列选项中正确的是（ ）
A．B．C．D．
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．圆M：，则下列说法正确的是（ ）
A．点在圆内B．圆M关于直线对称
C．圆M的半径为2D．直线与圆M相切
10．关于的展开式的说法中正确的是（ ）
A．各项的系数之和为B．二项式系数的和为64
C．展开式中无常数项D．第4项的系数最大
11．一个盒子中装有3个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球.记“第一次取得黑球”为，“第一次取得白球”为，“第二次取得黑球”为，“第二次取得白球”为，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．有一座六层高的商场，若每层所开灯的数量都是下面一层的两倍，一共开了1890盏，则底层所开灯的数量为 盏.
13．已知甲射击命中的概率为，且每次射击命中得分，未命中得分，每次射击相互独立，设甲次射击的总得分为随机变量，则 .
14．有甲､乙两个班级共计100人进行物理考试，按照大于等于80分为优秀，80分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：
已知在全部100人中随机抽取1人，成绩非优秀的概率为，则下列说法正确的是 .
①列联表中的值为的值为40；
②列联表中的值为的值为50；
③根据列联表中的数据，若按的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”；
④根据列联表中的数据，若按的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”.
附：，其中.
四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15．已知等差数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式：
(2)已知，求数列的前项和.
16．已知抛物线C：过点．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为60°的直线，交抛物线于A，B两点，求线段AB的长度．
17．某收费APP（手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计、方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱.该APP所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用x（单位：元）及该月对应的用户数量y（单位：万人），得到如下数据表格：
已知x与y线性相关.
(1)求y关于x的经验回归方程（，）；
(2)据此预测，当月租减免费用为14元时，该月用户数量为多少？
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
18．某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为．
(1)在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率；
(2)若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为，求的分布列和数学期望．
19．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有两个极值点．
①求实数a的取值范围；
②若（为自然对数的底数，且…），求的取值范围．
1．A
【分析】根据椭圆的简单几何性质计算可得；
【详解】解：因为椭圆方程为，焦点在轴上，且，，因为，所以，所以焦点坐标为、
故选：A
2．B
【分析】根据已知条件及函数在导数的定义即可求解.
【详解】因为函数在处的导数为3，
所以，
所以．
故选：B.
3．B
【分析】按照分步乘法计数原理计算可得.
【详解】因为备有4种素菜，8种荤菜，2种汤，所以素菜有4种选法，荤菜有8种选法，汤菜有2种选法，
所以要配成一荤一素一汤的套餐，可以配制出不同的套餐有种.
故选：B．
4．D
【分析】根据给定条件，结合正态分布的对称性求出成绩在80分到100分的概率，即可求解作答.
【详解】依题意，随机变量，有，即正态曲线的对称轴为，
由，得，
80分到100分（含80分和100分）之间的人数为800，
所以设参加本次联考的总人数约为，
则，解得：.
故选：D.
5．B
【分析】利用古典概型的公式结合排列组合知识直接求解
【详解】表示任取5个球中，有2个黑球的概率，
表示任取5个球中，有1个黑球的概率
表示任取5个球中，没有黑球的概率
所以表示任取5个球中，至多有2个黑球的概率．
故选：B．
6．C
【分析】求导，得到，从而得到，结合倾斜角的范围，求出α的取值范围.
【详解】，
∵点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，
∴．
∵，
∴．
故选：C．
7．B
【分析】根据平面夹角的向量公式求解可得.
【详解】因为，
所以，解得或1．
故选：B．
8．A
【分析】根据已知条件构造函数，利用导数法求函数的单调性及指数函数的单调性，结合不等式的性质即可求解.
【详解】由，得，
令，，则
，
所以在上恒成立，
所以在上为减函数，
因为，且在上单调性递增；
所以，
所以，
所以，
所以，即．
故选：A.
【点睛】关键点睛：解决此题的关键是构造函数，利用导数法求函数的单调性，结合指数函数的单调性及不等式的性质即可.
9．BD
【分析】将圆的方程化成标准方程，根据点与圆心距离和半径的比较判断点位置，通过判断圆心在直线上得出圆关于直线的对称性，以及圆心到直线距离等于半径判断直线与圆相切.
【详解】将圆M：化成标准方程：知圆心坐标为圆的半径为1.
A项中，由点到圆心的距离：知点在圆外，A项错误；
B项中，因圆心在直线上，而圆是轴对称图形，故圆M关于直线对称，B项正确；
C项中，显然错误，C项错误；
D项中，由圆心到直线的距离为：知直线与圆M相切，D项正确.
故选：BD.
10．AC
【分析】利用二项式展开式公式、二项式系数和以及各项系数的性质逐项验证即可.
