数学必修 第一册5.2 三角函数的概念同步训练题

这是一份数学必修 第一册5.2 三角函数的概念同步训练题，共22页。

TOC \ "1-3" \h \z \t "正文,1"
\l "_Tc121423968" 【考点1：三角函数的定义】 PAGEREF _Tc121423968 \h 1
\l "_Tc121423969" 【考点2：各象限角的三角函数符号】 PAGEREF _Tc121423969 \h 2
\l "_Tc121423970" 【考点3：三角函数线及其应用】 PAGEREF _Tc121423970 \h 3
\l "_Tc121423971" 【考点4：同角三角函数的基本关系】 PAGEREF _Tc121423971 \h 5
\l "_Tc121423972" 【考点5：同角三角函数基本关系式的应用技巧】 PAGEREF _Tc121423972 \h 6
【考点1：三角函数的定义】
【知识点：三角函数的定义】
[方法技巧]
利用定义求三角函数值问题的常见类型及解法
(1)已知角α终边上一点P的坐标，根据三角函数的定义求出相应的值即可．
(2)若已知角α的终边所在直线的方程求三角函数值，可以先设出终边上一点的坐标，再根据定义求相应的值．
(3)若角α终边上的点的坐标中含参数，要讨论参数的各种情况，以确定角α终边所在的象限，进一步正确得出各个三角函数值．此时注意不要漏解或多解．
[提醒] 认清角的终边所在的象限，以确定三角函数值的符号，防止出现错误．
1．（2021·陕西省神木中学高二阶段练习）若点3,−1是角θ的终边上一点，则csθ=（ ）
A．−12B．−32C．12D．32
2．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（文））设α是第二象限角，Px,8为其终边上的一点，且sinα=45，则x=（ ）
A．−3B．−4C．−6D．−10
3．（2022·广东·广州市第九十七中学高一阶段练习）已知角α的终边经过点P−5,n，且tanα=125，则csα的值为（ ）
A．513B．−513C．1213D．−1213
4．（2022·上海崇明·高一期末）已知角α终边经过点P(−3, y)，且tanα=43，则csα=______．
5．（2022·上海·格致中学高二阶段练习）已知角θ的终边经过点M(3m,1−m)，且tanθ=3，则实数m的值为______.
6．（2022·黑龙江· 铁力市马永顺中学校高二期中）若角α的终边过点P(m,−1)，且csα=−255，则m=__________.
7．（2022·上海市进才中学高三期中）已知角α的终边过点P−2,1，则sinα=__________.
8．（2022·北京市昌平区第二中学高三期中）角α以Ox为始边，它的终边与单位圆O相交于第四象限点P，且点P的横坐标为45，则tanα的值为______.
9．（2022·江西·南昌市第八中学高三阶段练习（文））已知函数fx=a2x−6+3（a>0且a≠1）的图象经过定点A，且点A在角θ的终边上，则sinθ−csθsinθ+csθ=______.
10．（2021·辽宁·阜新市第二高级中学高二期末）已知角 α 的终边与单位圆交于点P45,35．求sinα、csα、tanα的值；
【考点2：各象限角的三角函数符号】
【知识点：各象限角的三角函数符号】
1．（2022·上海·华东师范大学附属周浦中学高一期末）已知点M(tanα,−csα)在第三象限，则角α的终边在第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
2．（2022·陕西·永寿县中学高二阶段练习（文））若C为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ）
A．sinCB．csCC．tanCD．1tanC
3．（2019·江苏省新海高级中学高一期中）已知Pcs305∘,sin305∘，则点P在第（ ）象限
A．一B．二C．三D．四
4．（2022·湖南常德·高三阶段练习）下列结论不正确的是（ ）
A．sin2>0B．cs200°<0
C．tan200°>0D．tan(−3)<0
5．（2022·辽宁·东北育才学校高一期中）下列四个选项，正确的有（ ）
A．Ptanα,csα在第三象限，则α是第二象限角
B．已知扇形OAB的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为12
C．若角α的终边经过点a,2aa≠0，则sinα=255
D．sin3cs4tan5>0
6．（2021·上海市光明中学高一期中）若tanθ<0且sinθ>0，则θ是第____________象限角.
