选择性必修 第二册第1章 导数及其应用1.1 导数概念及其意义优秀ppt课件
展开1.瞬时变化率(导数)的概念(重点)
2.导数和导函数的区别(难点)
3.利用导数或者导函数的定义来求导数或者导函数(重点、难点)
函数f (x)的平均变化率即函数值的增量除以自变量的增量.
回顾一下我们上节课思考和解决问题的过程: (1)函数y =f (x),既可以描述运动过程,也可以描述其他过程或现象.(2)函数值之差 f (u+d)-f (u)与对应的自变量之差d的比既可以是运动物体在某个时段内的平均速度,也可以是其他过程中某个量变化的平均值.一般说来,它是函数f (x)在区间[u,u+d](或[u+d,u])上的平均变化率. (3)函数y =f (x)作为运动方程时,若平均速度 在区间长d趋近于0时趋近于一个极限值,则这个数值就叫作该运动物体在 x = u处的瞬时速度.
这时我们就说f (x)在点x0处的导数存在,或者说f (x)在点x0处可导或可微.
在上述例子中,函数f (x) = x2 在x = 1处的导数为2,记作f ′(1)= 2.
若y =f (x)在定义区间中任一点的导数都存在,则f ′(x)(或y′)也是x的函数,我们把f ′(x)(或y′)叫作y =f (x)的导函数或一阶导数. 因此,f ′(x0)函数y =f (x)在 x = x0处的导数,也可以看做是y =f (x)的导函数f ′(x)在 x = x0处的函数值. 既然导函数f ′(x)也是函数,若f ′(x)在定义区间中任一点处都可导,则它的导数叫作f (x)的二阶导数,记作f ′′(x). 类似地,可以定义三阶导数f ′′′(x)等等.
例7 投石入水,水面会产生圆形波纹区,且圆的面积随着波纹的传播半径r的增大而增大(如图1.1-4).计算: (1)半径 r 从 a 增大到a+d时,圆面积S相对于 r 的平均变化率;(2)半径r = a时,圆面积S相对于 r 的瞬时变化率.
解:(1)圆面积相对于半径r的平均变化率为 (2)当d趋近于0时,π(2a+d)趋近于2πa,即圆面积S相对于 r 的瞬时变化率为2πa,恰为此时圆的周长.
例8 在初速度为零的匀加速直线运动中,路程s和时间t的关系为 (1)求s关于t的瞬时变化率,并说明其物理意义;(2)求运动物体的瞬时速度关于t的瞬时变化率,并说明其物理意义.
解:(1)s关于t的瞬时变化率就是函数s(t)的导数s′(t).按定义计算: 从物理学上看,s关于t的瞬时变化率at就是运动物体的瞬时速度.
例8 在初速度为零的匀加速直线运动中,路程s和时间t的关系为 (2)求运动物体的瞬时速度关于t的瞬时变化率,并说明其物理意义.
解:(2)运动物体的瞬时速度关于t的瞬时变化率,实际上就是函数s′(t)= at的导数s′′(t).按定义计算: 从物理学上看,运动物体的瞬时速度关于t的瞬时变化率就是运动物体的加速度.
练习2 有一边长为10 cm的正方形铁板(此时铁板温度为0°C),加热后铁板会膨胀,已知铁板温度为t°C(t > 0)时,其边长膨胀为10(1+at)cm,其中a为常数,求铁板面积对温度t的瞬时膨胀率.
P13 习题1.1 第3题 第4题 第10题
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