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北师大版七年级下册7 整式的除法同步测试题
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这是一份北师大版七年级下册7 整式的除法同步测试题，共25页。试卷主要包含了单项式的除法法则，多项式除以单项式的法则等内容，欢迎下载使用。
1、单项式的除法法则：
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
技巧：
首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式
如：
2、多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。
即：
题型一：单项式除单项式
1．（2022春·广东揭阳·七年级校考期中）已知，那么m，n的值分别为（ ）
A．4，3B．4，1C．1，3D．2，3
2．（2022春·广东茂名·七年级校考阶段练习）如图，墨迹污染了等式中的运算符号，则污染的是（ ）
A．＋B．－C．×D．÷
3．（2023春·七年级单元测试）计算下列各式①；②；③；④，正确的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
题型二：多项式除单项式
4．（2022春·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）若A与的积为，则A为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022春·四川成都·七年级统考期中）面积为的长方形一边长为，则另一边长为（ ）
A．B．C．D．
6．（2021秋·黑龙江大庆·七年级校考期中）当时，代数式的值是（ ）．
A．6.25B．C．D．0.25
题型三：整式的四则运算
7．（2021春·河南郑州·七年级统考期末）计算的结果是 ( )
A．B．C．D．
8．（2022春·广东深圳·七年级校考阶段练习）长方形的面积为4a2－6ab＋2a，若它的长为2a，则它的周长为（ ）
A．2a－3b＋1B．4a－3b＋1C．8a－6b＋2D．8a－6b
9．（2021春·江苏苏州·七年级校考阶段练习）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号．如记，已知，则m的值是（ ）
A．-40B．20C．-24D．-20
题型四：整式的除法综合问题
10．（2023春·七年级课时练习）计算：
(1)；(2)；
(3)；(4)．
11．（2023春·七年级）如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地，规划部门将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为米的正方形水池．
(1)试用含a、b的式子表示绿化部分的面积（结果要化简）；
(2)当，时，求出绿化面积．
12．（2023秋·北京海淀·七年级人大附中校考期末）对于代数式，不同的表达形式能表现出它的不同性质．例如代数式，若将其写成的形式，就能看出不论字母取何值，它都表示正数；若将它写成的形式，就能与代数式建立联系．下面我们改变的值，研究一下，两个代数式取值的规律：
(1)表中p的值是 ；
(2)观察表格可以发现：
若时，，则时，．我们把这种现象称为代数式A参照代数式B取值延后，此时延后值为1．
①若代数式D参照代数式B取值延后，相应的延后值为2，求代数式D；
②已知代数式参照代数式取值延后，请直接写出的值．
一、单选题
13．（2023春·七年级课时练习）长方形的面积是．若一边长是，则另一边长是（ ）
A．B．C．D．
14．（2023春·七年级课时练习）计算的结果是（ ）
A．B．2C．D．2
15．（2023春·七年级课时练习）如图，将一张长方形的铁皮剪去一个小长方形，余下的阴影部分面积是（ ）．
A．B．C．D．
16．（2023春·七年级课时练习）已知实数m，n满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
17．（2023春·七年级课时练习）计算（ ），正确的结果是（ ）
A．16B．42C．D．
18．（2022春·陕西西安·七年级校考阶段练习）现定义运算“”，对于任意有理数，，都有．例如：，由此可知等于（ ）
A．B．C．D．
19．（2023春·七年级课时练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
20．（2022秋·湖南郴州·七年级校考阶段练习）定义新运算：，，等式右边是通常的加法、减法运算．
(1)求的值；
(2)化简：；
(3)若，求的值．
21．（2022秋·广东茂名·七年级统考期末）已知：，．
(1)求的值；
(2)若，求（1）中的值．
一、单选题
22．（2022春·四川成都·七年级校考期中）如图，正方形的边长为，点在边上，四边形也是正方形，它的边长为，连接、、．若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
23．（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）将多项式除以后得商式，余式为0，则的值为（ ）
A．3B．23C．25D．29
24．（2023春·七年级课时练习）小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，■，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（ ）
A．B．C．D．
25．（2022春·江苏盐城·七年级校考期中）将四个长为m，宽为n（m＞n）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（m+n）的正方形，图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为，若=2，则m，n满足( )
A．m＝5nB．m＝4nC．m＝3nD．m＝2n
二、填空题
26．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期末）计算：_______．
27．（2023春·七年级课时练习）已知，，则的值为______．
