高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程学案及答案

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圆的方程
一、 圆的方程
1. 圆的标准方程
（1）圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点是圆心，定长是圆的半径．
（2）圆的标准方程：
在平面直角坐标系中，以为圆心， 为半径的圆的方程．设点是圆 上任意一点，由两点
间的距离公式可得：，则化简后得到圆的标准方程：
．
定义的重要解读：
①圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径．
②方程不一定表示圆，当时，方程表示一个点，所以方程要表示
一个圆，当且仅当．
③当圆心在坐标原点，半径为 的圆的标准方程为：
经典例题
圆心在点，并经过点的圆的方程是（ ）．
A.B.
C.D.
巩固练习
以点为圆心， 为半径的圆的标准方程为（ ）．
A.B.
C.D.
2. 圆的一般方程
方程
可化为
①
说明：
(1) 和 项的系数相等且都不为零．
1
(2)没有 这样的二次项．
(3) 当时，方程①表示以为圆心，为半径的
圆．
(4) 当
时，方程①只有实根
，
，方程①表示一个点
．
(5)当
时，方程①没有实根，因而它不表示任何图形.
经典例题
1. 方程表示的图形是（ ）．
A. 以为圆心，为半径的圆B. 以为圆心，为半径的圆
C. 以为圆心，为半径的圆D. 以为圆心，为半径的圆
2. 已知，方程表示圆，则该圆的面积是．
巩固练习
1. 若直线经过圆的圆心，则 等于（ ）．
A.B.C. 或D. 或
2. 若方程表示圆，则 的范围是．
3. 求圆的方程的方法
（一）特殊条件下圆的方程
圆的标准方程圆的一般方程
圆心在原点
过原点
圆心在 轴上圆心在 轴上
圆心在 轴上且过原点圆心在 轴上且过原点
与 轴相切
与 轴相切
（二）求圆的方法
（1）直接代入法：将已知圆的圆心坐标和半径直接代入圆的标准方程.
（2）待定系数法：
①若已知条件与圆心和半径 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于的方程组，
从而求出的值；
②若已知条件没有明确给出圆心和半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于
的方
程组，进而求出的值.
（3）几何性质法：如果在求解圆的方程这类问题时，能够结合圆的有关几何性质来考虑，利用“数形
结合的思想”进行求解.
经典例题
1. 已知圆 的圆心在 轴上，并且过点和，则圆的方程是．
2. 已知圆 经过点和，且圆心 在直线上，则圆 的方程为．
3. 若圆 经过，两点，且与 轴相切，则圆 的标准方程为.
4. 已知直线与坐标轴交于 、 两点， 为坐标原点，则经过 、 、 三点的圆的
标准方程为．
5. 根据下列条件求方程．
（ 1 ）已知顶点的坐标为，，，求外接圆的方程．
巩固练习
1. 已知圆心在 轴上的圆 经过，两点，则 的方程为（ ）．
A.B.C.D.
2. 设某圆的圆心为，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则该圆的半径是．
3. 已知、，以线段 为直径的圆的方程为．
4. 求满足下列条件的圆的方程．
（ 1 ）经过点
（ 2 ）经过三点
，圆心为点
，
，
．
．
5. 已知的顶点坐标为，，．
（ 2 ）试求半径最小的外接圆的标准方程．
4. 知识总结
（1）圆的标准方程
．
（2）圆的一般方程
以为圆心，为半径
（3）求圆的方程的方法
直接代入法、待定系数法、几何性质法
二、 点与圆、直线与圆的位置关系
1. 点与圆的位置关系
已知圆心，半径 ，点 的坐标为，则
①点 在圆 内；
②点 在圆 上；
③点 在圆 外．
其中
经典例题
1. 已知圆 以点为圆心，半径等于 ，则点与圆 的位置关系是（ ）．
A. 点在圆内B. 点在圆上C. 点在圆外D. 无法判断
2. 点与圆的的位置关系是（ ）．
A. 在圆外B. 在圆内C. 在圆上D. 不确定
巩固练习
1. 若圆 的圆心为，半径为 ，则点与圆 的位置关系是（ ）．
A. 在圆内B. 在圆上C. 在圆外D. 无法判断
2. 若点在圆的内部，则实数 的取值范围是．
2. 直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系及判定
相离相切相交
位置关系
消元后的一元二次方程无实数根有两个相等的实数根 有两个不相等的实数根
圆心到直线的距离 与
圆的半径 的关系
注意：判断直线与圆的位置关系，多数情况下利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小作比较进行判断．
经典例题
1. 直线与圆的位置关系是（ ）．
A. 直线与圆相切B. 直线与圆相交C. 直线与圆相离D. 直线过圆心
2. 已知直线 过点，圆 ：，则()
A. 与 相交B. 与 相切
C. 与 相离D. 与 的位置关系不确定
3. 对任意的实数 ，直线与圆的位置关系一定是()
A. 相离B. 相切
C. 相交但直线不过圆心D. 相交且直线过圆心
4. 在平面直角坐标系中，已知圆 ：，若对于直线上的
任意一点 ，在圆 上总存在 使，则实数 的取值范围为．
巩固练习
1. 直线与圆的位置关系是（ ）．
A. 相切B. 相交C. 相离D. 不确定
2. 直线与圆的位置关系是（ ）．
A. 直线与圆相切B. 直线与圆相交但不过圆心
C. 直线与圆相离D. 直线过圆心
3. 若 、 、 是的三边，直线与圆相离，则一定是（
）．
A. 直角三角形B. 等边三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形
4. 不论 为何实数，直线与曲线
恒有交点，则实数 的取值范围是（ ）．
A.B.C.D.
3. 知识总结
（1）点与圆的位置关系
已知圆心，半径 ，点 的坐标为，则
①点 在圆 内；
②点 在圆 上；
③点 在圆 外．
其中
（2）直线与圆的位置关系
相离相切相交
位置关系
消元后的一元二次方程 无实数根有两个相等的实数根有两个不相等的实数根
圆心到直线的距离 与圆的半径 的关系
思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
出门测
1. 完成下列各题：
（ 1 ）求以、为直径端点的圆的方程．
（ 2 ）求以，，为顶点的外接圆的方程．
2. 与圆相切于点的直线的斜率为（ ）．
A.B.C.D.
3. 已知圆 经过和，且圆心 在直线上．
（ 1 ）求圆 的标准方程．
（ 2 ）若直线 垂直于直线 且与圆 相切．求直线 的方程．
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