2025届新高考数学考点全复习讲义2.5幂函数

这是一份2025届新高考数学考点全复习讲义2.5幂函数，文件包含第五节幂函数答案docx、第五节幂函数docx等2份学案配套教学资源，其中学案共12页， 欢迎下载使用。

1.通过具体实例，理解幂函数的概念.
2.结合y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x，y＝x3的图象，理解它们的变化规律.
基础知识

1.幂函数的定义
一般地，函数y＝ xα 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
提醒 幂函数的特征：①自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数；②xα的系数为1；③只有一项.
2.常见的五种幂函数的图象和性质
基础知识
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数y＝2x13是幂函数.（ × ）
（2）当n＞0时，幂函数y＝xn在（0，＋∞）上单调递增.（ √ ）
（3）若幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是坐标原点.（ √ ）
2.已知幂函数y＝f（x）的图象过点2，12，则f（4）＝（ ）
A.14 B.4 C.22 D.2
解析：A 设f（x）＝xα，∵图象过点2，12，∴f（2）＝2α＝12，解得α＝－1，∴f（4）＝4－1＝14.
3.已知幂函数f（x）＝x13，则f（x）（ ）
A.是偶函数，且在（0，＋∞）上单调递增
B.是偶函数，且在（0，＋∞）上单调递减
C.是奇函数，且在（0，＋∞）上单调递减
D.是奇函数，且在（0，＋∞）上单调递增
解析：D 因为f（x）＝x13，故f（x）是奇函数，且在（0，＋∞）上单调递增，故选D.
4.已知α∈{－2，－1，12，1，2，3}.若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，＋∞）上单调递减，则α＝ －1 .
解析：由y＝xα为奇函数，知α取－1，1，3.又y＝xα在（0，＋∞）上单调递减，∴α＜0，故α＝－1.
常用结论
幂函数y＝xα在第一象限的两个重要结论
（1）恒过点（1，1）；
（2）当x∈（0，1）时，α越大，函数值越小；当x∈（1，＋∞）时，α越大，函数值越大.
结论运用
函数y＝x12－1的图象大致是（ ）
解析：A 由结论知，函数y＝x12的图象恒过点（1，1），则y＝x12－1的图象过点（1，0）且为增函数.故选A.
聚焦考点 课堂演练

考点1 幂函数的图象与性质
【例1】 （1）若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为（ D ）
A.－1＜m＜0＜n＜1 B.－1＜n＜0＜m＜12
C.－1＜m＜0＜n＜12 D.－1＜n＜0＜m＜1
（2）幂函数f（x）＝（m2－3m＋3）xm的图象关于y轴对称，则实数m＝ 2 .
解析：（1）幂函数y＝xα，当α＞0时，y＝xα在（0，＋∞）上单调递增，且0＜α＜1时，图象上凸，∴0＜m＜1.当α＜0时，y＝xα在（0，＋∞）上单调递减.不妨令x＝2，由图象得2－1＜2n，则－1＜n＜0.综上可知，－1＜n＜0＜m＜1.
（2）由幂函数定义，知m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2，当m＝1时，f（x）＝x的图象不关于y轴对称，舍去，当m＝2时，f（x）＝x2的图象关于y轴对称，因此m＝2.
方法技巧
幂函数的图象与性质特征的关系
（1）幂函数的形式是y＝xα（α∈R），其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式；
（2）判断幂函数y＝xα（α∈R）的奇偶性及求定义域时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断；
（3）若幂函数y＝xα在（0，＋∞）上单调递增，则α＞0，若在（0，＋∞）上单调递减，则α＜0.
跟踪训练
有四个幂函数：①f（x）＝x－1；②f（x）＝x－2；③f（x）＝x3；④f（x）＝x13.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质 ：（1）偶函数；（2）值域是{y｜y∈R，且y≠0}；（3）在（－∞，0）上单调递增.如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是 f（x）＝x－2 .
解析：f（x）＝x－1只满足性质（2），f（x）＝x3只满足性质（3），f（x）＝x13只满足性质（3）.f（x）＝x－2是偶函数，在（－∞，0）上单调递增，但是其值域是{y｜y＞0}.
考点2 幂函数性质的应用
【例2】（1）若a＝3525，b＝2535，c＝2525，则a，b，c的大小关系是（ B ）
A.a＞b＞c B.a＞c＞b
C.c＞a＞b D.b＞c＞a
（2）已知幂函数f（x）的图象过点（－8，－2），且f（a＋1）≤－f（a－3），则实数a的取值范围是 （－∞，1] .
解析：（1）因为y＝x25在第一象限内单调递增，所以a＝3525＞c＝2525，因为y＝25x是减函数，所以c＝2525＞b＝2535，所以a＞c＞b.