7．（2022·河北省文安县第一中学高一阶段练习）sinα>0是α的终边落在第一、二象限的_______________条件.（从 充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要 填空 ）
8．（2021·山西·太原市实验中学高一阶段练习）若角θ满足sinθ+csθ<−1，则θ的终边在第______象限.
9．（2022·上海·格致中学高一期中）已知θ是第四象限角，化简1−sin2θ=_______．
10．（2022·上海大学附属南翔高级中学高三期中）若|sinx|sinx+csx|csx|=0，则x是_____________象限角．
【考点3：三角函数线及其应用】
【知识点：三角函数线及其应用】
1．（2022·全国·高一课时练习）如图，角θ的顶点为原点，始边在x轴的非负半轴上，终边OB与单位圆交于点C.过点C作x轴的垂线，垂足为A，则有向线段AC表示的实数是（ ）
A．sinθB．csθC．tanθD．1tanθ
2．（2022·全国·高一课时练习）如图，已知点A是单位圆与x轴的交点，角α的终边与单位圆的交点为P，PM⊥x轴于M，过点A作单位圆的切线交角α的终边于T，则角α的正弦线､余弦线､正切线分别是（ ）
A．有向线段OM，AT，MPB．有向线段OM，MP，AT
C．有向线段MP，AT，OMD．有向线段MP，OM，AT
3．（2022·全国·高一课时练习）设MP，OM和AT分别是角13π18的正弦线、余弦线和正切线，则下列式子正确的是（ ）
A．MPC．AT4．（2022·全国·高一课时练习）下面四个选项中大小关系正确的是（ ）
A．sinπ5cs4π5
C．csπ55．（2022·河北邯郸·高三阶段练习）已知sinα>sinβ，那么下列命题正确的是（ ）
A．若角α、β是第一象限角，则csα>csβ
B．若角α、β是第二象限角，则tanβ>tanα
C．若角α、β是第三象限角，则csβ>csα
D．若角α、β是第四象限角，则tanα>tanβ
6．（2022·全国·高三专题练习）已知角α∈(0,π2)，则α,sinα,tanα的大小关系为__________．
【考点4：同角三角函数的基本关系】
【知识点：同角三角函数的基本关系】
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1(α∈R)．
(2)商数关系：tan α＝eq \f(sin α,cs α)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
1．（2021·吉林·高二学业考试）已知sinα=45，且α为第二象限角，则csα的值为（ ）
A．45B．−45C．35D．−35
2．（2022·北京·首都师范大学附属中学高三阶段练习）已知csx=13，x∈0,π，则tanx=（ ）
A．±22B．22C．−22D．223
3．（2022·山东·济南三中高一阶段练习）已知θ∈0,π，csθ=−35，则下列结论正确的是（ ）
A．θ∈π2,πB．sinθ−csθ=75
C．tanθ=−34D．tanθ1+tan2θ=−1225
4．（2021·上海市光明中学高一期中）已知0<α<π，sinα+csα=12，则csα=____________.
5．（2022·北京·北二外附属中学高一期中）根据下列条件，求三角函数值
(1)已知sinα=35，且α为第二象限角，求csα､tanα的值；
(2)已知tanα=−512，求sinα､csα的值．
【考点5：同角三角函数基本关系式的应用技巧】
【知识点：同角三角函数基本关系式的应用技巧】
1．（2022·四川·树德怀远中学高三开学考试（文））已知csα−3sinα=0，则2csα−sinαcsα+sinα的值为（ ）
A．−54B．−45C．54D．45
2．（2022·山东淄博·高三期中）已知θ为第三象限角，sinθ−csθ=−15，则csθ1−2sin2θsinθ+csθ=（ ）
A．−425B．−325C．325D．425
3．（2022·全国·高三专题练习）已知α∈−π2,π2，3sinα−csα=5，则tanα=______．
4．（2022·全国·高三专题练习）如果sinx+csx=15，且05．（2021·湖南·株洲市南方中学高一阶段练习）
（1）已知sinα=2csα，求sin2α+sinα⋅csα+3的值
（2）已知sinθ−csθ=15，当0<θ<π时，求tanθ的值.三角
函数
正弦
余弦
正切
