高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.1 任意角和弧度制同步训练题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.1 任意角和弧度制同步训练题，共21页。

TOC \ "1-3" \h \z \t "正文,1"
\l "_Tc120545927" 【考点1：任意角的概念与终边相同角】 PAGEREF _Tc120545927 \h 1
\l "_Tc120545928" 【考点2：象限角】 PAGEREF _Tc120545928 \h 2
\l "_Tc120545929" 【考点3：弧度制】 PAGEREF _Tc120545929 \h 3
\l "_Tc120545930" 【考点4：弧长公式与扇形的面积公式】 PAGEREF _Tc120545930 \h 5
【考点1：任意角的概念与终边相同角】
【知识点：任意角的概念与终边相同角】
1．角的分类
角的分类eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al(按旋转方向,不同分类)\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(正角：按逆时针方向旋转形成的角,负角：按顺时针方向旋转形成的角,零角：射线没有旋转)),\a\vs4\al(按终边位置,不同分类)\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(象限角：角的终边在第几象限，这, 个角就是第几象限角,轴线角：角的终边落在坐标轴上))))
2．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
1．（2022·全国·高三专题练习）将分针拨慢5分钟，则分针转过的角是（ ）
A．60°B．−60°C．30°D．−30°
2．（2022·全国·高三专题练习）喜洋洋从家步行到学校，一般需要10分钟，则10分钟时间钟表的分针走过的角度是（ ）
A．30°B．﹣30°C．60°D．﹣60°
3．（2022·江苏·南京市第十三中学高一阶段练习）与﹣460°角终边相同的角可以表示为（ ）
A．k⋅360°+260°,k∈Z B．k⋅360°+100°,k∈Z
C．k⋅360°+460°,k∈ZD．k⋅360°−260°,k∈Z
4．（2022·浙江大学附属中学高一期末）下列选项中与角α=−30°终边相同的角是（ ）
A．30∘B．240∘C．390∘D．330∘
5．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）已知角α=k⋅180°−2002°,k∈Z，则符合条件的最大负角为（ ）
A．–22 ºB．–220 ºC．–202 ºD．–158 º
6．（2022·全国·高三专题练习）将−885∘化为α+k⋅360∘k∈Z,α∈0∘,360∘的形式是（ ）
A．−165°+−2×360°B．195°+−3×360°
C．195°+−2×360°D．165°+−3×360°
7．（2022·山东东营·高一期中）与2022∘终边相同的角是（ ）
A．−138∘B．−72∘C．42∘D．222∘
8．（2022·全国·高一课时练习）将一条射线绕着其端点顺时针旋转198∘，再逆时针旋转80∘，最后形成的角的度数为______．
9．（2022·上海市七宝中学附属鑫都实验中学高一期末）与2023∘终边相同的最小正角是______．
10．（2022·黑龙江·齐齐哈尔三立高级中学有限公司高三阶段练习）在0°到360∘范围内，与405∘终边相同的角为___________.