28．（2022春·四川成都·七年级校考阶段练习）已知，是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了，结果得，细心的小明同学计算正确，那么小明计算出的值为______．
29．（2023春·七年级课时练习）若，那么的值为 __．
30．（2023春·七年级课时练习）有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示，右边场地为长方形，长为，则宽为 _____．
31．（2023春·七年级课时练习）已知，则代数式的值为 _____．
32．（2022春·湖南株洲·七年级校考期中）将展开后，结果不含x的一次项，则m的值为_______________．
三、解答题
33．（2022秋·陕西榆林·七年级统考期末）某校准备在网上订购一批某品牌足球和跳绳，在查阅某网购平台后发现足球每个定价元，跳绳每根定价元．现有A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．
A网店：买一个足球送一根跳绳：B网店：足球和跳绳都按定价的90%付款．
已知该校要购买足球个，跳绳x根（）．
(1)在A网店购买足球和跳绳所需费用为____________元，在B网店购买足球和跳绳所需费用为____________元；（用含x的代数式表示）
(2)当时，且只选择其中一家网店购买，通过计算说明此时在哪家网店购买较为合算？
34．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图是个直角三角形和个小正方形，直角三角形的三条边长分别是、、其中、是直角边．正方形的边长分别是、．
(1)将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图②）．用两种不同的方法列代数式表示图②中的大正方形面积：方法一：___________；方法二：___________；
(2)观察图，试写出、、、这四个代数式之间的等量关系；
(3)请利用（2）中等量关系解决问题：已知图①中一个三角形面积是，图②的大正方形面积是，求的值．
(4)利用你发现的结论，求的值．
35．（2022秋·江苏扬州·七年级统考期中）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如：．
(1)求的值；
(2)化简：；
(3)若，（其中x为有理数），试比较大小m_______n（填“”、“”或“”）．
36．（2023春·七年级课时练习）化简求值：
(1)，其中；
(2)，其中，．
37．（2022秋·上海嘉定·七年级统考期中）有7张如图1规格相同的小长方形纸片，长为a，宽为b（），按如图2、3的方式不重叠无缝隙地放在矩形内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．
(1)如图2，点E、Q、P在同一直线上，点F、Q、G在同一直线上，那么矩形ABCD的面积为 ．（用含a、b的代数式表示）
(2)如图3，点F、H、Q、G在同一直线上，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S，．
①用a、b、x的代数式直接表示AE
②当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，如果S的值始终保持不变，那么a、b必须满足什么条件？
x
﹣2
﹣1
0
1
2
3
10
5
2
1
2
5
17
p
5
2
1
2
1．A
【详解】解：∵，
∴，
解方程组得．
故选：A．
【点睛】本题考查了整式的除法，掌握单项式除单项式的运算法则进行计算是解决本题的关键．
2．D
【分析】根据整式的加减乘除计算法则逐一判断可求解．
【详解】解：∵与不是同类项，不能进行加减计算，
∴A、B选项不符合题意；
∵，
∴C选项不符合题意；
∵，
∴D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查整式的四则运算，掌握相关计算法则是解题的关键．
3．C
【分析】根据幂的乘方和同底数幂的除法判断①；根据幂的乘方与积的乘方和同底数幂的除法判断②；根据零指数幂判断③；根据幂的乘方与积的乘方和单项式除以单项式法则判断④．
【详解】解：①，故①计算错误，不符合题意；
②，故②计算正确，符合题意；
③，故③计算正确，符合题意；
④，故④计算错误，不符合题意；
综上，正确的有②③，共2个．
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的除法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，零指数幂，掌握，是解题的关键．
4．C
【分析】利用多项式除以单项式的运算法则计算即可求解．
【详解】解：则题意得A=() ÷(-ab)
=-4a3b3÷(-ab)+3a2b2÷(-ab)-ab÷(-ab)
=8a2b2-6ab+1，
故选：C．
【点睛】本题考查了多项式除以单项式，熟练掌握多项式除以单项式的运算法则是解题的关键．
5．C
【分析】利用长方形的面积公式进行求解即可．
【详解】由题意得：另一边长为：
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查整式的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6．D
【分析】利用多项式除以单项式进行计算，然后把的值代入化简后的式子进行计算．
【详解】解：
，
当时，原式
，
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的混合运算化简求值，解题的关键是准确熟练地进行计算．
7．A
【分析】先计算多项式除以单项式和去括号，然后合并同类项即可．
【详解】解：
，
故选A．
【点睛】本题主要考查了整式的四则混合运算，去括号，熟知相关计算法则是解题的关键．
8．C
【分析】根据整式的除法运算法则求出长方形的宽，再利用周长公式和整式的加减运算法则求解即可．
【详解】解：∵长方形的面积为4a2－6ab＋2a，它的长为2a，
∴它的宽为：（4a2－6ab＋2a）÷2a＝4a2÷2a－6ab÷2a＋2a÷2a＝2a－3b＋1，
∴它的周长为：2（2a－3b＋1＋2a）＝8a－6b＋2．
故选：C．
【点睛】本题考查整式的四则混合运算、长方形的面积和周长公式，熟练掌握混合运算法则是解答的关键．
9．B
【分析】根据二次项的系数为3，可得n=4，然后列出算式进行计算，再根据常数项相等解答即可．
