专题02 数轴上的三种动点问题-2023-2024人教版七年级数学上学期期末复习培优专题

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【知识点梳理】
1.数轴上两点间的距离
数轴上A、B两点表示的数为分别为a、b，则A与B间的距离AB=|a－b|；
2.数轴上点移动规律
数轴上点向右移动则数变大(增加)，向左移动数变小(减小)；
当数a表示的点向右移动b个单位长度后到达点表示的数为a+b；向左移动b个单位长度后到达点表示的数为a－b.
类型一、求值(速度、时间、距离)
例1．如图在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a，b满足＋＝0；
(1)点A表示的数为 ；点B表示的数为 ；
(2)若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，请在数轴上找一点C，使AC＝2BC，则C点表示的数 ；
(3)若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位／秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位／秒的速度也向左运动，在碰到挡板后 (忽略球的大小，可看作一点) 以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t(秒)，请分别表示出甲，乙两小球到原点的距离 (用t表示)．
【答案】(1)-2；6；(2)或14
(3)甲球与原点的距离为：t+2；当时，乙球到原点的距离为；当时，乙球到原点的距离为
【解析】(1)解：∵|a+2|+|b−6|=0，∴a+2=0，b−6=0，解得，a=−2，b=6，
∴点A表示的数为−2，点B表示的数为6．故答案为：−2；6．
(2)设数轴上点C表示的数为c，
∵AC=2BC，∴|c−a|=2|c−b|，即|c+2|=2|c−6|，
∵AC=2BC>BC，∴点C不可能在BA的延长线上，则C点可能在线段AB上和线段AB的延长线上，
①当C点在线段AB上时，则有−2⩽c⩽6，
得c+2=2(6−c)，解得：c=；
②当C点在线段AB的延长线上时，则有c>6，得c+2=2(c−6)，解得c=14，
故当AC=2BC时，c=或c=14；故答案为：或14．
(3)∵甲球运动的路程为：1⋅t=t，OA=2，∴甲球与原点的距离为：t+2；
乙球到原点的距离分两种情况：
当0∵OB=6，乙球运动的路程为：2⋅t=2t，乙到原点的距离：6−2t(0⩽t⩽3)；
②当t>3时，乙球从原点O处开始一直向右运动，此时乙球到原点的距离为：2t−6(t>3)．
例2．如图，数轴上两个动点A，B起始位置所表示的数分别为，4，A，B两点各自以一定的速度在数轴上运动，已知A点的运动速度为2个单位/秒．
(1)若A，B两点同时出发相向而行，正好在原点处相遇，请直接写出B点的运动速度．
(2)若A，B两点于起始位置按上述速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒时两点相距8个单位长度？
(3)若A，B两点于起始位置按上述速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C点从原点出发作同方向的运动，如果在运动过程中，始终有，求C点的运动速度．
【答案】(1)1个单位/秒；(2)4秒和20秒；(3)个单位/秒
【解析】(1)解：B点的运动速度为：
=1个单位/秒．
(2)∵OA+OB=8+4=12＞8，且A点运动速度大于B点的速度，
∴分两种情况，
①当点B在点A的右侧时，运动时间为=4秒．
②当点A在点B的右侧时，运动时间为=20秒，
综合①②得，4秒和20秒时，两点相距都是8个单位长度；
(3)设点C的运动速度为x个单位/秒，运动时间为t，根据题意得知
8+(2-x)×t=[4+(x-1)×t]×2，整理，得2-x=2x-2，解得x=，
故C点的运动速度为个单位/秒．
【变式训练1】如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示-10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P、Q同时出发，点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．问：
(1)动点P从点A运动至点C需要多少时间？
(2)求P、Q两点相遇时，t的值和相遇点M所对应的数．
【答案】(1)动点P从点A运动至点C需要19秒；