定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
y叫做α的正弦，记作sin α
x叫做α的余弦，记作cs α
eq \f(y,x)叫做α的正切，记作tan α
三角
函数
正弦
余弦
正切
各象限符号
Ⅰ
＋
＋
＋
Ⅱ
＋
－
－
Ⅲ
－
－
＋
Ⅳ
－
＋
－
三角
函数
正弦
余弦
正切
三
角
函
数
线
有向线段MP为正弦线
有向线段OM为余弦线
有向线段AT为正切线
技巧
解读
适合题型
切弦互化
主要利用公式tan θ＝eq \f(sin θ,cs θ)化成正弦、余弦，或者利用公式eq \f(sin θ,cs θ)＝tan θ化成正切
表达式中含有sin θ，cs θ与tan θ
“1”的变换
1＝sin2θ＋cs2θ＝cs2θ(1＋tan2θ)＝(sin θ±cs θ)2∓2sin θcs θ＝taneq \f(π,4)
表达式中需要利用“1”转化
和积转换
利用关系式(sin θ±cs θ)2＝1±2sin θcs θ进行变形、转化
表达式中含有sin θ±cs θ或sin θcs θ
专题5.2 三角函数的概念与同角三角函数的基本关系
TOC \ "1-3" \h \z \t "正文,1"
\l "_Tc121423968" 【考点1：三角函数的定义】 PAGEREF _Tc121423968 \h 1
\l "_Tc121423969" 【考点2：各象限角的三角函数符号】 PAGEREF _Tc121423969 \h 5
\l "_Tc121423970" 【考点3：三角函数线及其应用】 PAGEREF _Tc121423970 \h 8
\l "_Tc121423971" 【考点4：同角三角函数的基本关系】 PAGEREF _Tc121423971 \h 12
\l "_Tc121423972" 【考点5：同角三角函数基本关系式的应用技巧】 PAGEREF _Tc121423972 \h 14
【考点1：三角函数的定义】
【知识点：三角函数的定义】
[方法技巧]
利用定义求三角函数值问题的常见类型及解法
(1)已知角α终边上一点P的坐标，根据三角函数的定义求出相应的值即可．
(2)若已知角α的终边所在直线的方程求三角函数值，可以先设出终边上一点的坐标，再根据定义求相应的值．
(3)若角α终边上的点的坐标中含参数，要讨论参数的各种情况，以确定角α终边所在的象限，进一步正确得出各个三角函数值．此时注意不要漏解或多解．
[提醒] 认清角的终边所在的象限，以确定三角函数值的符号，防止出现错误．
1．（2021·陕西省神木中学高二阶段练习）若点3,−1是角θ的终边上一点，则csθ=（ ）
A．−12B．−32C．12D．32
【答案】D
【分析】根据三角函数的定义可知，将数值代入csθ=xx2+y2计算可得结果.
【详解】由题意可知，将x=3,y=−1代入csθ=xx2+y2得
csθ=332+(−1)2=32，即csθ=32.
故选：D.
2．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（文））设α是第二象限角，Px,8为其终边上的一点，且sinα=45，则x=（ ）
A．−3B．−4C．−6D．−10
【答案】C
【分析】由任意角的三角函数定义即可求解
【详解】因为Px,8为其终边上的一点，且sinα=45，
所以sinα=8x2+82=45，解得x=±6，
因为α是第二象限角，所以x=−6，
故选：C
3．（2022·广东·广州市第九十七中学高一阶段练习）已知角α的终边经过点P−5,n，且tanα=125，则csα的值为（ ）
A．513B．−513C．1213D．−1213
【答案】B
【分析】由正切函数的定义可得n=−12，再根据余弦函数的定义求解即可.
【详解】解：因为tanα=125，
所以n−5=125，
解得n=−12，
所以csα=−5(−5)2+(−12)2=−513.
故选：B.
4．（2022·上海崇明·高一期末）已知角α终边经过点P(−3, y)，且tanα=43，则csα=______．
【答案】−35
【分析】由任意角的三角函数定义可得，tanα=yx及csα=xx2+y2
【详解】由tanα=y−3=43⇒y=−4，故csα=−332+42=−35.
故答案为：−35.
5．（2022·上海·格致中学高二阶段练习）已知角θ的终边经过点M(3m,1−m)，且tanθ=3，则实数m的值为______.
【答案】110
【分析】根据正切函数的定义，即可得出.