【详解】解：∵二次项的系数为3，
∴n=4，
∴
=
=
又∵，
∴m=20．
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的乘方、数学常识、整式的混合运算，解决本题的关键是理解题目中所给已知等式的意义．
10．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】各小题直接利用多项式除以单项式运算法则计算得出答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【点睛】本题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关的运算法则是解题的关键．
11．(1)平方米
(2)9平方米
【分析】（1）绿化部分的面积等于整体面积减去正方形水池面积．
（2）将，代入求解．
【详解】（1）解：由题意可知，绿化面积为：
所以绿化面积为平方米．
（2）当，时，（平方米）
【点睛】本题主要考查整式的混合运算的应用，熟练掌握整式的混合运算法则是解决本题的关键．
12．(1)10
(2)①；②7
【分析】（1）将代入即可求得；
（2）①；
②由①可得，设延后值为，，则可求．
【详解】（1）解：将代入得，，
故答案为：10；
（2）代数式参照代数式取值延后，相应的延后值为2，
，，^
；
②代数式参照代数式取值延后，
设延后值为，
时，，
时，，
，
，
，
，
，
故答案为7．
【点睛】本题考查代数式求值和数字的变化规律；理解题意，能够准确地列出代数式，并进行求解即可．
13．B
【分析】根据长方形的面积公式：面积长宽，根据题意列式求解即可得到答案．
【详解】解：长方形的面积是，一边长是，
另一边长是，
故选：B．
【点睛】本题考查多项式除以单项式，读懂题意，根据长方形面积公式列式求解是解决问题的关键．
14．B
【分析】根据整式的除法法则计算即可求解．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了整式的除法，掌握了整式的除法运算法则是解答本题的关键．
15．D
【分析】用大长方形的面积减去小长方形的面积即可得出答案．
【详解】解：将一张长方形的铁皮剪去一个小长方形，余下的阴影部分面积为：
，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了列代数式，解题的关键是理解题意，阴影部分的面积为大长方形面积减小长方形的面积．
16．A
【分析】先化简，再判断出，即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴
，
∵，
∴（当时，取等号），
∴，
∴（当时，取等号），
∴，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了完全平方公式，整式的乘法，化简是解本题的关键．
17．D
【分析】首先根据单项式乘以单项式法则进行运算，再根据积的乘方运算的逆用，即可判定．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题考查了单项式乘以单项式法则，积的乘方运算的逆用，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键
18．C
【分析】根据新定义运算法则，整体代入求解即可．
【详解】解：由题意，得
=
=
=．
故选：C．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，解题的关键是准确理解新定义并能熟练应用．
19．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用整式的除法运算法则计算得出答案；
（2）利用整式的除法运算法则计算得出答案；
（3）利用整式的除法运算法则计算得出答案；
（4）利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【点睛】本题考查了整式的除法运算，掌握整式的除法运算法则是解题的关键．
20．(1)
(2)
(3)的值为
【分析】（1）根据题意中给出的信息列式计算即可；
（2）根据题意中给出的信息列式计算即可；
（3）根据题意中给出的信息列出方程,解方程即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：∵，
∴
解得：，
∴的值为．
【点睛】本题主要考查了整式混合运算的应用，有理数混合运算的应用，解一元一次方程，解题的关键是读懂题意，熟练掌握运算法则，准确计算．
21．(1)
(2)
【分析】（1）代入先去括号，再根据整式的加减法则合并同类项即可得到答案；
（2）根据非负式子和为0，它们分别等于0，求出a、b，代入求解即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得，
；
（2）解：∵，，，
∴，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查整式的化简求值及绝对值与偶次方的非负性，解题的关键是知道非负式子和为0，它们分别等于0．
22．B
【分析】先用含有，的式子表示，的长，然后求得，正方形，正方形，，的面积，然后用切割法求得的面积．
【详解】解：方法一：
∵正方形的边长为，正方形的边长为，
∴，，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
方法二：
如图，连接，
∵四边形和四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的面积，直角三角形的面积，整式的运算，解题的关键是会用含有和的式子表示三角形和正方形的面积．
23．D
【分析】先把整式化简，然后由整式的乘法、除法运算进行运算，求出a、b、c的值，即可得到答案．
【详解】解：
=；
∵，
∴，，，
∴，，，
∴；
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的加减乘除混合运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．
24．A
【分析】根据整式的除法计算即可得出答案．
【详解】解：
，
故选：A．
【点睛】本题考查了整式的除法，掌握多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加是解题的关键．