【考点2：象限角】
【知识点：象限角】
[方法技巧] 确定eq \f(α,n)(n≥2，n∈N*)终边位置的方法步骤
1．（2022·江西·修水中等专业学校高三阶段练习）第二象限的角都是钝角．_____
2．（2022·辽宁·东北育才学校高一期中）2022°是第（ ）象限角．
A．一B．二C．三D．四
3．（2022·安徽·高三阶段练习）设角θ是第一象限角，且满足csθ2=-csθ2，则θ2的终边所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
4．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．第二象限的角是钝角B．第二象限的角必大于第一象限的角
C．−150°是第二象限的角D．−252°16',467°44',1187°44'是终边相同的角
5．（2022·全国·高一课时练习）已知角α的终边与5π3的终边重合，则α3的终边不可能在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．（2022·江西上饶·高一阶段练习）若α是第二象限角，则（ ）
A．π−α是第一象限角B．α2是第一或第三象限角
C．3π2+α是第二象限角D．−α是第三或第四象限角
7．（2022·全国·高一课时练习）若α是第二象限角，则180°－α是第______象限角．
8．（2022·全国·高一课时练习）若α=k⋅360∘+24∘，k∈Z，试确定2α，α2分别是第几象限角．
【考点3：弧度制】
【知识点：弧度制】
1．弧度制的定义
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
2．角度制与弧度制的转化：①1°＝eq \f(π,180) rad；②1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°
1．（2022·全国·高一课时练习）将时钟拨快10分钟，则分针转过的弧度是（ ）
A．π3B．−π3C．π6D．−π6
2．（2022·江西上饶·高一阶段练习）如图所示的时钟显示的时刻为4：30，此时时针与分针的夹角为α(0<α≤π).则α=（ ）
A．π2B．π4C．π8D．π16
3．（2022·陕西·渭南高级中学高一阶段练习）若角α=3rad，则角α是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
4．（2022·全国·高一专题练习）已知集合M=xx=kπ4+π2,k∈Z，N=xx=kπ2+π4,k∈Z，则（ ）
A．N⊆MB．M⊆N
C．M=ND．M∩N=∅
5．（2022·江西·修水中等专业学校高三阶段练习）设r为圆的半径，弧长为πr的圆弧所对的圆心角为（ ）
A．90°B．180°C．270°D．360°
6．（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）315°角的弧度数为（ ）
A．3π4B．7π4C．−π4D．5π4
7．（2022·辽宁实验中学高二开学考试）下面关于弧度的说法，错误的是（ ）
A．弧长与半径的比值是圆心角的弧度数
B．一个角的角度数为n，弧度数为α，则n180=απ.
C．长度等于半径的3倍的弦所对的圆心角的弧度数为2π3
D．航海罗盘半径为10cm，将圆周32等分，每一份的弧长为5π16cm.
8．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．
（1）“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．( )
（2）用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．( )
（3）1°的角是周角的1360，1rad的角是周角的12π．( )
（4）1rad的角比1°的角要大．( )
9．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习）下列说法不正确的是( )
A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角
B．cs2<0
C．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角
D．若sinα=sinβ，则α与β的终边相同
10．（2021·江苏省太湖高级中学高一阶段练习）下列结论中正确的是（ ）
A．终边经过点m,mm>0的角的集合是αα=π4+2kπ,k∈Z；
B．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是π3；
C．若α是第三象限角，则α2是第二象限角，2α为第一或第二象限角；
D．M=xx=45°+k⋅90°,k∈Z，N=yy=90°+k⋅45°,k∈Z，则M⊆N
11．（2021·上海市光明中学高一期中）将角度换算成弧度：100°=____________rad.
12．（2022·全国·高一课时练习）若两个角的差为1弧度，和为1°，则这两个角的弧度数分别为______．
13．（2022·全国·高一课时练习）把弧度化成角度：（1）3π10rad=______；（2）2rad=______．
【考点4：弧长公式与扇形的面积公式】
【知识点：弧长公式与扇形的面积公式】
1．（2023·广东·高三学业考试）一个扇形的弧长与面积的数值都是3，则该扇形圆心角的弧度数为（ ）
A．12B．23C．32D．2
2．（2021·天津·高一期末）已知扇形AOB的面积为8，且圆心角弧度数为2，则扇形AOB的周长为（ ）
A．32B．24C．62D．82
3．（2022·上海市向明中学高一期末）已知扇形的周长为6cm，半径为2cm，则该扇形的面积是___________cm2.
4．（2022·上海市嘉定区第一中学高二期中）已知扇形的中心角为2弧度，扇形的半径为3，则此扇形的弧长为___________.
5．（2022·上海市延安中学高三期中）已知扇形的圆心角为π3，其弧长为π，则此扇形的面积为_________.（结果保留π）
6．（2022·江西赣州·高三期中（文））古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为60cm，内弧线的长为20cm，连接外弧与内弧的两端的线段均为18cm，则该扇形的中心角的弧度数为____________．
7．（2022·安徽·六安一中高三阶段练习）已知扇形的周长为20cm，则当扇形的圆心角α=________扇形面积最大．
8．（2021·上海市光明中学高一期中）若扇形周长是一定值C（C>0），当α为多少弧度时，该扇形面积有最大值？并求出这个最大值.
