专题03 函数y=Asin（ωx+φ）的图像（原卷版+解析版）2023-2024学年高一数学期末复习重点题型方法与技巧（沪教版2020必修第二册）

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一、《必修第二册》目录与内容提要
【本章教材目录】
第7章 三角函数
7.1 正弦函数的图像与性质
7.1.1正弦函数的图像；7.1.2正弦函数的性质；
7.2 余弦函数的图像与性质
7.2.1余弦函数的图像；7.2.2余弦函数的性质
7.3 函数y=Asin(ωx+φ) QUOTE y=Asin(ωx+φ) 的图像
7.4 正切函数的图像与性质
7.4.1正切函数的图像；7.4.2正切函数的性质；
【本章内容提要】
【附】图像特征
1、函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念及其物理意义
（1）形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ都是常数)的函数，通常叫做正弦型函数．
（2）在物理学和工程技术的许多问题中，
物体做简谐运动时，位移s和时间t的关系为s＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)，
其中A是物体振动时离开平衡位置的最大距离，称为振动的振幅；
往复振动一次所需的时间T＝eq \f(2π,ω)称为这个振动的周期；
单位时间内往复振动的次数f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π)称为振动的频率；ω＝2πf 相应地称为：圆频率；
ωt＋φ称为相位，t＝0时的相位φ称为初始相位；
2、用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图
用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点
3、A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的影响
（1）φ对函数y＝sin(x＋φ)图像的影响：
函数y＝sin(x＋φ)，x∈R(其中φ≠0)的图像，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ0，且ω≠1)的图像，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图像上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当01时)或缩短(当00)图像的方法：
（1）先平移后伸缩
即：先相位变换后周期变换．
y＝sin x的图像eq \(―――――――――――――→,\s\up15(φ>0，左移φ个单位长度),\s\d15(φ1，横坐标缩短到原来的\f(1,ω)纵坐标不变,00，ω>0，|φ|0，ω>0，|φ|0)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))上单调递增，在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递减，则ω等于( )
A．3 B．2
C．eq \f(3,2) D．eq \f(2,3)
（2）已知函数f (x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f (π,6)))(ω>0)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f (π,4)，\f (2π,3)))上单调递增，则ω的取值范围为( )
A．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f (8,3))) B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f (1,2)))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (1,2)，\f (8,3))) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (3,8)，2))
【本题】属于三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性与ω的关系：
若已知三角函数的单调性，则转化为集合的包含关系，进而建立ω所满足的不等式(组)求解．
题型7、与函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期相关
例7、（1）已知函数f (x)＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，－\f (π,2)≤φ≤\f (π,2)))的图像上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为2eq \r(2)，且过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f (1,2)))，则函数f (x)＝__________________
（2）为了使函数y＝sinωx(ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为( )
A．98π B．eq \f (197,2)π
C．eq \f (199,2)π D．100π
【说明】1、若已知三角函数的周期，则由公式T＝eq \f (2π,|ω|)来确定ω的值或取值范围；因为T＝eq \f(2π,ω)，所以往往通过求周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的水平距离为eq \f(T,2)；相邻的两个最高点(或最低点)之间的水平距离为T.
2、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，相邻对称轴之间相差多少个周期？相邻零点呢？
【解析】均相差半个周期．
题型8、函数y＝Asin(ωx＋φ)的零点问题
例8、（1）已知关于x的方程2sin2x－eq \r(3)sin2x＋m－1＝0在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)，π))上有两个不同的实数根，则m的取值范围是__________．
（2）记函数f (x)＝cs(ωx＋φ)(ω>0,0