25．D
【分析】先根据图形得出=2[2mn-（m+n）n-mn]，=2×（m+n）n+2×mn+，求出=2mn-，=+2，根据=2得出+2=2（2mn-），再求出答案即可．
【详解】解：=2[2mn-（m+n）n-mn]
=2（2mn-mn-n2-mn）
=2（mn-）
=2mn-，
=2×（m+n）n+2×mn+
=mn++mn+-2mn+
=+2，
∵=2，
∴+2=2（2mn-），
∴-4mn+4=0，
∴=0，
∴m-2n=0，
即m=2n，
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方式，三角形的面积，长方形的面积和整式的混合运算等知识点，能根据图形表示出=2[2mn-（m+n）n-mn]和=2×（m+n）n+2×mn+是解此题的关键．
26．##
【分析】用多项式的每一项除以单项式即可求解．
【详解】
【点睛】本题考查多项式除以单项式，解题的关键是掌握多项式除以单项式的运算法则．
27．
【分析】已知，，可以把等式右边转成同底数幂乘法，再把以为底和以为底的转成指数相同，从而逆用积的乘方公式，把底数和乘起来，从而转成以为底的，就可以比较指数，得出等于，从而可以代入要化简的式子求解．
【详解】解：，
由得，
由得，
得，即，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方的综合运用以及代数式化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
28．
【分析】根据题意得出，即可求出多项式，进而求出．
【详解】解：，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式的乘除以及多项式加减运算，解题的关键是得出多项式．
29．1
【分析】利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则计算乘方和乘法，然后合并同类项进行化简，最后利用整体思想代入求值．
【详解】解：
，
当时，原式
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查整式的混合运算，灵活应用整体思想代入求值，掌握完全平方公式的结构是解题关键．
30．
【分析】先求出左边场地的面积，再根据面积相等可以求出右边场地的宽．
【详解】解：左边场地面积，
∵左边场地的面积与右边场地的面积相等，
∴宽，
故答案为：．
【点睛】本题考查整式的除法；熟练掌握整式的除法运算法则，准确计算式解题的关键．
31．5
【分析】先根据去括号法则，完全平方公式，单项式乘多项式的法则计算，再利用多项式除单项式的法则化简结果为，然后把已知条件代入计算即可．
【详解】解：
，
∵，
∴原式＝．
【点睛】本题主要考查完全平方公式和单项式乘多项式的运算，巧妙运用化简结果与已知条件的形式相同是解题的关键．
32．##4.5##4
【分析】将式子正确展开，找出一次项，令其系数等于0 即可．
【详解】解：将式子展开后得：
∵结果不含x的一次项，
∴，解得：，
故答案为：
【点睛】本题考查多项式乘积不含某一项，求字母的值，整式的混合运算法则，解题的关键是掌握整式的混合运算法则，将式子正确展开．
33．(1)；．
(2)选择在A网店购买较为合算，见解析．
【分析】(1)根据A、B两个网店的优惠方案所提供的数量关系直接列代数式化简即可；
(2)把代入两个代数式计算，比较即可得出结论．
【详解】（1）解：A店购买需付款：(元)；
B店购买需付款：(元)，
故答案为：；；
（2）解：当时，
在A网店购买需付款：(元)，
在B网店购买需付款： (元)，
，
∴当时，应选择在A网店购买合算．
【点睛】本题考查列代数式，代数式求值，根据数量关系列出代数式是正确计算的前提，理解各个网店的优惠方案是解决问题的关键．
34．(1)，
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）方法一：计算个正方形的面积个三角形的面积；方法二：大正方形的面积边长的平方；
（2）根据两种方法都是计算的大正方形的面积，得到面积相等；
（3）用（2）问中的等量关系变形即可得出答案；
（4）运用（2）问中的等量关系简便计算即可．
【详解】（1）解：方法一：4个完全一样的直角三角形的面积是，2个小正方形面积是，
∴围成大正方形的面积是：；
方法二：围成大正方形的边长是，
∴大正方形的面积是：，
故答案为：，．
（2）解：根据（1）中两种方法都是计算的大正方形的面积，且相等，
∴，
故答案为：．
（3）解：由题意得，，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
（4）解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形面积，列代数式并求值，有理数的混合运算，根据面积相等得到等量关系是解题的关键．
35．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据新运算展开，再求出即可；
（2）根据新运算按顺序展开计算即可；
（3）先根据新运算展开，再求出、，然后作差与0比较大小即可得出答案．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）由题意，
所以．
所以，
故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义的运算及有理数的混合运算与整式的混合运算，解题的关键是能根据新运算展开并且熟练运用各个运算法则．
36．(1)，
(2)，
【分析】（1）按照多项式除以单项式和单项式乘以多项式展开后，再合并同类项即可；
（2）按照完全平方公式展开后，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：
当时，
原式；
（2）
当，时，
原式
【点睛】此题考查了整式的混合运算和化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
37．(1)或；
(2)①；②
【分析】（1）根据，即可求解；
（2）①根据即可求解；②先求出，进而即可得到结论．
【详解】（1）解：由题意得：,
矩形ABCD的面积==，
故答案为：或；
（2）解：①；
②∵右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S，
∴,