（2）设f（x）＝xα，则（－8）α＝－2，解得α＝13，所以f（x）＝x13，则f（x）在R上是增函数，且为奇函数，所以f（a＋1）≤－f（a－3）等价于f（a＋1）≤f（3－a），则a＋1≤3－a，解得a≤1.
方法技巧
比较幂值大小的策略
（1）同底不同指的幂值大小比较：利用指数函数的单调性进行比较；
（2）同指不同底的幂值大小比较：利用幂函数的单调性进行比较；
（3）既不同底又不同指的幂值大小比较：常找到一个中间值，通过比较幂值与中间值的大小来进行比较.
跟踪训练
1.若（m＋1）－1＜（3－2m）－1，则实数m的取值范围是（ ）
A.（23，32） B.（－∞，－1）
C.（－∞，－1）∪（23，32） D.⌀
解析：C 分三种情况考虑：①m+1>0，3－2m>0，m+1>3－2m，解得23＜m＜32；②m+1<0，3－2m<0，m+1>3－2m，此时无解；③m+1<0，3－2m>0，解得m＜－1.综上可得，m∈（－∞，－1）∪（23，32）.故选C.
2.（多选）幂函数f（x）＝（m2－5m＋7）xm2－6在（0，＋∞）上单调递增，则以下说法正确的是（ ）
A.m＝3
B.函数f（x）在（－∞，0）上单调递增
C.函数f（x）是偶函数
D.函数f（x）的图象关于原点对称
解析：ABD 因为幂函数f（x）＝（m2－5m＋7）·xm2－6在（0，＋∞）上单调递增，所以m2－5m+7=1，m2－6>0，解得m＝3，所以f（x）＝x3，所以f（－x）＝（－x）3＝－x3＝－f（x），故f（x）＝x3为奇函数，函数图象关于原点对称，所以f（x）在（－∞，0）上单调递增.
第五节 幂函数
课后分层跟踪巩固
基础达标 A
1.若f（x）是幂函数，且满足f（4）f（2）＝3，则f（12）＝（ ）
A.3 B.－3
C.13 D.－13
解析：C 设f （x）＝xα，则4α2α＝2α＝3，∴f （12）＝（12）α＝13.故选C.
2.下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ）
A.y＝x5 B.y＝3｜x｜
C.y＝x12 D.y＝lg3x
解析：A 对于A选项，y＝x5为R上的奇函数，且为R上的增函数，A选项符合题意；对于B选项，y＝3｜x｜为偶函数，B选项不符合题意；对于C选项，y＝x12的定义域为[0，＋∞），为非奇非偶函数，C选项不符合题意；对于D选项，y＝lg3x的定义域为（0，＋∞），为非奇非偶函数，D选项不符合题意.故选A.
3.已知常数α∈Q，如图为幂函数y＝xα的图象，则α的值可以为（ ）
A.23 B.32
C.－23 D.－32
解析：C 由幂函数y＝xα的图象关于y轴对称知，函数y＝xα是偶函数，排除B、D选项；再根据幂函数y＝xα的图象在第一象限内单调递减，可得α＜0，排除A选项.故选C.
4.若幂函数f（x）的图象过点（2， 2），则函数y＝f（x）＋1－x的最大值为（ ）
A.1 B.54
C.2 D.73
解析：B 设f（x）＝xα，∵f（x）的图象过点（2，2），∴f（2）＝2α＝2，则α＝12，∴f（x）＝x，∴y＝x＋1－x＝－（x－12）2＋54，∴所求最大值为54.故选B.
5.已知函数f（x）＝x－3，若a＝f（0.60.6），b＝f（0.60.4），c＝f（0.40.6），则a，b，c的大小关系是（ ）
A.a＜c＜b B.b＜a＜c
C.b＜c＜a D.c＜a＜b
解析：B 因为0.40.6＜0.60.6＜0.60.4，又y＝f（x）＝x－3在（0，＋∞）上单调递减，所以b＜a＜c.
6.（多选）已知函数g（x）＝ax－2－12（a＞0且a≠1）的图象过定点A，幂函数 f（x）＝xb的图象经过点A，则（ ）
A.f（x）在其定义域内是减函数
B.f（x）的图象经过点（1，1）
C.f（x）是奇函数
D.f（x）的定义域是R
解析：BC 由x－2＝0，得x＝2，可得g（2）＝1－12＝12，故函数g（x）＝ax－2－12（a＞0且a≠1）的图象过定点A（2，12），则f（2）＝2b＝12，解得b＝－1，则f（x）＝1x，所以f（x）的定义域为{x｜x≠0}，且f（x）为奇函数，函数f（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递减，但f（x）在其定义域内不单调.因为f（1）＝1，所以函数f（x）的图象经过点（1，1）.故选B、C.