【详解】根据正切函数的定义，可得tanθ=1−m3m=3，
解得，m=110.
故答案为：110.
6．（2022·黑龙江· 铁力市马永顺中学校高二期中）若角α的终边过点P(m,−1)，且csα=−255，则m=__________.
【答案】−2
【分析】根据已知条件及三角函数的定义即可求解.
【详解】因为角α的终边过点P(m,−1)，
所以csα=mm2+1，
又csα=−255<0，所以m<0，
所以mm2+1=−255，即m2=4，解得m=2或m=−2，
又m<0，所以m=−2.
故答案为：−2.
7．（2022·上海市进才中学高三期中）已知角α的终边过点P−2,1，则sinα=__________.
【答案】55
【分析】根据三角函数的定义，结合已知条件，直接求解即可.
【详解】因为角α的终边过点P−2,1，故可得sinα=yr=1−22+12=55.
故答案为：55.
8．（2022·北京市昌平区第二中学高三期中）角α以Ox为始边，它的终边与单位圆O相交于第四象限点P，且点P的横坐标为45，则tanα的值为______.
【答案】−34
【分析】由角的终边与单位圆交于P，故将P的坐标求出，利用定义就可以求出tanα的值.
【详解】由交α的终边与单位圆O相交于第四象限点P，
且点P的横坐标为45
所以点P的纵坐标为−35，
所以P(45,−35)，
有定义可得tanα=−34
故答案为：−34.
9．（2022·江西·南昌市第八中学高三阶段练习（文））已知函数fx=a2x−6+3（a>0且a≠1）的图象经过定点A，且点A在角θ的终边上，则sinθ−csθsinθ+csθ=______.
【答案】17
【分析】先根据指数函数的特征求出A3,4，故tanθ=43，再分子分母同除以csθ，化弦为切，代入求值即可.
【详解】fx=a2x−6+3，a>0且a≠1时，当x=3时，fx=a0+3=4为定值，
故A3,4，又点A在角θ的终边上，
所以tanθ=43，
所以sinθ−csθsinθ+csθ=sinθcsθ−csθcsθsinθcsθ+csθcsθ=tanθ−1tanθ+1=43−143+1=17.
故答案为：17.
10．（2021·辽宁·阜新市第二高级中学高二期末）已知角 α 的终边与单位圆交于点P45,35．求sinα、csα、tanα的值；
【答案】sinα=35，csα=45，tanα=34．
【分析】根据三角函数的定义，求解三角函数.
【详解】∵角 α 的终边与单位圆交于点P45,35．
∴sinα=y=35，csα=x=45，tanα=yx=3545=34．
【考点2：各象限角的三角函数符号】
【知识点：各象限角的三角函数符号】
1．（2022·上海·华东师范大学附属周浦中学高一期末）已知点M(tanα,−csα)在第三象限，则角α的终边在第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
【答案】D
【分析】由点M所在的象限，确定α正切和余弦的符号，得角终边所在的象限.
【详解】因为点Mtanα,−csα在第三象限，所以tanα<0，csα>0，
所以α的终边在第四象限.
故选：D.
2．（2022·陕西·永寿县中学高二阶段练习（文））若C为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ）
A．sinCB．csCC．tanCD．1tanC
【答案】A
【分析】由三角形内角性质，结合三角函数值的符号判断即可.
【详解】由题意C∈(0,π)，故sinC>0，csC、tanC的符号不定，
所以A为正值，B、C、D的符号不定.
故选：A
3．（2019·江苏省新海高级中学高一期中）已知Pcs305∘,sin305∘，则点P在第（ ）象限
A．一B．二C．三D．四
【答案】D
【分析】首先判断305∘位于第四象限，再根据各象限三角函数的符号特征判断即可.
【详解】解：因为270∘<305∘<360∘，所以305∘为第四象限角，
所以cs305∘>0，sin305∘<0，
所以点Pcs305∘,sin305∘位于第四象限；
故选：D
4．（2022·湖南常德·高三阶段练习）下列结论不正确的是（ ）
A．sin2>0B．cs200°<0
C．tan200°>0D．tan(−3)<0
【答案】D
【分析】根据正弦、余弦、正切的正负性，结合角所在的象限逐一判断即可.