∵当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，如果S的值始终保持不变，
∴当x的值变化时，按照同样的放置方式，如果S的值始终保持不变，
∴．
1、单项式的除法法则：
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
技巧：
首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式
如：
2、多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。
即：
题型一：单项式除单项式
1．（2022春·广东揭阳·七年级校考期中）已知，那么m，n的值分别为（ ）
A．4，3B．4，1C．1，3D．2，3
2．（2022春·广东茂名·七年级校考阶段练习）如图，墨迹污染了等式中的运算符号，则污染的是（ ）
A．＋B．－C．×D．÷
3．（2023春·七年级单元测试）计算下列各式①；②；③；④，正确的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
题型二：多项式除单项式
4．（2022春·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）若A与的积为，则A为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022春·四川成都·七年级统考期中）面积为的长方形一边长为，则另一边长为（ ）
A．B．C．D．
6．（2021秋·黑龙江大庆·七年级校考期中）当时，代数式的值是（ ）．
A．6.25B．C．D．0.25
题型三：整式的四则运算
7．（2021春·河南郑州·七年级统考期末）计算的结果是 ( )
A．B．C．D．
8．（2022春·广东深圳·七年级校考阶段练习）长方形的面积为4a2－6ab＋2a，若它的长为2a，则它的周长为（ ）
A．2a－3b＋1B．4a－3b＋1C．8a－6b＋2D．8a－6b
9．（2021春·江苏苏州·七年级校考阶段练习）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号．如记，已知，则m的值是（ ）
A．-40B．20C．-24D．-20
题型四：整式的除法综合问题
10．（2023春·七年级课时练习）计算：
(1)；(2)；
(3)；(4)．
11．（2023春·七年级）如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地，规划部门将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为米的正方形水池．
(1)试用含a、b的式子表示绿化部分的面积（结果要化简）；
(2)当，时，求出绿化面积．
12．（2023秋·北京海淀·七年级人大附中校考期末）对于代数式，不同的表达形式能表现出它的不同性质．例如代数式，若将其写成的形式，就能看出不论字母取何值，它都表示正数；若将它写成的形式，就能与代数式建立联系．下面我们改变的值，研究一下，两个代数式取值的规律：
(1)表中p的值是 ；
(2)观察表格可以发现：
若时，，则时，．我们把这种现象称为代数式A参照代数式B取值延后，此时延后值为1．
①若代数式D参照代数式B取值延后，相应的延后值为2，求代数式D；
②已知代数式参照代数式取值延后，请直接写出的值．
一、单选题
13．（2023春·七年级课时练习）长方形的面积是．若一边长是，则另一边长是（ ）
A．B．C．D．
14．（2023春·七年级课时练习）计算的结果是（ ）
A．B．2C．D．2
15．（2023春·七年级课时练习）如图，将一张长方形的铁皮剪去一个小长方形，余下的阴影部分面积是（ ）．
A．B．C．D．
16．（2023春·七年级课时练习）已知实数m，n满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
17．（2023春·七年级课时练习）计算（ ），正确的结果是（ ）
A．16B．42C．D．
18．（2022春·陕西西安·七年级校考阶段练习）现定义运算“”，对于任意有理数，，都有．例如：，由此可知等于（ ）
A．B．C．D．
19．（2023春·七年级课时练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
20．（2022秋·湖南郴州·七年级校考阶段练习）定义新运算：，，等式右边是通常的加法、减法运算．
(1)求的值；
(2)化简：；
(3)若，求的值．
21．（2022秋·广东茂名·七年级统考期末）已知：，．
(1)求的值；
(2)若，求（1）中的值．
一、单选题
22．（2022春·四川成都·七年级校考期中）如图，正方形的边长为，点在边上，四边形也是正方形，它的边长为，连接、、．若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
23．（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）将多项式除以后得商式，余式为0，则的值为（ ）
A．3B．23C．25D．29
24．（2023春·七年级课时练习）小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，■，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（ ）
A．B．C．D．
25．（2022春·江苏盐城·七年级校考期中）将四个长为m，宽为n（m＞n）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（m+n）的正方形，图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为，若=2，则m，n满足( )
A．m＝5nB．m＝4nC．m＝3nD．m＝2n
二、填空题
26．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期末）计算：_______．
27．（2023春·七年级课时练习）已知，，则的值为______．
28．（2022春·四川成都·七年级校考阶段练习）已知，是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了，结果得，细心的小明同学计算正确，那么小明计算出的值为______．
29．（2023春·七年级课时练习）若，那么的值为 __．
