2023-2024学年浙江省杭州市重点中学高一（下）月考数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年浙江省杭州市重点中学高一（下）月考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知A={x|(x−1)(2+x)<0}，B={x|lg2x<1}，则A∩B=( )
A. (−2,1)B. (0,2)C. (−3,2)D. (0,1)
2.复平面内表示复数z=1−ii的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.在△ABC中，B=30°，b=2,c=2 2，则角A的大小为( )
A. 45°B. 135°或45°C. 15°D. 105°或15°
4.设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )
A. 若l⊥α，l/​/m，则m⊥αB. 若l⊥m，m⊂α，则l⊥α
C. 若l/​/α，m⊂α，则l/​/mD. 若l/​/α，m/​/α，则l/​/m
5.已知平面向量a=(m,−4)，b=(−1,m+3)，若存在实数λ>0，使得a=λb，则实数m的值为( )
A. −1B. −4C. 1D. 4
6.达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名．画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷．现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角A，B间的圆弧长为l，嘴角间的距离为d，圆弧所对的圆心角为θ(θ为弧度角)，则l、d和θ所满足的恒等关系为( )
A. sinθ2θ=dlB. 2sinθ2θ=dlC. csθ2θ=dlD. 2csθ2θ=dl
7.如图，已知正四棱锥P−ABCD的所有棱长均为2，E为棱PA的中点，则异面直线BE与PC所成角的余弦值为( )
A. 63
B. − 63
C. 33
D. − 33
8.已知点O为△ABC外接圆的圆心，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，BO⋅AC=2，内角C取最大值时△ABC的面积为( )
A. 5B. 2 5C. 10D. 2 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(m,−1),b=(−2,1)，则下列说法正确的是( )
A. 若m=1，则|a−b|= 13
B. 若a⊥b，则m=2
C. “m>−12”是“a与b的夹角为钝角”的充要条件
D. 若m=−1，则b在a上的投影向量的坐标为(−12,−12)
10.如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图像，则( )
A. f(x)的最小正周期为π
B. x=5π6是函数y=f(x)的一条对称轴
C. 将函数y=f(x)的图像向右平移π3个单位后，得到的函数为奇函数
D. 若函数y=f(tx)(t>0)在[0,π]上有且仅有两个零点，则t∈[56,43)
11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为1，P是A1D上的一个动点，下列结论中正确的是( )
A. BP的最小值为 62
B. 当P在A1D上运动时，都有C1P⊥BD1
C. 当P在直线A1D上运动时，三棱锥A−B1PC的体积不变
D. PA+PC的最小值为 2− 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+x−1，则f(lg214)的值为______．
13.在一个如图所示的直角梯形ABCD内挖去一个扇形，E恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线DE旋转一圈，则所得几何体的体积为______．
14.平面向量m,n满足|m|=|n|=1，对任意的实数t，不等式|m−12n|≤|m+tn|恒成立，则|n−tm|的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=(2+i)m+2ii−1(其中i是虚数单位，m∈R)．
(1)若复数z是纯虚数，求m的值；
(2)求|z−1|的取值范围．
16.(本小题15分)
已知向量a=(sinα,csα)，b=(1, 3)，c=(csβ,−sinβ)，α∈(0,π)．
(1)若a/​/b，求α的值；
(2)若a⊥b，a⋅c=35，β∈(π6,π2)，求sinβ的值．
17.(本小题15分)
在①ba=csB+1 3sinA，②2bsinA=atanB，③c−a=bcsA−acsB这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知_____(只需填序号)．
(1)求角B；
(2)若△ABC是锐角三角形，边长c=2，求△ABC面积的取值范围．
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，AD⊥DC，BC=CD=12AD=1，E为棱AD的中点，PA⊥平面ABCD．
(1)求证：AB/​/平面PCE；
(2)求证：平面PAB⊥平面PBD；
(3)若二面角P−CD−A的大小为45°，求直线PA与平面PBD所成角的正弦值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=(m+1)x2−(m−1)x+m−1
(1)若不等式f(x)<1的解集为R，求m的取值范围；