【详解】∵π2<2<π，∴2为第二象限角，∴sin2>0，因此A正确
∵180°<200°<270°，∴200°为第三象限角，∴cs200°<0，tan200°>0，
因此B、C正确
∵−π<−3<−π2，∴−3为第三象限角，∴tan(−3)>0，因此D错误．
故选：D
5．（2022·辽宁·东北育才学校高一期中）下列四个选项，正确的有（ ）
A．Ptanα,csα在第三象限，则α是第二象限角
B．已知扇形OAB的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为12
C．若角α的终边经过点a,2aa≠0，则sinα=255
D．sin3cs4tan5>0
【答案】ABD
【分析】根据三角函数在各个象限的正负，扇形周长和面积的计算公式，三角函数的定义，三角函数值的正负，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：由题可得tanα<0，则α属于第二或者第四象限；
csα<0，则α属于第二或者第三象限或角度终边落在x轴的负半轴上；故α属于第二象限，A正确；
对B：设扇形OAB的圆心角为α(α>0)，半径为R，圆心角对的弧长为l，
则12lR=4，l+2R=10，解得l=2,R=4，又l=αR，即2=4α，解得α=12，B正确；
对C：根据题意可得sinα=2a2a2+a2=2a5|a|=±255，故C错误；
对D：因为3∈(π2,π)，4∈π,32π,5∈(3π2,2π)，故sin3>0,cs4<0,tan5<0，
故sin3cs4tan5>0，D正确.
故选：ABD.
6．（2021·上海市光明中学高一期中）若tanθ<0且sinθ>0，则θ是第____________象限角.
【答案】二
【分析】根据各象限三角函数的符号特征判断即可.
【详解】解：因为tanθ<0且sinθ>0，所以θ是第二象限角.
故答案为：二
7．（2022·河北省文安县第一中学高一阶段练习）sinα>0是α的终边落在第一、二象限的_______________条件.（从 充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要 填空 ）
【答案】必要不充分
【分析】若sinα>0，则α的终边落在第一、二象限或y轴的正半轴，故由sinα>0得不到α的终边落在第一、二象，但反之可以.
【详解】如α=π2，则sinα>0，但α的终边不落在第一、二象限，故由sinα>0得不到α的终边落在第一、二象限；
若α的终边落在第一、二象限，则sinα>0成立，
故sinα>0是α的终边落在第一、二象限的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分
8．（2021·山西·太原市实验中学高一阶段练习）若角θ满足sinθ+csθ<−1，则θ的终边在第______象限.
【答案】三
【分析】根据三角函数的取值范围，结合已知不等式可得sinθ<0,csθ<0，即可判断θ的终边所在象限.
【详解】解：∵ −1≤sinθ≤1,−1≤csθ≤1，又角θ满足sinθ+csθ<−1
∴sinθ<0,csθ<0，于是可得θ的终边在第三象限.
故答案为：三.
9．（2022·上海·格致中学高一期中）已知θ是第四象限角，化简1−sin2θ=_______．
【答案】csθ
【分析】根据同角的平方关系即可化简得到结果.
【详解】因为1−sin2θ=cs2θ=csθ，且θ是第四象限角，
则csθ>0，即csθ=csθ，所以1−sin2θ=csθ
故答案为:csθ
10．（2022·上海大学附属南翔高级中学高三期中）若|sinx|sinx+csx|csx|=0，则x是_____________象限角．
【答案】第二或第四
【分析】由题目条件判断出sinx，csx符号，后结合sinx，csx定义可得答案.
【详解】因|sinx|sinx+csx|csx|=0，故sinx，csx异号.
又设角x终边与单位圆交于m,n，则sinx=n，csx=m.
当sinx<0，csx>0时，即n<0,m>0，此时m,n在第四象限，即x为第四象限角.
当sinx>0，csx<0时，即n>0,m<0，此时m,n在第二象限，即x为第二象限角.
故答案为：第二或第四
【考点3：三角函数线及其应用】
【知识点：三角函数线及其应用】
1．（2022·全国·高一课时练习）如图，角θ的顶点为原点，始边在x轴的非负半轴上，终边OB与单位圆交于点C.过点C作x轴的垂线，垂足为A，则有向线段AC表示的实数是（ ）
A．sinθB．csθC．tanθD．1tanθ
【答案】A
【分析】直接利用三角函数线的定义判断即可.