30．（2023春·七年级课时练习）有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示，右边场地为长方形，长为，则宽为 _____．
31．（2023春·七年级课时练习）已知，则代数式的值为 _____．
32．（2022春·湖南株洲·七年级校考期中）将展开后，结果不含x的一次项，则m的值为_______________．
三、解答题
33．（2022秋·陕西榆林·七年级统考期末）某校准备在网上订购一批某品牌足球和跳绳，在查阅某网购平台后发现足球每个定价元，跳绳每根定价元．现有A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．
A网店：买一个足球送一根跳绳：B网店：足球和跳绳都按定价的90%付款．
已知该校要购买足球个，跳绳x根（）．
(1)在A网店购买足球和跳绳所需费用为____________元，在B网店购买足球和跳绳所需费用为____________元；（用含x的代数式表示）
(2)当时，且只选择其中一家网店购买，通过计算说明此时在哪家网店购买较为合算？
34．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图是个直角三角形和个小正方形，直角三角形的三条边长分别是、、其中、是直角边．正方形的边长分别是、．
(1)将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图②）．用两种不同的方法列代数式表示图②中的大正方形面积：方法一：___________；方法二：___________；
(2)观察图，试写出、、、这四个代数式之间的等量关系；
(3)请利用（2）中等量关系解决问题：已知图①中一个三角形面积是，图②的大正方形面积是，求的值．
(4)利用你发现的结论，求的值．
35．（2022秋·江苏扬州·七年级统考期中）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如：．
(1)求的值；
(2)化简：；
(3)若，（其中x为有理数），试比较大小m_______n（填“”、“”或“”）．
36．（2023春·七年级课时练习）化简求值：
(1)，其中；
(2)，其中，．
37．（2022秋·上海嘉定·七年级统考期中）有7张如图1规格相同的小长方形纸片，长为a，宽为b（），按如图2、3的方式不重叠无缝隙地放在矩形内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．
(1)如图2，点E、Q、P在同一直线上，点F、Q、G在同一直线上，那么矩形ABCD的面积为 ．（用含a、b的代数式表示）
(2)如图3，点F、H、Q、G在同一直线上，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S，．
①用a、b、x的代数式直接表示AE
②当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，如果S的值始终保持不变，那么a、b必须满足什么条件？
x
﹣2
﹣1
0
1
2
3
10
5
2
1
2
5
17
p
5
2
1
2
1．A
【详解】解：∵，
∴，
解方程组得．
故选：A．
【点睛】本题考查了整式的除法，掌握单项式除单项式的运算法则进行计算是解决本题的关键．
2．D
【分析】根据整式的加减乘除计算法则逐一判断可求解．
【详解】解：∵与不是同类项，不能进行加减计算，
∴A、B选项不符合题意；
∵，
∴C选项不符合题意；
∵，
∴D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查整式的四则运算，掌握相关计算法则是解题的关键．
3．C
【分析】根据幂的乘方和同底数幂的除法判断①；根据幂的乘方与积的乘方和同底数幂的除法判断②；根据零指数幂判断③；根据幂的乘方与积的乘方和单项式除以单项式法则判断④．
【详解】解：①，故①计算错误，不符合题意；
②，故②计算正确，符合题意；
③，故③计算正确，符合题意；
④，故④计算错误，不符合题意；
综上，正确的有②③，共2个．
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的除法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，零指数幂，掌握，是解题的关键．
4．C
【分析】利用多项式除以单项式的运算法则计算即可求解．
【详解】解：则题意得A=() ÷(-ab)
=-4a3b3÷(-ab)+3a2b2÷(-ab)-ab÷(-ab)
=8a2b2-6ab+1，
故选：C．
【点睛】本题考查了多项式除以单项式，熟练掌握多项式除以单项式的运算法则是解题的关键．
5．C
【分析】利用长方形的面积公式进行求解即可．
【详解】由题意得：另一边长为：
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查整式的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6．D
【分析】利用多项式除以单项式进行计算，然后把的值代入化简后的式子进行计算．
【详解】解：
，
当时，原式
，
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的混合运算化简求值，解题的关键是准确熟练地进行计算．
7．A
【分析】先计算多项式除以单项式和去括号，然后合并同类项即可．
【详解】解：
，
故选A．
【点睛】本题主要考查了整式的四则混合运算，去括号，熟知相关计算法则是解题的关键．
8．C
【分析】根据整式的除法运算法则求出长方形的宽，再利用周长公式和整式的加减运算法则求解即可．
【详解】解：∵长方形的面积为4a2－6ab＋2a，它的长为2a，
∴它的宽为：（4a2－6ab＋2a）÷2a＝4a2÷2a－6ab÷2a＋2a÷2a＝2a－3b＋1，
∴它的周长为：2（2a－3b＋1＋2a）＝8a－6b＋2．
故选：C．
【点睛】本题考查整式的四则混合运算、长方形的面积和周长公式，熟练掌握混合运算法则是解答的关键．
9．B
【分析】根据二次项的系数为3，可得n=4，然后列出算式进行计算，再根据常数项相等解答即可．
【详解】解：∵二次项的系数为3，
∴n=4，
∴
=
=
又∵，
∴m=20．
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的乘方、数学常识、整式的混合运算，解决本题的关键是理解题目中所给已知等式的意义．
