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    湘教版新教材数学高二选择性必修第二册 2.1.1 建立空间直角坐标系 课件

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    湘教版(2019)选择性必修 第二册第2章 空间向量与立体几何2.1 空间直角坐标系优质课课件ppt

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    这是一份湘教版(2019)选择性必修 第二册第2章 空间向量与立体几何2.1 空间直角坐标系优质课课件ppt,共29页。
    1.建立空间直角坐标系(重点)
    2.空间直角坐标系中点的坐标表示(重点、难点)
    在一条直线上可以建立数轴,将每点的位置用一个实数x来表示. 在一个平面上可以建立平面直角坐标系,将每点的位用两个实数组成有序实数组(x,y)来表示. 那么在空间中怎样表示每个点的位置呢?
    很自然地,我们会想到先说明飞机在海面上哪一点P'的上空,再说明飞机在海面上的高度|P'P|.
    在空间中怎样表示每个点的位置呢?例如,如何刻画在海面上空飞行的飞机的位置P?
    如图,将海面看成一个平面,从飞机在空中所在位置向海平面作垂线 PP',垂足为P',则飞机在 P'上空.
    为了刻画 P' 在海平面上的位置,在海平面上建立平面直角坐标系,则P' 可以由它在这个坐标系中的坐标(x,y)来刻画.
    又由于飞机在海平面上空的高度|P'P| = z是一个实数,因而将x,y,z这三个实数组成有序实数组(x,y,z),它就刻画了飞机的位置 P,称之为点P的坐标.
    例如,(x,y,z)=(2,3,2),单位长度为1 km;就说明飞机在海平面坐标为(2,3)的位置上空,高度为2 km. 用这个方法不但可以刻画空中飞机的位置,还可以刻画水下潜艇的位置. 例如,潜艇坐标为(2,3,-0.5),就说明它位于海平面坐标为(2,3)的位置正下方,且在海平面以下0.5 km处.
    为了确定空间中的点的位置,我们可以在空间中任取一点O,以O为原点,作三条两两垂直的有向直线Ox,Oy,Oz,在这三条直线上选取共同的长度单位,分别建立坐标轴,依次称为x轴、y轴、z轴,从而组成了一个空间直角坐标系O-xyz,如图.
    在空间直角坐标系O-xyz中,由两条坐标轴确定的平面叫坐标平面,分别称为xOy平面,yOz平面,xOz平面.
    根据上述实例,我们该怎么建立空间直角坐标系呢?
    斜二测画法画空间直角坐标系: 在平面上画空间直角坐标系时,为增强直观性,一般使∠xOy=135°,上∠yOz=90°. 同时,还要注意在 y轴、z轴上的线段长度都与原来的长度相同,而在 x 轴上的线段长度则取原来长度的一半.
    建立空间直角坐标系时,一般将 x轴和 y轴放置在水平面上,那么 z轴就垂直于水平面.
    它们的方向通常符合右手螺旋法则,即伸出右手,让四指与大拇指垂直,并使四指先指向 x 轴正方向,然后让四指沿握拳方向旋转90°指向 y 轴正方向,此时大拇指的指向即为 z轴正方向. 我们也称这样的坐标系为右手系(如图 ).
    有了空间直角坐标系,我们就能够建立空间中任意点P与三个实数组成的有序实数组(x,y,z)之间的对应关系.
    如图 ,若点 P不在三个坐标平面内,则过点 P分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面,依次交x轴、y轴、z轴于点A,B,C. 设交点A,B,C分别代表唯一的实x,y,z,将这三个实数按顺序排成(x,y,z),那么点P就对应唯一确定的有序实数组(x,y,z).
    这就建立了空间中的点 P与有序实数组(x,y,z)之间的一一对应关系. 此时,有序实数组(x,y,z)称为点 P的坐标,记作 P(x,y,z),其中x称为点 P的横坐标,y称为点 P的纵坐标,z称为点 P的竖坐标.
    反过来,给定有序实数组(x,y,z),我们可以在 x轴、y轴和z轴上依次选取坐标为 x,y,z 的点A,B,C,过这三点分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面,则这三个平面的唯一交点就是有序实数组(x,y,z)所确定的点 P.
    在空间直角坐标系中,原点的坐标为O(0,0,0),x轴上的点的坐标为(x,0,0),y轴上的点的坐标为(0,y,0),z轴上的点的坐标为(0,0,z).
    xOy平面内的点的坐标为(x,y,0),yOz平面内的点的坐标为(0,y,z),xOz平面内的点的坐标为(x,0,z).
    例1
在空间直角坐标系中,描出下列各点: (1)A(0,0,4); (2)B(3,-3,0); (3)C(1,2,3).
    例2 长方体ABCD-A'B'C'D'的长、宽、高分别为|AB|=8,|AD|=3,|AA'|=5.建立适当的空间直角坐标系,并求顶点A,B,C,D,A',B',C',D'的坐标.