9．（2022·上海外国语大学附属大境中学高二期中）有一个圆锥形漏斗，其底面直径是10cm，母线长为20cm，在漏斗口的点P处用一根绳子将漏斗挂在墙面上，当绳子的长度最短时，可以紧紧地箍住漏斗，不会上下滑动，求此时绳子的长度.
10．（2022·全国·高三专题练习）已知扇形的圆心角是α，半径是r，弧长为l.
(1)若α=100°,r=2，求扇形的面积；
(2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．讨论法
(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围；
(2)写出eq \f(α,n)的范围；
(3)根据k的可能取值讨论确定eq \f(α,n)的终边所在位置
等分象
限角法
已知角α是第m(m＝1,2,3,4)象限角，求eq \f(α,n)是第几象限角．
(1)等分：将每个象限分成n等份；
(2)标注：从x轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4，直至回到x轴正半轴；
(3)选答：出现数字m的区域，即为eq \f(α,n)的终边所在的象限
角α的弧度数公式
|α|＝eq \f(l,r)(弧长用l表示)
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2
专题5.1 任意角与弧度制
TOC \ "1-3" \h \z \t "正文,1"
\l "_Tc120545927" 【考点1：任意角的概念与终边相同角】 PAGEREF _Tc120545927 \h 1
\l "_Tc120545928" 【考点2：象限角】 PAGEREF _Tc120545928 \h 4
\l "_Tc120545929" 【考点3：弧度制】 PAGEREF _Tc120545929 \h 7
\l "_Tc120545930" 【考点4：弧长公式与扇形的面积公式】 PAGEREF _Tc120545930 \h 12
【考点1：任意角的概念与终边相同角】
【知识点：任意角的概念与终边相同角】
1．角的分类
角的分类eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al(按旋转方向,不同分类)\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(正角：按逆时针方向旋转形成的角,负角：按顺时针方向旋转形成的角,零角：射线没有旋转)),\a\vs4\al(按终边位置,不同分类)\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(象限角：角的终边在第几象限，这, 个角就是第几象限角,轴线角：角的终边落在坐标轴上))))
2．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
1．（2022·全国·高三专题练习）将分针拨慢5分钟，则分针转过的角是（ ）
A．60°B．−60°C．30°D．−30°
【答案】C
【分析】根据任意角的概念计算可得.
【详解】解：将分针拨慢是逆时针旋转，所以分针拨慢5分钟，转过的角为560×360°=30°．
故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）喜洋洋从家步行到学校，一般需要10分钟，则10分钟时间钟表的分针走过的角度是（ ）
A．30°B．﹣30°C．60°D．﹣60°
【答案】D
【分析】根据分针旋转方向结合任意角的定义即可求出
【详解】因为分针为顺时针旋转，所以10分钟时间钟表的分针走过的角度是 −360°6=−60°.
故选：D．
3．（2022·江苏·南京市第十三中学高一阶段练习）与﹣460°角终边相同的角可以表示为（ ）
A．k⋅360°+260°,k∈Z B．k⋅360°+100°,k∈Z
C．k⋅360°+460°,k∈ZD．k⋅360°−260°,k∈Z
【答案】A
【分析】先求出相近的终边相同的角，即可判断.
【详解】与﹣460°角终边相同的角为−100°, 260°, 620°，故与﹣460°角终边相同的角可以表示为k⋅360°+260°,k∈Z.
故选：A
4．（2022·浙江大学附属中学高一期末）下列选项中与角α=−30°终边相同的角是（ ）
A．30∘B．240∘C．390∘D．330∘
【答案】D
【分析】写出与角α=−30∘终边相同的角的集合，取k值得答案.
【详解】解：与角α=−30∘终边相同的角的集合为{β|β=−30∘+k×360∘,k∈Z}，
取k=1时，β=−30∘+1×360∘=330∘.
