专题04 复数的三角形式（原卷版+解析版）2023-2024学年高一数学期末复习重点题型方法与技巧（沪教版2020必修第二册）

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复数是人类理性思维的演绎成果，它的产生首先是因为数学家解决数学自身问题的需要，在很长的一段时间内，人们并不清楚它与现实世界到底有怎样的联系；后来，数学家建立了复数与向量，即复数与几何的关联，在大学学习力学和电磁学时，会看到复数在其中的重要作用，复数在数学及其他科学领域中也越来越体现出它的重要性；现在，复数已经成为数学工作者与许多领域的科技人员熟练掌握并广泛应用的基本数学工具；
一、《必修第二册》目录与内容提要
【本章教材目录】
9.1 复数及其四则运算
9.1.1复数的引入与复数的四则运算；9.1.2复数的实部、虚部与共轭；
9.2 复数的几何意义
9.2.1复平面与复数的坐标表示；9.2.2复数的向量表示；9.2.3复数加法的平行四边形法则；9.2.4复数的模
9.3 实系数一元二次方程
9.3.1实数的平方根；9.3.2实数系一元二次方程；
*9.4 复数的三角形式
9.4.1复数的三角形式；
9.4.2三角形式下复数的乘除运算；9.4.3三角形式下复数的乘方与开方
【本章内容提要】
复数是我们继自然数、整数、有理数和实数的学习之后，新认识的一种数.
1、复数系与相关概念
（1）虚数单位，满足.
（2）复数的代数形式：（）.
（3）复数的相等：（）的充要条件是同时为；
复数（）的充要条件是且.
（4）复数的实部与虚部：复数（）的实部是，虚部是；
虚部为的复数是实数，虚部不为的复数称为虚数，实部为的虚数称为纯虛数.；
（5） 复数的共轭：复数（）的共轭复数是；
（6）复数的模：复数（）的模是；
复数的模有如下性质：对、、，
，；；；（复数的三角不等式）.
2、复数的四则运算
（1）两个复数进行相加、相减或相乘时，仿照两个二项式进行相加、相减或相乘的规则计算，并用条件及合并同类项以化简结果：设
；．
（2）两个复数进行除法（除数不为）运算时，将分子和分母同时乘分母的共轭复数，然后分子和分母分别做复数的乘法而得到运算结果：设，
.
本质：化简分式.
（3）复数模对乘、除的分配性：复数积（商）的模等于模的积（商）：设
；（）.
3、复数的坐标表示
（1）复平面：表示复数的直角坐标平面叫做复平面，其中轴叫做实轴，轴叫做虛轴.
（2）复数的坐标表示与向量表示：复数（）可用复平面上坐标为的点来表示，也可以用从坐标原点出发的向量来表示.
（3）复数模的几何意义：复数（）的模等于点与原点的距离，也等于向量的模.
（4）两个复数的和在复平面上所对应的向量就是两个复数对应的向量按平行四边形法则所得到的和向量.
（5）两复数差的模的几何意义：两复数、差的模是这两个复数在复平面上对应点、之间的距离，即.
4、实系数一元二次方程
给定方程（，），并令为其判别式，则
（1）当时，方程有两个不相等的实根；
（2）当时，方程有两个相等的实根（二重根）
（3）当时，方程有一对共轭虛根
*5、复数的三角形式
（1）复数的辐角：设复数对应复平面上的点，则以原点为顶点、轴的正半轴为始边、射线为终边的角称为的辐角，记作；满足的辐角称为的辐角主值，记为.
（2）复数的三角形式：设复数的模为，辐角为，则，复数的这种表示形式称为它的三角形式.（3）三角形式下复数的乘法与除法公式：给定三角形式的复数与，则
，（）.