7.（多选）已知幂函数f（x）＝（m＋95）xm，则（ ）
A.f（－32）＝116
B.f（x）的定义域是R
C.f（x）是偶函数
D.不等式f（x－1）≥f（2）的解集是[－1，1）∪（1，3]
解析：ACD 因为函数f（x）是幂函数，所以m＋95＝1，得m＝－45，即f（x）＝x－45，f（－32）＝[（－2）5]－45＝（－2）－4＝116，故A正确；函数的定义域是{x｜x≠0}，故B不正确；因为定义域关于原点对称，f（－x）＝f（x），所以函数f（x）是偶函数，故C正确；易知函数f（x）＝x－45在（0，＋∞）上单调递减，不等式f（x－1）≥f（2）等价于｜x－1｜≤2，解得－2≤x－1≤2，且x－1≠0，解得－1≤x≤3，且x≠1，即不等式的解集是[－1，1）∪（1，3]，故D正确.
8.已知函数f（x）为幂函数，且f（4）＝12，则当f（a）＝4f（a＋3）时，实数a＝ 15 .
解析：设f（x）＝xα，则4α＝12，所以α＝－12.因此f（x）＝x－12，从而a－12＝4（a＋3）－12，解得a＝15.
9.幂函数y＝xn2＋n+1（n∈N）的图象一定经过第 一、三 象限.
解析：因为n为自然数，所以n（n＋1）为偶数，则n2＋n＋1为奇数，所以y＝xn2＋n+1（n∈N）是奇函数，且函数的图象经过点（0，0）和点（1，1），f（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以幂函数y＝xn2＋n+1（n∈N）的图象一定经过第一、三象限.
10.已知函数f（x）＝xα＋2x（α≠0），且f（4）＝10，则α＝ 12 ，若f（m）＞f（－m＋1），则实数m的取值范围是 （12，1］ .
解析：f（4）＝4α＋2×4＝10，即4α＝2，所以α＝12，所以f（x）＝x12＋2x＝x＋2x，其定义域为[0，＋∞），且f（x）在[0，＋∞）上是增函数.由f（m）＞f（－m＋1）可得m≥0，－m+1≥0，m＞－m+1，解得12＜m≤1，故实数m的取值范围为（12，1］.
综合应用 B
巩固
11.已知幂函数y＝xpq（p，q∈N*，q＞1且p，q互质）的图象如图所示，则（ ）
A.p，q均为奇数，且pq＞1
B.q为偶数，p为奇数，且pq＞1
C.q为奇数，p为偶数，且pq＞1
D.q为奇数，p为偶数，且0＜pq＜1
解析：D 由幂函数的图象关于y轴对称，可知该函数为偶函数，所以p为偶数，则q为奇数.因为幂函数y＝xpq的图象在第一象限内向上凸起，且在（0，＋∞）上单调递增，所以0＜pq＜1.
12.已知函数f（x）＝（m2－m－5）xm2－6是幂函数，对任意x1，x2∈（0，＋∞），且x1≠x2，满足f（x1)−f（x2）x1－x2＞0，若a，b∈R，且a＋b＞0，则f（a）＋f（b）的值（ ）
A.恒大于0 B.恒小于0
C.等于0 D.无法判断
解析：A ∵函数f（x）＝（m2－m－5）xm2－6是幂函数，∴m2－m－5＝1，解得m＝－2或m＝3.∵对任意x1，x2∈（0，＋∞），且x1≠x2，满足f（x1)−f（x2）x1－x2＞0，∴函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，∴m2－6＞0，∴m＝3，∴f（x）＝x3.若a，b∈R，且a＋b＞0，则a＞－b，∴f（a）＞f（－b）＝－f（b），∴f（a）＋f（b）＞0.故选A.
13.已知函数f（x）＝x1m2＋m（m∈N*），且该函数的图象经过点（2，2）.
（1）确定m的值；
（2）求满足条件f（2－a）＞f（a－1）的实数a的取值范围.
解：（1）因为该函数的图象过点（2，2），
所以21m2＋m＝2＝212，
所以m2＋m＝2，所以m＝1或m＝－2，
又m∈N*，故m＝1.
（2）由（1）知f（x）＝x12，故f（x）为[0，＋∞）上的增函数，又由f（2－a）＞f（a－1），
得2－a≥0，a－1≥0，2－a＞a－1，解得1≤a＜32.
所以满足条件f（2－a）＞f（a－1）的实数a的取值范围为
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x12
y＝x－1
图象
性质
定义域
R
R
R
{x｜x≥0}
{x｜x≠0}
值域
R
{y｜y≥0}
R
{y｜y≥0}
{y｜y≠0}
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x12
y＝x－1
性质
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
增函数
在（－∞，0]上单调递减；在（0，＋∞）上单调递增
增函数
增函数
在（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递减