故选：D
5．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）已知角α=k⋅180°−2002°,k∈Z，则符合条件的最大负角为（ ）
A．–22 ºB．–220 ºC．–202 ºD．–158 º
【答案】A
【分析】由α=k⋅180°−2002°<0，求出k的范围，即可求解
【详解】因为α=k⋅180°−2002°<0，
所以k<11+1190，
又k∈Z，
所以当k=11时，最大负角为−22°，
故选：A
6．（2022·全国·高三专题练习）将−885∘化为α+k⋅360∘k∈Z,α∈0∘,360∘的形式是（ ）
A．−165°+−2×360°B．195°+−3×360°
C．195°+−2×360°D．165°+−3×360°
【答案】B
【分析】直接由终边相同的角的概念求解即可.
【详解】由α∈0°,360°知−885∘=195∘−1080∘=195°+−3×360°.
故选：B.
7．（2022·山东东营·高一期中）与2022∘终边相同的角是（ ）
A．−138∘B．−72∘C．42∘D．222∘
【答案】AD
【分析】根据终边相同的角的公式，将所有角转化为终边落在0∘,360∘之间的角.
【详解】∵2022∘=222∘+5×360∘，又−138∘=222∘−360∘，−72°=288°−360°，
∴选项中只有−138∘和222∘与与2022∘终边相同.
故选：AD.
8．（2022·全国·高一课时练习）将一条射线绕着其端点顺时针旋转198∘，再逆时针旋转80∘，最后形成的角的度数为______．
【答案】−118∘
【分析】根据正负角的定义可直接求得结果.
【详解】∵顺时针旋转所成的角为负角，逆时针旋转所成的角为正角，
∴经两次旋转后形成的角的度数为−198∘+80∘=−118∘．
故答案为：−118∘.
9．（2022·上海市七宝中学附属鑫都实验中学高一期末）与2023∘终边相同的最小正角是______．
【答案】223∘
【分析】用诱导公式（一）转化即可.
【详解】因为2023∘=5×360∘+223∘，所以与2023∘终边相同的最小正角是223∘.
故答案为：223∘.
10．（2022·黑龙江·齐齐哈尔三立高级中学有限公司高三阶段练习）在0°到360∘范围内，与405∘终边相同的角为___________.
【答案】45°
【分析】根据终边相同的角的表示，可得答案.
【详解】因为405∘=360∘+45∘，
所以在0° 到360∘范围内，与405∘终边相同的角为45°，
故答案为：45°
【考点2：象限角】
【知识点：象限角】
[方法技巧] 确定eq \f(α,n)(n≥2，n∈N*)终边位置的方法步骤
1．（2022·江西·修水中等专业学校高三阶段练习）第二象限的角都是钝角．_____
【答案】错误
【分析】利用象限角的概念，即可得出该命题为假命题.
【详解】设第二象限角为θ，第二象限角的范围是：π2+2kπ<θ<π+2kπ，k∈Z，
故8π3是第二象限角，但是，不是钝角，所以，题中的原命题是假命题.
故答案为：错误
2．（2022·辽宁·东北育才学校高一期中）2022°是第（ ）象限角．
A．一B．二C．三D．四
【答案】C
【分析】将2022°表示为k⋅360°+α（k∈Z）的形式，由此确定正确答案.
【详解】2022°=5×360°+222°，
所以2022°是第三象限角.
故选：C
3．（2022·安徽·高三阶段练习）设角θ是第一象限角，且满足csθ2=-csθ2，则θ2的终边所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】由角θ是第一象限角写出其范围，再写出其半角范围为kπ<θ2【详解】由角θ是第一象限角，有2kπ<θ<2kπ+π2k∈Z，可得kπ<θ2故选：C.
4．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．第二象限的角是钝角B．第二象限的角必大于第一象限的角
C．−150°是第二象限的角D．−252°16',467°44',1187°44'是终边相同的角
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合象限角的定义与终边相同的角的定义即可求解
【详解】对于A：当角为510°是，该角为第二象限角，但不是钝角，故A错误；
对于B：分别取第一象限的角为730°，第二象限角510°，
此时第一象限的角大于第二象限的角，故B错误；
对于C：−150°是第三象限的角，故C错误；
对于D：因为467°44'=−252°16'+2×360°,1187°44'=−252°16'+4×360°，
所以−252°16',467°44',1187°44'是终边相同的角，故D正确；
故选：D
5．（2022·全国·高一课时练习）已知角α的终边与5π3的终边重合，则α3的终边不可能在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】首先表示角α的取值，即可得到α3的取值，再对k分类讨论，即可得解.
