湘教版（2019）第2章 空间向量与立体几何2.4 空间向量在立体几何中的应用获奖ppt课件

这是一份湘教版（2019）第2章 空间向量与立体几何2.4 空间向量在立体几何中的应用获奖ppt课件，共31页。PPT课件主要包含了直线的方向向量，平面的法向量，一向量与垂直，直线与直线垂直，直线与平面垂直，平面与平面垂直，方法一，方法二等内容，欢迎下载使用。

1．用直线的方向向量和平面的法向量证明直线与平面的位置关系（重点）
2．建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为空间向量问题 （难点）
（1）一条直线有无穷多个方向向量，这些方向向量是相互平行的；（2）直线 l 的方向向量也是所有与 l 平行的直线的方向向量．
（1）一个平面的法向量有无穷多个，这些方向向量是相互平行的；（2）平面α的法向量也是所有与 α平行的平面的法向量．
求平面 α 的法向量的步骤：：
由直线上一点及直线的方向向量可以刻画直线的位置，由平面内一点及平面的法向量可以刻画平面的位置，那么就可以利用向量运算来判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系．
已知 l1，l2， v1，v2， n1，n2表示直线， α1 ，α2表示平面，判定下列命题是否成立？
利用线线平行的传递性以及等角定理，易证明上述命题均成立．
在下列真命题中，如果把 v1，v2看成直线 l1，l2的方向向量，把 n1，n2看成平面 α1 ，α2的法向量，那么我们能否得到利用运算来判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系．
如图，过点P作平面α的垂线，则称垂足P0为点P在平面α内的射影． 预先给定平面α，空间任意一个图形的每一个点P在平面α上都有一个射影P0，所有这些P0在平面α上组成的图形，称为这个图形在平面α上的射影． 直线 l 在平面α上的射影是什么图形?
 容易看出，如果直线 l 垂直于平面α，那么 l 在α上的射影是一个点，就是 l 与α的交点． 如图，如果 l 与α不垂直， l 在α上的射影就是一条直线．
我们知道，与平面α相交但不垂直的直线是平面α的斜线．关于平面α的斜线 l 的射影，有如下结论： 三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它和这条斜线也垂直． 三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线垂直，则它和这条斜线在这个平面内的射影也垂直．
例3 已知 AB，AC分别是平面 α 的垂线和斜线，BC是AC在 α 内的射影， l ⊂α且 l⊥BC．求证：l⊥AC．
如何利用向量的运算来证明三垂性定理？
练习1 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AC1中点． 求证：CE⊥BD．
证明直线与直线垂直的步骤：
例4 设直线 l 同时垂直平面 α 内两条相交的直线．求证：l⊥ α ．
如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线与该平面垂直，这就是直线与平面垂直的判定定理．试用向量知识来证明它？
练习2 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC1与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面GBD．
证明直线与平面垂直的步骤：
例3 如图，已知平面α，β，直线AB⊥平面α，且AB⊂平面β．
 求证：平面α⊥平面β．
分析：只需证明平面α，β的法向量相互垂直．

练习3 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CD的中点．求证：平面AED⊥平面A1FD1．
证明平面与平面垂直的步骤：
[提升]如图：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=2，AD=4，点F是PB中点，点E在边BC上移动．证明∶无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．
证明直线与直线垂直的步骤：：
P100 习题2.4 第4题 第5题
如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点（与点B，C不重合）． 证明：平面EMN⊥平面PBC．