10．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】各小题直接利用多项式除以单项式运算法则计算得出答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【点睛】本题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关的运算法则是解题的关键．
11．(1)平方米
(2)9平方米
【分析】（1）绿化部分的面积等于整体面积减去正方形水池面积．
（2）将，代入求解．
【详解】（1）解：由题意可知，绿化面积为：
所以绿化面积为平方米．
（2）当，时，（平方米）
【点睛】本题主要考查整式的混合运算的应用，熟练掌握整式的混合运算法则是解决本题的关键．
12．(1)10
(2)①；②7
【分析】（1）将代入即可求得；
（2）①；
②由①可得，设延后值为，，则可求．
【详解】（1）解：将代入得，，
故答案为：10；
（2）代数式参照代数式取值延后，相应的延后值为2，
，，^
；
②代数式参照代数式取值延后，
设延后值为，
时，，
时，，
，
，
，
，
，
故答案为7．
【点睛】本题考查代数式求值和数字的变化规律；理解题意，能够准确地列出代数式，并进行求解即可．
13．B
【分析】根据长方形的面积公式：面积长宽，根据题意列式求解即可得到答案．
【详解】解：长方形的面积是，一边长是，
另一边长是，
故选：B．
【点睛】本题考查多项式除以单项式，读懂题意，根据长方形面积公式列式求解是解决问题的关键．
14．B
【分析】根据整式的除法法则计算即可求解．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了整式的除法，掌握了整式的除法运算法则是解答本题的关键．
15．D
【分析】用大长方形的面积减去小长方形的面积即可得出答案．
【详解】解：将一张长方形的铁皮剪去一个小长方形，余下的阴影部分面积为：
，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了列代数式，解题的关键是理解题意，阴影部分的面积为大长方形面积减小长方形的面积．
16．A
【分析】先化简，再判断出，即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴
，
∵，
∴（当时，取等号），
∴，
∴（当时，取等号），
∴，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了完全平方公式，整式的乘法，化简是解本题的关键．
17．D
【分析】首先根据单项式乘以单项式法则进行运算，再根据积的乘方运算的逆用，即可判定．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题考查了单项式乘以单项式法则，积的乘方运算的逆用，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键
18．C
【分析】根据新定义运算法则，整体代入求解即可．
【详解】解：由题意，得
=
=
=．
故选：C．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，解题的关键是准确理解新定义并能熟练应用．
19．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用整式的除法运算法则计算得出答案；
（2）利用整式的除法运算法则计算得出答案；
（3）利用整式的除法运算法则计算得出答案；
（4）利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【点睛】本题考查了整式的除法运算，掌握整式的除法运算法则是解题的关键．
20．(1)
(2)
(3)的值为
【分析】（1）根据题意中给出的信息列式计算即可；
（2）根据题意中给出的信息列式计算即可；
（3）根据题意中给出的信息列出方程,解方程即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：∵，
∴
解得：，
∴的值为．
【点睛】本题主要考查了整式混合运算的应用，有理数混合运算的应用，解一元一次方程，解题的关键是读懂题意，熟练掌握运算法则，准确计算．
21．(1)
(2)
【分析】（1）代入先去括号，再根据整式的加减法则合并同类项即可得到答案；
（2）根据非负式子和为0，它们分别等于0，求出a、b，代入求解即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得，
；
（2）解：∵，，，
∴，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查整式的化简求值及绝对值与偶次方的非负性，解题的关键是知道非负式子和为0，它们分别等于0．
22．B
【分析】先用含有，的式子表示，的长，然后求得，正方形，正方形，，的面积，然后用切割法求得的面积．
【详解】解：方法一：
∵正方形的边长为，正方形的边长为，
∴，，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
方法二：
如图，连接，
∵四边形和四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的面积，直角三角形的面积，整式的运算，解题的关键是会用含有和的式子表示三角形和正方形的面积．
23．D
【分析】先把整式化简，然后由整式的乘法、除法运算进行运算，求出a、b、c的值，即可得到答案．
【详解】解：
=；
∵，
∴，，，
∴，，，
∴；
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的加减乘除混合运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．
24．A
【分析】根据整式的除法计算即可得出答案．
【详解】解：
，
故选：A．
【点睛】本题考查了整式的除法，掌握多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加是解题的关键．
25．D
【分析】先根据图形得出=2[2mn-（m+n）n-mn]，=2×（m+n）n+2×mn+，求出=2mn-，=+2，根据=2得出+2=2（2mn-），再求出答案即可．
【详解】解：=2[2mn-（m+n）n-mn]
=2（2mn-mn-n2-mn）