【详解】解：因为角α的终边与5π3的终边重合，
所以α=5π3+2kπ，k∈Z，所以α3=5π9+23kπ，k∈Z，
令k=3n(n∈Z)，则α3=5π9+2nπ(n∈Z)，此时α3的终边位于第二象限；
令k=3n+1(n∈Z)，则α3=11π9+2nπ(n∈Z)，此时α3的终边位于第三象限；
令k=3n+2(n∈Z)，则α3=17π9+2nπ(n∈Z)，此时α3的终边位于第四象限．
所以α3的终边不可能在第一象限，
故选：A．
6．（2022·江西上饶·高一阶段练习）若α是第二象限角，则（ ）
A．π−α是第一象限角B．α2是第一或第三象限角
C．3π2+α是第二象限角D．−α是第三或第四象限角
【答案】AB
【分析】由α与−α关于x轴对称，即可判断AD；由已知可得π2+2kπ<α<π+2kπ，k∈Z，再根据不等式的性质可判断B；由3π2+α是第一象限角判断C．
【详解】解：因为α与−α关于x轴对称，而α是第二象限角，所以−α是第三象限角，
所以π−α是第一象限角，故A正确，D错误；
因为α是第二象限角，所以π2+2kπ<α<π+2kπ，k∈Z，所以π4+kπ<α2<π2+kπ，k∈Z，
故α2是第一或第三象限角，故 B正确；
因为α是第二象限角，所以3π2+α是第一象限角，故C错误．
故选：AB．
7．（2022·全国·高一课时练习）若α是第二象限角，则180°－α是第______象限角．
【答案】一
【分析】利用象限角的定义进行求解.
【详解】若α是第二象限角，则k⋅360∘+90∘<α所以−k⋅360∘−180∘<−α<−k⋅360∘−90∘，k∈Z，
即−k⋅360∘<180∘−α<−k⋅360∘+90∘，k∈Z，
所以180°－α是第一象限角．
故答案为：一.
8．（2022·全国·高一课时练习）若α=k⋅360∘+24∘，k∈Z，试确定2α，α2分别是第几象限角．
【答案】2α为第一象限角；α2为第一或第三象限角
【分析】分别求得2α和α2，根据对k的取值的讨论可求得结果.
【详解】由α=k⋅360∘+24∘得：2α=2k⋅360∘+48∘k∈Z，∴2α为第一象限角；
由α=k⋅360∘+24∘得：α2=k⋅360∘2+12∘k∈Z，
当k=2nn∈Z时，α2=n⋅360∘+12∘n∈Z，则α2为第一象限角；
当k=2n+1n∈Z时，α2=n⋅360∘+192∘n∈Z，则α2为第三象限角；
综上所述：2α为第一象限角；α2为第一或第三象限角.
【考点3：弧度制】
【知识点：弧度制】
1．弧度制的定义
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
2．角度制与弧度制的转化：①1°＝eq \f(π,180) rad；②1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°
1．（2022·全国·高一课时练习）将时钟拨快10分钟，则分针转过的弧度是（ ）
A．π3B．−π3C．π6D．−π6
【答案】B
【分析】将分针拨快10分钟，则分针顺时针旋转即为负角，且角度为圆周的16，即可求得弧度.