【详解】由题意，易得有向线段AC表示的实数是sinθ，
故选:A.
2．（2022·全国·高一课时练习）如图，已知点A是单位圆与x轴的交点，角α的终边与单位圆的交点为P，PM⊥x轴于M，过点A作单位圆的切线交角α的终边于T，则角α的正弦线､余弦线､正切线分别是（ ）
A．有向线段OM，AT，MPB．有向线段OM，MP，AT
C．有向线段MP，AT，OMD．有向线段MP，OM，AT
【答案】D
【分析】根据题图及三角函数线的定义判断角α的正弦线､余弦线､正切线.
【详解】由题图知：圆O为单位圆，则OA=OP=1，
且tanα=ATOA=AT,sinα=MPOP=MP,csα=OMOP=OM，
故角α的正弦线､余弦线､正切线分别是有向线段MP，OM，AT.
故选：D
3．（2022·全国·高一课时练习）设MP，OM和AT分别是角13π18的正弦线、余弦线和正切线，则下列式子正确的是（ ）
A．MPC．AT【答案】B
【分析】根据题意在单位圆中作出角13π18的正弦线、余弦线和正切线，结合三角函数线的含可比较它们的大小，即得答案.
【详解】根据题意在单位圆中作出角13π18的正弦线、余弦线和正切线，如下：
由图可知sin13π18=MP>0，−1∵∠AOT=5π18>π4，∴AT>OA=1，
∴tan13π18=AT<−1，∴MP>0>OM>AT，
故选：B
4．（2022·全国·高一课时练习）下面四个选项中大小关系正确的是（ ）
A．sinπ5cs4π5
C．csπ5【答案】B
【分析】在单位圆中分别做出角π5和4π5的正弦线、余弦线以及正切线，比较它们的大小即可得出答案.
【详解】如图，在单位圆中作出角π5的正弦线DP、余弦线OD、正切线AT，
角4π5的正弦线D'P'、余弦线OD'、正切线AT'，
由于π5=π−4π5，因此π5和4π5的终边关于y轴对称，
由图可得sinπ5=sin4π5>0，csπ5>0>cs4π5，
tanπ5 >0>tan4π5，
∴sinπ5>0>cs4π5，∴A，C，D均错误，B正确．
故选：B
5．（2022·河北邯郸·高三阶段练习）已知sinα>sinβ，那么下列命题正确的是（ ）
A．若角α、β是第一象限角，则csα>csβ
B．若角α、β是第二象限角，则tanβ>tanα
C．若角α、β是第三象限角，则csβ>csα
D．若角α、β是第四象限角，则tanα>tanβ
【答案】BCD
【分析】利用三角函数线逐项判断可得出合适的选项.
【详解】设角α、β的终边分别为射线OP、OQ．
对于A，如图1，sinα=MP>NQ=sinβ，
此时csα=OM，csβ=ON，OM对于B，如图2，sinα=MP>NQ=sinβ，
此时tanα=AC，tanβ=AB，且AC对于C，如图3，sinα=MP>NQ=sinβ，
此时csα=OM，csβ=ON，且OMcsα，故C正确；
对于D，如图4，sinα=MP>NQ=sinβ，AB故选：BCD.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知角α∈(0,π2)，则α,sinα,tanα的大小关系为__________．
【答案】sinα<αα>sinα
【分析】在单位圆中画出角α并确定正弦线、正切线，即可判断大小关系.
【详解】如下图示，在单位圆中α=∠AOB，AD⊥x轴，CB⊥x轴，且OA=OB=1，
所以α=AB，sinα=AD，tanα=CB，
△AOB的面积S△AOB=12⋅AD⋅OB=12sinα，
扇形AOB的面积SAOB=12⋅AB⋅OB=12α，
△COB的面积S△COB=12⋅CB⋅OB=12tanα，
由图知：S△AOB故答案为：sinα<α【考点4：同角三角函数的基本关系】
【知识点：同角三角函数的基本关系】
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1(α∈R)．
(2)商数关系：tan α＝eq \f(sin α,cs α)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
1．（2021·吉林·高二学业考试）已知sinα=45，且α为第二象限角，则csα的值为（ ）
A．45B．−45C．35D．−35
【答案】D
【分析】直接根据同角三角函数关系得到答案.