=2（mn-）
=2mn-，
=2×（m+n）n+2×mn+
=mn++mn+-2mn+
=+2，
∵=2，
∴+2=2（2mn-），
∴-4mn+4=0，
∴=0，
∴m-2n=0，
即m=2n，
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方式，三角形的面积，长方形的面积和整式的混合运算等知识点，能根据图形表示出=2[2mn-（m+n）n-mn]和=2×（m+n）n+2×mn+是解此题的关键．
26．##
【分析】用多项式的每一项除以单项式即可求解．
【详解】
【点睛】本题考查多项式除以单项式，解题的关键是掌握多项式除以单项式的运算法则．
27．
【分析】已知，，可以把等式右边转成同底数幂乘法，再把以为底和以为底的转成指数相同，从而逆用积的乘方公式，把底数和乘起来，从而转成以为底的，就可以比较指数，得出等于，从而可以代入要化简的式子求解．
【详解】解：，
由得，
由得，
得，即，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方的综合运用以及代数式化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
28．
【分析】根据题意得出，即可求出多项式，进而求出．
【详解】解：，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式的乘除以及多项式加减运算，解题的关键是得出多项式．
29．1
【分析】利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则计算乘方和乘法，然后合并同类项进行化简，最后利用整体思想代入求值．
【详解】解：
，
当时，原式
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查整式的混合运算，灵活应用整体思想代入求值，掌握完全平方公式的结构是解题关键．
30．
【分析】先求出左边场地的面积，再根据面积相等可以求出右边场地的宽．
【详解】解：左边场地面积，
∵左边场地的面积与右边场地的面积相等，
∴宽，
故答案为：．
【点睛】本题考查整式的除法；熟练掌握整式的除法运算法则，准确计算式解题的关键．
31．5
【分析】先根据去括号法则，完全平方公式，单项式乘多项式的法则计算，再利用多项式除单项式的法则化简结果为，然后把已知条件代入计算即可．
【详解】解：
，
∵，
∴原式＝．
【点睛】本题主要考查完全平方公式和单项式乘多项式的运算，巧妙运用化简结果与已知条件的形式相同是解题的关键．
32．##4.5##4
【分析】将式子正确展开，找出一次项，令其系数等于0 即可．
【详解】解：将式子展开后得：
∵结果不含x的一次项，
∴，解得：，
故答案为：
【点睛】本题考查多项式乘积不含某一项，求字母的值，整式的混合运算法则，解题的关键是掌握整式的混合运算法则，将式子正确展开．
33．(1)；．
(2)选择在A网店购买较为合算，见解析．
【分析】(1)根据A、B两个网店的优惠方案所提供的数量关系直接列代数式化简即可；
(2)把代入两个代数式计算，比较即可得出结论．
【详解】（1）解：A店购买需付款：(元)；
B店购买需付款：(元)，
故答案为：；；
（2）解：当时，
在A网店购买需付款：(元)，
在B网店购买需付款： (元)，
，
∴当时，应选择在A网店购买合算．
【点睛】本题考查列代数式，代数式求值，根据数量关系列出代数式是正确计算的前提，理解各个网店的优惠方案是解决问题的关键．
34．(1)，
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）方法一：计算个正方形的面积个三角形的面积；方法二：大正方形的面积边长的平方；
（2）根据两种方法都是计算的大正方形的面积，得到面积相等；
（3）用（2）问中的等量关系变形即可得出答案；
（4）运用（2）问中的等量关系简便计算即可．
【详解】（1）解：方法一：4个完全一样的直角三角形的面积是，2个小正方形面积是，
∴围成大正方形的面积是：；
方法二：围成大正方形的边长是，
∴大正方形的面积是：，
故答案为：，．
（2）解：根据（1）中两种方法都是计算的大正方形的面积，且相等，
∴，
故答案为：．
（3）解：由题意得，，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
（4）解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形面积，列代数式并求值，有理数的混合运算，根据面积相等得到等量关系是解题的关键．
35．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据新运算展开，再求出即可；
（2）根据新运算按顺序展开计算即可；
（3）先根据新运算展开，再求出、，然后作差与0比较大小即可得出答案．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）由题意，
所以．
所以，
故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义的运算及有理数的混合运算与整式的混合运算，解题的关键是能根据新运算展开并且熟练运用各个运算法则．
36．(1)，
(2)，
【分析】（1）按照多项式除以单项式和单项式乘以多项式展开后，再合并同类项即可；
（2）按照完全平方公式展开后，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：
当时，
原式；
（2）
当，时，
原式
【点睛】此题考查了整式的混合运算和化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
37．(1)或；
(2)①；②
【分析】（1）根据，即可求解；
（2）①根据即可求解；②先求出，进而即可得到结论．
【详解】（1）解：由题意得：,
矩形ABCD的面积==，
故答案为：或；
（2）解：①；
②∵右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S，
∴,
∵当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，如果S的值始终保持不变，
∴当x的值变化时，按照同样的放置方式，如果S的值始终保持不变，
∴．
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