【详解】将分针拨快10分钟，即分针顺时针旋转圆周的16，
分针转过的弧度为−1060×2π=−π3．
故选：B
2．（2022·江西上饶·高一阶段练习）如图所示的时钟显示的时刻为4：30，此时时针与分针的夹角为α(0<α≤π).则α=（ ）
A．π2B．π4C．π8D．π16
【答案】B
【分析】由图可知α为周角的18，计算可得结果．
【详解】解：由图可知，α=18×2π=π4．
故选：B．
3．（2022·陕西·渭南高级中学高一阶段练习）若角α=3rad，则角α是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】B
【分析】根据象限角的定义判断．
【详解】因为π2<3<π，所以3rad是第二象限角．
故选：B．
4．（2022·全国·高一专题练习）已知集合M=xx=kπ4+π2,k∈Z，N=xx=kπ2+π4,k∈Z，则（ ）
A．N⊆MB．M⊆N
C．M=ND．M∩N=∅
【答案】A
【分析】利用集合的基本关系求解
【详解】解：因为M=xx=kπ4+π2,k∈Z=xx=k+2π4,k∈Z，N=xx=2k+1π4,k∈Z，
当k∈Z时，2k+1是奇数，k+2是整数，所以N⊆M．
故选：A．
5．（2022·江西·修水中等专业学校高三阶段练习）设r为圆的半径，弧长为πr的圆弧所对的圆心角为（ ）
A．90°B．180°C．270°D．360°
【答案】B
【分析】根据弧长、圆心角、半径的关系l=αr，代入求解，再转化为角度制即可.
【详解】由弧长、圆心角、半径的关系：l=αr，
弧长为πr的圆弧所对的圆心角：α=lr=πrr=π=180∘.
故选：B
6．（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）315°角的弧度数为（ ）
A．3π4B．7π4C．−π4D．5π4
【答案】B
【分析】利用公式可求315°角的弧度数.
【详解】315°角对应的弧度数为315180π=74π，
故选：B.
7．（2022·辽宁实验中学高二开学考试）下面关于弧度的说法，错误的是（ ）
A．弧长与半径的比值是圆心角的弧度数
B．一个角的角度数为n，弧度数为α，则n180=απ.
C．长度等于半径的3倍的弦所对的圆心角的弧度数为2π3
D．航海罗盘半径为10cm，将圆周32等分，每一份的弧长为5π16cm.
【答案】D
【分析】根据弧度制与角度制的定义，以及转化关系，即可判断选项.
【详解】A.根据弧度数定义可知A正确；
B.根据弧度与角度的转化关系，可知B正确；
C.根据三角形关系可知，长度等于半径的3倍的弦所对的圆心角为120∘，即弧度数为2π3，故C正确；
D.圆周长为2πr=20πcm，32等分后，每一份弧长为5π8cm，故D错误.
故选：D
8．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．
（1）“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．( )
（2）用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．( )
（3）1°的角是周角的1360，1rad的角是周角的12π．( )
（4）1rad的角比1°的角要大．( )
【答案】 √ × √ √
【详解】（1）“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，故正确；
（2）弧度制度量角与两边夹角有关，与半径无关，故错误；
（3）1°的角是周角的1360，1rad的角是周角的12π，故正确；
（4）1°=π180rad<1rad，故正确.
9．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习）下列说法不正确的是( )
A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角
B．cs2<0
C．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角
D．若sinα=sinβ，则α与β的终边相同
【答案】ACD
【分析】根据任意角的基本概念和三角函数定义即可逐项判断．
【详解】对于选项A，三角形内角范围是0，π，其中90°不属于象限角，故A错误；
对于选项B，大小为2的角终边在第二象限，故cs2＜0，故B正确；
对于选项C，1弧度的角是长为半径的“弧”所对的圆心角，故C错误；
对于选项D，若sinα=sinβ，则α和β的终边相同或关于y轴对称，故D错误．
故选：ACD．
10．（2021·江苏省太湖高级中学高一阶段练习）下列结论中正确的是（ ）
A．终边经过点m,mm>0的角的集合是αα=π4+2kπ,k∈Z；
B．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是π3；
C．若α是第三象限角，则α2是第二象限角，2α为第一或第二象限角；
D．M=xx=45°+k⋅90°,k∈Z，N=yy=90°+k⋅45°,k∈Z，则M⊆N
【答案】ABD
【分析】直接以角的表示方法，象限角的概念，集合间的关系求出结果.
