高中数学湘教版（2019）选择性必修 第二册1.2 导数的运算精品综合训练题

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1．下列求导数运算正确的是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，，，
．故选C．
2．曲线在原点处的切线方程为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，
所以，
所以，切线方程为．故选A．
3．设函数的导数为，且，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，所以，
所以，所以．故选B．
4．已知直线与曲线相切，则实数
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设切点为的坐标为，
因为，所以切线的斜率为，
由切线方程，可得，且，解得．故选C．
5．已知和曲线相切的直线的倾斜角为， 则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，得，
因为，所以，所以，
即和曲线相切的直线的斜率的取值范围为，即，又，
所以的取值范围为．故选D．
6．若函数的图像存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，则．
若函数的图像存在与直线垂直的切线，
则，即在有解，解得，
即实数的取值范围是．故选A．
二．填空题（每小题5分．）
7．设曲线在点处的切线与直线平行，则 ．
【答案】
【解析】因为曲线在点处的切线与直线平行，且，
所以，所以．
8．函数在点处的切线方程为，则______，______．
【答案】，
【解析】因为，所以．
又因为在点处的切线方程为，所以，，
即，，因此，．
9．定义：曲线上的点到直线的距离的最小值称为曲线到直线的距离，已知曲线到直
线的距离等于曲线到直线的距离，则 ．
【答案】
【解析】依题意，圆的圆心为，半径为，
所以圆到直线的距离为．
设与直线平行的直线与曲线相切于点，
又，所以，所以，所以切点为．
因此点到直线的距离为，所以，所以或．
因为曲线与直线相离，所以，所以．
10．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则________．
【答案】或
【解析】设与的切点为，又，所以切线方程为， 即．
设与的切点为，又，所以切线方程为，即．
因此 ，可得，即，
即，解得或，所以或．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
11．（本小题满分10分）
已知函数，是的导函数，且，求过曲线上一点的切线方程．
【答案】或
【解析】因为，所以．
又点在曲线曲线上，所以，即．
设切点坐标为，又，所以切线的斜率为，
所以切线的方程为．
又切线过点，所以，即，
所以，即或．
因此，所求切线方程为或，
即或．
12．（本小题满分10分）
已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且．
（1）求该抛物线的方程；
（2）若点在第一象限，且抛物线在点处的切线交轴于点，求的面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由抛物线的定义可知，即，所以抛物线的方程为．
（2）因为，且在第一象限，所以，即，
显然切线的斜率存在，故可设其方程为，
由，消去得，即，
令，解得，所以切线方程为．
令，得，即，
又，所以，
所以．