【详解】由，令得：，
即各项的系数之和为，故A正确；
由二项式系数的和为：，故B错误；
因为，
所以当时，不符合题意，所以无常数项，故C正确；
在中，当时系数最大，即第5项的系数最大，故D错误．
故选：AC．
11．BC
【分析】由独立事件与条件概率的概率公式计算判断即可.
【详解】由题意，，
因为在“第一次取得黑球”的前提条件下，盒子中还有2个黑球，4个白球，共6个球，
所以,,
因为在“第一次取得白球”的前提条件下，盒子中还有3个黑球，3个白球，共6个球，
所以,
第一次取得黑球，第二次取得黑球的概率为：，
第一次取得黑球，第二次取得白球的概率为：，故A错误；
第一次取得白球，第二次取得黑球的概率为：，
第一次取得白球，第二次取得白球的概率为：，
第二次取得黑球的概率为，
第二次取得白球的概率为，
所以，故B正确；
，，
故，故C正确；
，，故D错误；
故选：BC.
12．30
【分析】根据给定条件，构造等比数列，再利用等比数列列n项和公式计算即得.
【详解】依题意，从下往上每层灯的数据构成等比数列，公比，，前6项和，
于是，解得，
所以底层所开灯的数量为30盏.
故答案为：30
13．
【分析】设命中的次数为，则，，根据二项分布的方差公式及方差的性质计算可得.
【详解】设命中的次数为，则，所以，
又，所以.
故答案为：
14．①
【分析】根据题中条件计算可判断选项①、②；根据列联表计算出的值，即可判断选项③④.
【详解】由题意知，成绩非优秀的学生数是，
成绩非优秀的学生数是70，所以，
选项①正确、②错误；
根据列联表中的数据，
得到
因此没有97.5%的把握认为“成绩与班级有关系”.
故③，④错误，
故答案为：①.
15．(1)
(2)
【分析】（1）设出公差，根据条件得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式；
（2）裂项得到，进而求和即可.
【详解】（1）设公差为，则，
解得，
故；
（2），
故.
16．(1)，准线方程为
(2)
【分析】（1）待定系数法求出抛物线方程和准线方程；
（2）在第一问基础上求出直线，与抛物线联立后，得到两根之和，由焦点弦长公式求出答案.
【详解】（1）∵过点，
∴，解得，
∴抛物线C：，准线方程为；
（2）由（1）知，抛物线焦点为，
设直线AB：，，，
由，得：，则，
则．
17．(1)
(2)5.10万人
【分析】（1）分别求出，的值，再由公式可计算得，继而易得，从而得出答案；
（2）代入（1）得到的回归方程即可得出结论.
【详解】（1）由，
，
有，
，
故y关于x的经验回归方程为；
（2）由（1）知经验回归方程为，当时，，
所以预测该月的用户数量为5.10万人
18．(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算全为小集团的概率值；
（2）由题意知随机变量的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．
【详解】（1）由题意知共有个集团，取出2个集团的方法总数是，其中全是大集团的情况有，故全是大集团的概率是，
整理得到，解得．
若2个全是大集团，共有种情况；
若2个全是小集团，共有种情况；
故全为小集团的概率为．
（2）由题意知，随机变量的可能取值为，
计算，，，
，；
故的分布列为：
数学期望为．
19．(1)答案见解析.
(2)①；②
【分析】（1）利用导数的正负与函数的单调性的关系及对参数讨论即可求解；
（2）①利用导数法求函数的极值的步骤及参数的讨论即可求解；
②根据已知条件及韦达定理构造函数，，利用导数法求出函数的最值即可求解.
【详解】（1）由题知，函数的定义域为，
，
当时，对任意的，在上恒成立不恒为零，
故在上单调递减；
当时，令，则，解得，
当时，；
当时，．
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
综上，
当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）①由题知，，
函数的定义域为，，
当时，对任意的，且不恒为零，
故在上单调递增，没有极值点；
当时，，且不恒为零，
故在上单调递增，没有极值点；
当时，令，解得，，则，
当时，；
当时，；
所以函数的单调递增区间为，，
单调递减区间为．
综上，当时，有两极值点；
②由①可知，，，
所以，
设，，其中，
所以，
又因为，可知，
所以在上单调递减．
∴，即，
所以的取值范围为．
【点睛】关键点睛：解决此题的关键是第一问是利用导数法求函数的单调性的步骤，注意对参数进行讨论即可，第二问第一小问利用导数法求出函数的极值的步骤，注意对参数的讨论即可，第二小问利用韦达定理及已知条件构造函数，利用导数法求函数的最值即可.
优秀
非优秀
总计
甲班
10
乙班
30
0.15
0.1
0.05
0.025
0.01
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
用户一个月月租减免的费用x（元）
4
5
6
7
8
用户数量y（万人）
2
2.1
2.5
2.9
3.2

0
1
2
3