【详解】α为第二象限角，则csα=−1−sin2α=−1−1625=−35.
故选：D
2．（2022·北京·首都师范大学附属中学高三阶段练习）已知csx=13，x∈0,π，则tanx=（ ）
A．±22B．22C．−22D．223
【答案】B
【分析】根据x∈0,π，csx=13>0，得x∈0,π2，再由同角的平方关系可得sinx=223，最后由tanx=sinxcsx求解即可.
【详解】解：因为x∈0,π，csx=13>0，
所以x∈0,π2，
所以sinx=1−cs2x=1−19=223，
所以tanx=sinxcsx=22.
故选：B.
3．（2022·山东·济南三中高一阶段练习）已知θ∈0,π，csθ=−35，则下列结论正确的是（ ）
A．θ∈π2,πB．sinθ−csθ=75
C．tanθ=−34D．tanθ1+tan2θ=−1225
【答案】ABD
【分析】由已知可得，A项正确，sinθ=45，tanθ=−43，代入即可判断B、C、D项.
【详解】因为θ∈0,π，csθ=−35，所以θ∈π2,π，
sinθ>0，sinθ=1−cs2θ=1−−352=45，
则sinθ−csθ=45−−35=75，tanθ=sinθcsθ=45−35=−43，
则tanθ1+tan2θ=−431+−432=−1225.
由上述解析，可知ABD正确，C项错误.
故选：ABD.
4．（2021·上海市光明中学高一期中）已知0<α<π，sinα+csα=12，则csα=____________.
【答案】1−74
【分析】将sinα+csα=12两边平方，结合平方关系可求得sinαcsα，从而可得csα的符号，再利用平方关系即可得解.
【详解】解：因为sinα+csα=12，
所以sin2α+cs2α+2sinαcsα=14，则sinαcsα=−38，
又0<α<π，所以sinα>0,csα<0，
则sin2α+cs2α=12−csα2+cs2α=1，
解得csα=1−74或1+74（舍去）.
故答案为：1−74.
5．（2022·北京·北二外附属中学高一期中）根据下列条件，求三角函数值
(1)已知sinα=35，且α为第二象限角，求csα､tanα的值；
(2)已知tanα=−512，求sinα､csα的值．
【答案】(1)csα=−45，tanα=−34
(2)csα=−1213，sinα=513或csα=1213，sinα=−513
【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式进行求解；
（2）利用同角三角函数基本关系式得到关于sinα、csα的方程组，再结合角α所在象限进行求解.
【详解】（1）因为sinα=35，且sin2α+cs2α=1，
所以cs2α=1−sin2α=1625，又α为第二象限角，
则csα=−45，tanα=sinαcsα=−34；
（2）因为tanα=−512，
所以sinα=−512csα，且α是第二、四象限角；
联立sinα=−512csαsin2α+cs2α=1，得cs2α=144169，
当α是第二象限角时，csα=−1213，sinα=−512csα=513；
当α是第四象限角时，csα=1213，sinα=−512csα=−513；
所以csα=−1213，sinα=513或csα=1213，sinα=−513.
【考点5：同角三角函数基本关系式的应用技巧】
【知识点：同角三角函数基本关系式的应用技巧】
1．（2022·四川·树德怀远中学高三开学考试（文））已知csα−3sinα=0，则2csα−sinαcsα+sinα的值为（ ）
A．−54B．−45C．54D．45
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出tanα，再利用齐次式法计算作答.
【详解】因csα−3sinα=0，则tanα=13，
所以2csα−sinαcsα+sinα=2−tanα1+tanα=2−131+13=54.
故选：C
2．（2022·山东淄博·高三期中）已知θ为第三象限角，sinθ−csθ=−15，则csθ1−2sin2θsinθ+csθ=（ ）
A．−425B．−325C．325D．425
【答案】B
【分析】由同角三角函数关系即可求得sinθ=−45csθ=−35，进而代入原式即可求解.
【详解】由sinθ−csθ=−15，且sin2θ+cs2θ=1，
解得：sinθ=35csθ=45或sinθ=−45csθ=−35，
又因为θ为第三象限角，所以sinθ<0，csθ<0，
所以sinθ=−45csθ=−35.