(2)解关于x的不等式f(x)≥(m+1)x；
(3)若不等式f(x)≥0对一切x∈[−12,12]恒成立，求m的取值范围．
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】AD
10.【答案】AD
11.【答案】ABC
12.【答案】−5
13.【答案】128π3
14.【答案】 32
15.【答案】解：z=(2+i)m+2ii−1=2m+mi+2i(−1−i)(−1+i)(−1−i)=(2m+1)+(m−1)i．
(1)∵复数z是纯虚数，∴2m+1=0m−1≠0，即m=−12；
(2)z−1=2m+(m−1)i，
|z−1|= 4m2+(m−1)2= 5m2−2m+1= 5(m−15)2+45≥2 55，
∴|z−1|的取值范围是[2 55,+∞)．
16.【答案】解：(1)已知向量a=(sinα,csα)，b=(1, 3)，
又a/​/b，
则 3sinα=csα，
即tanα= 33，
又α∈(0,π)，
则α=π6；
(2)已知向量a=(sinα,csα)，b=(1, 3)，c=(csβ,−sinβ)，
又a⊥b，
则sinα+ 3csα=0，
即2sin(α+π3)=0，
又α∈(0,π)，
则α+π3=π，
即α=2π3，
又a⋅c=35，
则sinαcsβ−csαsinβ=35，
则sin(α−β)=35，
即sin(2π3−β)=35，
又β∈(π6,π2)，
则cs(2π3−β)= 1−sin2(2π3−β)=45，
则sinβ=sin[2π3−(2π3−β)]= 32cs(2π3−β)+12sin(2π3−β)= 32×45+12×35=3+4 310．
17.【答案】解：(1)若选①：因为ba=csB+1 3sinA，由正弦定理可得sinBsinA=csB+1 3sinA，
且sinA≠0，可得 3sinB=csB+1，整理得sin(B−π6)=12，
注意到B∈(0,π)，则B−π6∈(−π6,5π6)，可得B−π6=π6，所以B=π3；
若选②：因为2bsinA=atanB，由正弦定理可得2sinBsinA=sinAsinBcsB，
注意到A，B∈(0,π)，则sinA，sinB>0，
可得1csB=2，即csB=12，所以B=π3；
若选③：因为c−a=bcsA−acsB，由余弦定理可得c−a=b2+c2−a22c−a2+c2−b22c，
整理得a2+c2−b2=ac，则csB=a2+c2−b22ac=ac2ac=12，
注意到B∈(0,π)，所以B=π3．
(2)因为△ABC是锐角三角形，B=π3，
则0由正弦定理可得asinA=csinC，则a=csinAsinC=2sin(B+C)sinC= 3csC+sinCsinC= 3tanC+1，
可得tanC> 33，则1tanC∈(0, 3)，所以a= 3tanC+1∈(1,4)，
故△ABC面积S△ABC=12acsinB=12×a×2× 32= 32a∈( 32,2 3)，
所以△ABC面积的取值范围为( 32,2 3)．
18.【答案】(1)证明：连接CE，
因为AD//BC，BC=CD=12AD=1，且E是AD的中点，
所以AE/​/BC，AE=BC，
所以四边形ABCE是平行四边形，
所以AB//CE，
又AB⊄平面PCE，CE⊂平面PCE，
所以AB/​/平面PCE．
(2)证明：在直角梯形ABCD中，BC=CD=12AD=1，
所以AB= 2，BD= 2，
所以AB2+BD2=AD2，即AB⊥BD，
因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以PA⊥BD，
又AB∩PA=A，AB、PA⊂平面PAB，
所以BD⊥平面PAB，
又BD⊂平面PBD，
所以平面PAB⊥平面PBD．
(3)解：因为PA⊥平面ABCD，AD⊥DC，
所以由三垂线定理知，PD⊥CD，
所以∠ADP就是二面角P−CD−A的平面角，即∠ADP=45°，
所以PA=AD=2，
所以PB= PA2+AB2= 22+( 2)2= 6，
由(2)知，平面PAB⊥平面PBD，
所以直线PA与平面PBD所成角即为∠APB，
在Rt△PAB中，sin∠APB=ABPB= 2 6= 33，
故直线PA与平面PBD所成角的正弦值为 33．
19.【答案】解：(1)①当m+1=0即m=−1时，f(x)=2x−3，不合题意； …(1分)
②当m+1≠0即m≠−1时，m+1<0Δ=(m−1)2−4(m+1)(m−2)<0，即m<−13m2−2m−9>0，…(3分)
∴m<−1m<1−2 73或m>1+2 73，
∴m<1−2 73…(5分)
(2)f(x)≥(m+1)x即(m+1)x2−2mx+m−1≥0
即[(m+1)x−(m−1)](x−1)≥0
①当m+1=0即m=−1时，解集为{x|x≥1}…(7分)
②当m+1>0即m>−1时，(x−m−1m+1)(x−1)≥0，
∵m−1m+1=1−2m+1<1，
∴解集为{x|x≤m−1m+1或x≥1}…(9分)
③当m+1<0即m<−1时，(x−m−1m+1)(x−1)≥0，
∵m−1m+1=1−2m+1>1，
∴解集为{x|1≤x≤m−1m+1}…(…(11分)
(3)(m+1)x2−(m−1)x+m−1≥0，即m(x2−x+1)≥−x2−x+1，
∵x2−x+1>0恒成立，
∴m≥−x2−x+1x2−x+1=−1+2(1−x)x2−x+1…(13分)
设1−x=t，则t∈[12,32]，x=1−t，
∴1−xx2−x+1=t(1−t)2−(1−t)+1=tt2−t+1=1t+1t−1，
∵t+1t≥2，当且仅当t=1时取等号，
∴1−xx2−x+1≤1，当且仅当x=0时取等号，
∴当x=0时，(−x2−x+1x2−x+1)max=1，
∴m≥1…(16分)