(2)P、Q两点相遇时，t的值为秒，相遇点M所对应的数是．
【解析】(1)解：由图可知：动点P从点A运动至C分成三段，分别为AO、OB、BC，
AO段时间为＝5，OB段时间为=10，BC段时间为=4，
∴动点P从点A运动至C点需要时间为5+10+4=19(秒)，
答：动点P从点A运动至点C需要19秒；
(2)解：点Q经过8秒后从点B运动到OB段，
而点P经过5秒后从点A运动到OB段，经过3秒后还在OB段，∴P、Q两点在OB段相遇，
设点Q经过8秒后从点B运动到OB段，再经进y秒与点P在OB段相遇，
依题意得：3+y+2y=10，解得：y=，∴P、Q两点相遇时经过的时间为8+=(秒)，
此时相遇点M在“折线数轴”上所对应的数是为3+=；
答：P、Q两点相遇时，t的值为秒，相遇点M所对应的数是．
【变式训练2】如图，已知、、是数轴上三点，点表示的数为4，，．
(1)点表示的数是______，点表示的数是______．
(2)动点、分别从、同时出发，点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点的运动时间为()秒．
①用含的代数式表示：点表示的数为______，点表示是数为______；
②当时，点、之间的距离为______；
③当点在上运动时，用含的代数式表示点、之间的距离；
④当点、到点的距离相等时，直接写出的值．
【答案】(1)，6；(2)①，；②7；③；④t的值为或10
【解析】(1)解：A点在B点左边，B点表示4，AB=8，∴A点表示的数，4-8=-4；
C点在B点右边，BC=2，∴C点表示的数为：4+2=6；
(2)解：①P点向右运动，∴P点表示的数为-4+2t；
Q点向左运动，∴Q点表示的数为6-t；
②t=1时，P点-2，Q点5，两点距离=5-(-2)=7；
③∵Q点在右，P点在左，∴两点距离=6-t-(-4+2t)=10-3t，
④当P，Q相遇时，两点到C点距离相等，此时2t+t=10，解得：t=，
当P点在C点右边，Q点在C点左边时，-4+2t-6=6-(6-t)，解得：t=10，
∴t的值为或10；
【变式训练3】如图，点A、B为数轴上的点(点A在数轴的正半轴)，，N为AB的中点，且点N表示的数为2．
(1)点A表示的数为______，点B表示的数为______；
(2)点M为数轴上一动点，点C是AM的中点，若，求点M表示的数，并画出点M的位置；
(3)点P从点N出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，设运动时间为秒．在运动过程中，点P、Q之间的距离为3时，求运动时间t的值．
【答案】(1)6，﹣2；(2)8或4；(3)1秒或7秒．
【解析】(1)解：∵，N为AB的中点，∴AN＝BN＝AB＝4
∵点N表示的数为2，点A在点N的右侧，点B在点N的左侧
∴点A表示的数为2＋4＝6，点B表示的数为2－4＝﹣2，即点A表示的数为6，点B表示的数为﹣2，
故答案为：6，﹣2
(2)解：当点M在点A的右侧时，如图1所示，
∵ C是AM的中点，CM＝1，∴AM＝2CM＝2，∴点M表示的数是6＋2＝8；
当点M在点A的左侧时，如图2所示，
∵ C是AM的中点，CM＝1，∴AM＝2CM＝2，
∴点M表示的数是6－2＝4．故点M表示的数是8或4；
(3)解：当点P在点Q的右侧，即点P还没追上点Q时，如图3，
由题意得t＋4－2t＝3，解得t＝1，
当点P在点Q的左侧，即点P追上点Q并超过点Q时，如图4所示，
由题意得2t－t－4＝3，解得t＝7，
∴点P、Q之间的距离为3时，运动时间t＝1秒或7秒．
类型二、定值问题
例1．已知：a是单项式-xy2的系数，b是最小的正整数，c是多项式2m2n－m3n2－m－2的次数．请回答下列问题：
(1)请直接写出a、b、c的值．a＝ ，b＝ ，c＝ ．
(2)数轴上，a、b、c三个数所对应的点分别为A、B、C，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC．
①t秒钟过后，AC的长度为 (用含t的关系式表示)；
②请问：BC-AB的值是否会随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．
【答案】(1)-1，1，5；(2)①4t＋6；②不会变化，2
【解析】(1)解：由题意得，
单项式-xy2的系数a＝-1，最小的正整数b＝1，
多项式2m2n-m3n2-m-2的次数c＝5；
故答案为：-1，1，5
(2)①t秒后点A对应的数为a-t，点B对应的数为b＋t，点C对应的数为c＋3t，
故AC＝|c＋3t-a＋t|＝|5＋4t＋1|＝6＋4t；
故答案为：6＋4t