所以csθ1−2sin2θsinθ+csθ=−35[1−2×(−45)2]−45−35=−325.
故选：B
3．（2022·全国·高三专题练习）已知α∈−π2,π2，3sinα−csα=5，则tanα=______．
【答案】2
【分析】先判断α的范围，再对3sinα−csα=5两边平方，构造齐次式即可求解.
【详解】因为3sinα−csα=5>0，所以α∈(0,π2)，
又因为3sinα−csα2=5，
即9sin2α−6sinαcsα+cs2α=5，
即9sin2α−6sinαcsα+cs2αcs2α+sin2α=5，
分子分母同除cs2α得：
9tan2α−6tanα+11+tan2α=5，
即2tan2α−3tanα−2=0，
所以tanα=2或tanα=−12（舍）．
故答案为：2
4．（2022·全国·高三专题练习）如果sinx+csx=15，且0【答案】−43
【分析】先根据sinx+csx的值和sin2x+cs2x=1联立求得sinx的值，进而根据同角三角函数的基本关系求得csx的值，最后利用商数关系求得tanx的值．
【详解】由sinx+csx=15，得csx=15−sinx
代入sin2x+cs2x=1整理得：25sin2x−5sinx−12=0
∴(5sinx−4)(5sinx+3)=0，∴sinx=45或sinx=−35
又∵00，∴sinx=45，
∴csx=15−sinx=−35，则tanx=sinxcsx=−43．
故答案为：−43．
5．（2021·湖南·株洲市南方中学高一阶段练习）（1）已知sinα=2csα，求sin2α+sinα⋅csα+3的值
（2）已知sinθ−csθ=15，当0<θ<π时，求tanθ的值.
【答案】（1）215；（2）43.
【分析】（1）由题意得到tanα=2，根据三角函数的基本关系式，化简得到sin2α+sinαcsα+3
=4tan2+tanα+3tan2α+1，代入即可求解；
（2）由sinθ−csθ=15，平面得到sinθcsθ=1225，进而求得sinθ+csθ=75，联立方程组，求得sinθ,csθ的值，即可求解.
【详解】（1）由sinα=2csα，可得csα≠0，所以tanα=2
则sin2α+sinαcsα+3 =sin2+sinαcsα+3sin2α+cs2αsin2α+cs2α
=4sin2α+sinαcsα+3cs2αsin2α+cs2α =4tan2+tanα+3tan2α+1 =4×22+2+322+1=215.
（2）因为sinθ−csθ=15，可得(sinθ−csθ)2=1−2sinθcsθ=152=125，
所以sinθcsθ=1225
因为0<θ<π且sinθcsθ>0，所以0<θ<π2，可得sinθ+csθ>0
又由(sinθ+csθ)2=1+2sinθcsθ=4925，所以sinθ+csθ=75，
联立方程组sinθ−csθ=15sinθ+csθ=75，解得sinθ=45,csθ=35，
所以tanθ=sinθcsθ=43.三角
函数
正弦
余弦
正切
定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
y叫做α的正弦，记作sin α
x叫做α的余弦，记作cs α
eq \f(y,x)叫做α的正切，记作tan α
三角
函数
正弦
余弦
正切
各象限符号
Ⅰ
＋
＋
＋
Ⅱ
＋
－
－
Ⅲ
－
－
＋
Ⅳ
－
＋
－
三角
函数
正弦
余弦
正切
三
角
函
数
线
有向线段MP为正弦线
有向线段OM为余弦线
有向线段AT为正切线
技巧
解读
适合题型
切弦互化
主要利用公式tan θ＝eq \f(sin θ,cs θ)化成正弦、余弦，或者利用公式eq \f(sin θ,cs θ)＝tan θ化成正切
表达式中含有sin θ，cs θ与tan θ
“1”的变换
1＝sin2θ＋cs2θ＝cs2θ(1＋tan2θ)＝(sin θ±cs θ)2∓2sin θcs θ＝taneq \f(π,4)
表达式中需要利用“1”转化
和积转换
利用关系式(sin θ±cs θ)2＝1±2sin θcs θ进行变形、转化
表达式中含有sin θ±cs θ或sin θcs θ