（4）三角形式下复数的乘方与开方公式：给定三角形式的复数，则对任何正整数，有：；
的次方根，；
1、复数的三角表示式及复数的辐角和辐角主值
一般地，如果非零复数 ，
在复平面内对应点，且为向量的模，
是以轴正半轴为始边、射线为终边的一个角，
则，
根据任意角余弦、正弦的定义可知：cs θ＝eq \f(a,r)，sin θ＝eq \f(b,r)；因此a＝rcs θ，b＝rsin θ，如图所示，
从而，
上式的右边称为非零复数的三角形式；（对应地，称为复数的代数形式），
其中的称为的辐角；记作；
显然，任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个，
而且任意两个辐角之间都相差的整数倍；
特别地，在内的辐角称为z的辐角主值，记作：；
规定：复数的辐角的大小是：任意的值；
2、复数三角形式的乘、除运算
三角形式下复数的乘法与除法公式：
给定三角形式的复数 与 ，
则，
3、三角形式下复数的乘方与开方公式
给定三角形式的复数，则对任何正整数，有 ；
的次方根为 ，
＝0，1，2，…，－1。
题型1、对复数的辐角和辐角主值的理解
例1、（1）下列结论中正确的是（ ）
A．复数Z的任意两个辐角之间都差的整数倍；
B．任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个；
C．实数0不能写成三角形式；
D．复数0的辐角主值是0．
【提示】根据复数辐角、辐角主值定义及复数0的辐角性质判断各项的正误即可.
【答案】B
【解析】A：复数0的辐角为任意值，其两个辐角之差不一定为整数倍，错误；
B：任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个，正确；
C：其中，故实数0能写成三角形式，错误；
D：复数0的辐角主值不唯一，错误.
故选：B；
（2）欧拉是十八世纪伟大的数学家，他巧妙地把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数和联系在一起，得到公式，这个公式被誉为“数学的天桥”，若，则称为复数的辐角主值．根据该公式，可得的辐角主值为 ．
【提示】根据欧拉公式与复数的相关概念求解即可；
【答案】
【解析】因为，所以，所以的辐角主值为．
故答案为:；
【说明】任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差的整数倍；
特别地，在内的辐角称为z的辐角主值，记作：；
规定：复数的辐角的大小是：任意的值；
题型2、将复数的三角形式化成代数形式
例2、（1）1．将复数化成代数形式，正确的是（ ）
A．4B．-4
C．D．
【提示】根据特殊角的三角函数值，化简即可.
【答案】D；
【解析】；故选：D.
【说明】本题考查复数的三角形式的化简，只需计算对应的三角函数值即可.
（2）将复数z=3化成代数形式为 ；|z|=
【提示】利用特殊角的三角函数值，即可得到答案；
【答案】 ；3
【详解】，故答案为：
题型3、将复数的代数形式化成三角形式
例3、（1）复数的三角形式是
A．B．
C．D．
【提示】根据复数的三角形公式求解或利用定义直接求解即可.
【答案】A；
【解析】解法1：设复数的三角形式为,则,,
可取,从而复数的三角形式为.
解法2：
故选：A；
【说明】本题主要考查了复数的三角形式,属于基础题.
（2）已知，将复数表示成三角形式；
【提示】求出复数的模长，根据，分两种情况，用复数的三角形式写出即可；
【答案】当，；当，
【解析】因为复数，则，
当时，，；
当，，；
【说明】1、，称为非零复数的三角形式；（对应地，称为复数的代数形式），其中的称为的辐角（由cs θ＝eq \f(a,r)，sin θ＝eq \f(b,r)确定）；记作；
规定：复数的辐角的大小是：任意的值；
2、复数的三角形式z＝rcs θ＋isin θ必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，
3、复数的代数形式化为三角形式的步骤：
（1）先求复数的模；
（2）决定辐角所在的象限；
（3）根据象限求出辐角；
（4）求出复数的三角形式；
提醒：一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值，这使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值；
题型4、复数三角形式的乘、除运算
例4、计算：
（1）；
（2）.
【提示】直接根据复数代数形式的乘法与除法运算法则计算可得；
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）
（2）
【说明】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，属于基础题.