【详解】A.终边经过点m,mm>0的角的终边在第一象限平分线上，故角的集合是αα=π4+2kπ,k∈Z，所以A正确；
B. 将表的分针拨慢10分钟，按逆时针旋转，则分针转过的角度为60°，对应弧度数是π3，所以B正确；
C.因为α是第三象限角，即2kπ+π<α<2kπ+3π2,k∈Z，所以kπ+π2<α2D. M=xx=45°+k⋅90°,k∈Z=xx=(2k+1)⋅45°,k∈Z，
N=yy=90°+k⋅45°,k∈Z=yy=(2+k)⋅45°,k∈Z，易知M⊆N，所以D正确；
故选：ABD.
11．（2021·上海市光明中学高一期中）将角度换算成弧度：100°=____________rad.
【答案】59π
【分析】根据角度制与弧度制的互化计算即可.
【详解】解：100°=100×π180=5π9.
故答案为：59π.
12．（2022·全国·高一课时练习）若两个角的差为1弧度，和为1°，则这两个角的弧度数分别为______．
【答案】π360+12；π360−12
【分析】设这两个角的弧度数分别为α，β，先将1° 化为弧度，然后由条件可得方程α−β=1α+β=π180，解出方程可得到答案.
【详解】设这两个角的弧度数分别为α，β，α>β，因为1°=π180rad，
所以α−β=1α+β=π180，则α=π360+12β=π360−12，即这两个角的弧度数分别为π360+12，π360−12．
故答案为：π360+12，π360−12
13．（2022·全国·高一课时练习）把弧度化成角度：（1）3π10rad=______；（2）2rad=______．
【答案】 54° 360π°
【分析】根据结论πrad=180∘将弧度转化为度即可.
【详解】（1）3π10rad=3π10×180π°=54°，
（2）2rad=2×180π°=360π°，
故答案为：54°，360π°.
【考点4：弧长公式与扇形的面积公式】
【知识点：弧长公式与扇形的面积公式】
1．（2023·广东·高三学业考试）一个扇形的弧长与面积的数值都是3，则该扇形圆心角的弧度数为（ ）
A．12B．23C．32D．2
【答案】C
【分析】由扇形的弧长公式和面积公式列方程组求解．
【详解】设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，则αr=3,12αr2=3,解得r=2,α=32
故选：C．
2．（2021·天津·高一期末）已知扇形AOB的面积为8，且圆心角弧度数为2，则扇形AOB的周长为（ ）
A．32B．24C．62D．82
【答案】D
【分析】根据扇形面积和弧长公式即可求解.
【详解】圆心角α=2，扇形面积S=12αr2，
即8=12×2×r2，得半径r=22，
所以弧长l=αr=42，
故扇形AOB的周长L=l+2r=42+2×22=82.
故选：D
3．（2022·上海市向明中学高一期末）已知扇形的周长为6cm，半径为2cm，则该扇形的面积是___________cm2.
【答案】2
【分析】首先求出弧长，即可求出圆心角，再根据扇形面积公式计算可得.
【详解】解：因为扇形的周长为6cm，半径r=2cm，所以扇形的弧长为6−2×2=2cm，
设扇形的圆心角的弧度数为α，由弧长公式得2=2α，解得α=1，
所以该扇形的面积是12αr2=2cm2.
故答案为：2
4．（2022·上海市嘉定区第一中学高二期中）已知扇形的中心角为2弧度，扇形的半径为3，则此扇形的弧长为___________.
【答案】6
【分析】利用弧长公式l=αr求弧长.
【详解】因为扇形的中心角为2弧度，扇形半径为3，所以扇形的弧长l=2×3=6.
故答案为：6.
5．（2022·上海市延安中学高三期中）已知扇形的圆心角为π3，其弧长为π，则此扇形的面积为_________.（结果保留π）
【答案】32π
【分析】首先根据弧长公式求半径，再根据扇形面积公式，即可求解.
【详解】根据条件可知扇形所在圆的半径r=lα=ππ3=3，
此扇形的面积s=12lr=12×π×3=32π.
故答案为：32π
6．（2022·江西赣州·高三期中（文））古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为60cm，内弧线的长为20cm，连接外弧与内弧的两端的线段均为18cm，则该扇形的中心角的弧度数为____________．
【答案】209
【分析】根据扇形弧长与扇形的中心角的弧度数为α的关系，可求得OC=9cm，进而可得该扇形的中心角的弧度数.