②∵BC＝5＋3t-(1＋t)＝4＋2t，
AB＝1＋t-(-1-t)＝2＋2t；
∴BC-AB＝4＋2t-2-2t＝2，
故BC-AB的值不会随时间t的变化而改变．其值为2．
【变式训练1】如图，已知数轴上点A表示的数为12，B是数轴上一点．且．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．
(1)写出数轴上点B表示的数___，点P表示的数___(用含t的代数式表示)；
(2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q；
(3)若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．
【答案】(1)﹣8，12﹣5t；(2)点P运动10秒时追上点Q；
(3)线段MN的长度不发生变化，都等于10；理由见解析．
【解析】(1)解：∵点A表示的数为12，B在A点左边，AB=20，
∴点B表示的数是12-20=-8，
∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为t(t＞0)秒，
∴点P表示的数是12-5t．故答案为：-8，12-5t；
(2)解：设点P运动x秒追上点Q，Q表示的数是-8-3t，
根据题意得：12-5x=-8-3x，解得：x=10，
∴点P运动10秒时追上点Q；
(3)解：线段MN的长度不发生变化，都等于10；理由如下：
∵点A表示的数为12，点P表示的数是12-5t，M为AP的中点，
∴M表示的数是，
∵点B表示的数是-8，点P表示的数是12-5t，N为PB的中点，
∴N表示的数是，
∴MN=(12-t)-(2-t)=10．
【变式训练2】如图，已知数轴上点A表示的数为9，B是数轴负方向上一点，且．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为秒．
(1)数轴上点B表示的数为_____，点P表示的数为________；(用含t的代数式表示)
(2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，问t为何值时，点P追上点Q？此时P点表示的数是多少？
(3)若点M是线段的中点，点N是线段的中点．点P在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出的长度；
【答案】(1)，；(2)－16；(3)不发生变化，
【解析】(1)解：∵数轴上点A表示的数为8，且AB=14，
∴点B表示的数为−6，
点P表示的数为，
故答案为：，．
(2)解：设点P运动t秒时，在点C处追上点Q，如图，则，
因为，所以．解得．
所以点P运动5秒时，在点C处追上点Q．
当时，．此时P点表示的数是．
(3)解：不发生变化．理由是：
因为M是线段的中点，N是线段的中点，所以．
分两种情况：①当点P在点A、B两点之间运动时，如图所示，
所以．
②当点P运动到点B的左侧时，如图所示，
所以．
综上所述，线段的长度不发生变化，其值为．
【变式训练3】点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，且a、b满足．
(1)如图1，求线段AB的长；
(2)若点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的根，在数轴上是否存在点P使，若存在，求出点P对应的数，若不存在，说明理由；
(3)如图2，点P在B点右侧，PA的中点为M，N为PB靠近于B点的四等分点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①的值不变；②的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并直接写出该值．
【答案】(1)4；(2)存在，当点P表示的数为-1.5或3.5时，；理由见解析
(3)结论①正确，=2
【解析】(1)解：∵|a+1|+(b-3)2=0，∴a+1=0，b-3=0，∴a=-1，b=3，
∴AB=|-1-3|=4．答：AB的长为4；
(2)解：存在，∵，∴x=-2，∴BC==5．
设点P在数轴上对应的数是m，∵，∴|m+1|+|m-3|=5，
令m+1=0，m-3=0，∴m=-1或m=3．
①当m≤-1时，-m-1+3-m=5，m=-1.5；
②当-1＜m≤3时，m+1+3-m=5，(舍去)；
③当m＞3时，m+1+m-3=5，m=3.5．∴当点P表示的数为-1.5或3.5时，；
(3)解：设P点所表示的数为n，∴PA=n+1，PB=n-3．