特别提醒：1．乘法法则：模相乘，辐角相加；2．除法法则：模相除，辐角相减；3．复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角为n倍；
题型5、复数三角形式的乘、除运算的几何理解
例5、（1）将复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是
A．B．
C．D．
【提示】先将复数写成三角形式,再根据三角形式的运算法则求解即可.
【答案】A
【解析】复数的三角形式是,向量对应的复数是
故选：A
（2）将复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是（ ）
A．2iB．
C．D．
【提示】根据复数的三角形式运算求解即可；
【答案】B
【解析】复数的三角形式是,向量对应的复数
故选：B；
题型6、复数三角形式的乘方运算
例6、计算下列各式：
（1）.
【答案】
【提示】根据复数的乘方及乘法法则计算可得；
【解析】
（2）计算的值.
【提示】根据复数三角形式的乘方运算及代数形式的乘法运算法则计算可得；
【答案】
【解析】
【说明】两个复数三角形式乘法的法则可简记为：模相乘，辐角相加，并且可以作以下推广；
（1）有限个复数相乘，结论亦成立；
即z1·z2…zn＝r1(cs θ1＋isin θ1)·r2(cs θ2＋isin θ2)…rn(cs θn＋isin θn)＝r1·r2…rn[cs(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn)]；
（2）当z1＝z2＝…＝zn＝z时，即r1＝r2＝…＝rn＝r，θ1＝θ2＝…＝θn＝θ，有zn＝[r(cs θ＋isin θ)]n＝rn[cs(nθ)＋isin(nθ)]，这就是复数三角形式的乘方法则，即：模数乘方，辐角n倍；
题型7、复数三角形式的开方运算
例7、（1）在复数范围内解关于x的方程
【提示】利用复数的三角形式直接解方程即可.
【答案】，.
【解析】设，则.
因为，
所以.
所以，，.
所以，
（2）在复数范围内，验证，，1，2，…，为方程的n个根，并给出几何解释。
【提示】结合复数的三角形式以及三角函数值即可验证；然后结合复数的几何意义即可得出几何解释；
【答案】几何解释： 的个根对应的点，将单位圆等分.
【解析】
，，1，2，…，，
所以（，1，2，…，）是方程的n个根，
设,，……，（，1，2，…，），
则是由逆时针方向旋转而得到（模不变，），
故是以原点为圆心的单位圆的个等分点，即的个根对应的点，将单位圆等分；
题型8、复数三角形式的综合题
例8、已知复数的三角形式为.
（1）若复数对应的向量为，把按逆时针方向旋转15°，得到向量恰好在轴正半轴上，求复数（用代数形式表示）.
（2）若的实部为，是否存在正整数，使得对于任意实数，只有最小值而无最大值？若存在这样的的值，则求出此时使取得最小值的的值；若不存在这样的的值，请说明理由.
【提示】（1）根据复数三角形式的运算及几何意义得出，再由的实部为，即可得出答案.
（2）由题表示出，令，分析，进而判断的最值问题，即可得出答案.
【答案】（1）；（2）存在，时.
【解析】（1）把按逆时针方向旋转15°，
所得向量，
因，
，
因为向量恰好在轴正半轴上，
则，
解得，
，
故复数.
（2）存在，时，理由如下：
由题知，
，
因的实部为，则，
令，则，
易得在上单调递减，又为正整数，故在上单调递增，
因，则，
则要使得只有最小值而无最大值，
只需要即可，即，即，
当时，，，不符合只有最小值无最大值；
当时，，
因，则，又为正整数，则，
所以，
此时，当取得最小时，易得，
即，解得.
【说明】关键点睛：本题主要考察复数及其三角形式，计算复数的模和辐角主值是解答的关键，特别注意：中，为的模，是的辐角，中的辐角，叫做的辐角主值，记作，显然.
1、复数1－eq \r(3)i的辐角的主值是
【答案】eq \f(5,3)π
【解析】因为1－eq \r(3)i＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(\r(3),2)i))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(5,3)π＋isin \f(5,3)π))，所以1－eq \r(3)i辐角的主值为eq \f(5,3)π.