【详解】解：如图，
依题意可得弧AB的长为60cm，弧CD的长为20cm，设扇形的中心角的弧度数为α
则AB=α⋅OA,CD=α⋅OC，则OAOC=6020=3，即OA=3OC．
因为AC=18cm，所以OC=9cm，所以该扇形的中心角的弧度数α=CDOC=209．
故答案为：209.
7．（2022·安徽·六安一中高三阶段练习）已知扇形的周长为20cm，则当扇形的圆心角α=________扇形面积最大．
【答案】2
【分析】由扇形周长公式列式2r+l=20(0【详解】设扇形的半径为r，弧长为l，
由题意，2r+l=20⇒l=20−2r(0扇形的面积为S=12lr=1220−2rr=10r−r2
=−r−52+250扇形面积取最大值25，此时l=20−10=10，
所以扇形的圆心角α=lr=105=2时，扇形面积最大.
故答案为：2
8．（2021·上海市光明中学高一期中）若扇形周长是一定值C（C>0），当α为多少弧度时，该扇形面积有最大值？并求出这个最大值.
【答案】当α=2 rad时，Smax=C216
【分析】设扇形的圆心角为α(α>0)弧度，所在圆的半径为R，由扇形的周长得到R=C2+α，再利用扇形的面积公式，基本不等式即可求解．
【详解】解：设扇形的圆心角为α(α>0)弧度，所在圆的半径为R，
则扇形的周长C=2R+l=2R+αR，
∴R=C2+α，
∴S扇=12α⋅R2=12αC2+α2=C22⋅14+α+4α≤C216．
当且仅当α=4α，即α=2rad时，扇形面积有最大值C216，即当α=2 rad时，Smax=C216．
9．（2022·上海外国语大学附属大境中学高二期中）有一个圆锥形漏斗，其底面直径是10cm，母线长为20cm，在漏斗口的点P处用一根绳子将漏斗挂在墙面上，当绳子的长度最短时，可以紧紧地箍住漏斗，不会上下滑动，求此时绳子的长度.
【答案】202cm
【分析】由圆锥的展开图可知，绳子是线段PP1时，绳子长度最短，根据扇形弧长公式可求圆心角，从而可求弦PP1的长度.
【详解】底面直径是10，则底面圆周长L=πd=10π，
即圆锥的展开图（如下图所示）中，弧PP1的长度为10π，
母线OP=20cm，故圆心角∠POP1=10π20=π2，
当绳子是线段PP1时，绳子长度最短,
在Rt△POP1中，PP1=202+202=202.
故绳子的长度为202cm.
10．（2022·全国·高三专题练习）已知扇形的圆心角是α，半径是r，弧长为l.
(1)若α=100°,r=2，求扇形的面积；
(2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．
【答案】(1)10π9
(2)最大值为25；α=2
【分析】（1）先把角度化为弧度，再利用扇形面积公式求解即可；
（2）由题意可知扇形的面积为S=12lr=1220−2r⋅r=−r−52+25，利用二次函数的的性质，结合弧度的定义即可求解
（1）
因为α=100°=100×π180=5π9，
所以扇形的面积为S=12lr=12αr2=12×5π9×4=10π9；
（2）
由题意可知：l+2r=20，即l=20−2r，
所以扇形的面积为S=12lr=1220−2r⋅r=−r−52+25，
当r=5时，扇形面积的最大值为25，
此时l=20−2×5=10，α=lr=105=2讨论法
(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围；
(2)写出eq \f(α,n)的范围；
(3)根据k的可能取值讨论确定eq \f(α,n)的终边所在位置
等分象
限角法
已知角α是第m(m＝1,2,3,4)象限角，求eq \f(α,n)是第几象限角．
(1)等分：将每个象限分成n等份；
(2)标注：从x轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4，直至回到x轴正半轴；
(3)选答：出现数字m的区域，即为eq \f(α,n)的终边所在的象限
角α的弧度数公式
|α|＝eq \f(l,r)(弧长用l表示)
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2