∵PA的中点为M，∴PM=PA=．
∵N为PB的四等分点且靠近于B点，∴BN=PB=，∴①PM-2BN=-2×=2(不变)，
②PM+BN=+×=(随点P的变化而变化)，
∴正确的结论为①，且PM-2BN=2．
类型三、点之间的位置关系问题
例1．如图，已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．设点P的运动时间为t秒．
(1)解决问题：
①当时，写出数轴上点B，P所表示的数；
②若点P，Q分别从A，B两点同时出发，问点P运动多少秒与点Q相距3个单位长度？
(2)探索问题：若M为AQ的中点，N为BP的中点．当点P在A，B两点之间运动时，探索线段MN与线段PQ的数量关系(写出过程)．
【答案】(1)①点B表示-4，点P表示5；②1.8秒或3秒
(2)2MN+PQ=12或2MN-PQ=12，过程见解析
【解析】(1)解：①∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=12，∴点B表示的数是8-12=-4，
∵动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴点P表示的数是8-3×1=5．
②设点P运动x秒时，与Q相距3个单位长度，
则AP=3x，BQ=2x，
∵AP+BQ=AB-3，∴3x+2x=9，解得：x=1.8，
∵AP+BQ=AB+3，∴3x+2x=15，解得：x=3．
∴点P运动1.8秒或3秒时与点Q相距3个单位长度．
(2)2MN+PQ=12或2MN-PQ=12；理由如下：
P在Q右侧时有：MN=MQ+NP-PQ=AQ+BP-PQ=(AQ+BP-PQ)-PQ=AB-PQ=(12-PQ)，
即2MN+PQ=12．
同理P在Q左侧时有：2MN-PQ=12．
例2.如图，在数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b，C点表示的数为c，b是最大的负整数，且a，c满足|a+3|+(c﹣9)2＝0．点P从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点A后立刻返回到点C，到达点C后再返回到点A并停止．
(1)a＝ ，b＝ ；
(2)点P从点B离开后，在点P第二次到达点B的过程中，经过x秒钟，PA+PB+PC＝13，求x的值．
(3)点P从点B出发的同时，数轴上的动点M，N分别从点A和点C同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设t秒钟时，P、M、N三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的t的值．
【答案】(1)﹣3，﹣1；(2)或1或或；(3)1，，，8．
【解析】(1)解：b是最大的负整数，即b=﹣1，|a+3|+(c﹣9)2＝0，
∴|a+3|=0，(c﹣9)2＝0，∴a=﹣3，c=9，故答案为：﹣3，﹣1；
(2)解：AB=2，BC=10，AC=12，PA+PB+PC＝13，PA+PC=12，则PB=1，
∴此时P点位置为﹣2或0，根据P的运动轨迹得：
由B到A时：x=1÷3=，由A到B时：x=3÷3=1，由B到C时：x=5÷3=，
由C到B时：x=23÷3=；故x的值为:或1或或．
(3)解：当P点由B到A运动时P=﹣3t－1(0≤t＜)，
当P点由A到C运动时P=﹣3＋(3t－2)=3t－5(≤t＜)，
当P点由C到B运动时P=9－(3t－14)=﹣3t＋23(≤t≤8)，
当M点由A到C运动时M=4t－3，当N点由C到A运动时N=﹣5t＋9，
PM相遇时3t＋4t=2，t=，MN相遇时4t＋5t=12，t=，PN相遇时3t＋5t=12＋2，t=，
0≤t＜，P在中间，则4t－3﹣5t＋9=2(﹣3t－1)解得t=﹣舍去；
＜t＜，M在中间，则﹣5t＋9﹣3t－1=2(4t－3)解得t=舍去；
≤t＜，M在中间，则﹣5t＋9＋3t－5=2(4t－3)解得t=1；
＜t＜，N在中间，则4t－3＋3t－5=2(﹣5t＋9)解得t=；
＜t＜，P在中间，则4t－3﹣5t＋9=2(3t－5)解得t=；
≤t≤8，P在中间，则4t－3﹣5t＋9=2(﹣3t＋23)解得t=8；故t的值为：1，，，8．
【变式训练1】如图，已知A、B、C是数轴上三点，点O为原点，点C表示的数为6，BC＝4， AB＝12．
(1)写出数轴上点A、B表示的数；
(2)动点P、Q分别从A、C同时出发，沿数轴向右匀速运动．点P的速度是每秒6个单位长度，点Q的速度是每秒3个单位长度，点M为AP的中点，点N在线段CQ上，且CN＝CQ，设运动时间为t(t＞0)秒．
