专题03 幂、指数与对数（原卷版+解析版）2023-2024学年高一数学上学期期末复习课·专题（上海专用 沪教版2020必修第一册）

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第3章 幂、指数与对数【课本目录】
3.1 幂与指数；3.1.1 指数幂的拓展；
3.2 对数：3.2.1 对数的定义；3.2.2 对数的运算性质；3.2.3 对数的换底；
本章内容提要
1. 指数幂的拓展：正整数指数幂、整数指数幂、有理数指数幂、实数指数幂.
2. 幂的运算性质：对任意给定的正实数及实数，成立
（1）；
（2）；
（3）.
3. 对数的定义：当
3. 对数的定义：当是不等于1的正数，时，以为底的对数
是满足的唯一的数；
4. 对数的基本性质：设是不等于1的正数，是任意给定的正数，是任意给定的实数，成立
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）（换底公式）如果也是一个不等于1的正数，那么
题型1、根式、指数式的化简与求值
例1、（1）化简的结果为（ ）
A．meq \r(m) B．meq \r(－m)
C．－meq \r(m) D．－meq \r(－m)
（2）若a＋b＝，ab＝ (m＞0)，则a3＋b3＝
【说明】指数幂运算的一般原则：
1、有括号的先算括号里的，无括号的先进行指数运算；
2、先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；
3、底数是负数的，先确定符号；底数是小数的，先化成分数．底数是带分数的，先化成假分数；
4、若是根式，则化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答；
题型2、有理数指数幂的运算
例2、（1）eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(7,9)))eq \s\up12(0.5)＋0.1－2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(10,27)))eq \s\up12(－\f(2,3))－3π0＋eq \f(37,48)；
（2）eq \r(6\f(1,4))－eq \r(3,3\f(3,8))＋eq \r(4,0.062 5)＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.064\f(1,3)))\s\up12(－2.5)))eq \s\up12(\f(2,5))－π0.
【说明】1、有理数指数幂运算的常用技巧：（1）有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算；（2）负指数幂化为正指数幂的倒数；（3）底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用有理数指数幂的运算法则；
2、根式化简的步骤：（1）将根式化成分数指数幂的形式；（2）运用分数指数幂的运算法则求解；
3、对于化简或求值结果的要求：对化简或求值的结果，一般保留为分数指数幂的形式；在进行指数幂运算时，通常是化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时要兼顾运算的顺序；
题型3、结合乘法公式求含指数幂的代数式
例3、（1）已知＋＝eq \r(5)，则x2＋x－2＝________.
（2）已知x＋x－1＝7，求值：①＋；②x2－x－2；③x3＋x－3
【说明】利用整体代换法求分数指数幂：1、整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键；2、利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式．x2＋x－2＝(x±x－1)2 ∓2，x＋x－1＝(±)2∓2，＋＝(±)2∓2；
题型4、由根式的意义求范围
例4、（1）求使等式eq \r((a－3)(a2－9))＝(3－a)eq \r(a＋3)成立的实数a的取值范围．
（2）若eq \r((3a－1)2)＝eq \r(3,(1－3a)3)，求实数a的取值范围．
【说明】由根式的意义求范围应该注意：对于eq \r(n,a)，当n为偶数时，要注意两点：1、只有a≥0才有意义；2、只要eq \r(n,a)有意义，eq \r(n,a)必不为负；
题型5、利用根式的性质化简或求值
例5、（1）化简下列各式：①eq \r(7,(－2)7)；②eq \r(4,(3a－3)4)(a≤1)；③eq \r(3,a3)＋eq \r(4,(1－a)4)；
（2）已知－30，n∈N*，则下列各式：
①(lgax)n＝nlgax；②(lgax)n＝lgaxn；③lgax＝－lgaeq \f(1,x)；④eq \r(n,lgax)＝eq \f(1,n)lgax；⑤eq \f(lgax,n)＝lgaeq \r(n,x).
其中正确的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
13、已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋0.1的图象如图所示，则eq \r(4,(a－b)4)的值为( )
A．a＋b
B．－(a＋b)
C．a－b
D．b－a
14、已知ab＝－5，则aeq \r(－\f(b,a))＋beq \r(－\f(a,b))的值是( )
A．2eq \r(5) B．0
C．－2eq \r(5) D．±2eq \r(5)
三、解答题（共4小题，满分44分）
15.（本题8分）
（1）已知2a＝5b＝m，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2，求m的值；
（2）已知2x＝8y＋1，9y＝3x－9，求x＋y的值；
16.（本题10分）
对于正整数a，b，c(a≤b≤c)和非零实数x，y，z，ω，有ax＝by＝cz＝70ω，eq \f(1,ω)＝eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)，求a，b，c的值；
17.（本题满分12分）
（1）已知2x＋2－x＝a(常数)，求16x＋16－x的值；
（2）已知x＋y＝12，xy＝9且x1)，若设x＝at.
（1）试用a，t表示y；
（2）若当0