2、复数eq \r(2)－eq \r(2)i的代数形式化成三角形式为
【答案】2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(7π,4)＋isin\f(7π,4)))
【解析】r＝eq \r(2＋2)＝2，cs θ＝eq \f(\r(2),2)，又因为eq \r(2)－eq \r(2)i对应的点位于第四象限，所以θ＝eq \f(7π,4).
所以eq \r(2)－eq \r(2)i＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(7π,4)＋isin\f(7π,4))).
3、计算：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,2)＋isin \f(π,2)))×3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,6)＋isin \f(π,6)))等于
【答案】－eq \f(3,2)＋eq \f(3\r(3),2)i D．－eq \f(3,2)－eq \f(3\r(3),2)i
【解析】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,2)＋isin \f(π,2)))×3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,6)＋isin \f(π,6)))
＝3eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(π,6)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(π,6)))))
＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(2π,3)＋isin \f(2π,3)))
＝－eq \f(3,2)＋eq \f(3\r(3),2)i.
4、化简复数
【提示】由复数的三角形式得，=，代入运算可得选项；
【答案】 ；
【解析】，故，
，故，
所以
；
故选：B；
【说明】本题考查复数的三角形式的乘方运算与除法运算；
5、复数z＝cs eq \f(π,15)＋isin eq \f(π,15)是方程x5－α＝0的一个根，那么α的值等于
【答案】eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i
【解析】由题意得，α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,15)＋isin \f(π,15)))5＝cs eq \f(π,3)＋isin eq \f(π,3)＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i.
6、复数经过次乘方后，所得的幂等于它的共轭复数，则的值为
【提示】用共轭复数的概念，以及复数的三角表示即可；
【答案】；
【解析】由题意：，
可得，所以，，.
【说明】本题考查了复数的三角形式的乘方运算与复数相等的充要条件、三角方程的交汇；
7、若复数eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs \f(π,4)＋isin \f(π,4),cs \f(π,4)－isin \f(π,4))))eq \s\up12(n)为实数，则正整数n的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【提示】注意：复数的除法与乘方运算；
【答案】B；
【解析】因为eq \f(cs \f(π,4)＋isin \f(π,4),cs \f(π,4)－isin \f(π,4))＝eq \f(\f(\r(2),2)＋\f(\r(2),2)i,\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2)i)＝eq \f(1＋i,1－i)＝eq \f(2i,2)＝i，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs \f(π,4)＋isin \f(π,4),cs \f(π,4)－isin \f(π,4))))eq \s\up12(n)＝in为实数，所以n的最小值为2；
【说明】本题考查了复数三角形式的复数的除法与乘方运算；以及与虚数单位的乘方性质的交汇；
8、设（均为实系数多项式）．则的系数之和为
A．B．C．D．1．C
【提示】注意：利用复数的三角形式的乘方进行化简；
【答案】
【解析】取，则


；．
【说明】本题考查了利用复数的三角形式的乘方与复数相等的充要条件的交汇；
9、设复数，
（1）写出的三角形式；
（2）复数满足，且在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，，求的代数形式；
【提示】（1）根据公式，即可直接得出答案；（2）设，根据三角恒等变换表示出，然后根据已知得出的值，代入即可得出答案；
【解析】（1）；（2）
【解析】（1）由已知可得，，所以，.
（2）由已知可设，
则.
所以，.
由已知可得，所以，
所以，.
又，所以.
所以，.
10、已知复数的模为.
（1）写出一个，使得，但（只需要写出一个，无需证明）；
（2）设，，分别求，，的实部（用，表示），并归纳得出的实部1．（1）；（2）的实部为，的实部为，的实部为，归纳的实部为.
【提示】
（1）写出一个符合要求的复数即可；
（2）利用复数的乘法、乘方运算计算即可得解，再根据规律写出结论作答.
【解析】
（1）；
（2）因设，，
则
，
所以的实部为；
，
，
，
所以的实部为，的实部为，
因此，归纳得出的实部为；