①求数轴上点M、N表示的数(用含t的式子表示)；
②当M、B、N三个点中的其中一个点是另两点构成的线段的中点的时候，求t的值．
【答案】(1)A点表示-10， B表示2，
(2)①点M表示的数为：-10+3t，点N表示的数为：6+t，②t的值为：2秒或秒或20秒；
【解析】(1)解：∵O为原点，C表示6，BC=4，∴B表示2，∵AB=12，∴A点表示-10；
(2)解：①∵点P从A点以每秒6个单位长度沿数轴向右匀速运动，∴P点表示的数为-10+6t，
∵点M为AP的中点，∴点M表示的数为：(-10-10+6t)=-10+3t，
∵点Q从C点以每秒3个单位长度沿数轴向右匀速运动，
∴Q点表示的数为6+3t，
∵点N为CQ，∴点N表示的数为：6+×(6+3t-6)=6+t，
②当M是B、N中点，B点在左侧时，BM=MN，即-10+3t-2=6+t-(-10+3t)，解得：t=，
当B是M、N中点，M点在左侧时，BM=BN，即2-(-10+3t)=6+t-2，解得：t=2，
当N是B、M中点，B点在左侧时，BN=MN，即6+t-2=-10+3t-(6+t)，解得：t=20，
∴t的值为：2秒或秒或20秒；
【变式训练2】已知，如图1：数轴上有A、B、C三点，点A表示的数为－5， 点B表示的数为13， 点C表示的数为－2，将一条长为9个单位长度的线段MN放在该数轴上(点M在点N的左边)．
(1)求线段AB中点表示的数；
(2)如图2：若从点M与点A重合开始，将线段MN以0.3个单位长度/秒的速度沿数轴向右移动，经过x秒后，点N恰为线段BC的中点，求x的值；
(3)如图3：在(2)的基础上，若线段MN向右移动的同时，动点P从点C开始以0.6个单位长度/秒的速度也沿数轴向右移动，设移动的时间为t秒，当P、N、B三个点中恰有一个点为另两个点所组成线段的中点时，求t的值．
【答案】(1)4；(2)5；(3)或
【解析】(1)解：线段AB中点表示的数为，∴线段AB中点表示的数为4；
(2)解：点N表示的数为：-5+9=4
线段BC中点表示的数为：
根据题意，得4+0.3x=5.5，解得：x=5，
∴点N恰为线段BC的中点重合时，x的值为5；
(3)解：当点N恰为线段BP的中点时，根据题意，得，方程无解，
当点P恰为线段BN的中点时，根据题意，得，解得：t=，
当点B恰为线段PN的中点时，根据题意，得，解得：t=，
综上，当P、N、B三个点中恰有一个点为另两个点所组成线段的中点时，t的值为或．
【变式训练3】已知A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离的2倍，我们就称点C是的优点．
例如：如图1，A，B为数轴上两点，点A表示的数为－1，点B表示的数为2，表示数1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的优点；表示数0的点D到点C的距离是1，到点B的距离是2，那么点D是的优点．
(1)在图1中，点C是的优点，也是(A，_____________)的优点；点D是的优点，也是(B，_____________)的优点；
(2)如图2，A，B为数轴上两点，点A所表示的数为－2，点B所表示的数为4．设数所表示的点是的优点，求的值；
(3)如图3，A，B为数轴两点，点A所表的数为－20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁Р从点B出发，以5个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止，设点Р的运动时间为t秒，在点Р运动过程中，是否存在P、A和B中恰有一个点为其余两点的优点﹖如果存在请求出t的值；如果不存在，说明理由．
【答案】(1)D，A；(2)10或2；(3)当或或时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的优点
【解析】(1)解：A，B为数轴上两点，点A表示的数为－1，点D表示的数为0，表示数1的点C到点A的距离是2，到点D的距离是1，那么点C是的优点；表示数0的点D到点B的距离是2，到点A的距离是1，那么点D是A的优点，
故答案为：D；A；
(2)解：由题意得，
∴或，
解得或；
(3)解：由题意得运动t秒时点P表示的数为，
∴，，，
当A是(B，P)的优点时，
∴，
解得；
当B为(A，P)的优点时，
解得；
当P为(A、B)的优点时，
解得；
当P为(B，A)的优点时，
解得；
综上所述，当或或时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的优点