    解:如图,以A为原点,分别以有向直线AB,AD,AA'为x轴、y轴、z轴的正方向,以1为单位长度,建立空间直角坐标系A-xyz,则点A,B,C,D 都在平面xAy内,因而其竖坐标z都为0,因此 A,B,C,D的坐标分别是 A(0,0,0),B(8,0,0),C(8,3,0),D(0,3,0).
    由于点A',B',C',DF'都在一个垂直于z轴的平面A'B'C'D'内,又|AA' |=5,所以这四点的竖坐标z都是5. 又过A',B',C',D'分别作xAy平面的垂线,垂足分别为A,B,C,D,因此A',B',C',D'的横坐标x、纵坐标y分别与A,B,C,D的横坐标x、纵坐标 y相同. 因此A',B',C',D'的坐标分别是A' (0,0,5),B' (8,0,5),C' (8,3,5),D' (0,3,5).
    练习1
在空间直角坐标系中,描出下列各点: (1)A(-1,0,1); (2)B(0,-1,-2); (3)C(-1,-2,2).
    [拓展]如图,在边长为2的正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC中点.将正方形 ABCD沿对角线BD折起,使得平面 BCD⊥平面ABD.建立合理的空间直角坐标系并求出E,F两点的坐标.
    [拓展]如图,在边长为4的正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC中点.将正方形 ABCD沿对角线BD折起,使得平面 BCD⊥平面ABD.建立合理的空间直角坐标系并求出E,F两点的坐标.
    取BD中点O,连接CO,AO,则AO⊥BD,CO⊥BD.又平面 BCD⊥平面ABD,且平面BCD ∩平面ABD=BD,CO⊂平面BCD,所以CO⊥平面ABD,所以CO⊥AO.即AO,BO,CO三线两两垂直.
    以O为原点,以有向直线OA,OB,OC分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
    因此E,F的坐标分别是
    [拓展]分别求出点A(2,3,4),B(1,-2,3)关于各个坐标平面、坐标轴、原点对称的点的坐标.
    解:点A(2,3,4),关于坐标平面xOy的对称点的坐标为A1(2,3,-4);关于坐标平面xOz的对称点的坐标为A2(2,-3,4);关于坐标平面yOz的对称点的坐标为A3(-2,3,4).
    分析:点(x,y,z)在坐标平面xOy上的射影为(x,y,0),在坐标平面xOz上的射影为(x,0,z),在坐标平面yOz上的射影为(0,y,z).
    解:点A(2,3,4),关于x轴的对称点的坐标为A4(2,-3,-4);关于y轴的对称点的坐标为A5(-2,3,-4);关于z轴的对称点的坐标为A6(-2,-3,4);关于原点轴的对称点的坐标为A7(-2,-3,-4).
    解:点B(1,-2,3),关于坐标平面xOy的对称点的坐标为B1(1,-2,-3);关于坐标平面xOz的对称点的坐标为B2(1,2,3);关于坐标平面yOz的对称点的坐标为B3(-1,-2,3).
    解:点B(1,-2,3),关于x轴的对称点的坐标为B4(1,2,-3);关于y轴的对称点的坐标为B5(-1,-2,-3);关于z轴的对称点的坐标为B6(-1,2,3);关于原点轴的对称点的坐标为B7(-1,2,-3).
    空间直角坐标系中,点关于坐标平面和坐标轴及原点的对称点:点(x,y,z), 关于坐标平面xOy的对称点的坐标为(x,y,-z); 关于坐标平面xOz的对称点的坐标为(x,-y,z); 关于坐标平面yOz的对称点的坐标为(-x,y,z); 关于x轴的对称点的坐标为(x,-y,-z); 关于y轴的对称点的坐标为(-x,y,-z); 关于z轴的对称点的坐标为(-x,-y,z); 关于原点轴的对称点的坐标为(-x,-y,-z).
    空间直角坐标系的建立: 在空间中任取一点O,以O为原点,作三条两两垂直的有向直线Ox,Oy,Oz,在这三条直线上选取共同的长度单位,分别建立坐标轴,依次称为x轴、y轴、z轴,从而组成了一个空间直角坐标系O-xyz,如图.
    空间直角坐标系中,点的坐标: 若点 P不在三个坐标平面内,则过点 P分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面,依次交x轴、y轴、z轴于点A,B,C.设交点A,B,C分别代表唯一的实x,y,z,将这三个实数按顺序排成(x,y,z),那么点P就对应唯一确定的有序实数组(x,y,z). 原点的坐标为O(0,0,0),x轴上的点的坐标为(x,0,0),y轴上的点的坐标为(0,y,0),z轴上的点的坐标为(0,0,z). xOy平面内的点的坐标为(x,y,0),yOz平面内的点的坐标为(0,y,z),xOz平面内的点的坐标为(x,0,z).
    P59 习题2.1 第2题 第3题(改为求坐标轴和坐标平面的对称点坐标)

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